Mathematical logic Questions in Gujarati

(B) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ અસત્ય હોય જો અને માત્ર જો $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં,$A = [(p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$.
$B = (p \wedge q)$ અસત્ય હોવા માટે,$p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
$A$ સત્ય હોવા માટે,તમામ ઘટકો $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,અને $(\sim r)$ સત્ય હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = T$ પરથી,આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \rightarrow r) = T$ માં મૂકતા,આપણને $(q \rightarrow F) = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
હવે,$q = F$ ને $(p \vee q) = T$ માં મૂકતા,આપણને $(p \vee F) = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = T$.
$B = (p \wedge q) = (T \wedge F) = F$ ચકાસતા,તે શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(D) $1$. દરેક વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તપાસો:
- $p$: શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,$(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$. કારણ કે $AB \neq BA$,તેથી $A^2 - B^2 \neq (A-B)(A+B)$. આમ,$p$ અસત્ય $(F)$ છે.
- $q$: $5 \leqslant 5$ સત્ય છે. આમ,$q$ સત્ય $(T)$ છે.
- $r$: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} { }^n C_k = 2^n$. અહીં,${ }^8 C_0 + { }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 2^8 = 256$. કારણ કે ${ }^8 C_0 = 1$,તેથી સરવાળો ${ }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 256 - 1 = 255$. આમ,$r$ અસત્ય $(F)$ છે.
- $s$: ${ }^n C_r$ ની મહત્તમ કિંમત ${ }^n C_{n/2}$ થાય છે. $n=8$ માટે,તે ${ }^8 C_4 = 70$ છે. આમ,$s$ સત્ય $(T)$ છે.
$2$. સત્યતા મૂલ્યો: $p=F, q=T, r=F, s=T$.
$3$. વિકલ્પો તપાસો:
- $D: (T \vee \sim F) \leftrightarrow (\sim F \wedge \sim F) = (T \vee T) \leftrightarrow (T \wedge T) = T \leftrightarrow T = T$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
અમે વિકલ્પ $D$ નું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \vee \sim p)$ એ નિત્યસત્ય છે (હંમેશા સાચું,જેને $T$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
આમ,પદાવલિ $(\sim q \wedge p) \vee T$ બને છે.
કોઈપણ વિધાન $X \vee T$ હંમેશા $T$ હોવાથી,આખી પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $p$ તપાસો.
$2$ એ બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. તેથી,$p$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $q$ તપાસો.
$z_1 = 2 - i$ અને $z_2 = -2 + i$ આપેલ છે,તેથી $\bar{z}_2 = -2 - i$.
$z_1 \bar{z}_2 = (2 - i)(-2 - i) = -4 - 2i + 2i + i^2 = -4 - 1 = -5$.
તેથી $\frac{1}{z_1 \bar{z}_2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગ $\operatorname{Im}\left[\frac{1}{z_1 \bar{z}_2}\right] = 0$.
$0 \neq -\frac{1}{5}$ હોવાથી,વિધાન $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: વિધાન $r$ તપાસો.
$\tan(-945^{\circ}) = -\tan(945^{\circ}) = -\tan(2 \times 360^{\circ} + 225^{\circ}) = -\tan(225^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.
તેથી,$r$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો.
$p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $(T$ $\rightarrow F) \leftrightarrow (F \wedge T)$ $\Rightarrow F \leftrightarrow F = T$.
$(B)$ $F \leftrightarrow T = F$.
$(C)$ $T \rightarrow F = F$.
$(D)$ $(T$ $\rightarrow T) \leftrightarrow F$ $\Rightarrow T \leftrightarrow F = F$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં સ્વિચ $s_1$ એ $s_1'$ અને $s_2'$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે પછી $s_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સાંકેતિક રીતે,આને $p \wedge (\sim p \vee \sim q) \wedge q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \wedge ((\sim p \vee \sim q) \wedge q) = p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee (\sim q \wedge q))$.
કારણ કે $(\sim q \wedge q)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી આપણને $p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee F) = p \wedge (\sim p \wedge q)$ મળે છે.
સાહચર્યના નિયમ દ્વારા: $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$.
આમ,સાંકેતિક સ્વરૂપ વિરોધાભાસ $(F)$ માં પરિણમે છે,તેથી લેમ્પ હંમેશા બંધ રહે છે.

(C) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
યાદ રાખો કે ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = (p \vee \sim q)$ છે.
તેથી,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee \sim q) = (\sim p \wedge \sim (\sim q)) = (\sim p \wedge q)$.
આમ,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,$\sim S = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$.
કારણ કે $(p \wedge \sim p) = F$ (વ્યાઘાત) અને $(\sim q \wedge q) = F$,તેથી $\sim S = F \wedge F = F$.
જે વિધાન હંમેશા ખોટું હોય તેને વ્યાઘાત કહેવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે $p$: કામ સમયસર પૂરું થાય છે.
ધારો કે $q$: કોન્ટ્રાક્ટર મુશ્કેલીમાં છે.
$\text{વિધાન}-I$ એ $\sim p \rightarrow q$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $\sim p \rightarrow q \equiv p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\text{વિધાન}-I \equiv p \vee q$.
$\text{વિધાન}-II$ આ રીતે આપેલ છે: કાં તો કામ સમયસર પૂરું થાય છે અથવા કોન્ટ્રાક્ટર મુશ્કેલીમાં છે,જે $p \vee q$ છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-I \equiv p \vee q$ અને $\text{વિધાન}-II \equiv p \vee q$ હોવાથી,બંને વિધાનો સમાન છે.

(C) વિધાન $p \vee \sim(q \wedge r)$ અસત્ય છે જો અને માત્ર જો વિભાજનના બંને ઘટકો અસત્ય હોય.
તેથી,$p = F$ અને $\sim(q \wedge r) = F$.
કારણ કે $\sim(q \wedge r) = F$,તેનો અર્થ એ છે કે $(q \wedge r) = T$.
સંયોજન $(q \wedge r)$ સત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$q = T$ અને $r = T$.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = F, q = T, r = T$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \land q) \lor (p \land r)$ છે.
તર્કશાસ્ત્રના વિભાજનના નિયમ (Distributive law) મુજબ,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
સર્કિટ $(i)$ એ $(p \land q) \lor (p \land r)$ છે.
સર્કિટ $(iii)$ એ $p \land (q \lor r)$ છે.
તેથી,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$ હોવાથી,સર્કિટ $(i)$ અને $(iii)$ સમતુલ્ય છે.

(B) વિધાન $p \rightarrow (\sim q \wedge r)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim (\sim q \wedge r) \rightarrow \sim p$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આ $(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ ને સમાન છે.
પ્રતિ-વિધાનનું નિષેધ $\sim [(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p]$ થાય.
તાર્કિક સમાનતા $\sim (A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(q \vee \sim r) \wedge \sim (\sim p)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(q \vee \sim r) \wedge p$ થાય છે.

(C) ધારો કે $p$ એટલે સ્વિચ $S_1$ બંધ છે,$q$ એટલે સ્વિચ $S_2$ બંધ છે,અને $r$ એટલે સ્વિચ $S_3$ બંધ છે.
તો $\sim p$ એટલે સ્વિચ $S_1'$ બંધ છે,$\sim q$ એટલે સ્વિચ $S_2'$ બંધ છે,અને $\sim r$ એટલે સ્વિચ $S_3'$ બંધ છે.
આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ છે.
આ સમાંતર જોડાણમાં બે મુખ્ય શાખાઓ દર્શાવે છે:
$1$. પ્રથમ શાખા $(p \wedge q)$ છે,જે શ્રેણીમાં સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજી શાખા $(\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ છે,જે સ્વિચ $S_1'$ ની શ્રેણીમાં સ્વિચ $S_2'$,$S_1$,અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણને અનુરૂપ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ આ વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે.

(C) પગલું $1$: વ્યાખ્યાઓ ઓળખો: વિરોધાભાસ હંમેશા ખોટો હોય છે,સ્વતઃ સત્ય (tautology) હંમેશા સાચું હોય છે,અને આકસ્મિકતા (contingency) તેના ઘટકોના સત્ય મૂલ્યોના આધારે સાચું અથવા ખોટું હોઈ શકે છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $p \wedge \sim p$ હંમેશા ખોટું છે (વિરોધાભાસ).
પગલું $3$: વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $p \vee \sim p$ હંમેશા સાચું છે (સ્વતઃ સત્ય).
પગલું $4$: વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યોના આધારે $p \vee q$ સાચું કે ખોટું હોઈ શકે છે. તેથી,તે એક આકસ્મિકતા છે.
પગલું $5$: વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow q$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.
અંતિમ જવાબ: $C$)

(C) અમે તાર્કિક સમાનતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ અને ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $\sim[(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)]$
શરતી નિયમ લાગુ કરતા: $\sim[\sim(p \vee \sim q) \vee (p \wedge \sim q)]$
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
આનો અર્થ એ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ અને $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ પરથી,આપણને $\sim p \equiv F$ અને $q \equiv F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p \equiv T$ અને $q \equiv F$.
હવે આ કિંમતોને પ્રથમ ભાગમાં મૂકતા: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
આ માટે $T \wedge r \equiv T$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $r \equiv T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = T$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim r \wedge \sim q)]$ (ક્રમનો નિયમ)
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (r \vee q)]$ (ડી મોર્ગનનો નિયમ)
$\equiv p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$ (વિભાજનનો નિયમ)
$\equiv p \wedge T$ (પૂરક નિયમ)
$\equiv p$ (તદેવ નિયમ)

(B) આપેલ સત્યતા મૂલ્યો: $p = F, q = T, r = F$.
પ્રથમ વિધાન પેટર્ન $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ માટે:
$(F \wedge \sim T) \rightarrow F$
$= (F \wedge F) \rightarrow F$
$= F \rightarrow F$
$= T$.
બીજી વિધાન પેટર્ન $(p \vee q) \rightarrow r$ માટે:
$(F \vee T) \rightarrow F$
$= T \rightarrow F$
$= F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(D) વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિપ (converse) $B \rightarrow A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $[p \wedge (\sim q)] \rightarrow r$ માટે,તેનો પ્રતિપ $r \rightarrow [p \wedge (\sim q)]$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) શરતી વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge q)$ સત્ય $(T)$ હોય અને ઉત્તરગ $(\sim q \vee r)$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$(\sim q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim q$ અને $r$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $q$ સત્ય છે,તેથી $\sim q$ અસત્ય છે. $r$ અસત્ય હોવા માટે,$r$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F$ છે.

(B) તર્કમાં,ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $p$ સાચું હોય અને $q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
$(A)$ ધારો કે $p: 3+3=7$ (ખોટું) અને $q: 4+3=8$ (ખોટું). $p$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ સાચું છે.
$(B)$ ધારો કે $p: 5+3=8$ (સાચું) અને $q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $p$ સાચું અને $q$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ ખોટું છે.
$(C)$ ધારો કે $p: (A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે (ખોટું,કારણ કે $B$ ખોટું છે) અને $q: 5+6=17$ (ખોટું). $p$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $p$: ઘોડાઓને પાંખો હોય છે.
ધારો કે $q$: કાગડાઓને પૂંછડી હોય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે: 'ઘોડાઓને પાંખો હોય છે અને કાગડાઓને પૂંછડી હોતી નથી,અથવા કાગડાઓને પૂંછડી હોય છે અને ઘોડાઓને પાંખો હોતી નથી.'
આથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિવિધેય $\sim A \rightarrow \sim B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ માટે,પ્રતિવિધેય $\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતાના નિયમ મુજબ,$\sim A$ $\rightarrow \sim B \equiv B$ $\rightarrow A$.
અહીં $A = p$ અને $B = (q \rightarrow r)$ લેતા,
$\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r) \equiv (q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$.
આમ,પ્રતિવિધેય $(q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ ને સમકક્ષ છે.

(D) ધારો કે $p$ : ચુકવણી કરવામાં આવશે.
ધારો કે $q$ : કામ સમયસર પૂરું થાય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે,જે $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ને સમાન છે.
આ વિધાનનું નકાર $\sim(p \leftrightarrow q)$ છે,જે $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
આનો અર્થ એ થાય કે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂરું થતું નથી,અથવા કામ સમયસર પૂરું થાય છે અને ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $False$ હોય જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
આપેલ છે કે $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q) \equiv F$.
આનો અર્થ એ છે કે $(p \wedge \sim r) \equiv T$ અને $(\sim p \vee q) \equiv F$.
$(\sim p \vee q) \equiv F$ પરથી,આપણને $\sim p \equiv F$ અને $q \equiv F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p \equiv T$ અને $q \equiv F$.
$p \equiv T$ ને $(p \wedge \sim r) \equiv T$ માં મૂકતા,આપણને $(T \wedge \sim r) \equiv T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sim r \equiv T$,તેથી $r \equiv F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p=T, q=F, r=F$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $p: 3$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
ધારો કે $q: 3$ એ એકી સંખ્યા છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ વિધાન $q \rightarrow p$ થાય છે.
તેથી,પ્રતીપ વિધાન છે: "જો $3$ એકી સંખ્યા છે,તો $3$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે."

(D) સૌ પ્રથમ,પદાવલિ $((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q))$ ને સરળ બનાવો.
સહચર અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$T \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
આમ,પદાવલિ $\sim p \wedge \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિલોભ $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે $p$: માણસ ન્યાયાધીશ છે,તેથી $\sim p$: માણસ ન્યાયાધીશ નથી.
આપેલ છે $q$: તે પ્રમાણિક છે,તેથી $\sim q$: તે પ્રમાણિક નથી.
તેથી,પ્રતિલોભ છે: જો માણસ ન્યાયાધીશ ન હોય,તો તે પ્રમાણિક નથી.

(D) આપેલ છે $r: q \vee \sim p$.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને ફરીથી લખી શકીએ:
$q \vee \sim p \equiv \sim p \vee q$.
કોન્ટ્રાપોઝિટિવ નિયમ દ્વારા,$\sim p \vee q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$.
આને શબ્દોમાં અનુવાદ કરતા:
$\sim q$: $X$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ નથી.
$\sim p$: $X$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી.
આમ,$\sim q \rightarrow \sim p$ નો અર્થ થાય છે: "જો $X$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ નથી,તો $X$ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) તર્કશાસ્ત્રના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપણે તાર્કિક પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(C) ધારો કે $p$ વિધાન છે: 'બે સંખ્યાઓ સમાન નથી'.
ધારો કે $q$ વિધાન છે: 'તેમના વર્ગ સમાન નથી'.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-ધન (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે: 'બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન છે'.
અને $\sim p$ એટલે: 'તે સંખ્યાઓ સમાન છે'.
તેથી,પ્રતિ-ધન વિધાન છે: 'જો બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન હોય,તો તે સંખ્યાઓ સમાન હોય છે'.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $p$: 'બે સંખ્યાઓ સમાન છે' અને $q$: 'તેમના વર્ગ સમાન છે'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ એ છે: 'જો બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન ન હોય,તો તે સંખ્યાઓ સમાન નથી'.

(C) સૌ પ્રથમ,વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરો:
$p$: $2$ અને $100$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $25$ છે,$26$ નથી. તેથી,$p$ એ $F$ છે.
$q$: શૂન્ય $(0)$ ને $0 + 0i$ તરીકે લખી શકાય છે,જે એક સંકર સંખ્યા છે. તેથી,$q$ એ $T$ છે.
$r$: $6$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $42$ છે,$6$ નથી. તેથી,$r$ એ $F$ છે.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (F \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv F$ $\rightarrow F \equiv T$.
$(B)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p \vee q) \leftrightarrow r \equiv (F \vee T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(D)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (T$ $\rightarrow F) \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) $A \rightarrow B$ વિધાનનું પ્રતિવિધેય (inverse) $\sim A \rightarrow \sim B$ છે.
$p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ માટે,તેનું પ્રતિવિધેય $\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ થાય.
કોઈ વિધાન $A \rightarrow B$ નું સામ્ય વિધાન (contrapositive) $\sim B \rightarrow \sim A$ થાય.
તેથી,$\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ નું સામ્ય વિધાન:
$\sim [\sim (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow \sim (\sim p)$
$= (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$
$p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ હોવાથી,આ પદ $(\sim p \vee q) \rightarrow p$ બને છે.

(B) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),પદાવલિ $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ બને છે.
તદર્થ નિયમ દ્વારા,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sim p \vee \sim q$ ને $p \rightarrow (\sim q)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) વિધાન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
સ્તંભ $5$ અને સ્તંભ $6$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $p$ અને $q$ ના તમામ સંયોજનો માટે સત્યતા મૂલ્યો સમાન છે.
તેથી,$\sim(p \leftrightarrow \sim q) \equiv p \leftrightarrow q$.

(A) આપેલ છે કે $p \rightarrow r$ નું સત્ય મૂલ્ય $F$ છે,તેથી $p \equiv T$ અને $r \equiv F$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $p \leftrightarrow q$ નું સત્ય મૂલ્ય $F$ છે,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $p \equiv T$,તેથી $q \equiv F$ થશે.
હવે,પ્રથમ પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ: $(\sim p \vee q) \rightarrow (p \vee \sim q)$
$= (\sim T \vee F) \rightarrow (T \vee \sim F)$
$= (F \vee F) \rightarrow (T \vee T)$
$= F \rightarrow T \equiv T$.
હવે,બીજી પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ: $(p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$
$= (T \wedge \sim F) \rightarrow (\sim T \wedge F)$
$= (T \wedge T) \rightarrow (F \wedge F)$
$= T \rightarrow F \equiv F$.
આમ,સત્ય મૂલ્યો $T, F$ છે.

(C) વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = (p \wedge q)$ અને $B = (\sim p \vee r)$.
તેથી,$\sim(A \rightarrow B) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(\sim p \vee r) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim r \equiv p \wedge \sim r$.
આમ,પદ $(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r)$ બને છે.
એસોસિએટિવ અને આઈડેમપોટન્ટ નિયમો દ્વારા,$(p \wedge q) \wedge p \wedge \sim r \equiv p \wedge q \wedge \sim r$.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$
$\equiv \sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$\equiv \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$\equiv \sim(T) \vee(F)$
$\equiv F \vee F \equiv F$
$b: (\sim q \wedge \sim r) \leftrightarrow(p \vee s)$
$\equiv (\sim T \wedge \sim F) \leftrightarrow(T \vee F)$
$\equiv (F \wedge T) \leftrightarrow(T)$
$\equiv F \leftrightarrow T \equiv F$
$c: (\sim p \vee q) \rightarrow(r \wedge \sim s)$
$\equiv (\sim T \vee T) \rightarrow(F \wedge \sim F)$
$\equiv (F \vee T) \rightarrow(F \wedge T)$
$\equiv T \rightarrow F \equiv F$
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $F, F, F$ છે.

(C) આપેલ વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ: $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$.
પ્રથમ,ડાબી બાજુ ધ્યાનમાં લો: $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$.
ગર્ભિત નિયમ $A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg p \vee (\neg q \vee r)$.
જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ,આ $(\neg p \vee \neg q) \vee r$ ને સમતુલ્ય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\neg p \vee \neg q \equiv \neg (p \wedge q)$.
આમ,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg (p \wedge q) \vee r$.
ફરીથી,ગર્ભિત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\neg (p \wedge q) \vee r \equiv (p \wedge q) \rightarrow r$.
દ્વિ-શરતી વિધાનની બંને બાજુઓ તાર્કિક રીતે સમાન હોવાથી,$[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ હંમેશા સત્ય છે.
તેથી,તે એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.

(A) આપણે વિધાન $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવાની જરૂર છે.
નિષેધ ઓપરેટર લાગુ કરતા:
$\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$:
$\equiv s \wedge \sim (\sim r \wedge s)$
ફરીથી ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$:
$\equiv s \wedge (r \vee \sim s)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$:
$\equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$
પૂરક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$s \wedge \sim s \equiv F$:
$\equiv (s \wedge r) \vee F$
તદર્થ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$p \vee F \equiv p$:
$\equiv s \wedge r$

(D) આપેલ છે કે $p = T$,$q = T$,$r = F$,અને $s = F$.
પ્રથમ વિધાન સ્વરૂપ $(p \wedge q) \vee r$ માટે:
$(T \wedge T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
બીજા વિધાન સ્વરૂપ $(p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ માટે:
$(T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F) \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(B) આપણે તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$p \rightarrow \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q$
$\equiv \sim p \vee q$

(C) શરતી વિધાન $(p \leftrightarrow \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
તેથી,$(p \leftrightarrow \sim q) \equiv T$ અને $(\sim p \wedge q) \equiv F$.
વિકલ્પ $C$ $(p=T, q=F)$ ચકાસતા:
$\sim q = \sim F = T$.
તેથી $(p \leftrightarrow \sim q) = (T \leftrightarrow T) = T$.
અને $(\sim p \wedge q) = (\sim T \wedge F) = (F \wedge F) = F$.
આમ,પૂર્વગ $T$ અને ઉત્તરગ $F$ હોવાથી,વિધાન $T \rightarrow F = F$ થાય છે.
તેથી,$p=T$ અને $q=F$ છે.

(D) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "$x$ અને $y$ એવા પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $x y$ એકી સંખ્યા છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "$x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા છે".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "$x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા નથી".
$\sim p$ એટલે "$x y$ એકી સંખ્યા નથી".
તેથી,પ્રતિ-વિધાન "જો $x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા ન હોય,તો $x y$ એકી સંખ્યા નથી" થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.