Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) કયા સંયોજનથી નિત્યસત્ય મળે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક કિસ્સા માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:
$1$. $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \wedge (p \vee q)$ છે. જો $p=T, q=F$ હોય,તો $(T \rightarrow F) \wedge (T \vee F) = F \wedge T = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
$2$. $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \vee (p \wedge q)$ છે. જો $p=T, q=F$ હોય,તો $(T \rightarrow F) \vee (T \wedge F) = F \vee F = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
$3$. $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \vee (p \vee q)$ છે.
- જો $p=T, q=T$: $T \vee T = T$
- જો $p=T, q=F$: $F \vee T = T$
- જો $p=F, q=T$: $T \vee T = T$
- જો $p=F, q=F$: $T \vee F = T$
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી,આ એક નિત્યસત્ય છે.
$4$. $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge q)$ છે. જો $p=F, q=F$ હોય,તો $T \wedge F = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ છે.

(C) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
ધારો કે $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ અને $B = ((\sim q) \vee r)$.
આપણે એવો કિસ્સો શોધવો છે જ્યાં $A = T$ અને $B = F$ હોય.
$B = ((\sim q) \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$(\sim q)$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $q = T$ અને $r = F$.
હવે,$q = T$ અને $r = F$ ને $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ માં મૂકતા:
$A = (p \vee T) \wedge ((\sim p) \vee F)$
$A = T \wedge (\sim p)$
$A$ સત્ય હોવા માટે,$(\sim p)$ સત્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $p = F$.
આમ,સંયોજન $p = F, q = T, r = F$ પદાવલિને અસત્ય બનાવે છે.

(C) આપેલ વિધાન $B \Rightarrow ((\sim A) \vee B)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $P \Rightarrow Q \equiv (\sim P) \vee Q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \Rightarrow ((\sim A) \vee B) \equiv (\sim B) \vee ((\sim A) \vee B)$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$(\sim B) \vee B \vee (\sim A) \equiv T \vee (\sim A) \equiv T$
આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) હોવાથી,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ.
વિકલ્પ $C$ એ $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$ છે.
આમ,આ વિધાન $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$ ને સમકક્ષ છે.

(B) કોઈ વિધાન નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(S1)$ માટે: જો $p=F, q=T, r=F$ લઈએ,તો $(p \vee q) \Rightarrow r$ એ $F$ મળે છે,જ્યારે $p \Rightarrow r$ એ $T$ મળે છે. તેથી,આ નિત્યસત્ય નથી.
$(S2)$ માટે: તાર્કિક સમતુલ્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$(p \vee q)$ $\Rightarrow r \equiv (p$ $\Rightarrow r) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$.
આ $(p$ $\Rightarrow r) \vee (q$ $\Rightarrow r)$ ને સમતુલ્ય નથી,તેથી $(S2)$ પણ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,$(S1)$ કે $(S2)$ માંથી કોઈ પણ નિત્યસત્ય નથી.

(A) ધારો કે વિધાનો છે:
$P$: મને તાવ છે
$Q$: હું દવા લઈશ
$R$: હું આરામ કરીશ
આપેલ વિધાન છે: "જો મને તાવ હોય,તો હું દવા નહીં લઉં અને હું આરામ કરીશ".
આને $P \rightarrow (\sim Q \wedge R)$ તરીકે લખી શકાય.
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P \rightarrow (\sim Q \wedge R) \equiv \sim P \vee (\sim Q \wedge R)$.
વિભાજનના નિયમ $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv (\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$.

(D) $(S1)$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $(p \Rightarrow q) \vee (p \wedge (\sim q))$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.
છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ હોવાથી,$(S1)$ એ નિત્યસત્ય છે.
$(S2)$ વિરોધાભાસ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.
છેલ્લી કોલમમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,તે એક આકસ્મિક ઘટના છે,વિરોધાભાસ નથી.
તેથી,માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = ((p \wedge q)$ $\Rightarrow (r \vee q)) \wedge ((p \wedge r)$ $\Rightarrow q)$ છે.
નિત્યસમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\sim(p \wedge q) \vee (r \vee q)) \wedge (\sim(p \wedge r) \vee q)$
$S = (\sim p \vee \sim q \vee r \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q)$
અહીં $\sim q \vee q = T$ હોવાથી,પ્રથમ ભાગ $\sim p \vee r \vee T = T$ થાય.
આમ,$S = T \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q) = \sim p \vee \sim r \vee q$.
$S$ નિત્યસત્ય બને તે માટે $\sim p \vee \sim r \vee q$ હંમેશા સત્ય હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $r = p$. તો $\sim p \vee \sim p \vee q = \sim p \vee q$,જે નિત્યસત્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $r = q$. તો $\sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$. (માન્ય)
કિસ્સો $3$: $r = \sim p$. તો $\sim p \vee \sim(\sim p) \vee q = \sim p \vee p \vee q = T \vee q = T$. (માન્ય)
કિસ્સો $4$: $r = \sim q$. તો $\sim p \vee \sim(\sim q) \vee q = \sim p \vee q \vee q = \sim p \vee q$,જે નિત્યસત્ય નથી.
આમ,$r$ ની $2$ કિંમતો માટે પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.

(A) આપણે પદાવલિ $q \vee ((\sim q) \wedge p)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ધારો કે $E = q \vee ((\sim q) \wedge p)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge \sim((\sim q) \wedge p)$
ફરીથી ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge (q \vee \sim p)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$:
$\sim E = (\sim q \wedge q) \vee (\sim q \wedge \sim p)$
કારણ કે $(\sim q \wedge q)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે:
$\sim E = F \vee (\sim q \wedge \sim p)$
કારણ કે $F \vee X = X$:
$\sim E = (\sim q \wedge \sim p)$.

(B) જો કોઈ વિધાનના તમામ ઘટકોના સત્યાર્થ મૂલ્યો માટે તેનું પરિણામ હંમેશા સત્ય (True) મળે,તો તેને નિત્યસત્ય (Tautology) કહેવાય.
$(B)$ વિકલ્પ $(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$ માટે:
$\sim(p \land q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor p) \lor (\sim q \lor q) \equiv T \lor T \equiv T$.
આથી,તે નિત્યસત્ય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(P$ $\Rightarrow Q) \wedge (R$ $\Rightarrow Q)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરણ $P \Rightarrow Q$ એ $\sim P \vee Q$ ને સમકક્ષ છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim P \vee Q) \wedge (\sim R \vee Q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $Q$ ને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$(\sim P \wedge \sim R) \vee Q$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim P \wedge \sim R$ એ $\sim(P \vee R)$ ને સમકક્ષ છે:
$\sim(P \vee R) \vee Q$
પ્રેરણના નિયમ $\sim A \vee B \equiv A \Rightarrow B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિધાનો સત્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક માટે સત્યતા કોષ્ટક (truth table) બનાવીએ.
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ માટે:
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\sim p \wedge q$ | $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
છેલ્લી કોલમમાં $F$ હોવાથી,$(S1)$ એ નિત્યસત્ય નથી. તેથી,$(S1)$ અસત્ય છે.
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ માટે:
| $p$ | $q$ | $q \Rightarrow p$ | $\sim p \wedge q$ | $(q \Rightarrow p) \Rightarrow (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
છેલ્લી કોલમમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,$(S2)$ એ નિત્યસત્ય પણ નથી અને વિરોધાભાસ પણ નથી. તેથી,$(S2)$ અસત્ય છે.
આમ,$(S1)$ કે $(S2)$ બંનેમાંથી એક પણ સત્ય નથી.

(C) ધારો કે $S = (p$ $\Rightarrow q)$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$.
$A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p$ $\Rightarrow q) \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$S \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee (\sim q \vee p)$
$S \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee p)$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$S \equiv (p \vee \sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim q \vee p)$
$S \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$.
હવે,$S$ નું નિષેધ $\sim (p \vee \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ અથવા $q \wedge (\sim p)$.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (p \vee (\sim p)) \wedge ((\sim q) \vee (\sim p))$
કારણ કે $(p \vee (\sim p))$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,તેથી:
$S = T \wedge ((\sim q) \vee (\sim p)) = (\sim q) \vee (\sim p)$
હવે,આપણે $S$ નું નિષેધ શોધવાનું છે:
$\sim S = \sim ((\sim q) \vee (\sim p))$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim S = (\sim (\sim q)) \wedge (\sim (\sim p))$
$\sim S = q \wedge p = p \wedge q$
આમ,નિષેધ $p \wedge q$ ને સમકક્ષ છે.

(A) ધારો કે વિધાન $S = (p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))$ છે.
$S$ નો નિષેધ $\sim S = \sim [(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))]$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim S = \sim (p \vee q) \vee \sim (q \vee (\sim r))$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા,$\sim (p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)$ અને $\sim (q \vee (\sim r)) = (\sim q \wedge r)$:
$\sim S = (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$.

(D) આપેલ વિધાન: $\sim[p \vee (\sim(p \wedge q))]$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \wedge \sim(\sim(p \wedge q))$
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \wedge (p \wedge q)$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \wedge q$
કારણ કે $(\sim p \wedge p)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી: $F \wedge q = F$
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $D$ એ $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ છે,જે $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ ને સમકક્ષ છે.
આમ,આ વિધાન $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ સત્ય હોય તેવી ક્રમિક ત્રિપુટીઓ $(p, q, r)$ ની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $p \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ | $q \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
જે પંક્તિઓમાં છેલ્લી કોલમ $T$ છે,તેની ગણતરી કરતા આપણને $7$ કિસ્સાઓ મળે છે.
આમ,ક્રમિક ત્રિપુટીઓની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $Q \Rightarrow P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ છે,જ્યાં $P = ((\sim p) \wedge q)$ અને $Q = r$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિ-વિધાન $Q \Rightarrow P$ એટલે કે $r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ થાય.

(D) $(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ માટે
કારણ કે $(q \wedge (\sim q))$ હંમેશા અસત્ય $(F)$ છે,તેથી આખું પદ $(p \Rightarrow q) \wedge F$ હંમેશા અસત્ય છે. આમ,$(S1)$ એ વિરોધાભાસ છે.
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ માટે
આપણે વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$= [q \wedge (p \vee (\sim p))] \vee [(\sim q) \wedge (p \vee (\sim p))]$
$= [q \wedge T] \vee [(\sim q) \wedge T]$
$= q \vee (\sim q) = T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોવાથી,$(S2)$ એ નિત્યસત્ય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે $p = (( A \wedge ( B \vee C ))$ $\Rightarrow ( A \vee B ))$ $\Rightarrow A$.
ગર્ભિત વિધાનના નિયમ $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \vee Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv \sim (( A \wedge ( B \vee C )) \Rightarrow ( A \vee B )) \vee A$.
નિષેધના નિયમ $\sim (X \Rightarrow Y) \equiv X \wedge \sim Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge \sim ( A \vee B )) \vee A$.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim ( A \vee B ) \equiv \sim A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge ( \sim A \wedge \sim B )) \vee A$.
ચૂકતા $( A \wedge \sim A ) \equiv F$ (અસત્ય) હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$p \equiv ( F \wedge ( B \vee C ) \wedge \sim B ) \vee A \equiv F \vee A \equiv A$.
તેથી,વિધાનનો નિષેધ $\sim p \equiv \sim A$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$
$(\sim p)$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (q \vee (\sim q)))$
કારણ કે $(q \vee (\sim q)) = t$ (નિરર્થકતા):
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge t)$
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C))$:
$((\sim p) \vee p) \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
કારણ કે $((\sim p) \vee p) = t$:
$t \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
$= (\sim p) \vee (\sim q)$

(D) આપણે વિધાન $S = p \wedge (q \wedge \sim(p \wedge q))$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim S = \sim p \vee (\sim q \vee (p \wedge q))$.
વિતરણના નિયમ મુજબ,$\sim q \vee (p \wedge q) = (\sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee q) = \sim q \vee p$.
તેથી,$\sim S = \sim p \vee \sim q \vee p = T$ (નિત્યસત્ય).
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $D$ સૌથી નજીકનો તાર્કિક જવાબ છે.

(B) અમને શરત $x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0$ આપેલ છે.
અમે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x_{1} \cdot x_{2}' = 1 \cdot (0)' = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,વિધેય $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2}'$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(x \cdot y)+[(x+y') \cdot y]'$
ડી મોર્ગનના નિયમ $(a \cdot b)' = a' + b'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (x \cdot y) + [(x+y')' + y']$
ડી મોર્ગનના નિયમ $(a+b)' = a' \cdot b'$ અને ઇન્વોલ્યુશનના નિયમ $(y')' = y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (x \cdot y) + [x' \cdot (y')' + y']$
$= (x \cdot y) + [x' \cdot y + y']$
$= x \cdot y + x' \cdot y + y'$
પ્રથમ બે પદોમાંથી $y$ સામાન્ય લેતા:
$= y \cdot (x + x') + y'$
કારણ કે $x + x' = 1$:
$= y \cdot 1 + y'$
$= y + y'$
કારણ કે $y + y' = 1$:
$= 1$

(A) ધારો કે $p$ એ સ્વીચ $S_1$ છે અને $q$ એ સ્વીચ $S_2$ છે. આપેલ સર્કિટનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ છે.
પદાવલિનું સરળીકરણ:
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge (q \vee \sim q)]$
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge t]$
$= (p \wedge \sim q) \vee \sim p$
$= \sim p \vee (p \wedge \sim q)$
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= t \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= \sim p \vee \sim q$
પદાવલિ $\sim p \vee \sim q$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલ બે સ્વીચો $S_1'$ અને $S_2'$ દર્શાવે છે.

(C) $1$. વિધાન $p$ નું વિશ્લેષણ: $n=1$ માટે,$10(1)-3 = 7$ (અવિભાજ્ય). $n=8$ માટે,$10(8)-3 = 77 = 7 \times 11$ (અવિભાજ્ય નથી). તેથી,$p$ અસત્ય $(F)$ છે.
$2$. વિધાન $q$ નું વિશ્લેષણ: દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. અહીં,$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \neq 1$. તેથી,$q$ અસત્ય $(F)$ છે.
$3$. વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ: $\sin x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં વધતું વિધેય છે. તેથી,$r$ સત્ય $(T)$ છે.
$4$. વિકલ્પો તપાસતા: વિકલ્પ $C$ માં,$(\sim F \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow (T \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow T \wedge T$ $\Rightarrow T$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિધાન પેટર્ન $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ ક્યારે નિત્યસત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા પૂર્વગ $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ ને સરળ બનાવીએ.
ગર્ભિત નિયમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$[(\sim p \vee q) \wedge \sim q] \rightarrow r$
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $[(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)] \rightarrow r$ બને છે.
કારણ કે $q \wedge \sim q \equiv F$ (વિરોધાભાસ),આપણી પાસે છે:
$[(\sim p \wedge \sim q) \vee F]$ $\rightarrow r \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ $\rightarrow r$.
આ નિત્યસત્ય બને તે માટે,$p$ અને $q$ ના તમામ સત્ય મૂલ્યો માટે અભિવ્યક્તિ સાચી હોવી જોઈએ.
જો $r = \sim p$ હોય,તો અભિવ્યક્તિ $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$ બને છે.
કારણ કે $(\sim p \wedge \sim q)$ એ $\sim p$ સૂચવે છે,તેથી આ ગર્ભિતાર્થ હંમેશા સાચું છે.
આમ,જ્યારે $r = \sim p$ હોય ત્યારે વિધાન નિત્યસત્ય છે.

(D) અમે સર્કિટને બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં બંધ સ્વીચ $1$ છે અને ખુલ્લી સ્વીચ $0$ છે. જો સર્કિટ બંધ હોય તો લેમ્પ $L$ પ્રકાશિત થાય છે.
$(A)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(S_1 \land S_2)$ અને $(S_1 \land S_3)$. અભિવ્યક્તિ $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ છે.
$(B)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $S_1$ અને $(S_2 \land S_3)$. અભિવ્યક્તિ $S_1 \lor (S_2 \land S_3)$ છે.
$(C)$ સર્કિટમાં $S_1$ એ $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. અભિવ્યક્તિ $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ છે.
$(D)$ સર્કિટમાં $S_1, S_2, S_3$ શ્રેણીમાં છે. અભિવ્યક્તિ $S_1 \land S_2 \land S_3$ છે.
$(E)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(S_1 \land S_2)$ અને $S_3$. અભિવ્યક્તિ $(S_1 \land S_2) \lor S_3$ છે.
અભિવ્યક્તિઓની તુલના કરતા,સર્કિટ $(A)$ અને સર્કિટ $(C)$ સમાન બુલિયન અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે: $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સમાન સર્કિટ છે.

(C) ચાલો આપેલ વિધાન પેટર્ન માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
$1$. $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $(q \wedge \sim p)$ | $p \rightarrow (q \wedge \sim p)$ | $(p \vee \sim q)$ | $(p \vee \sim q) \wedge p$ | $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$
$2$. $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$3$. $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$4$. $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$
$5$. $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$
આમ,છેલ્લી કોલમના મૂલ્યો $T, T, T, T$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(\sim p \wedge (q \vee \sim q)) \vee (p \wedge \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $(\sim p \wedge T) \vee (p \wedge \sim q)$
આનું સાદું રૂપ: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q)$
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$
તેથી,અંતિમ સમાન વિધાન છે: $(\sim p) \vee (\sim q)$

(D) આપેલ છે કે $q$ નું સત્યતા મૂલ્ય $False$ છે અને $(p \wedge q) \leftrightarrow r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $True$ છે.
$q$ એ $False$ હોવાથી,$(p \wedge q)$ હંમેશા $False$ થશે,ભલે $p$ નું સત્યતા મૂલ્ય ગમે તે હોય.
આને દ્વિ-શરતી વિધાનમાં મૂકતા: $False \leftrightarrow r$ એ $True$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાન $True$ હોવા માટે,બંને બાજુ સમાન સત્યતા મૂલ્ય હોવું જોઈએ. તેથી,$r$ એ $False$ હોવું જોઈએ.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) p \wedge q = p \wedge False = False$.
$B) p \vee r = p \vee False = p$. આ $p$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે હંમેશા $True$ નથી.
$C) p \wedge r = p \wedge False = False$.
$D) (p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) = (p \wedge False)$ $\rightarrow (p \vee False) = False$ $\rightarrow p$.
$False \rightarrow p$ એ $p$ ના કોઈપણ સત્યતા મૂલ્ય માટે હંમેશા $True$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ $True$ છે.

(D) ધારો કે $P$ એ વિધાન છે: "ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે".
ધારો કે $Q$ એ વિધાન છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે".
આપેલ વિધાન $P \implies Q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $P \implies Q$ નું પ્રતિ-ધન વિધાન (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ છે,જે મૂળ વિધાનને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
અહીં,$\neg Q$ એ છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી".
અહીં,$\neg P$ એ છે: "ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા નથી".
તેથી,સમાન વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ છે,જે છે: "જો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ ન હોય,તો ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવી શકાય નહીં".
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
યાદ રાખો કે ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નું નિષેધ $A \wedge \sim B$ છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = (p \vee \sim q)$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ મળે.
આમ,નિષેધ $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,આ $(p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$ થાય છે.
જેમ કે $p \wedge \sim p$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે અને $\sim q \wedge q$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી આ પદ $F \wedge F$ બને છે,જે $F$ છે.
જે વિધાન હંમેશા ખોટું હોય તેને વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે.

(D) શરતી વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee \sim s)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge q)$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોય.
$(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે,$r$ અને $\sim s$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $\sim s$ અસત્ય છે,તેથી $s$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F, s = T$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
પ્રથમ ભાગમાં ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
જૂથના અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
આને પાછું મૂકતા: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,જ્યાં $A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = r$.
તેથી,પદાવલિ $(p \wedge \sim q)$ માં સરળ બને છે.

(B) ધારો કે આપેલ તાર્કિક વિધાન $L = [\{q \wedge (\sim q \vee r)\} \wedge \{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\}] \vee (p \wedge r)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\{q \wedge (\sim q \vee r)\} = (q \wedge \sim q) \vee (q \wedge r) = F \vee (q \wedge r) = (q \wedge r)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\} = (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim r) = T \wedge (\sim p \vee \sim r) = (\sim p \vee \sim r)$.
આ કિંમતો $L$ માં મૂકતા,આપણને $L = [(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r)] \vee (p \wedge r)$ મળે છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (q \wedge r \wedge \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee F = (q \wedge r \wedge \sim p)$.
હવે,$L = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (p \wedge r) = r \wedge [(q \wedge \sim p) \vee p]$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(q \wedge \sim p) \vee p = (q \vee p) \wedge (\sim p \vee p) = (q \vee p) \wedge T = (q \vee p)$.
આમ,$L = r \wedge (p \vee q)$.
સ્વીચના સંદર્ભમાં,$r$ એ $S_3$ છે,$p$ એ $S_1$ છે,અને $q$ એ $S_2$ છે.
તેથી,$L = S_3 \wedge (S_1 \vee S_2)$.
આ સ્વીચ $S_3$ ને સ્વીચ $S_1$ અને $S_2$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં દર્શાવે છે.

(D) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ એ $False$ હોય જો અને માત્ર જો $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
અહીં,$A = \{(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)\}$ અને $B = (\sim p \vee q)$.
$B = (\sim p \vee q)$ ને $False$ થવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને $False$ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $p = True$ અને $q = False$.
હવે,આ કિંમતોને $A$ માં મૂકો:
$A = \{(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r)\} = \{(T \wedge T) \wedge (T \wedge r)\} = \{T \wedge (T \wedge r)\} = (T \wedge r)$.
$A$ ને $True$ થવા માટે,$r$ એ $True$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = True, q = False, r = True$ છે.

(D) દરેક વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે. તેઓ સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે. તેમનો સરવાળો $1+\omega+\omega^2 = 0$ છે. વિધાન કહે છે કે સરવાળો $1$ છે,જે ખોટું છે. તેથી,$A$ એ $F$ છે.
$B$: $4+7 > 10$ એ $11 > 10$ $(T)$ છે. $2+8 < 10$ એ $10 < 10$ $(F)$ છે. $T \iff F$ એ $F$ છે. તેથી,$B$ એ $F$ છે.
$C$: $\exists x \in N$ જેથી $x^2-3x+2=0$. ઉકેલ $x=1$ અને $x=2$ છે,જે બંને $N$ માં છે. આ ભાગ $T$ છે. $\exists n \in N$ જેથી $n$ એકી સંખ્યા છે તે $T$ છે. $T \land T$ એ $T$ છે. તેથી,$C$ એ $T$ છે.
$D$: $3+i$ એક સંકર સંખ્યા છે $(T)$. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ ખોટું છે $(F)$. $T \lor F$ એ $T$ છે. તેથી,$D$ એ $T$ છે.
આમ,$C$ અને $D$ બંનેનું સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.

(D) આપેલ વિધાન પેટર્ન $[p \wedge \sim r] \rightarrow [\sim r \wedge q]$ છે અને તેનું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $F$ હોય જ્યારે $A = T$ અને $B = F$ હોય.
તેથી,$[p \wedge \sim r] = T$ અને $[\sim r \wedge q] = F$.
$[p \wedge \sim r] = T$ પરથી,આપણને $p = T$ અને $\sim r = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = F$.
$r = F$ હોવાથી,$\sim r = T$.
$\sim r = T$ ને $[\sim r \wedge q] = F$ માં મૂકતા,આપણને $[T \wedge q] = F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$D$: $\sim(r \vee q)$ $\rightarrow \sim p \implies \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F \implies \sim F$ $\rightarrow F \implies T$ $\rightarrow F = F$.
તેથી,અસત્ય સત્યતા મૂલ્ય ધરાવતું વિધાન $\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$ છે.

(D) આ સર્કિટ લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$ માં સ્વિચ $S_1$ અને તેની સાથે $S_2$ અને $S_3$ નું સમાંતર જોડાણ શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $p \wedge (q \vee r)$ છે.
શાખા $2$ માં સ્વિચ $S_3$,$S_2$,અને $S_1$ ત્રણેય શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $r \wedge q \wedge p$ છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$ થશે.

(C) શરતી વિધાન $P \implies Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ છે.
વિધાન $p$ માટે: $P$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય),$Q$ એ '$7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે' (અસત્ય). પ્રતિ-વિધાન 'જો $7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી,તો $7$ એ એકી સંખ્યા નથી' છે. $7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી (સત્ય) અને $7$ એ એકી સંખ્યા છે (સત્ય),તેથી 'જો સત્ય,તો અસત્ય' એ અસત્ય છે. આમ,$V_1 = F$.
વિધાન $q$ માટે: $P$ એ '$7$ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે' (સત્ય),$Q$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય). પ્રતિ-વિધાન 'જો $7$ એકી સંખ્યા નથી,તો $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' છે. $7$ એકી સંખ્યા છે (સત્ય),તેથી પૂર્વગ 'જો $7$ એકી સંખ્યા નથી' એ અસત્ય છે. અસત્ય પૂર્વગ ધરાવતું શરતી વિધાન હંમેશા સત્ય હોય છે. આમ,$V_2 = T$.
તેથી,$(V_1, V_2) = (F, T)$.

(D) આપેલ વિધાન $S = \sim p \vee (q \wedge \sim r)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરણ (implication) $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,વિધાન $S$ ને $p \rightarrow (q \wedge \sim r)$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રેરણ $p \rightarrow Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim Q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$Q = (q \wedge \sim r)$ છે.
તેથી,$\sim Q = \sim (q \wedge \sim r) = \sim q \vee \sim (\sim r) = \sim q \vee r$ થાય.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$ છે.

(C) આપેલ વિધાન $\forall M > 0, \exists x \in S$ એવા સ્વરૂપમાં છે કે જેથી $P(x, M)$,જ્યાં $P(x, M)$ એ $x \geqslant M$ છે.
ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે $\forall$ ને $\exists$ સાથે અને $\exists$ ને $\forall$ સાથે બદલીએ છીએ,અને વિધાનનું નિષેધ કરીએ છીએ.
$\forall M > 0, \exists x \in S, (x \geqslant M)$ નો નિષેધ $\exists M > 0, \forall x \in S, \neg(x \geqslant M)$ છે.
કારણ કે $x \geqslant M$ નો નિષેધ $x < M$ છે,તેથી નિષેધિત વિધાન $\exists M > 0$ એવું છે કે જેથી દરેક $x \in S$ માટે $x < M$ થાય.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે બેટરી અને લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ધારો કે સ્વીચો $S_1, S_2, S_3$ છે. પ્રથમ શાખા $S_1 \land (S_2' \lor S_3')$ છે.
બીજી શાખા $S_2 \land S_3 \land S_1$ છે.
કુલ પરિપથનું સમીકરણ $P = [S_1 \land (S_2' \lor S_3')] \lor (S_2 \land S_3 \land S_1)$ છે.
વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $S_1$ ને સામાન્ય લઈ શકીએ:
$P = S_1 \land [(S_2' \lor S_3') \lor (S_2 \land S_3)]$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(S_2' \lor S_3')$ એ $(S_2 \land S_3)'$ ને સમકક્ષ છે.
તેથી,$P = S_1 \land [(S_2 \land S_3)' \lor (S_2 \land S_3)]$.
કારણ કે $(X' \lor X)$ હંમેશા સત્ય (tautology) હોય છે,તેથી સમીકરણ $P = S_1 \land T = S_1$ માં સરળ બને છે.
આમ,સમકક્ષ પરિપથ એ લેમ્પ સાથે શ્રેણીમાં માત્ર એક સ્વીચ $S_1$ છે.
સમકક્ષ પરિપથમાં સ્વીચોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) તર્કમાં,શરતી વિધાન $P \implies Q$ સાચું હોય છે જો $P$ ખોટું હોય,પછી ભલે $Q$ ની સત્યતાનું મૂલ્ય ગમે તે હોય.
$(A)$ $4+3=8$ ખોટું છે. પૂર્વવર્તી ખોટું હોવાથી,ગર્ભિતાર્થ $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $6+4=10$ સાચું છે,પરંતુ પરિણામી વિધાન 'ચંદ્ર સપાટ છે' ખોટું છે. સાચું પૂર્વવર્તી ખોટા પરિણામી વિધાન તરફ દોરી જાય છે,તેથી $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ પૂર્વવર્તી વિધાન છે '$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે'. $(B)$ ખોટું હોવાથી,સંયોજન '$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે' ખોટું છે. ખોટા પૂર્વવર્તી વાળું શરતી વિધાન સાચું હોય છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે" છે.
ધારો કે $r$ એ વિધાન "ત્રિકોણ કાટકોણ છે" છે.
આપેલ વિધાન $(p \lor q) \land (\neg q \land r)$ છે.
આપણે નિષેધ શોધવાની જરૂર છે: $\neg((p \lor q) \land (\neg q \land r))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$,આપણને મળે છે:
$\neg(p \lor q) \lor \neg(\neg q \land r)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(\neg p \land \neg q) \lor (q \lor \neg r)$.
આનો અર્થ એ થાય છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ નથી અને સમદ્વિબાજુ નથી,અથવા ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે અથવા તે કાટકોણ નથી".

(A) આપેલ છે કે $p = T$,$q = F$,અને $r = T$.
પ્રથમ,વિધાન પ્રતિકૃતિ $S = [\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ ની ગણતરી કરો.
કિંમતો મૂકતા:
$S = [\sim F \wedge (T \vee \sim F) \wedge \sim T] \vee T$
$S = [T \wedge (T \vee T) \wedge F] \vee T$
$S = [T \wedge T \wedge F] \vee T$
$S = F \vee T = T$.
હવે,દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. દ્વૈત મેળવવા માટે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
દ્વૈત વિધાન $S^* = [\sim q \vee (p \wedge \sim q) \vee \sim r] \wedge p$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S^* = [\sim F \vee (T \wedge \sim F) \vee \sim T] \wedge T$
$S^* = [T \vee (T \wedge T) \vee F] \wedge T$
$S^* = [T \vee T \vee F] \wedge T$
$S^* = T \wedge T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T$ અને $T$ છે.

(A) સર્કિટમાં સમાંતર રીતે જોડાયેલ બે મુખ્ય શાખાઓ છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં સ્વિચ $S_1$ શ્રેણીમાં $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે છે. આ શાખા માટેનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $p \wedge (q \vee r)$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં સ્વિચ $S_3'$,$S_2'$,અને $S_1$ શ્રેણીમાં છે. $S_3'$ એ $S_3$ નું પૂરક છે અને $S_2'$ એ $S_2$ નું પૂરક છે,તેથી આ શાખા માટેનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(\neg r \wedge \neg q \wedge p)$ છે.
$3$. બંને શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ સાંકેતિક સ્વરૂપ બંને શાખાઓનું વિયોજન (disjunction) છે: $p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$.

(A) તર્કમાં,શરતી વિધાન $P \implies Q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $P$ સાચું હોય અને $Q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
$(A)$ $P: 3+2=7$ (ખોટું),$Q: 4+3=8$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \implies Q$ સાચું છે.
$(B)$ $P: 5+2=7$ (સાચું),$Q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $P$ સાચું અને $Q$ ખોટું હોવાથી,$P \implies Q$ ખોટું છે.
$(C)$ $P: (A) \text{ સાચું છે અને } (B) \text{ સાચું છે}$,$Q: 5+6=11$ (સાચું). $(A)$ સાચું છે અને $(B)$ ખોટું છે,તેથી શરત $P$ ખોટી છે. ખોટા પૂર્વવર્તી સાથેનું શરતી વિધાન સાચું હોય છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે મુખ્ય ભાગો છે જે સ્વિચ $S_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે પ્રથમ ભાગ $C_1$ છે અને બીજો ભાગ $C_2$ છે. સર્કિટ $C_1 \wedge r \wedge C_2$ છે.
$C_1$ માટે: તેમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે: $(p' \wedge q')$,$p$,અને $q$. તેથી,$C_1 = (p' \wedge q') \vee p \vee q$.
શોષણના નિયમ અને વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$C_1 = (p' \wedge q') \vee (p \vee q) = (p' \vee (p \vee q)) \wedge (q' \vee (p \vee q)) = (T \vee q) \wedge (p \vee (q' \vee q)) = T \wedge (p \vee T) = T \wedge T = T$.
$C_2$ માટે: તેમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(p \wedge q)$ અને $(p' \wedge q)$. તેથી,$C_2 = (p \wedge q) \vee (p' \wedge q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$C_2 = (p \vee p') \wedge q = T \wedge q = q$.
આમ,કુલ સર્કિટ અભિવ્યક્તિ $T \wedge r \wedge q = q \wedge r$ છે.
સરળ સર્કિટ એ સ્વિચ $S_2$ અને $S_3$ નું શ્રેણી જોડાણ છે,જે તાર્કિક વિધાન $(q \wedge r)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.