Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) આપેલ પદાવલિ $x \leftrightarrow \sim y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \leftrightarrow q \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$.
તેથી,$x \leftrightarrow \sim y \equiv (x$ $\rightarrow \sim y) \wedge (\sim y$ $\rightarrow x)$.
નિત્યસમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x \leftrightarrow \sim y \equiv (\sim x \vee \sim y) \wedge (y \vee x)$.
હવે,આપણે નિષેધ શોધીએ:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim((\sim x \vee \sim y) \wedge (x \vee y))$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim(\sim x \vee \sim y) \vee \sim(x \vee y)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv (x \wedge y) \vee (\sim x \wedge \sim y)$.

(B) શરતી વિધાન $(p \rightarrow q)$ નું પ્રતિ-ધન $(\sim q \rightarrow \sim p)$ છે.
અહીં,$p$ એ "$n^{3}-1$ બેકી છે" અને $q$ એ "$n$ એકી છે" તેવું વિધાન છે.
નકાર $\sim q$ એ "$n$ એકી નથી" એટલે કે "$n$ બેકી છે" થાય.
નકાર $\sim p$ એ "$n^{3}-1$ બેકી નથી" એટલે કે "$n^{3}-1$ એકી છે" થાય.
તેથી,પ્રતિ-ધન વિધાન છે: "પૂર્ણાંક $n$ માટે,જો $n$ બેકી હોય,તો $n^{3}-1$ એકી છે."

(C) આપેલ પદાવલિ: $p \vee (\sim p \wedge q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee (\sim p \wedge q) = (p \vee \sim p) \wedge (p \vee q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) = T$ (નિત્યસત્ય):
$= T \wedge (p \vee q) = p \vee q$
હવે,$(p \vee q)$ નું નિષેધ શોધતા:
$\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે દરેક ચરણમાં બહારની સંખ્યાઓ $(a, b)$ છે અને અંદરની સંખ્યા $k$ છે. પેટર્ન $k = (a - b)^{n!}$ છે,જ્યાં $n$ એ ચરણ સાથે સંબંધિત સૂચકાંક છે.
પ્રથમ ચરણ માટે: $(2 - 1)^{1!} = 1^{1} = 1$.
બીજા ચરણ માટે: $(12 - 8)^{4!} = 4^{24}$.
ત્રીજા ચરણ માટે: $(7 - 4)^{3!} = 3^{6}$.
ચોથા ચરણ માટે: $(5 - 3)^{2!} = 2^{2} = 4$.
આમ,ખૂટતી કિંમત $4$ છે.

(A) આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ કે કઈ પદાવલિ નિત્યસત્ય $(t)$ આપે છે:
વિકલ્પ $A$: $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$= \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee t$
$= t$ (આ નિત્યસત્ય છે).
વિકલ્પ $B$: $(p \wedge q) \wedge (p \vee q) = (p \wedge q)$ (નિત્યસત્ય નથી).
વિકલ્પ $C$: $(p \wedge q) \vee (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ (નિત્યસત્ય નથી).
વિકલ્પ $D$: $(p \wedge q) \wedge (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) = p \wedge q$ (નિત્યસત્ય નથી).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ચાલો બધા વિકલ્પો માટે પૂર્વગ $((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q)$ ને સરળ બનાવીએ:
$((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q) \equiv ((\sim P \vee Q) \wedge \sim Q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim P \wedge \sim Q) \vee (Q \wedge \sim Q)$
કારણ કે $(Q \wedge \sim Q) \equiv F$,તેથી આપણને $(\sim P \wedge \sim Q) \vee F \equiv \sim P \wedge \sim Q$ મળે છે.
હવે,દરેક વિકલ્પ તપાસો:
$(A) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow Q \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee Q \equiv (P \vee Q) \vee Q \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
$(B) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow \sim P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee \sim P \equiv (P \vee Q) \vee \sim P \equiv (P \vee \sim P) \vee Q \equiv T \vee Q \equiv T$ (નિત્યસત્ય છે)
$(C) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee P \equiv (P \vee Q) \vee P \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
$(D) (\sim P \wedge \sim Q) \Rightarrow (P \wedge Q) \equiv (P \vee Q) \vee (P \wedge Q) \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિધાન $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેને તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવીએ:
$[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$
$= [A \wedge (\sim A \vee B)] \rightarrow B$
$= [(A \wedge \sim A) \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= [F \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= (A \wedge B) \rightarrow B$
$= \sim (A \wedge B) \vee B$
$= (\sim A \vee \sim B) \vee B$
$= \sim A \vee (\sim B \vee B)$
$= \sim A \vee T$
$= T$
અંતિમ પરિણામ $T$ (નિત્યસત્ય) હોવાથી,વિધાન $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ એ નિત્યસત્ય છે.

(D) આપેલ વિધાન $A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ મુજબ:
$\equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B$
$\equiv T \vee \sim B \equiv T$ (નિત્યસત્ય).
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ એ $A \rightarrow (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
આમ,મૂળ પદ અને વિકલ્પ $D$ બંને નિત્યસત્ય હોવાથી,તે સમકક્ષ છે.

(B) કોઈ વિધાન સ્વયંસત્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ.
વિધાન $(a)$ માટે: $(\sim q \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow \sim p$
(સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,તમામ કિંમતો $T$ મળે છે,તેથી $(a)$ સ્વયંસત્ય છે.)
વિધાન $(b)$ માટે: $((p \vee q) \wedge \sim p) \rightarrow q$
(સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,તમામ કિંમતો $T$ મળે છે,તેથી $(b)$ પણ સ્વયંસત્ય છે.)
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સ્વયંસત્ય છે.

(B) આપણે વિધાન $\sim p \wedge (p \vee q)$ નું નકારાત્મક શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim p \wedge (p \vee q)) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim (p \vee q)$.
ડબલ નેગેશન અને ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee (\sim p \wedge \sim q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \vee \sim p) \wedge (p \vee \sim q)$.
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ (નિરર્થક વિધાન),તેથી $T \wedge (p \vee \sim q)$.
તેથી,પરિણામ $p \vee \sim q$ છે.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અહીં,વિધાન $p$ એ "તમે કામ કરશો" છે અને $q$ એ "તમે પૈસા કમાશો" છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ એ "જો તમે પૈસા નહીં કમાશો,તો તમે કામ નહીં કરો" થાય છે.

(C) $F_{1}(A, B, C) = (A \wedge \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)] \vee \sim A$ માટે:
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{1} = [(A \wedge \sim B) \vee \sim A] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = [(A \vee \sim A) \wedge (\sim B \vee \sim A)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
કારણ કે $(A \vee \sim A) = t$ (સ્વયંસત્ય):
$F_{1} = [t \wedge (\sim A \vee \sim B)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = (\sim A \vee \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$.
આ પદાવલિ $A, B, C$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્વયંસત્ય નથી.
$F_{2}(A, B) = (A \vee B) \vee (B \rightarrow \sim A)$ માટે:
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $(P \rightarrow Q) = (\sim P \vee Q)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F_{2} = (A \vee B) \vee (\sim B \vee \sim A)$
ક્રમના અને જૂથના નિયમો દ્વારા:
$F_{2} = (A \vee \sim A) \vee (B \vee \sim B)$
$F_{2} = t \vee t = t$.
આમ,$F_{2}$ સ્વયંસત્ય છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં,$A = (p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)$ અને $B = (p \wedge q)$.
$B = (p \wedge q)$ અસત્ય હોવા માટે,$p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
$A$ સત્ય હોવા માટે,તમામ ઘટકો $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,અને $(\sim r)$ સત્ય હોવા જોઈએ.
$(\sim r)$ સત્ય હોવાથી,$r$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
$(q \rightarrow r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે,તેથી $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
$(p \vee q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે,તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p=T, q=F, r=F$ છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $p=T, q=F, r=F$ લેતા $A = (T \vee F) \wedge (F \rightarrow F) \wedge (\sim F) = T \wedge T \wedge T = T$ અને $B = (T \wedge F) = F$.
$T \rightarrow F$ અસત્ય હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) $(S1)$ માટે: $(p$ $\rightarrow q) \vee (\sim q$ $\rightarrow p)$
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $(a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sim p \vee q) \vee (q \vee p)$
$= (q \vee \sim p) \vee (q \vee p) = q \vee (\sim p \vee p) = q \vee t = t$.
આમ,$(S1)$ એ નિત્યસત્ય છે.
$(S2)$ માટે: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(\sim p \vee q) \equiv \sim (p \wedge \sim q)$.
તેથી,$(S2) = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q) = C$ (વ્યાઘાત).
આમ,$(S1)$ અને $(S2)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે વિધાન $S = (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r))$ $\rightarrow r$ છે.
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r)) \vee r$
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \wedge B \wedge C) \equiv \sim A \vee \sim B \vee \sim C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim p \vee \sim (p$ $\rightarrow q) \vee \sim (q$ $\rightarrow r) \vee r$
$\sim (a \rightarrow b) \equiv a \wedge \sim b$ હોવાથી:
$S \equiv \sim p \vee (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
વિભાજનના નિયમ $\sim p \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
સાહચર્ય અને વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge (\sim r \vee r)$
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge T$
$S \equiv \sim p \vee (\sim q \vee q) \vee r$
$S \equiv \sim p \vee T \vee r \equiv T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge q) \Rightarrow ((r \wedge q) \wedge p)$
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge q) \wedge p)$
સાહચર્ય અને ક્રમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge p) \wedge (p \wedge q))$
વિભાજનના નિયમ $X \vee (Y \wedge Z) \equiv (X \vee Y) \wedge (X \vee Z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge (\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge q))$
કારણ કે $\sim A \vee A \equiv t$ (પુનરુક્તિ):
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge t$
$\equiv \sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)$
ફરીથી ગર્ભિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$(p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge p)$

(C) આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિ $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$ ચકાસીએ:

$p, q$	$p \wedge \sim q$	$p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$
$T, T$	$F$	$T$	$T$
$T, F$	$T$	$T$	$T$
$F, T$	$F$	$T$	$T$
$F, F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ હોવાથી,જ્યારે $* = \wedge$ અને $\square = \vee$ હોય ત્યારે આ પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.

(A) ગર્ભિત વિધાન $A \Rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\sim((p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)) = (p \vee r) \wedge \sim(q \vee r)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(q \vee r) = (\sim q \wedge \sim r)$.
તેથી,પદ $(p \vee r) \wedge (\sim q \wedge \sim r)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $((p \vee r) \wedge \sim r) \wedge \sim q$ છે.
કારણ કે $(p \vee r) \wedge \sim r = (p \wedge \sim r) \vee (r \wedge \sim r) = (p \wedge \sim r) \vee F = p \wedge \sim r$.
આમ,અંતિમ પદ $(p \wedge \sim r) \wedge \sim q$ છે,જે $p \wedge \sim q \wedge \sim r$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ (implication) $p \rightarrow q$ એ $\sim p \vee q$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,ગર્ભિતાર્થનું નિષેધ (negation) નીચે મુજબ છે:
$\sim(p \rightarrow q) \equiv \sim(\sim p \vee q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
આમ,$p \wedge \sim q$ એ $\sim(p \rightarrow q)$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ બુલિયન પદાવલિને તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવતા:
આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (q \vee \sim p)$
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim p)$
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee \sim p)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ મુજબ:
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee q$
કારણ કે $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$,તેથી આ પદાવલિ $p \Rightarrow q$ ને સમકક્ષ છે.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં,શરતી વિધાન $P \rightarrow Q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $P$ સાચું હોય અને $Q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
વિધાન $(A)$: $P: 3+3=7$ (ખોટું),$Q: 4+3=8$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$: $P: 5+3=8$ (સાચું),$Q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $P$ સાચું અને $Q$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ ખોટું છે.
વિધાન $(C)$: $P: (A) \text{ સાચું છે અને } (B) \text{ સાચું છે}$ (ખોટું,કારણ કે $(B)$ ખોટું છે),$Q: 5+6=17$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(B)$ ખોટું છે,અને $(C)$ સાચું છે.

(A) દરેક પદાવલિને $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ચકાસીએ:
$A) (\sim p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv p \vee q$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે તે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.
$B) (q$ $\Rightarrow p) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim q \vee p) \vee (q \vee p) \equiv (\sim q \vee q) \vee p \equiv T \vee p \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
$C) (p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
$D) (p$ $\Rightarrow \sim q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee q) \equiv T \vee T \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ માં આપેલી પદાવલિ નિત્યસત્ય નથી.

(D) આપણને પદાવલિ $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ આપેલ છે.
તાર્કિક સમતુલ્યતા $(A \Rightarrow B) \equiv (\sim A \vee B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
ક્રમનો નિયમ વાપરતા,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા,આપણે $(\sim p \vee)$ ને સામાન્ય કાઢીએ:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
કારણ કે $(q \wedge \sim q)$ એ વિરોધાભાસ (હંમેશા અસત્ય) છે,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\sim p \vee F \equiv \sim p$
તેથી,આ પદાવલિ $\sim p$ ને સમતુલ્ય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ વિધાન "હવામાન સારું છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "મેદાન ભીનું નથી" છે.
ધારો કે $r$ એ વિધાન "મેચ રમાશે" છે.
આપેલ વિધાન $r \implies (p \wedge q)$ છે.
$r \implies (p \wedge q)$ નું નકાર $\sim(r \implies (p \wedge q)) \equiv r \wedge \sim(p \wedge q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
આમ,નકાર "મેચ રમાશે અને (હવામાન સારું નથી અથવા મેદાન ભીનું છે)" છે.

(B) સંયુક્ત વિધાન $(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવતા:

$P$	$Q$	$P \vee Q$	$\sim P$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P)$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$
$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$

અંતિમ સ્તંભ દર્શાવે છે કે આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.
વિકલ્પ $B$ એ $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ છે. કારણ કે $\sim(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \sim Q$,તેથી $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ પણ નિત્યસત્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન વિકલ્પ $B$ ને સમકક્ષ છે.

(C) ધારો કે વિધાન $P$ છે: "દરેક $M > 0$ માટે,એવો $x \in S$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x \geq M$."
ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચેના નિયમોને અનુસરે છે:
$1$. "દરેક માટે" $(\forall)$ નું નકારાત્મક "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" $(\exists)$ થાય છે.
$2$. "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" $(\exists)$ નું નકારાત્મક "દરેક માટે" $(\forall)$ થાય છે.
$3$. $x \geq M$ નું નકારાત્મક $x < M$ થાય છે.
$P$ પર આ નિયમો લાગુ પાડતા:
$\sim P$: "એવો $M > 0$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી દરેક $x \in S$ માટે,$x < M$."
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P \rightarrow B$ છે,જ્યાં $P = (A \wedge C)$ છે.
આ વિધાન $(A \wedge C) \rightarrow B$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $P \rightarrow Q$ નું નકાર $P \wedge (\sim Q)$ થાય છે.
અહીં,$P = (A \wedge C)$ અને $Q = B$ છે.
તેથી,નકાર $(A \wedge C) \wedge (\sim B)$ થાય.

(B) ધારો કે વિધાન $S$ એ $(p \Delta q) \Rightarrow ((p \Delta \sim q) \vee ((\sim p) \Delta q))$ છે.
દરેક કારક (operator) માટે ચકાસણી કરતા:
$1$. જો $\Delta = \wedge$ હોય,તો તે નિત્યસત્ય નથી.
$2$. જો $\Delta = \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \Rightarrow (T) = T$,જે નિત્યસત્ય છે.
$3$. જો $\Delta = \Rightarrow$ હોય,તો તે તમામ સત્યતા મૂલ્યો માટે નિત્યસત્ય સાબિત થાય છે.
$4$. જો $\Delta = \Leftrightarrow$ હોય,તો તે નિત્યસત્ય નથી.
આમ,કુલ $2$ પસંદગીઓ શક્ય છે: $\vee$ અને $\Rightarrow$.

(C) ધારો કે આપેલ અભિવ્યક્તિ $S = ((\sim q) \wedge p) \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S \equiv \sim((\sim q) \wedge p) \vee ((\sim p) \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim((\sim q) \wedge p) \equiv q \vee (\sim p)$.
તેથી,$S \equiv (q \vee \sim p) \vee (\sim p \vee q) \equiv \sim p \vee q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$.
તેથી,અભિવ્યક્તિનું નિષેધ $\sim(p \Rightarrow q)$ છે.

(C) આપેલ છે કે વિધાન $p \rightarrow ((\sim p) \vee q)$ એ $FALSE$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $FALSE$ હોય જ્યારે $A$ એ $TRUE$ હોય અને $B$ એ $FALSE$ હોય.
તેથી,$p$ એ $TRUE$ હોવું જોઈએ અને $((\sim p) \vee q)$ એ $FALSE$ હોવું જોઈએ.
$p$ એ $TRUE$ હોવાથી,$\sim p$ એ $FALSE$ છે.
$(\sim p \vee q)$ ને $FALSE$ થવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને $FALSE$ હોવા જોઈએ. આમ,$q$ એ $FALSE$ છે.
હવે,$p = TRUE, q = FALSE$ માટે $P_1$ અને $P_2$ નું મૂલ્યાંકન કરો:
$P_1 = \sim(p$ $\rightarrow \sim q) = \sim(T$ $\rightarrow \sim F) = \sim(T$ $\rightarrow T) = \sim(T) = FALSE$.
$P_2 = (p \wedge \sim q) \wedge ((\sim p) \vee q) = (T \wedge \sim F) \wedge ((\sim T) \vee F) = (T \wedge T) \wedge (F \vee F) = T \wedge F = FALSE$.
આમ,$P_1$ અને $P_2$ બંને $FALSE$ છે.

(C) કયું $r$ વિધાન $r \vee (\sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee r$ ને નિત્યસત્ય બનાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$r = \sim p$ માટે:
વિધાન $(\sim p \vee \sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\sim p \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ થાય છે.
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \vee \sim p$ એ $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ ને સમાન છે,જે $T \wedge (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ છે.
તેથી વિધાન $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ છે.
કારણ કે $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ એ $\neg(\sim p) \vee (\sim p \vee q) = p \vee \sim p \vee q = T \vee q = T$ ને સમાન છે,તેથી આ વિધાન નિત્યસત્ય છે.
આમ,$r = \sim p$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(p \nabla q) \Rightarrow ((p \nabla q) \nabla r)$ એ નિત્યસત્ય છે.
$Case-I$: જો $\nabla \equiv \wedge$ હોય,તો $(p \wedge q) \Rightarrow ((p \wedge q) \wedge r)$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જો $p=T, q=T, r=F$ હોય,તો પદાવલિ $T \Rightarrow F$ બને છે,જે $F$ છે.
$Case-II$: જો $\nabla \equiv \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \Rightarrow ((p \vee q) \vee r)$. આ નિત્યસત્ય છે કારણ કે જો પૂર્વગ $(p \vee q)$ એ $T$ હોય,તો ઉત્તરગ $((p \vee q) \vee r)$ પણ $T$ થાય છે.
કારણ કે $\nabla \equiv \vee$,આપણે $(p \nabla q) \Delta r$ એટલે કે $(p \vee q) \Delta r$ ની કિંમત શોધવાની છે.
જો $\Delta \equiv \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \vee r \equiv (p \vee r) \vee q$,જે વિકલ્પ $(A)$ એટલે કે $(p \Delta r) \vee q$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,પદાવલિ $(p \Delta r) \vee q$ ને તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(\sim(p \wedge q)) \vee q$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \vee \sim q) \vee q$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \vee (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) = t$ (નિત્યસત્ય),તેથી પદાવલિ $\sim p \vee t = t$ બને છે.
આમ,આ પદાવલિ એક નિત્યસત્ય છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$C. p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv t \vee q \equiv t$ (નિત્યસત્ય)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે આપેલા વિધાનો $C_1, C_2, \dots, C_9$ છે. આપણે $p, q, r, s$ માટે સત્ય મૂલ્યો ચકાસીએ.
જો આપણે $p=F, q=F, r=T, s=F$ લઈએ:
$C_1: F \vee T \vee F = T$
$C_2: F \vee F \vee T = T$
$C_3: F \vee T \vee F = T$
$C_4: T \vee F \vee F = T$
$C_5: T \vee F \vee T = T$
$C_6: T \vee F \vee T = T$
$C_7: F \vee T \vee T = T$
$C_8: F \vee F \vee T = T$
$C_9: T \vee T \vee T = T$
આ કિંમતો માટે તમામ $9$ વિધાનો સાચા છે.

(C) આપેલ છે $S_{1}: ((\sim p) \vee q) \vee ((\sim p) \vee r)$.
સાહચર્ય અને સ્વયંઘાતી નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$S_{1} \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
આપેલ છે $S_{2}: p \rightarrow (q \vee r)$.
શરતી નિયમ $p \rightarrow x \equiv \sim p \vee x$ નો ઉપયોગ કરતા,$S_{2} \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
કારણ કે $S_{1} \equiv S_{2}$,તેઓ હંમેશા સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,જો $S_{2}$ અસત્ય હોય,તો $S_{1}$ પણ અસત્ય હોવું જોઈએ.
આમ,વિધાન 'જો $S_{2}$ અસત્ય હોય,તો $S_{1}$ સત્ય છે' તે સાચું નથી.

(C) ધારો કે વિધાન $S = (p \vee q) \Rightarrow ((\sim r) \vee p)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p \vee q) \vee ((\sim r) \vee p)$
$S \equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim r \vee p)$
વિભાજનના નિયમ $(A \wedge B) \vee C \equiv (A \vee C) \wedge (B \vee C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv (\sim p \vee \sim r \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),આપણી પાસે છે:
$S \equiv (T \vee \sim r) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
$S \equiv T \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p) \equiv \sim q \vee \sim r \vee p$
હવે,$S$ નું નિષેધ $\sim (\sim q \vee \sim r \vee p)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \vee B \vee C) \equiv \sim A \wedge \sim B \wedge \sim C$:
$\sim S \equiv q \wedge r \wedge \sim p$
ગોઠવતા,આપણને $(\sim p) \wedge q \wedge r$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,પદાવલિ $(p \vee q) \Rightarrow q$ ને સરળ બનાવો:
$(p \vee q) \Rightarrow q \equiv \sim(p \vee q) \vee q$
$\equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee q$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge t \equiv \sim p \vee q$.
હવે,$(p \wedge q) \Delta (\sim p \vee q)$ માટે વિકલ્પો ચકાસો.
વિકલ્પ $C$ $(\Rightarrow)$ માટે:
$(p \wedge q) \Rightarrow (\sim p \vee q) \equiv \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee t \equiv t$.
પરિણામ નિત્યસત્ય હોવાથી,$\Delta$ એ $\Rightarrow$ છે.

(D) આપેલ વિધાનો:
$P$: રામુ બુદ્ધિશાળી છે
$Q$: રામુ અમીર છે
$R$: રામુ પ્રમાણિક નથી
"રામુ બુદ્ધિશાળી અને પ્રમાણિક છે જો અને માત્ર જો રામુ અમીર નથી" વિધાન $(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિધાનનું નિષેધ $\sim[(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q]$ છે.
નિત્યસમ $\sim(A \Leftrightarrow B) \equiv (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = (P \wedge \sim R)$ અને $B = \sim Q$:
$= ((P \wedge \sim R) \wedge \sim(\sim Q)) \vee (\sim Q \wedge \sim(P \wedge \sim R))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee \sim(\sim R)))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee R))$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જો કોઈ વિધાનના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે તેનું પરિણામ $T$ મળે,તો તેને નિત્યસત્ય કહેવાય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $q \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$.
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $A \Rightarrow B \equiv (\sim A) \vee B$ મુજબ,આ $(\sim q) \vee ((\sim p) \vee q)$ બને છે.
ક્રમના નિયમ મુજબ,આ $(\sim q \vee q) \vee (\sim p) = T \vee (\sim p) = T$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ નિત્યસત્ય છે.

(D) આપણે પદાવલિ $p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$ નું નિષેધ શોધવા માંગીએ છીએ.
ધારો કે $S = p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$.
ગુણધર્મ $\sim(A \Leftrightarrow B) = (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim S = (p \wedge \sim(q$ $\Rightarrow p)) \vee ((q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p)$.
હવે,પ્રથમ ભાગનું સાદું રૂપ આપતા: $p \wedge \sim(q \Rightarrow p) = p \wedge (q \wedge \sim p) = (p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ (જ્યાં $F$ એ વિરોધાભાસ છે).
બીજા ભાગનું સાદું રૂપ આપતા: $(q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p = (\sim q \vee p) \wedge \sim p = (\sim q \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim p) = (\sim p \wedge \sim q) \vee F = \sim p \wedge \sim q$.
આ બંનેને જોડતા,$\sim S = F \vee (\sim p \wedge \sim q) = \sim p \wedge \sim q$.

(C) આપેલ પદ $(\sim( p \Leftrightarrow \sim q )) \wedge q$ છે.
અહીં,$\sim( p \Leftrightarrow \sim q ) \equiv p \Leftrightarrow q$ થાય.
તેથી,આપેલ પદ $( p \Leftrightarrow q ) \wedge q$ બને છે.
આ પદનું સાદું રૂપ $p \wedge q$ થાય છે.

(D) ગર્ભિતાર્થ $X \rightarrow Y$ એ $F$ છે જો અને માત્ર જો $X$ એ $T$ હોય અને $Y$ એ $F$ હોય.
આપેલ છે કે $(P \wedge (\sim R)) \rightarrow ((\sim R) \wedge Q)$ એ $F$ છે,તેથી:
$P \wedge (\sim R) = T \implies P = T$ અને $\sim R = T \implies R = F$.
$(\sim R) \wedge Q = F$. કારણ કે $\sim R = T$,તેથી $Q = F$ હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $P = T, Q = F, R = F$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A) P \vee Q$ $\rightarrow \sim R = (T \vee F)$ $\rightarrow T = T$ $\rightarrow T = T$.
$(B) R \vee Q$ $\rightarrow \sim P = (F \vee F)$ $\rightarrow F = F$ $\rightarrow F = T$.
$(C) \sim(P \vee Q)$ $\rightarrow \sim R = \sim(T \vee F)$ $\rightarrow T = \sim T$ $\rightarrow T = F$ $\rightarrow T = T$.
$(D) \sim(R \vee Q)$ $\rightarrow \sim P = \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F = \sim F$ $\rightarrow F = T$ $\rightarrow F = F$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ વિધાન $F$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે: $(p \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q)) \equiv (\sim p)$.
જો આપણે $r = q$ લઈએ:
$(p \wedge q) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q))$.
જો $p = T$ હોય,તો $(T \wedge q) \Leftrightarrow (T \wedge (\sim q)) \equiv q \Leftrightarrow (\sim q)$,જે $F$ છે.
જો $p = F$ હોય,તો $(F \wedge q) \Leftrightarrow (F \wedge (\sim q)) \equiv F \Leftrightarrow F$,જે $T$ છે.
આ $(\sim p)$ ના સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$r = q$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) આપેલ વિધાનો છે:
$p$: રમેશ સંગીત સાંભળે છે.
$q$: રમેશ તેના ગામની બહાર છે.
$r$: તે રવિવાર છે.
$s$: તે શનિવાર છે.
આપણે "રમેશ સંગીત સાંભળે છે જો તે તેના ગામમાં હોય અને તે રવિવાર અથવા શનિવાર હોય" વિધાનનું ભાષાંતર કરવાનું છે.
$1$. "રમેશ તેના ગામમાં છે" એ "રમેશ તેના ગામની બહાર છે" નું નકાર છે,જે $\sim q$ છે.
$2$. "તે રવિવાર અથવા શનિવાર છે" એ $r \vee s$ છે.
$3$. "$p$ માત્ર જો $A$" એ તાર્કિક રીતે $p \Rightarrow A$ ને સમાન છે.
તેથી,વિધાન $p \Rightarrow ((\sim q) \wedge (r \vee s))$ બને છે.

(B) દરેક વિકલ્પને ચકાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $* = \vee, \odot = \vee$.
પદાવલિ $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q)$ બને છે.
ક્રમનો નિયમ અને જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
આથી,$(*, \odot) = (\vee, \vee)$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) આપેલ વિધાન: $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$
નિત્યસમ $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
$= \sim p \vee (q \vee r)$
$= p \Rightarrow (q \vee r)$
આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
હવે અન્ય વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A): (p \wedge \sim r)$ $\Rightarrow q
\equiv \sim(p \wedge \sim r) \vee q
\equiv (\sim p \vee r) \vee q
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (સમતુલ્ય છે)
વિકલ્પ $(D): (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow r
\equiv \sim(p \wedge \sim q) \vee r
\equiv (\sim p \vee q) \vee r
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (સમતુલ્ય છે)
વિકલ્પ $(B): (\sim q)$ $\Rightarrow ((\sim r) \vee p)
\equiv \sim(\sim q) \vee (\sim r \vee p)
\equiv q \vee \sim r \vee p
\equiv p \vee q \vee \sim r$. (જે $p \Rightarrow (q \vee r)$ ને સમતુલ્ય નથી).

(D) આપેલ વિધાન: $(p \wedge q) \Rightarrow (p \wedge r)$
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(\sim p \vee \sim q) \vee (p \wedge r)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$((\sim p \vee p) \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$:
$T \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r) \equiv \sim p \vee \sim q \vee r$
પદોને ગોઠવતા:
$(\sim p \vee \sim q) \vee r$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee r$
જેને પ્રેરણ (implication) માં ફેરવતા:
$(p \wedge q) \Rightarrow r$

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $r \Rightarrow s$ છે,જ્યાં $r = (\sim(P \wedge Q)) \vee ((\sim P) \wedge Q)$ અને $s = ((\sim P) \wedge (\sim Q))$ છે.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,$r \Rightarrow s$ નું મૂલ્ય $P \Leftrightarrow Q$ જેવું જ છે.

(C) આપણને પદાવલિ $\sim(p \wedge (p \rightarrow \sim q))$ આપેલ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)) \equiv \sim p \vee \sim(p$ $\rightarrow \sim q)$.
કારણ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,તેથી $p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\equiv \sim p \vee \sim(\sim p \vee \sim q)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee (p \wedge q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$:
$\equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$.
કારણ કે $\sim p \vee p \equiv t$ (નિરર્થક સત્ય):
$\equiv t \wedge (\sim p \vee q)$.
$\equiv \sim p \vee q$.

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (p \Rightarrow \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee \sim (\sim q)) \vee (\sim p \vee \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee \sim q)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim p \vee (q \vee \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q)$ એ નિત્યસત્ય $(t)$ છે:
$S \equiv \sim p \vee t$
$S \equiv t$
તેથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.