Mathematical logic Questions in Gujarati

(N/A) જો કેળાના ઝાડ એક મહિના સુધી ગરમ વાતાવરણમાં રહે,તો તેમાં ફૂલ આવશે.

(N/A) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) જો તમે વર્ગમાં $A^{+}$ મેળવવા માંગતા હોવ,તો તમારે પુસ્તકના તમામ સ્વાધ્યાય કરવા જોઈએ.

(N/A) આપેલ વિધાન "જો $P$,તો $Q$" સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P$ એટલે "તમે દિલ્હીમાં રહો છો" અને $Q$ એટલે "તમારી પાસે શિયાળાના કપડાં છે".
$(i)$ વિધાન "જો તમારી પાસે શિયાળાના કપડાં નથી,તો તમે દિલ્હીમાં રહેતા નથી" એ "જો $Q$ નથી,તો $P$ નથી" સ્વરૂપમાં છે,જે આપેલ વિધાનનું પ્રતિ-ધન (contrapositive) છે.
$(ii)$ વિધાન "જો તમારી પાસે શિયાળાના કપડાં છે,તો તમે દિલ્હીમાં રહો છો" એ "જો $Q$,તો $P$" સ્વરૂપમાં છે,જે આપેલ વિધાનનું પ્રતિ-વિધાન (converse) છે.

(N/A) ધારો કે $P$ એ વિધાન "ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે" અને $Q$ એ વિધાન "તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે" છે. આપેલ વિધાન $P \implies Q$ છે.
$(i)$ વિધાન "જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા ન હોય,તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી" એ $\neg Q \implies \neg P$ સ્વરૂપમાં છે,જે $P \implies Q$ નું સામાનાર્થી (contrapositive) વિધાન છે.
$(ii)$ વિધાન "જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે" એ $Q \implies P$ સ્વરૂપમાં છે,જે $P \implies Q$ નું પ્રતિવિધાન (converse) છે.

(A) ધારો કે $p: x, y \in \mathbb{Z}$ એવા છે કે $x$ અને $y$ એકી છે.
ધારો કે $q: xy$ એકી છે.
આપેલ વિધાનની સત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે જો $p$ સત્ય હોય,તો $q$ સત્ય છે.
જો $p$ સત્ય હોય,તો $x$ અને $y$ એકી પૂર્ણાંકો છે.
આપણે $x = 2m + 1$ અને $y = 2n + 1$ લખી શકીએ,જ્યાં $m, n \in \mathbb{Z}$ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$.
કારણ કે $2mn + m + n$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $xy$ એ $2k + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $xy$ એકી છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(A) ધારો કે વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p: xy$ એકી સંખ્યા છે.
$q: x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા છે.
આપણે $p \Rightarrow q$ વિધાન સાચું છે કે નહીં તે તેના પ્રતિ-વિધાન $\sim q \Rightarrow \sim p$ દ્વારા ચકાસવાનું છે.
$\sim q: x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા છે તે ખોટું છે. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અથવા $y$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી છે.
ધારો કે $x = 2n$ કોઈ પૂર્ણાંક $n \in \mathbb{Z}$ માટે.
તો $xy = (2n)y = 2(ny)$,જે એક બેકી સંખ્યા છે.
આમ,$\sim p$ સાચું છે (એટલે કે $xy$ બેકી સંખ્યા છે).
તેથી,$\sim q \Rightarrow \sim p$ સાચું હોવાથી,આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ સાચું છે.

(N/A) આ રીતમાં,આપણે ધારીએ છીએ કે આપેલ વિધાન ખોટું છે. એટલે કે,આપણે ધારીએ છીએ કે $\sqrt{7}$ સંમેય છે.
આનો અર્થ એ છે કે એવા ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $a$ અને $b$ નો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $7 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 7b^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $7$ એ $a^2$ ને ભાગે છે,અને $7$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$7$ એ $a$ ને પણ ભાગે છે.
તેથી,એક પૂર્ણાંક $c$ એવો મળે કે જેથી $a = 7c$.
આ કિંમત $a^2 = 7b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(7c)^2 = 7b^2$ $\Rightarrow 49c^2 = 7b^2$ $\Rightarrow b^2 = 7c^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $7$ એ $b^2$ ને ભાગે છે,અને પરિણામે,$7$ એ $b$ ને પણ ભાગે છે.
આમ,$7$ એ $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી અગાઉની ધારણા કે $a$ અને $b$ નો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી,તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આ દર્શાવે છે કે $\sqrt{7}$ સંમેય છે તેવી ધારણા ખોટી છે.
તેથી,વિધાન $p: \sqrt{7}$ અસંમેય છે તે સાચું છે.

(N/A) આપેલ વિધાન "જો $p$,તો $q$" સ્વરૂપમાં છે. આ વિધાન અસત્ય છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે એક એવું પ્રતિ-ઉદાહરણ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $p$ સત્ય હોય પરંતુ $q$ અસત્ય હોય.
અહીં,$p$ એ "$n$ એક એકી પૂર્ણાંક છે" અને $q$ એ "$n$ અવિભાજ્ય છે" તે છે.
આપણે એક એવો એકી પૂર્ણાંક $n$ શોધીએ જે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
$n = 9$ લો.
$9$ એ એકી પૂર્ણાંક છે,તેથી $p$ સત્ય છે.
જોકે,$9$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે $(9 = 3 \times 3)$,તેથી $q$ અસત્ય છે.
આમ,આપણે એક એવો એકી પૂર્ણાંક શોધ્યો જે અવિભાજ્ય નથી,તેથી મૂળ વિધાન અસત્ય છે.

(N/A) વિધાન $p$ છે: "જો $x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$,તો $x$ એ $0$ છે."
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "$x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$."
ધારો કે $r$ એ વિધાન છે: "$x$ એ $0$ છે."
સીધી રીત દ્વારા $p$ સત્ય છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે $q$ સત્ય છે અને દર્શાવીએ છીએ કે $r$ સત્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $q$ સત્ય છે,તેથી $x^{3}+4x=0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $x(x^{2}+4)=0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x=0$ અથવા $x^{2}+4=0$.
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,$x^{2} \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2}+4 \geq 4$.
તેથી,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $x^{2}+4$ એ $0$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,એકમાત્ર શક્યતા $x=0$ છે.
આપણે દર્શાવ્યું છે કે $q$ એ $r$ સૂચવે છે,તેથી વિધાન $p$ સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: 'જો $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$,તો $x$ એ $0$ છે.'
$p$ ને વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિત કરવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે $p$ અસત્ય છે.
'જો $q$,તો $r$' વિધાનનું નકારાત્મક સ્વરૂપ '$q$ અને $r$ નથી' થાય છે.
તેથી,આપણે ધારીએ છીએ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$ અને $x \neq 0$.
આપેલ $x^{3}+4x=0$ ને અવયવ પાડતા $x(x^{2}+4)=0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x=0$ અથવા $x^{2}+4=0$.
આપણે ધાર્યું છે કે $x \neq 0$,તેથી $x^{2}+4=0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x^{2}=-4$.
જોકે,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^{2} \geq 0$ હોય છે.
તેથી,$x^{2}=-4$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આ આપણી ધારણા કે $x$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આમ,આપણી ધારણા કે $p$ અસત્ય છે તે ખોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,વિધાન $p$ સત્ય છે.

(A) વિધાન $p$ એ 'જો $q$,તો $r$' સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$q: x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$
$r: x=0$
પ્રતિધનાત્મક રીત દ્વારા $p$ સત્ય છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે $\sim r \Rightarrow \sim q$.
ધારો કે $\sim r$ સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 0$.
આપણે દર્શાવવાની જરૂર છે કે $\sim q$ સત્ય છે,એટલે કે $x^{3}+4x \neq 0$.
કારણ કે $x \neq 0$,તેથી $x^{2} > 0$.
તેથી,$x^{2}+4 > 4$,જે સૂચવે છે કે $x^{2}+4 > 0$.
કારણ કે $x \neq 0$ અને $(x^{2}+4) > 0$,તેમનો ગુણાકાર $x(x^{2}+4)$ શૂન્ય ન હોઈ શકે.
આમ,$x^{3}+4x \neq 0$,જે $\sim q$ છે.
કારણ કે $\sim r \Rightarrow \sim q$ સત્ય છે,તેથી આપેલ વિધાન $p$ સત્ય છે.

(A) આપેલ વિધાનને "જો-તો" સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
જો $a$ અને $b$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $a^{2}=b^{2}$,તો $a=b$.
ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: $a$ અને $b$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a^{2}=b^{2}$.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: $a=b$.
વિધાન ખોટું છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે એવી સ્થિતિ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $p$ સાચું હોય પરંતુ $q$ ખોટું હોય (એટલે કે $a^{2}=b^{2}$ પરંતુ $a \neq b$).
ધારો કે $a=1$ અને $b=-1$.
તો $a^{2}=(1)^{2}=1$ અને $b^{2}=(-1)^{2}=1$.
આમ,$a^{2}=b^{2}$ સાચું છે.
જોકે,$a=1$ અને $b=-1$ હોવાથી,$a \neq b$.
આપણે એવી સ્થિતિ શોધી છે જ્યાં $a^{2}=b^{2}$ છે પરંતુ $a \neq b$,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) વિધાન $p$ છે: જો $x$ એ પૂર્ણાંક હોય અને $x^{2}$ બેકી હોય,તો $x$ બેકી છે.
આને પ્રતિ-વિધિની રીત દ્વારા સાબિત કરવા માટે,આપણે નિષ્કર્ષના નકારને ધારીએ છીએ અને પૂર્વધારણાના નકારને સાબિત કરીએ છીએ.
ધારો કે $q: x$ એ પૂર્ણાંક છે અને $x^{2}$ બેકી છે.
ધારો કે $r: x$ બેકી છે.
વિધાન $q \implies r$ નું પ્રતિ-વિધિ $\neg r \implies \neg q$ છે.
ધારો કે $\neg r$: $x$ બેકી નથી,એટલે કે $x$ એકી છે.
જો $x$ એકી હોય,તો $x = 2k + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તો $x^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$.
કારણ કે $2(2k^{2} + 2k) + 1$ એ $2m + 1$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $x^{2}$ એકી છે.
આમ,$\neg q$ સત્ય છે: $x^{2}$ બેકી નથી.
કારણ કે $\neg r \implies \neg q$ સત્ય છે,તેથી મૂળ વિધાન $p$ સત્ય છે.

(N/A) આપેલ વિધાન 'જો $q$ તો $r$' સ્વરૂપનું છે.
$q:$ ત્રિકોણના બધા ખૂણા સમાન છે.
$r:$ ત્રિકોણ એ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
વિધાન $p$ અસત્ય છે જો આપણે એવો કિસ્સો શોધી શકીએ જ્યાં $q$ સત્ય હોય પરંતુ $r$ અસત્ય હોય.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ત્રણેય ખૂણા $60^{\circ}$ ના હોય છે.
$60^{\circ} < 90^{\circ}$ હોવાથી,સમબાજુ ત્રિકોણ એ લઘુકોણ ત્રિકોણ છે,ગુરુકોણ ત્રિકોણ નથી.
આમ,વિધાન $p$ અસત્ય છે કારણ કે આપણે એક પ્રતિ-ઉદાહરણ (સમબાજુ ત્રિકોણ) શોધ્યું છે જ્યાં પૂર્વધારણા સત્ય છે પરંતુ નિષ્કર્ષ અસત્ય છે.

(N/A) આપેલ વિધાન છે: $q:$ સમીકરણ $x^{2}-1=0$ ને $0$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.
આ વિધાન અસત્ય છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે એક પ્રતિ-ઉદાહરણની જરૂર છે.
સમીકરણ $x^{2}-1=0$ ધ્યાનમાં લો.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
સમીકરણના બીજ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
અહીં બીજ $x = 1$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે આવેલું છે,તેથી વિધાન કે $0$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી,તે અસત્ય છે.

(A) આપેલ અસમતા $x > y$ છે.
અસમતાના નિયમો મુજબ,જો આપણે અસમતાની બંને બાજુઓને ઋણ સંખ્યા વડે ગુણીએ,તો અસમતાની નિશાનીની દિશા બદલાઈ જાય છે.
બંને બાજુઓને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(-1) \times x < (-1) \times y$
$-x < -y$
આમ,આપેલ વિધાન $s$ સત્ય છે.

(N/A) આપેલા વિધાનમાં વપરાયેલ "અથવા" એ સમાવેશક (inclusive) છે કારણ કે એ શક્ય છે કે વરસાદ પડે અને તમે નદીમાં પણ હોવ.
આપેલા વિધાનના ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ તમે વરસાદમાં ભીના થાઓ છો.
$q:$ તમે નદીમાં હોવ ત્યારે ભીના થાઓ છો.
અહીં બંને ઘટક વિધાનો $p$ અને $q$ સત્ય હોઈ શકે છે,તેથી સંયુક્ત વિધાન $t$ સત્ય છે.

(N/A) 'દરેક' (for every) ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ 'અસ્તિત્વ ધરાવે છે' (there exists) દ્વારા બદલીને અને શરતનો નિષેધ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$p$ નો નિષેધ છે:
$\sim p:$ એવી એક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x^{2} \leq x.$

(N/A) $q$ નો નિષેધ $\sim q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે "તે ખોટું છે કે $q$".
$\sim q:$ એવી કોઈ સંમેય સંખ્યા $x$ નથી કે જેથી $x^{2} = 2$.
આ વિધાનને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$\sim q:$ બધી જ સંમેય સંખ્યાઓ $x$ માટે,$x^{2} \neq 2$.

(N/A) આ વિધાનનું નિષેધ છે:
$\sim r:$ ઓછામાં ઓછું એક એવું પક્ષી છે જેને પાંખો નથી.

(N/A) આપેલા વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન $\sim s$ છે: એવો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી છે જે પ્રાથમિક સ્તરે ગણિતનો અભ્યાસ કરતો નથી.

(N/A) "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે જો અને માત્ર જો $n^{2}$ એકી હોય" વિધાનને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે તે શરત $n^{2}$ એકી હોવા માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે."
ધારો કે $p$ વિધાન છે: "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે."
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "$n^{2}$ એકી છે."
$p \iff q$ ની સત્યતા તપાસવા માટે,આપણે બંને ગર્ભિતાર્થો તપાસીએ છીએ:
$1$. જો $p$ સત્ય હોય,તો $n = 2k + 1$ (કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે). તો $n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$,જે એકી છે. આમ,$p \implies q$ સત્ય છે.
$2$. જો $q$ સત્ય હોય,તો આપણે પ્રતિ-ધન વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ: જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$. તો $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})$,જે બેકી છે. પ્રતિ-ધન વિધાન સત્ય હોવાથી,$q \implies p$ સત્ય છે.
બંને $p \implies q$ અને $q \implies p$ સત્ય હોવાથી,મૂળ વિધાન સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે $p$ અને $q$ નીચે મુજબના વિધાનો છે:
$p:$ તમે $80 \, km/h$ થી વધુ ઝડપે વાહન ચલાવો છો.
$q:$ તમને દંડ થશે.
$p \implies q$ એ સૂચવે છે કે $p$ એ $q$ માટે પર્યાપ્ત શરત છે. એટલે કે,$80 \, km/h$ થી વધુ ઝડપે વાહન ચલાવવું એ દંડ મેળવવા માટે પર્યાપ્ત છે.
તેથી,પર્યાપ્ત શરત "$80 \, km/h$ થી વધુ ઝડપે વાહન ચલાવવું" છે.
તે જ રીતે,$p \implies q$ એ સૂચવે છે કે $q$ એ $p$ માટે જરૂરી શરત છે. એટલે કે,$80 \, km/h$ થી વધુ ઝડપે વાહન ચલાવવા માટે,દંડ મેળવવો જરૂરી છે.
તેથી,જરૂરી શરત "દંડ મેળવવો" છે.

(N/A) 'દરેક' (for every) ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ 'અસ્તિત્વ ધરાવે છે' (there exists) દ્વારા બદલીને અને વિધેયનો નિષેધ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
વિધાન $p$ નો નિષેધ નીચે મુજબ છે:
એવી એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $x-1$ ધન નથી.

(N/A) વિધાન $q$ નું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ છે:
$\sim q:$ એવી ઓછામાં ઓછી એક બિલાડી છે જે નખ મારતી નથી.

(N/A) 'દરેક' ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ 'કોઈક' થાય છે.
'કાં તો $P$ અથવા $Q$' નો નિષેધ '$P$ પણ નહીં અને $Q$ પણ નહીં' થાય છે,જે '$P$ નથી અને $Q$ નથી' ને સમાન છે.
તેથી,વિધાન $r$ નો નિષેધ નીચે મુજબ છે:
એવી એક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x \leq 1$ અને $x \geq 1$.

(D) 'અસ્તિત્વ ધરાવે છે' (existential quantifier) ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ 'બધી સંખ્યાઓ માટે' (universal quantifier) દ્વારા અને શરતના નિષેધ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.
મૂળ વિધાન છે: 'એવી સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $0 < x < 1.$'
તેનો નિષેધ છે: 'બધી સંખ્યાઓ $x$ માટે,એવું નથી કે $0 < x < 1.$'
આનું સાદું રૂપ છે: 'બધી સંખ્યાઓ $x$ માટે,$x \le 0$ અથવા $x \ge 1.$'

(N/A) વિધાન $p$ ને 'જો $q$,તો $r$' સ્વરૂપમાં લખી શકાય:
જો એક ધન પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય હોય,તો તેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય કોઈ ભાજક નથી.
આ વિધાનનું પ્રતિવિધાન (Converse) નીચે મુજબ છે:
જો એક ધન પૂર્ણાંકને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય કોઈ ભાજક ન હોય,તો તે અવિભાજ્ય છે.
આ વિધાનનું પ્રતિ-નિષેધ (Contrapositive) નીચે મુજબ છે:
જો એક ધન પૂર્ણાંકને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના ભાજકો હોય,તો તે અવિભાજ્ય નથી.

(N/A) આપેલ વિધાનને $p \implies q$ સ્વરૂપમાં આ રીતે લખી શકાય:
જો દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત હોય,તો હું દરિયાકિનારે જાઉં છું.
આ વિધાનનું પ્રતિવિધાન (Converse) $q \implies p$ નીચે મુજબ છે:
જો હું દરિયાકિનારે જાઉં,તો તે દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત હોય છે.
આ વિધાનનું પ્રતીપ વિધાન (Contrapositive) $\sim q \implies \sim p$ નીચે મુજબ છે:
જો હું દરિયાકિનારે ન જાઉં,તો તે દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત હોતો નથી.

(N/A) વિધાન $r$ નું પ્રતિવિધાન (Converse) આ મુજબ છે:
જો તમને તરસ લાગે,તો બહાર ગરમી હોય છે.
વિધાન $r$ નું વિરોધી વિધાન (Contrapositive) આ મુજબ છે:
જો તમને તરસ ન લાગે,તો બહાર ગરમી હોતી નથી.

(N/A) આ વિધાનને "જો $p$,તો $q$" સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
જો તમે સર્વર પર લોગ ઓન કરો,તો તમારી પાસે પાસવર્ડ હોવો જોઈએ.

(N/A) "જ્યારે પણ વરસાદ પડે છે ત્યારે ટ્રાફિક જામ થાય છે" વિધાનનો અર્થ એ છે કે જો વરસાદ પડે,તો ટ્રાફિક જામ થાય છે.
આમ,"જો $p$,તો $q$" સ્વરૂપમાં વિધાન આ મુજબ છે: જો વરસાદ પડે,તો ટ્રાફિક જામ થાય છે.

(N/A) વિધાન $r$ એ "$p$ તો જ $q$" સ્વરૂપમાં છે,જે તાર્કિક રીતે "જો $p$,તો $q$" ને સમાન છે.
અહીં,$p$ એ "તમે વેબસાઇટને ઍક્સેસ કરી શકો છો" અને $q$ એ "તમે સબ્સ્ક્રિપ્શન ફી ચૂકવો છો" છે.
તેથી,"જો $p$,તો $q$" સ્વરૂપમાં વિધાન આ મુજબ છે: "જો તમે વેબસાઇટને ઍક્સેસ કરી શકો છો,તો તમે સબ્સ્ક્રિપ્શન ફી ચૂકવો છો."

(N/A) વિધાન "જો તમે ટેલિવિઝન જુઓ છો,તો તમારું મન મુક્ત છે" અને "જો તમારું મન મુક્ત છે,તો તમે ટેલિવિઝન જુઓ છો" એ "તમે ટેલિવિઝન જુઓ છો જો અને તો જ તમારું મન મુક્ત છે" ને સમાન છે.

(A) તમે $A$ ગ્રેડ મેળવશો તો અને તો જ તમે બધું જ હોમવર્ક નિયમિતપણે કરશો.

(N/A) ચતુષ્કોણ સમાનકોણીય છે જો અને તો જ તે લંબચોરસ છે.

(N/A) "અને" સાથેનું સંયુક્ત વિધાન છે: "$25$ એ $5$ અને $8$ નો ગુણક છે."
આ વિધાન અસત્ય છે,કારણ કે $25$ એ $8$ નો ગુણક નથી.
"અથવા" સાથેનું સંયુક્ત વિધાન છે: "$25$ એ $5$ અથવા $8$ નો ગુણક છે."
આ વિધાન સત્ય છે,કારણ કે $25$ એ $5$ નો ગુણક છે (ભલે તે $8$ નો ગુણક નથી,પરંતુ 'અથવા' ની શરત મુજબ જો ઓછામાં ઓછું એક વિધાન સત્ય હોય તો સંયુક્ત વિધાન સત્ય ગણાય).

(A) આપેલ વિધાન છે: $p:$ અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય હોય છે.
વિરોધાભાસની રીત દ્વારા સત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે વિધાનનું નિષેધ સત્ય છે.
ધારો કે અસંમેય સંખ્યા $x$ અને સંમેય સંખ્યા $y$ નો સરવાળો એક સંમેય સંખ્યા $z$ છે.
તેથી,$x + y = z$,જ્યાં $x$ અસંમેય છે અને $y, z$ સંમેય છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = z - y$.
બે સંમેય સંખ્યાઓનો તફાવત $(z - y)$ હંમેશા સંમેય સંખ્યા હોવાથી,આ દર્શાવે છે કે $x$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આ આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $x$ અસંમેય સંખ્યા છે,તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે સરવાળો સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય હોય છે. વિધાન $p$ સત્ય છે.

(N/A) આપેલ વિધાન $q$ આ મુજબ છે: જો $n$ એ $n > 3$ ધરાવતી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $n^{2} > 9$.
વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિત કરવા માટે,આપણે વિધાનના નકારાત્મક ધારણા કરીએ છીએ.
ધારો કે $n$ એ $n > 3$ ધરાવતી વાસ્તવિક સંખ્યા છે,પરંતુ $n^{2} \leq 9$ છે.
ચૂકી $n > 3$ અને $n$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,આપણે અસમતા $n > 3$ ની બંને બાજુએ વર્ગ કરી શકીએ છીએ.
$n^{2} > 3^{2}$
$n^{2} > 9$
આ આપણી ધારણા $n^{2} \leq 9$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,મૂળ વિધાન સત્ય છે. તેથી,જો $n$ એ $n > 3$ ધરાવતી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $n^{2} > 9$.

(N/A) આપેલ વિધાનને નીચે મુજબ પાંચ અલગ-અલગ રીતે લખી શકાય છે:
$(i)$ ત્રિકોણ સમકોણીય છે તેનો અર્થ એ છે કે તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
$(ii)$ ત્રિકોણ સમકોણીય હોય તો જ તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોય.
$(iii)$ ત્રિકોણ સમકોણીય હોવા માટે,તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોવું જરૂરી છે.
$(iv)$ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ બને તે માટે,ત્રિકોણનું સમકોણીય હોવું પૂરતું છે.
$(v)$ જો ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ ન હોય,તો તે ત્રિકોણ સમકોણીય નથી.

(D) 'Tautology' એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે. આપણે $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ પદાવલિ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \rightarrow q$	$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં માત્ર $T$ (સત્ય) હોવાથી,$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ એ 'tautology' છે.

(A) આપેલ છે કે પદાવલિ $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (q * (\sim p))$ એ નિત્યસત્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$.
$(p \Rightarrow q)$ ની સરખામણી $(q * (\sim p))$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કારક $*$ એ વિયોજન (disjunction) કારક $\vee$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$p * (\sim q) \equiv p \vee (\sim q)$.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $\sim a \vee b \equiv a \Rightarrow b$ નો ઉપયોગ કરતા,$p \vee (\sim q) \equiv \sim q \vee p \equiv q \Rightarrow p$.
તેથી,$p * (\sim q) \equiv q \Rightarrow p$.

(D) ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં,વિધાન એ એક એવું વિધાન છે જે કાં તો સાચું હોય અથવા ખોટું હોય.
કારણ કે "તમારું નામ શું છે?" એ પ્રશ્નાર્થ વાક્ય છે,તેથી તેને સાચા કે ખોટા તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય નહીં.
તેથી,તે વિધાન નથી.

(C) ધારો કે $p$ અને $q$ વિધાનો છે:
$p: \text{હું સમયસર સ્ટેશન પહોંચું છું.}$
$q: \text{હું ટ્રેન પકડી લઈશ.}$
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "હું ટ્રેન નહીં પકડી શકું" અને $\sim p$ એટલે "હું સમયસર સ્ટેશન નહીં પહોંચું."
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો હું ટ્રેન નહીં પકડી શકું,તો હું સમયસર સ્ટેશન નહીં પહોંચું."
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) કયું વિધાન સ્વતઃ સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક અથવા તાર્કિક પદોનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\sim p \wedge (p \vee q)) \rightarrow q$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
કારણ કે $(\sim p \wedge p) \equiv F$ (વિરોધાભાસ),તેથી: $F \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
આનું સાદું રૂપ: $(\sim p \wedge q) \rightarrow q$
ગર્ભિત નિયમ $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim p \wedge q) \vee q$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \vee \sim q) \vee q$
સાહચર્યના નિયમ દ્વારા: $p \vee (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (સ્વતઃ સત્ય): $p \vee T \equiv T$
આમ,વિકલ્પ $A$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(A) આપેલ વિધાન: $p \rightarrow \sim( p \wedge \sim q )$
ગર્ભિત નિયમ $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee \sim( p \wedge \sim q )$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim( A \wedge B ) \equiv \sim A \vee \sim B$ લાગુ કરતા:
$\sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
કારણ કે $\sim(\sim q) \equiv q$:
$\sim p \vee \sim p \vee q$
આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $\sim p \vee \sim p \equiv \sim p$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee q$
આમ,વિધાન $(\sim p) \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ વિકલનીય છે'.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત છે'.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત નથી'.
અને $\sim p$ એટલે: 'વિધેય $f$ એ $a$ આગળ વિકલનીય નથી'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: 'જો વિધેય $f$ એ $a$ આગળ સતત ન હોય,તો તે $a$ આગળ વિકલનીય નથી'.

(C) $(S_{1}): (q \vee p) \rightarrow (p \leftrightarrow \sim q)$ માટે
જો $p = T$ અને $q = T$ હોય,તો $(T \vee T)$ $\rightarrow (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T$ $\rightarrow F = F$. બધા સત્ય મૂલ્યો માટે તે સત્ય ન હોવાથી,$(S_{1})$ એ સ્વતઃ સત્ય નથી.
$(S_{2}): \sim q \wedge (\sim p \leftrightarrow q)$ માટે
જો $p = F$ અને $q = F$ હોય,તો $\sim F \wedge (\sim F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge F = F$.
જો $p = T$ અને $q = F$ હોય,તો $\sim F \wedge (\sim T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge T = T$.
અહીં એક કિસ્સો એવો છે જ્યાં સત્ય મૂલ્ય $T$ મળે છે,તેથી $(S_{2})$ એ સ્વતઃ અસત્ય નથી.
આમ,$(S_{1})$ અને $(S_{2})$ બંને ખોટા છે.

(C) આપેલ વિધાન $(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.

$p$	$q$	$q \rightarrow p$	$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$	$p \vee q$	$p \rightarrow (p \vee q)$	$(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$

અહીં અંતિમ સ્તંભમાં તમામ કિંમતો $T$ (સત્ય) હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.