Mathematical logic Questions in Hindi

(N/A) यदि केले के पेड़ एक महीने तक गर्म वातावरण में रहते हैं,तो उनमें फूल आ जाएंगे।

(N/A) यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,तो वह एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) यदि आप कक्षा में $A^{+}$ प्राप्त करना चाहते हैं,तो आपको पुस्तक के सभी अभ्यास करने होंगे।

(N/A) दिया गया कथन "यदि $P$,तो $Q$" के रूप में है,जहाँ $P$ है "आप दिल्ली में रहते हैं" और $Q$ है "आपके पास सर्दियों के कपड़े हैं"।
$(i)$ कथन "यदि आपके पास सर्दियों के कपड़े नहीं हैं,तो आप दिल्ली में नहीं रहते हैं" यह "यदि $Q$ नहीं,तो $P$ नहीं" के रूप में है,जो दिए गए कथन का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है।
$(ii)$ कथन "यदि आपके पास सर्दियों के कपड़े हैं,तो आप दिल्ली में रहते हैं" यह "यदि $Q$,तो $P$" के रूप में है,जो दिए गए कथन का विलोम (converse) है।

(N/A) मान लीजिए $P$ कथन "एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है" है और $Q$ कथन "इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं" है। दिया गया कथन $P \implies Q$ है।
$(i)$ कथन "यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं,तो वह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है" $\neg Q \implies \neg P$ के रूप में है,जो $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है।
$(ii)$ कथन "यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,तो वह एक समांतर चतुर्भुज है" $Q \implies P$ के रूप में है,जो $P \implies Q$ का विलोम (converse) है।

(A) माना $p: x, y \in \mathbb{Z}$ इस प्रकार हैं कि $x$ और $y$ विषम हैं।
माना $q: xy$ विषम है।
दिए गए कथन की वैधता की जाँच करने के लिए,हम मानते हैं कि यदि $p$ सत्य है,तो $q$ सत्य है।
यदि $p$ सत्य है,तो $x$ और $y$ विषम पूर्णांक हैं।
हम $x = 2m + 1$ और $y = 2n + 1$ लिख सकते हैं,जहाँ $m, n \in \mathbb{Z}$ पूर्णांक हैं।
अतः,$xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$.
चूँकि $2mn + m + n$ एक पूर्णांक है,इसलिए $xy$ का रूप $2k + 1$ है,जिसका अर्थ है कि $xy$ विषम है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए कथन इस प्रकार हैं:
$p: xy$ विषम है।
$q: x$ और $y$ दोनों विषम हैं।
हमें $p \Rightarrow q$ कथन की सत्यता की जाँच इसके प्रतिधनात्मक $\sim q \Rightarrow \sim p$ द्वारा करनी है।
$\sim q: x$ और $y$ दोनों विषम हैं,यह असत्य है। इसका अर्थ है कि $x$ या $y$ में से कम से कम एक सम है।
मान लीजिए $x = 2n$ किसी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ के लिए।
तब $xy = (2n)y = 2(ny)$,जो एक सम संख्या है।
अतः,$\sim p$ सत्य है (अर्थात $xy$ सम है)।
चूँकि $\sim q \Rightarrow \sim p$ सत्य है,इसलिए दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ सत्य है।

(N/A) इस विधि में,हम मानते हैं कि दिया गया कथन असत्य है। अर्थात,हम मानते हैं कि $\sqrt{7}$ परिमेय है।
इसका अर्थ है कि ऐसे धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ मौजूद हैं कि $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$,जहाँ $a$ और $b$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
समीकरण का वर्ग करने पर,हमें $7 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 7b^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $7$,$a^2$ को विभाजित करता है,और चूंकि $7$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $7$,$a$ को भी विभाजित करेगा।
अतः,एक पूर्णांक $c$ ऐसा मौजूद है कि $a = 7c$।
इसे $a^2 = 7b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(7c)^2 = 7b^2$ $\Rightarrow 49c^2 = 7b^2$ $\Rightarrow b^2 = 7c^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $7$,$b^2$ को विभाजित करता है,और परिणामस्वरूप,$7$,$b$ को भी विभाजित करेगा।
इस प्रकार,$7$,$a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी पूर्व धारणा कि $a$ और $b$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है,का खंडन करता है।
यह दर्शाता है कि यह धारणा कि $\sqrt{7}$ परिमेय है,गलत है।
अतः,कथन $p: \sqrt{7}$ अपरिमेय है,सत्य है।

(N/A) दिया गया कथन "यदि $p$,तो $q$" के रूप में है। यह दिखाने के लिए कि यह कथन असत्य है,हमें एक ऐसा प्रति-उदाहरण खोजने की आवश्यकता है जहाँ $p$ सत्य हो लेकिन $q$ असत्य हो।
यहाँ,$p$ है "$n$ एक विषम पूर्णांक है" और $q$ है "$n$ अभाज्य है"।
हम एक ऐसा विषम पूर्णांक $n$ खोजते हैं जो अभाज्य संख्या नहीं है।
$n = 9$ पर विचार करें।
$9$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए $p$ सत्य है।
हालाँकि,$9$ एक भाज्य संख्या है $(9 = 3 \times 3)$,इसलिए $q$ असत्य है।
चूँकि हमने एक ऐसा विषम पूर्णांक ढूँढ लिया है जो अभाज्य नहीं है,इसलिए मूल कथन असत्य है।

(N/A) कथन $p$ है: "यदि $x$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $x^{3}+4x=0$,तो $x$ का मान $0$ है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "$x$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $x^{3}+4x=0$।"
मान लीजिए $r$ कथन है: "$x$ का मान $0$ है।"
प्रत्यक्ष विधि द्वारा यह सिद्ध करने के लिए कि $p$ सत्य है,हम मानते हैं कि $q$ सत्य है और दिखाते हैं कि $r$ सत्य होना चाहिए।
मान लीजिए $q$ सत्य है,अतः $x^{3}+4x=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $x(x^{2}+4)=0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x=0$ या $x^{2}+4=0$ है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,$x^{2} \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $x^{2}+4 \geq 4$ है।
इसलिए,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $x^{2}+4$ का मान $0$ नहीं हो सकता।
अतः,एकमात्र संभावना $x=0$ है।
चूंकि हमने दिखाया है कि $q$ से $r$ प्राप्त होता है,इसलिए कथन $p$ सत्य है।

(N/A) मान लीजिए कि $p$ कथन है: 'यदि $x$ एक वास्तविक संख्या है,जहाँ $x^{3}+4x=0$,तो $x$ का मान $0$ है।'
$p$ को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने के लिए,हम मानते हैं कि $p$ असत्य है।
'यदि $q$,तो $r$' कथन का निषेध '$q$ और $r$ नहीं' होता है।
अतः,हम मानते हैं कि $x$ एक वास्तविक संख्या है जहाँ $x^{3}+4x=0$ और $x \neq 0$ है।
दिए गए $x^{3}+4x=0$ का गुणनखंड करने पर $x(x^{2}+4)=0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x=0$ या $x^{2}+4=0$ है।
चूंकि हमने माना है कि $x \neq 0$,इसलिए $x^{2}+4=0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^{2}=-4$ है।
हालाँकि,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^{2} \geq 0$ होता है।
इसलिए,$x^{2}=-4$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
यह हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $x$ एक वास्तविक संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $p$ असत्य है,गलत होनी चाहिए।
इसलिए,कथन $p$ सत्य है।

(A) कथन $p$,'यदि $q$,तो $r$' के रूप में है,जहाँ:
$q: x$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $x^{3}+4x=0$
$r: x=0$
प्रतिधनात्मक विधि द्वारा $p$ को सत्य सिद्ध करने के लिए,हमें यह दिखाना होगा कि $\sim r \Rightarrow \sim q$ है।
मान लीजिए $\sim r$ सत्य है,जिसका अर्थ है कि $x \neq 0$ है।
हमें यह दिखाना है कि $\sim q$ सत्य है,अर्थात $x^{3}+4x \neq 0$ है।
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए $x^{2} > 0$ है।
अतः,$x^{2}+4 > 4$,जो दर्शाता है कि $x^{2}+4 > 0$ है।
चूँकि $x \neq 0$ और $(x^{2}+4) > 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $x(x^{2}+4)$ शून्य नहीं हो सकता।
इस प्रकार,$x^{3}+4x \neq 0$,जो $\sim q$ है।
चूँकि $\sim r \Rightarrow \sim q$ सत्य है,इसलिए दिया गया कथन $p$ सत्य है।

(A) दिए गए कथन को "यदि-तो" के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यदि $a$ और $b$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $a^{2}=b^{2}$,तो $a=b$ है।
मान लीजिए $p$ कथन है: $a$ और $b$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $a^{2}=b^{2}$ है।
मान लीजिए $q$ कथन है: $a=b$ है।
कथन को असत्य सिद्ध करने के लिए,हमें एक ऐसी स्थिति खोजने की आवश्यकता है जहाँ $p$ सत्य हो लेकिन $q$ असत्य हो (अर्थात $a^{2}=b^{2}$ लेकिन $a \neq b$)।
मान लीजिए $a=1$ और $b=-1$ है।
तब $a^{2}=(1)^{2}=1$ और $b^{2}=(-1)^{2}=1$ है।
इस प्रकार,$a^{2}=b^{2}$ सत्य है।
हालाँकि,$a=1$ और $b=-1$ है,इसलिए $a \neq b$ है।
चूँकि हमने एक ऐसी स्थिति पाई है जहाँ $a^{2}=b^{2}$ है लेकिन $a \neq b$ है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(N/A) कथन $p$ है: यदि $x$ एक पूर्णांक है और $x^{2}$ सम है,तो $x$ सम है।
इसे प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध करने के लिए,हम निष्कर्ष के निषेध को मानते हैं और परिकल्पना के निषेध को सिद्ध करते हैं।
माना $q: x$ एक पूर्णांक है और $x^{2}$ सम है।
माना $r: x$ सम है।
कथन $q \implies r$ का प्रतिधनात्मक $\neg r \implies \neg q$ है।
माना $\neg r$: $x$ सम नहीं है,अर्थात $x$ विषम है।
यदि $x$ विषम है,तो $x = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $x^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$।
चूंकि $2(2k^{2} + 2k) + 1$ का रूप $2m + 1$ है,इसलिए $x^{2}$ विषम है।
अतः,$\neg q$ सत्य है: $x^{2}$ सम नहीं है।
चूंकि $\neg r \implies \neg q$ सत्य है,इसलिए मूल कथन $p$ सत्य है।

(N/A) दिया गया कथन 'यदि $q$ तो $r$' के रूप में है।
$q:$ त्रिभुज के सभी कोण समान हैं।
$r:$ त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है।
कथन $p$ असत्य है यदि हम ऐसी स्थिति पा सकें जहाँ $q$ सत्य हो लेकिन $r$ असत्य हो।
एक समबाहु त्रिभुज में,तीनों कोण $60^{\circ}$ के बराबर होते हैं।
चूंकि $60^{\circ} < 90^{\circ}$,एक समबाहु त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है,न कि अधिककोण त्रिभुज।
अतः,कथन $p$ असत्य है क्योंकि हमने एक प्रति-उदाहरण (समबाहु त्रिभुज) पाया है जहाँ आधार सत्य है लेकिन निष्कर्ष असत्य है।

(N/A) दिया गया कथन है: $q:$ समीकरण $x^{2}-1=0$ का $0$ और $2$ के बीच कोई मूल नहीं है।
इस कथन को असत्य सिद्ध करने के लिए,हमें एक प्रति-उदाहरण की आवश्यकता है।
समीकरण $x^{2}-1=0$ पर विचार करें।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
समीकरण के मूल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
चूंकि मूल $x = 1$,$0$ और $2$ के बीच स्थित है,इसलिए यह कथन कि $0$ और $2$ के बीच कोई मूल नहीं है,असत्य है।

(A) दी गई असमिका $x > y$ है।
असमिका के नियमों के अनुसार,यदि हम किसी असमिका के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं,तो असमिका के चिह्न की दिशा उलट जाती है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-1) \times x < (-1) \times y$
$-x < -y$
अतः,दिया गया कथन $s$ सत्य है।

(N/A) दिए गए कथन में प्रयुक्त "या" समावेशी (inclusive) है क्योंकि यह संभव है कि बारिश हो रही हो और आप नदी में भी हों।
दिए गए कथन के घटक कथन हैं:
$p:$ आप बारिश में भीगते हैं।
$q:$ आप नदी में होने पर भीगते हैं।
यहाँ दोनों घटक कथन $p$ और $q$ सत्य हो सकते हैं,इसलिए संयुक्त कथन $t$ सत्य है।

(N/A) 'प्रत्येक' (for every) परिमाणक वाले कथन का निषेध इसे 'अस्तित्व में है' (there exists) से बदलकर और स्थिति का निषेध करके बनाया जाता है।
$p$ का निषेध है:
$\sim p:$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x^{2} \leq x.$

(N/A) $q$ का निषेध $\sim q$ द्वारा दर्शाया जाता है,जिसका अर्थ है "यह असत्य है कि $q$".
$\sim q:$ ऐसी किसी परिमेय संख्या $x$ का अस्तित्व नहीं है कि $x^{2} = 2$.
इस कथन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$\sim q:$ सभी परिमेय संख्याओं $x$ के लिए,$x^{2} \neq 2$.

(N/A) इस कथन का निषेध है:
$\sim r:$ कम से कम एक ऐसा पक्षी है जिसके पंख नहीं होते हैं।

(N/A) दिए गए कथन का निषेध $\sim s$ है: ऐसा कम से कम एक छात्र है जो प्रारंभिक स्तर पर गणित का अध्ययन नहीं करता है।

(N/A) कथन "पूर्णांक $n$ विषम है यदि और केवल यदि $n^{2}$ विषम है" को इस प्रकार लिखा जा सकता है: "पूर्णांक $n$ का विषम होना $n^{2}$ के विषम होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।"
मान लीजिए $p$ कथन है: "पूर्णांक $n$ विषम है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "$n^{2}$ विषम है।"
$p \iff q$ की वैधता की जांच करने के लिए,हम दोनों निहितार्थों की जांच करते हैं:
$1$. यदि $p$ सत्य है,तो $n = 2k + 1$ (किसी पूर्णांक $k$ के लिए)। तब $n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$,जो विषम है। अतः,$p \implies q$ सत्य है।
$2$. यदि $q$ सत्य है,तो हम प्रतिधनात्मक (contrapositive) का उपयोग करते हैं: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$। तब $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})$,जो सम है। चूँकि प्रतिधनात्मक सत्य है,इसलिए $q \implies p$ सत्य है।
चूँकि $p \implies q$ और $q \implies p$ दोनों सत्य हैं,इसलिए मूल कथन सत्य है।

(N/A) मान लीजिए कि $p$ और $q$ निम्नलिखित कथन हैं:
$p:$ आप $80 \, km/h$ से अधिक गति पर गाड़ी चलाते हैं।
$q:$ आपको जुर्माना लगेगा।
$p \implies q$ यह दर्शाता है कि $p$,$q$ के लिए एक पर्याप्त शर्त है। अर्थात,$80 \, km/h$ से अधिक गति पर गाड़ी चलाना जुर्माना लगने के लिए पर्याप्त है।
इसलिए,पर्याप्त शर्त "$80 \, km/h$ से अधिक गति पर गाड़ी चलाना" है।
इसी प्रकार,$p \implies q$ यह दर्शाता है कि $q$,$p$ के लिए एक आवश्यक शर्त है। अर्थात,$80 \, km/h$ से अधिक गति पर गाड़ी चलाने के लिए,जुर्माना लगना आवश्यक है।
इसलिए,आवश्यक शर्त "जुर्माना लगना" है।

(N/A) 'प्रत्येक' (for every) परिमाणक वाले कथन का निषेध उसे 'अस्तित्व में है' (there exists) से बदलकर और विधेय का निषेध करके बनाया जाता है।
कथन $p$ का निषेध इस प्रकार है:
एक ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x-1$ धनात्मक नहीं है।

(N/A) कथन $q$ का निषेध इस प्रकार है:
$\sim q:$ ऐसी कम से कम एक बिल्ली है जो खरोंचती नहीं है।

(N/A) 'प्रत्येक' क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध 'कोई' (अस्तित्व में है) होता है।
'या तो $P$ या $Q$' का निषेध 'न तो $P$ और न ही $Q$' होता है,जो 'नहीं $P$ और नहीं $Q$' के बराबर है।
अतः,कथन $r$ का निषेध इस प्रकार है:
एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x \leq 1$ और $x \geq 1$ है।

(D) 'अस्तित्व है' (existential quantifier) वाले कथन का निषेध 'सभी के लिए' (universal quantifier) का उपयोग करके और शर्त का निषेध करके बनाया जाता है।
मूल कथन है: 'एक ऐसी संख्या $x$ का अस्तित्व है कि $0 < x < 1.$'
इसका निषेध है: 'सभी संख्याओं $x$ के लिए,यह सत्य नहीं है कि $0 < x < 1.$'
यह सरल होकर बनता है: 'सभी संख्याओं $x$ के लिए,$x \le 0$ या $x \ge 1.$'

(N/A) कथन $p$ को 'यदि $q$,तो $r$' के रूप में लिखा जा सकता है:
यदि एक धनात्मक पूर्णांक अभाज्य है,तो इसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है।
इस कथन का विलोम (Converse) इस प्रकार है:
यदि एक धनात्मक पूर्णांक का $1$ और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है,तो वह अभाज्य है।
इस कथन का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) इस प्रकार है:
यदि एक धनात्मक पूर्णांक का $1$ और स्वयं के अलावा अन्य भाजक हैं,तो वह अभाज्य नहीं है।

(N/A) दिए गए कथन को $p \implies q$ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यदि दिन धूप वाला है,तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।
कथन का विलोम (Converse) $q \implies p$ इस प्रकार है:
यदि मैं समुद्र तट पर जाता हूँ,तो वह धूप वाला दिन है।
कथन का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \implies \sim p$ इस प्रकार है:
यदि मैं समुद्र तट पर नहीं जाता हूँ,तो वह धूप वाला दिन नहीं है।

(N/A) कथन $r$ का विलोम (Converse) इस प्रकार है:
यदि आपको प्यास लगती है,तो बाहर गर्मी है।
कथन $r$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) इस प्रकार है:
यदि आपको प्यास नहीं लगती है,तो बाहर गर्मी नहीं है।

(N/A) इस कथन को "यदि $p$,तो $q$" के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यदि आप सर्वर पर लॉग ऑन करते हैं,तो आपके पास पासवर्ड होना चाहिए।

(N/A) "जब भी बारिश होती है,तब ट्रैफिक जाम होता है" कथन का अर्थ है कि यदि बारिश होती है,तो ट्रैफिक जाम होता है।
अतः,"यदि $p$,तो $q$" के रूप में कथन है: यदि बारिश होती है,तो ट्रैफिक जाम होता है।

(N/A) कथन $r$,"$p$ केवल यदि $q$" के रूप में है,जो तार्किक रूप से "यदि $p$,तो $q$" के समतुल्य है।
यहाँ,$p$ है "आप वेबसाइट को एक्सेस कर सकते हैं" और $q$ है "आप सदस्यता शुल्क का भुगतान करते हैं"।
अतः,"यदि $p$,तो $q$" के रूप में कथन है: "यदि आप वेबसाइट को एक्सेस कर सकते हैं,तो आप सदस्यता शुल्क का भुगतान करते हैं।"

(N/A) कथन "यदि आप टेलीविजन देखते हैं,तो आपका मन मुक्त है" और "यदि आपका मन मुक्त है,तो आप टेलीविजन देखते हैं" का अर्थ है "आप टेलीविजन देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त है।"

(A) आप $A$ ग्रेड प्राप्त करेंगे यदि और केवल यदि आप सारा होमवर्क नियमित रूप से करते हैं।

(N/A) एक चतुर्भुज समकोणीय है यदि और केवल यदि वह एक आयत है।

(N/A) "और" के साथ मिश्र कथन है: "$25, 5$ और $8$ का एक गुणज है।"
यह एक असत्य कथन है,क्योंकि $25, 8$ का गुणज नहीं है।
"या" के साथ मिश्र कथन है: "$25, 5$ या $8$ का एक गुणज है।"
यह एक सत्य कथन है,क्योंकि $25, 5$ का गुणज है (भले ही यह $8$ का गुणज नहीं है,'या' की स्थिति में यदि कम से कम एक कथन सत्य हो तो मिश्र कथन सत्य होता है)।

(A) दिया गया कथन है: $p:$ एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।
विरोधोक्ति विधि द्वारा वैधता की जाँच करने के लिए,हम मानते हैं कि कथन का निषेध सत्य है।
मान लीजिए कि एक अपरिमेय संख्या $x$ और एक परिमेय संख्या $y$ का योग एक परिमेय संख्या $z$ है।
अतः,$x + y = z$,जहाँ $x$ अपरिमेय है और $y, z$ परिमेय हैं।
इसका अर्थ है $x = z - y$.
चूंकि दो परिमेय संख्याओं का अंतर $(z - y)$ हमेशा एक परिमेय संख्या होता है,इसलिए यह दर्शाता है कि $x$ एक परिमेय संख्या है।
यह हमारी प्रारंभिक धारणा कि $x$ एक अपरिमेय संख्या है,का विरोध करता है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि योग परिमेय है,गलत है।
अतः,एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। कथन $p$ सत्य है।

(N/A) दिया गया कथन $q$ इस प्रकार है: यदि $n$ एक वास्तविक संख्या है जहाँ $n > 3$,तो $n^{2} > 9$।
इसे विरोधोक्ति (contradiction) द्वारा सिद्ध करने के लिए,हम कथन के निषेध को मानते हैं।
मान लीजिए कि $n$ एक वास्तविक संख्या है जहाँ $n > 3$,लेकिन $n^{2} \leq 9$ है।
चूँकि $n > 3$ और $n$ एक वास्तविक संख्या है,हम असमिका $n > 3$ के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं।
$n^{2} > 3^{2}$
$n^{2} > 9$
यह हमारी धारणा $n^{2} \leq 9$ का खंडन करता है।
चूँकि धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है,इसलिए मूल कथन सत्य होना चाहिए। अतः,यदि $n$ एक वास्तविक संख्या है जहाँ $n > 3$,तो $n^{2} > 9$।

(N/A) दिए गए कथन को निम्नलिखित पाँच अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है:
$(i)$ एक त्रिभुज का समकोणीय होना यह दर्शाता है कि वह एक अधिककोण त्रिभुज है।
$(ii)$ एक त्रिभुज समकोणीय है केवल यदि वह एक अधिककोण त्रिभुज है।
$(iii)$ एक त्रिभुज के समकोणीय होने के लिए,यह आवश्यक है कि त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज हो।
$(iv)$ एक त्रिभुज के अधिककोण त्रिभुज होने के लिए,यह पर्याप्त है कि त्रिभुज समकोणीय हो।
$(v)$ यदि एक त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज नहीं है,तो वह त्रिभुज समकोणीय नहीं है।

(D) 'Tautology' एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है। हम $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ व्यंजक के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \rightarrow q$	$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में केवल $T$ (सत्य) है,इसलिए $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ एक 'tautology' है।

(A) दिया गया है कि व्यंजक $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (q * (\sim p))$ एक पुनरुक्ति है।
हम जानते हैं कि $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$.
$(p \Rightarrow q)$ की तुलना $(q * (\sim p))$ से करने पर,हम देखते हैं कि संकारक $*$ वियोजन (disjunction) संकारक $\vee$ के अनुरूप है।
अतः,$p * (\sim q) \equiv p \vee (\sim q)$.
निहितार्थ (implication) के नियम $\sim a \vee b \equiv a \Rightarrow b$ का उपयोग करने पर,$p \vee (\sim q) \equiv \sim q \vee p \equiv q \Rightarrow p$.
इसलिए,$p * (\sim q) \equiv q \Rightarrow p$.

(D) गणितीय तर्कशास्त्र में,एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य होता है जो या तो सत्य होता है या असत्य।
चूंकि वाक्य "आपका नाम क्या है?" एक प्रश्नवाचक वाक्य है,इसलिए इसे सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह एक कथन नहीं है।

(C) मान लीजिए $p$ और $q$ कथन हैं:
$p: \text{मैं समय पर स्टेशन पहुँचता हूँ.}$
$q: \text{मैं ट्रेन पकड़ लूँगा.}$
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है "मैं ट्रेन नहीं पकड़ पाऊँगा" और $\sim p$ है "मैं समय पर स्टेशन नहीं पहुँचूँगा।"
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि मैं ट्रेन नहीं पकड़ पाऊँगा,तो मैं समय पर स्टेशन नहीं पहुँचूँगा।"
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा व्यंजक एक पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं या तार्किक व्यंजकों को सरल बनाते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $(\sim p \wedge (p \vee q)) \rightarrow q$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
चूंकि $(\sim p \wedge p) \equiv F$ (व्याघात),हमारे पास है: $F \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
यह सरल होकर बनता है: $(\sim p \wedge q) \rightarrow q$
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करते हुए: $\sim (\sim p \wedge q) \vee q$
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \vee q$
साहचर्य नियम द्वारा: $p \vee (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति): $p \vee T \equiv T$
अतः,विकल्प $A$ एक पुनरुक्ति है।

(A) दिया गया कथन: $p \rightarrow \sim( p \wedge \sim q )$
निहितार्थ नियम $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim p \vee \sim( p \wedge \sim q )$
डी मॉर्गन के नियम $\sim( A \wedge B ) \equiv \sim A \vee \sim B$ को लागू करने पर:
$\sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
चूंकि $\sim(\sim q) \equiv q$:
$\sim p \vee \sim p \vee q$
आइडेंपोटेंट नियम $\sim p \vee \sim p \equiv \sim p$ का उपयोग करने पर:
$\sim p \vee q$
अतः,कथन $(\sim p) \vee q$ के समतुल्य है.

(C) माना $p$ कथन है: 'फलन $f$,$a$ पर अवकलनीय है'।
माना $q$ कथन है: 'फलन $f$,$a$ पर संतत है'।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है: 'फलन $f$,$a$ पर संतत नहीं है'।
और $\sim p$ है: 'फलन $f$,$a$ पर अवकलनीय नहीं है'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि एक फलन $f$,$a$ पर संतत नहीं है,तो वह $a$ पर अवकलनीय नहीं है'।

(C) $(S_{1}): (q \vee p) \rightarrow (p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए
यदि $p = T$ और $q = T$ है,तो $(T \vee T)$ $\rightarrow (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T$ $\rightarrow F = F$। चूंकि यह सभी सत्य मानों के लिए सत्य नहीं है,इसलिए $(S_{1})$ एक पुनरुक्ति नहीं है।
$(S_{2}): \sim q \wedge (\sim p \leftrightarrow q)$ के लिए
यदि $p = F$ और $q = F$ है,तो $\sim F \wedge (\sim F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge F = F$।
यदि $p = T$ और $q = F$ है,तो $\sim F \wedge (\sim T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge T = T$।
चूंकि यहाँ एक स्थिति ऐसी है जहाँ सत्य मान $T$ है,इसलिए $(S_{2})$ एक व्याघात नहीं है।
अतः,$(S_{1})$ और $(S_{2})$ दोनों गलत हैं।

(C) यह जांचने के लिए कि क्या कथन $(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$ एक पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।

$p$	$q$	$q \rightarrow p$	$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$	$p \vee q$	$p \rightarrow (p \vee q)$	$(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ (सत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।