Mathematical logic Questions in Hindi

(B) निहितार्थ $A \rightarrow B$ असत्य होता है यदि और केवल यदि $A$ सत्य है और $B$ असत्य है।
यहाँ,$A = [(p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
$B = (p \wedge q)$ के असत्य होने के लिए,$p$ या $q$ में से कम से कम एक का असत्य होना आवश्यक है।
$A$ के सत्य होने के लिए,सभी घटक $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
$(\sim r) = T$ से,हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \rightarrow r) = T$ में रखने पर,हमें $(q \rightarrow F) = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q = F$ है।
अब,$q = F$ को $(p \vee q) = T$ में रखने पर,हमें $(p \vee F) = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = T$ है।
$B = (p \wedge q) = (T \wedge F) = F$ की जाँच करने पर,यह शर्त को पूरा करता है।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(D) $1$. प्रत्येक कथन का सत्यता मान ज्ञात करें:
- $p$: आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,$(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$. चूँकि $AB \neq BA$,इसलिए $A^2 - B^2 \neq (A-B)(A+B)$. अतः,$p$ असत्य $(F)$ है।
- $q$: $5 \leqslant 5$ सत्य है। अतः,$q$ सत्य $(T)$ है।
- $r$: हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} { }^n C_k = 2^n$. यहाँ,${ }^8 C_0 + { }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 2^8 = 256$. चूँकि ${ }^8 C_0 = 1$,इसलिए योग ${ }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 256 - 1 = 255$. अतः,$r$ असत्य $(F)$ है।
- $s$: ${ }^n C_r$ का अधिकतम मान ${ }^n C_{n/2}$ होता है। $n=8$ के लिए,यह ${ }^8 C_4 = 70$ है। अतः,$s$ सत्य $(T)$ है।
$2$. सत्यता मान: $p=F, q=T, r=F, s=T$.
$3$. विकल्पों की जाँच करें:
- $D: (T \vee \sim F) \leftrightarrow (\sim F \wedge \sim F) = (T \vee T) \leftrightarrow (T \wedge T) = T \leftrightarrow T = T$.
अतः,विकल्प $D$ सत्य है।

(D) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
हम विकल्प $D$ का मूल्यांकन करते हैं: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$।
हम जानते हैं कि $(p \vee \sim p)$ एक पुनरुक्ति है (हमेशा सत्य,जिसे $T$ के रूप में दर्शाया जाता है)।
इस प्रकार,व्यंजक $(\sim q \wedge p) \vee T$ बन जाता है।
चूंकि कोई भी कथन $X \vee T$ हमेशा $T$ होता है,इसलिए पूरा व्यंजक एक पुनरुक्ति है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) चरण $1$: कथन $p$ का मूल्यांकन करें।
$2$ एक सम अभाज्य संख्या है। अतः,$p$ सत्य $(T)$ है।
चरण $2$: कथन $q$ का मूल्यांकन करें।
$z_1 = 2 - i$ और $z_2 = -2 + i$ दिया गया है,तो $\bar{z}_2 = -2 - i$.
$z_1 \bar{z}_2 = (2 - i)(-2 - i) = -4 - 2i + 2i + i^2 = -4 - 1 = -5$.
तब $\frac{1}{z_1 \bar{z}_2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} + 0i$.
काल्पनिक भाग $\operatorname{Im}\left[\frac{1}{z_1 \bar{z}_2}\right] = 0$.
चूंकि $0 \neq -\frac{1}{5}$,इसलिए कथन $q$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: कथन $r$ का मूल्यांकन करें।
$\tan(-945^{\circ}) = -\tan(945^{\circ}) = -\tan(2 \times 360^{\circ} + 225^{\circ}) = -\tan(225^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.
अतः,$r$ सत्य $(T)$ है।
चरण $4$: विकल्पों की जाँच करें।
$p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $(T$ $\rightarrow F) \leftrightarrow (F \wedge T)$ $\Rightarrow F \leftrightarrow F = T$.
$(B)$ $F \leftrightarrow T = F$.
$(C)$ $T \rightarrow F = F$.
$(D)$ $(T$ $\rightarrow T) \leftrightarrow F$ $\Rightarrow T \leftrightarrow F = F$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) परिपथ में स्विच $s_1$,$s_1'$ और $s_2'$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो फिर $s_2$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $p \wedge (\sim p \vee \sim q) \wedge q$ के रूप में दर्शाया गया है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $p \wedge ((\sim p \vee \sim q) \wedge q) = p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee (\sim q \wedge q))$।
चूंकि $(\sim q \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction,$F$) है,इसलिए हमें $p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee F) = p \wedge (\sim p \wedge q)$ प्राप्त होता है।
साहचर्य नियम द्वारा: $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$।
चूंकि प्रतीकात्मक रूप एक व्याघात $(F)$ में सरल हो जाता है,इसलिए लैंप हमेशा बंद रहता है।

(C) माना कि दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
याद रखें कि निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = (p \vee \sim q)$ है।
अतः,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee \sim q) = (\sim p \wedge \sim (\sim q)) = (\sim p \wedge q)$।
इस प्रकार,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों द्वारा,$\sim S = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$।
चूंकि $(p \wedge \sim p) = F$ (एक व्याघात) और $(\sim q \wedge q) = F$,इसलिए $\sim S = F \wedge F = F$।
जो कथन हमेशा गलत होता है उसे व्याघात कहा जाता है।

(C) माना $p$: काम समय पर पूरा हो जाता है।
माना $q$: ठेकेदार मुसीबत में है।
$\text{कथन}-I$ है $\sim p \rightarrow q$।
तार्किक समतुल्यता $\sim p \rightarrow q \equiv p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\text{कथन}-I \equiv p \vee q$।
$\text{कथन}-II$ दिया गया है: या तो काम समय पर पूरा हो जाता है या ठेकेदार मुसीबत में है,जो $p \vee q$ है।
चूंकि $\text{कथन}-I \equiv p \vee q$ और $\text{कथन}-II \equiv p \vee q$,इसलिए दोनों कथन समतुल्य हैं।

(C) कथन $p \vee \sim(q \wedge r)$ असत्य है यदि और केवल यदि वियोजन (disjunction) के दोनों घटक असत्य हों।
इसलिए,$p = F$ और $\sim(q \wedge r) = F$ है।
चूंकि $\sim(q \wedge r) = F$,इसका अर्थ है कि $(q \wedge r) = T$ है।
संयोजन $(q \wedge r)$ के सत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का सत्य होना आवश्यक है।
अतः,$q = T$ और $r = T$ है।
इसलिए,सत्यता मान $p = F, q = T, r = T$ हैं।

(D) दिए गए परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \land q) \lor (p \land r)$ है।
तर्कशास्त्र के वितरण नियम (Distributive law) के अनुसार,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$ होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
परिपथ $(i)$ का मान $(p \land q) \lor (p \land r)$ है।
परिपथ $(iii)$ का मान $p \land (q \lor r)$ है।
चूंकि $(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$,इसलिए परिपथ $(i)$ और $(iii)$ समतुल्य हैं।

(B) कथन $p \rightarrow (\sim q \wedge r)$ का प्रतिधनात्मक $\sim (\sim q \wedge r) \rightarrow \sim p$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,यह $(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ के समतुल्य है।
प्रतिधनात्मक का निषेध $\sim [(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p]$ है।
तार्किक समतुल्यता $\sim (A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें $(q \vee \sim r) \wedge \sim (\sim p)$ प्राप्त होता है।
यह $(q \vee \sim r) \wedge p$ के रूप में सरल हो जाता है।

(C) मान लीजिए $p$ का अर्थ है स्विच $S_1$ बंद है,$q$ का अर्थ है स्विच $S_2$ बंद है,और $r$ का अर्थ है स्विच $S_3$ बंद है।
तब $\sim p$ का अर्थ है स्विच $S_1'$ बंद है,$\sim q$ का अर्थ है स्विच $S_2'$ बंद है,और $\sim r$ का अर्थ है स्विच $S_3'$ बंद है।
दिया गया कथन $(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ है।
यह समानांतर क्रम में जुड़ी दो मुख्य शाखाओं को दर्शाता है:
$1$. पहली शाखा $(p \wedge q)$ है,जो श्रेणी क्रम में स्विच $S_1$ और $S_2$ के अनुरूप है।
$2$. दूसरी शाखा $(\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ है,जो स्विच $S_1'$ के साथ श्रेणी क्रम में स्विच $S_2'$,$S_1$,और $S_3$ के समानांतर संयोजन के अनुरूप है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया सर्किट आरेख इस विवरण से मेल खाता है।

(C) चरण $1$: परिभाषाओं को पहचानें: एक विरोधाभास (contradiction) हमेशा गलत होता है,एक पुनरुक्ति (tautology) हमेशा सत्य होती है,और एक आकस्मिकता (contingency) अपने घटकों के सत्य मानों के आधार पर सत्य या गलत हो सकती है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन करें: $p \wedge \sim p$ हमेशा गलत है (विरोधाभास)।
चरण $3$: विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन करें: $p \vee \sim p$ हमेशा सत्य है (पुनरुक्ति)।
चरण $4$: विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करें: $p$ और $q$ के सत्य मानों के आधार पर $p \vee q$ सत्य या गलत हो सकता है। अतः,यह एक आकस्मिकता है।
चरण $5$: विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन करें: $(p \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow q$ एक पुनरुक्ति है।
अंतिम उत्तर: $C$)

(C) हम तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ और डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\sim[(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)]$
प्रतिबंधात्मक नियम लागू करने पर: $\sim[\sim(p \vee \sim q) \vee (p \wedge \sim q)]$
डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$
पुनः डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
दिया गया है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
इसका अर्थ है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ और $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ से,हमें $\sim p \equiv F$ और $q \equiv F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p \equiv T$ और $q \equiv F$.
अब इन मानों को पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
इसके लिए $T \wedge r \equiv T$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $r \equiv T$.
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = T$ हैं।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim r \wedge \sim q)]$ (क्रमविनिमेय नियम)
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (r \vee q)]$ (डी मॉर्गन का नियम)
$\equiv p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$ (वितरण नियम)
$\equiv p \wedge T$ (पूरक नियम)
$\equiv p$ (तत्समक नियम)

(B) दिए गए सत्यता मान: $p = F, q = T, r = F$.
प्रथम कथन पैटर्न $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ के लिए:
$(F \wedge \sim T) \rightarrow F$
$= (F \wedge F) \rightarrow F$
$= F \rightarrow F$
$= T$.
द्वितीय कथन पैटर्न $(p \vee q) \rightarrow r$ के लिए:
$(F \vee T) \rightarrow F$
$= T \rightarrow F$
$= F$.
अतः,सत्यता मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं.

(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का विलोम (converse) $B \rightarrow A$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $[p \wedge (\sim q)] \rightarrow r$ के लिए,इसका विलोम $r \rightarrow [p \wedge (\sim q)]$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ केवल तब असत्य $(F)$ होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge q)$ सत्य $(T)$ हो और परिणामी $(\sim q \vee r)$ असत्य $(F)$ हो।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(\sim q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$\sim q$ और $r$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $q$ सत्य है,इसलिए $\sim q$ असत्य है। $r$ के असत्य होने के लिए,$r$ का मान $F$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = T, r = F$ हैं।

(B) तर्कशास्त्र में,एक निहितार्थ $p \rightarrow q$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
$(A)$ मान लीजिए $p: 3+3=7$ (असत्य) और $q: 4+3=8$ (असत्य)। चूँकि $p$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ सत्य है।
$(B)$ मान लीजिए $p: 5+3=8$ (सत्य) और $q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूँकि $p$ सत्य है और $q$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ असत्य है।
$(C)$ मान लीजिए $p: (A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं (असत्य,क्योंकि $B$ असत्य है) और $q: 5+6=17$ (असत्य)। चूँकि $p$ असत्य है,इसलिए $p \rightarrow q$ सत्य है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।

(A) माना $p$: घोड़ों के पंख होते हैं।
माना $q$: कौवों की पूंछ होती है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
द्वि-प्रतिबंधक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ होता है।
इसका अर्थ है: 'घोड़ों के पंख होते हैं और कौवों की पूंछ नहीं होती है,या कौवों की पूंछ होती है और घोड़ों के पंख नहीं होते हैं।'
अतः सही विकल्प $A$ है।

(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ के रूप में परिभाषित होता है।
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ के लिए,प्रतिलोम $\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r)$ है।
तार्किक समतुल्यता के नियम के अनुसार,$\sim A$ $\rightarrow \sim B \equiv B$ $\rightarrow A$ होता है।
यहाँ $A = p$ और $B = (q \rightarrow r)$ लेने पर,
$\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r) \equiv (q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिलोम $(q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ के समतुल्य है।

(D) माना $p$ : भुगतान किया जाएगा।
माना $q$ : कार्य समय पर पूरा हो जाता है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है,जो $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ के समतुल्य है।
इस कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q)$ है,जो $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ के समतुल्य है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और कार्य समय पर पूरा नहीं होता है,या कार्य समय पर पूरा हो जाता है और भुगतान नहीं किया जाता है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) तार्किक कथन $A \rightarrow B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
दिया गया है कि $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q) \equiv F$ है।
इसका अर्थ है कि $(p \wedge \sim r) \equiv T$ और $(\sim p \vee q) \equiv F$ है।
$(\sim p \vee q) \equiv F$ से,हमें $\sim p \equiv F$ और $q \equiv F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p \equiv T$ और $q \equiv F$ है।
$p \equiv T$ को $(p \wedge \sim r) \equiv T$ में रखने पर,हमें $(T \wedge \sim r) \equiv T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sim r \equiv T$,अतः $r \equiv F$ है।
इस प्रकार,सत्यता मान $p=T, q=F, r=F$ हैं।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) माना $p: 3$ एक अभाज्य संख्या है।
माना $q: 3$ विषम है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है।
अतः,विलोम है: "यदि $3$ विषम है,तो $3$ एक अभाज्य संख्या है।"

(D) सबसे पहले,व्यंजक $((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q))$ को सरल करें।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$T \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
अतः,व्यंजक $\sim p \wedge \sim q$ के समतुल्य है।

(B) कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है $p$: एक आदमी न्यायाधीश है,इसलिए $\sim p$: एक आदमी न्यायाधीश नहीं है।
दिया गया है $q$: वह ईमानदार है,इसलिए $\sim q$: वह ईमानदार नहीं है।
अतः,प्रतिलोम है: यदि एक आदमी न्यायाधीश नहीं है,तो वह ईमानदार नहीं है।

(D) दिया गया है $r: q \vee \sim p$.
तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$q \vee \sim p \equiv \sim p \vee q$.
कॉन्ट्रापॉजिटिव नियम के अनुसार,$\sim p \vee q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$.
इसे शब्दों में अनुवाद करने पर:
$\sim q$: $X$ एक समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है।
$\sim p$: $X$ एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।
इस प्रकार,$\sim q \rightarrow \sim p$ का अर्थ है: "यदि $X$ एक समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है,तो $X$ एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) तर्क के नियमों का उपयोग करके हम तार्किक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(C) मान लीजिए $p$ कथन है: 'दो संख्याएँ समान नहीं हैं'।
मान लीजिए $q$ कथन है: 'उनके वर्ग समान नहीं हैं'।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है: 'दो संख्याओं के वर्ग समान हैं'।
और $\sim p$ है: 'संख्याएँ समान हैं'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि दो संख्याओं के वर्ग समान हैं,तो संख्याएँ समान हैं'।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $p$: 'दो संख्याएँ समान हैं' और $q$: 'उनके वर्ग समान हैं'।
अतः,प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ है: 'यदि दो संख्याओं के वर्ग समान नहीं हैं,तो संख्याएँ समान नहीं हैं'.

(C) सबसे पहले,कथनों के सत्यता मान निर्धारित करें:
$p$: $2$ और $100$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $25$ हैं,$26$ नहीं। अतः,$p$ का मान $F$ है।
$q$: शून्य $(0)$ को $0 + 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक सम्मिश्र संख्या है। अतः,$q$ का मान $T$ है।
$r$: $6$ और $7$ का ल.स.प. $42$ है,$6$ नहीं। अतः,$r$ का मान $F$ है।
अब विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (F \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv F$ $\rightarrow F \equiv T$.
$(B)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p \vee q) \leftrightarrow r \equiv (F \vee T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(D)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (T$ $\rightarrow F) \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम (inverse) $\sim A \rightarrow \sim B$ होता है।
$p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ के लिए,इसका प्रतिलोम $\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ है।
एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim B \rightarrow \sim A$ होता है।
अतः,$\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक होगा:
$\sim [\sim (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow \sim (\sim p)$
$= (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$
चूंकि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,इसलिए व्यंजक $(\sim p \vee q) \rightarrow p$ हो जाता है।

(B) वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),व्यंजक $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ हो जाता है।
तत्समक नियम द्वारा,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
तार्किक तुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करके,हम $\sim p \vee \sim q$ को $p \rightarrow (\sim q)$ के रूप में लिख सकते हैं।

(A) कथन $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
स्तंभ $5$ और स्तंभ $6$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $p$ और $q$ के सभी संयोजनों के लिए सत्यता मान समान हैं।
अतः,$\sim(p \leftrightarrow \sim q) \equiv p \leftrightarrow q$.

(A) दिया गया है कि $p \rightarrow r$ का सत्य मान $F$ है,इसलिए $p \equiv T$ और $r \equiv F$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $p \leftrightarrow q$ का सत्य मान $F$ है,और हम जानते हैं कि $p \equiv T$,इसलिए $q \equiv F$ होगा।
अब,पहले व्यंजक का मूल्यांकन करें: $(\sim p \vee q) \rightarrow (p \vee \sim q)$
$= (\sim T \vee F) \rightarrow (T \vee \sim F)$
$= (F \vee F) \rightarrow (T \vee T)$
$= F \rightarrow T \equiv T$.
अब,दूसरे व्यंजक का मूल्यांकन करें: $(p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$
$= (T \wedge \sim F) \rightarrow (\sim T \wedge F)$
$= (T \wedge T) \rightarrow (F \wedge F)$
$= T \rightarrow F \equiv F$.
अतः,सत्य मान $T, F$ हैं।

(C) कथन $(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = (p \wedge q)$ और $B = (\sim p \vee r)$ है।
तब,$\sim(A \rightarrow B) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$\sim(\sim p \vee r) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim r \equiv p \wedge \sim r$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r)$ बन जाता है।
साहचर्य और वर्गसम नियमों द्वारा,$(p \wedge q) \wedge p \wedge \sim r \equiv p \wedge q \wedge \sim r$ होता है।

(B) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$
$\equiv \sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$\equiv \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$\equiv \sim(T) \vee(F)$
$\equiv F \vee F \equiv F$
$b: (\sim q \wedge \sim r) \leftrightarrow(p \vee s)$
$\equiv (\sim T \wedge \sim F) \leftrightarrow(T \vee F)$
$\equiv (F \wedge T) \leftrightarrow(T)$
$\equiv F \leftrightarrow T \equiv F$
$c: (\sim p \vee q) \rightarrow(r \wedge \sim s)$
$\equiv (\sim T \vee T) \rightarrow(F \wedge \sim F)$
$\equiv (F \vee T) \rightarrow(F \wedge T)$
$\equiv T \rightarrow F \equiv F$
अतः,सत्यता मान $F, F, F$ हैं।

(C) हम तार्किक व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ का विश्लेषण करते हैं।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष पर विचार करें: $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$।
निहितार्थ नियम $A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg p \vee (\neg q \vee r)$।
साहचर्य नियम (associative law) के अनुसार,यह $(\neg p \vee \neg q) \vee r$ के समतुल्य है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\neg p \vee \neg q \equiv \neg (p \wedge q)$।
अतः,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg (p \wedge q) \vee r$।
पुनः,निहितार्थ नियम का उपयोग करते हुए,$\neg (p \wedge q) \vee r \equiv (p \wedge q) \rightarrow r$।
चूंकि द्वि-प्रतिबंधात्मक (biconditional) के दोनों पक्ष तार्किक रूप से समतुल्य हैं,इसलिए व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ हमेशा सत्य है।
इसलिए,यह एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(A) हमें कथन $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करने की आवश्यकता है।
निषेध ऑपरेटर लागू करने पर:
$\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$:
$\equiv s \wedge \sim (\sim r \wedge s)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$:
$\equiv s \wedge (r \vee \sim s)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$:
$\equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$s \wedge \sim s \equiv F$:
$\equiv (s \wedge r) \vee F$
तत्समक नियम का उपयोग करते हुए,$p \vee F \equiv p$:
$\equiv s \wedge r$

(D) दिया गया है कि $p = T$,$q = T$,$r = F$,और $s = F$ है।
प्रथम कथन पैटर्न $(p \wedge q) \vee r$ के लिए:
$(T \wedge T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$।
द्वितीय कथन पैटर्न $(p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ के लिए:
$(T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F) \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$।
अतः,सत्यता मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं।

(B) हम तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हैं।
$p \rightarrow \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q$
$\equiv \sim p \vee q$

(C) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \leftrightarrow \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अतः,$(p \leftrightarrow \sim q) \equiv T$ और $(\sim p \wedge q) \equiv F$।
विकल्प $C$ $(p=T, q=F)$ की जाँच करने पर:
$\sim q = \sim F = T$।
तब $(p \leftrightarrow \sim q) = (T \leftrightarrow T) = T$।
और $(\sim p \wedge q) = (\sim T \wedge F) = (F \wedge F) = F$।
चूंकि पूर्ववर्ती $T$ है और परिणामी $F$ है,इसलिए कथन $T \rightarrow F = F$ होता है।
अतः,$p=T$ और $q=F$ है।

(D) मान लीजिए $p$ कथन है: "$x$ और $y$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $x y$ विषम है"।
मान लीजिए $q$ कथन है: "$x$ और $y$ दोनों विषम हैं"।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है "$x$ और $y$ दोनों विषम नहीं हैं"।
$\sim p$ का अर्थ है "$x y$ विषम नहीं है"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है "यदि $x$ और $y$ दोनों विषम नहीं हैं,तो $x y$ विषम नहीं है"।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।