Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) दिया गया बहुपद $f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ है।
मान लीजिए बहुपद के मूल $s - t$,$s$,और $s + t$ हैं,जहाँ $s$ और $t$ पूर्णांक हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग:
$(s - t) + s + (s + t) = -a$.
इसे सरल करने पर,$3s = -a$,या $a = -3s$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s$ एक पूर्णांक है,$a$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: -642 = 3 \times (-214)$ ($3$ का गुणज है)
$B: 1214$ ($3$ का गुणज नहीं है,क्योंकि $1+2+1+4 = 8$)
$C: 1323 = 3 \times 441$ ($3$ का गुणज है)
$D: 1626 = 3 \times 542$ ($3$ का गुणज है)
अतः,'$a$' का मान $1214$ नहीं हो सकता।

(B) माना $x = 4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}}$.
चूंकि यह अनंत व्यंजक है,हम लिख सकते हैं $x = 4 + \frac{1}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 = 4x + 1$,जो $x^2 - 4x - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
चूंकि व्यंजक का मान धनात्मक होना चाहिए,हम $2-\sqrt{5}$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 2+\sqrt{5}$।

(A) माना $x$ और $x+2$ दो क्रमागत धनात्मक सम पूर्णांक हैं।
दिया गया है,$x^2 + (x+2)^2 = 290$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$.
$\Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + 2x - 143 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 13)(x - 11) = 0$.
अतः,$x = -13$ या $x = 11$.
चूंकि $x$ एक धनात्मक सम पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x = -13$ को छोड़ देते हैं।
यदि $x = 11$ है,तो अगला क्रमागत पूर्णांक $x+2 = 13$ है,जो कि सम नहीं है।
इसलिए,ऐसे क्रमागत धनात्मक सम पूर्णांकों का कोई जोड़ा संभव नहीं है।
हलों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $4+6(e^{2x}+1) \tanh x = 11 \cosh x + 11 \sinh x$
$\tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$,और $\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right) = 11 \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) + 11 \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right) = 11 \left(\frac{2e^x}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}-1) = 11e^x$
$6e^{2x} - 11e^x - 2 = 0$
माना $e^x = t$,जहाँ $t > 0$:
$6t^2 - 11t - 2 = 0$
$(6t+1)(t-2) = 0$
$t = 2$ या $t = -\frac{1}{6}$
चूँकि $t > 0$,इसलिए $e^x = 2$,जिसका अर्थ है $x = \log_e 2$.

(C) दिया गया समीकरण $2 \cosh^2 x - 3 \sinh x - k = 0$ है।
सर्वसमिका $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 + \sinh^2 x) - 3 \sinh x - k = 0$
$2 \sinh^2 x - 3 \sinh x + (2 - k) = 0$।
माना $t = \sinh x$,जहाँ $t \in R$ है। द्विघात समीकरण $2t^2 - 3t + (2 - k) = 0$ का $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं होगा यदि विविक्तकर $D < 0$ हो।
$D = (-3)^2 - 4(2)(2 - k) < 0$
$9 - 8(2 - k) < 0$
$9 - 16 + 8k < 0$
$8k - 7 < 0$
$k < \frac{7}{8}$।

(C) दिए गए समीकरण $x^2+5x-6=0$ और $y^2-8y-20=0$ हैं।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^2+6x-x-6=0$ $\Rightarrow (x+6)(x-1)=0$ $\Rightarrow x_1=-6, x_2=1$.
$y$ के लिए हल करने पर:
$y^2-10y+2y-20=0$ $\Rightarrow (y-10)(y+2)=0$ $\Rightarrow y_1=10, y_2=-2$.
आयत के शीर्ष $(-6, 10), (1, 10), (1, -2), (-6, -2)$ हैं।
विकर्ण का मध्यबिंदु विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है,जैसे $(-6, 10)$ और $(1, -2)$।
मध्यबिंदु $= \left(\frac{-6+1}{2}, \frac{10-2}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, 4\right)$.

(C) शेषफल प्रमेय का उपयोग करने पर,शेषफल $P(2)$ होगा।
दिया गया है $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 7$
$P(2) = 2(8) - 5(4) + 7$
$P(2) = 16 - 20 + 7$
$P(2) = 3$
अतः,शेषफल $3$ है।

(B) दिया गया है कि $x^4+x^2+1$,$x^2+mx+1$ और $x^2+nx+1$ दोनों से विभाज्य है।
चूंकि बहुपद $4$ घात का है और भाजक $2$ घात के हैं,हम लिख सकते हैं:
$x^4+x^2+1 = (x^2+mx+1)(x^2+nx+1)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x^4 + (m+n)x^3 + (mn+2)x^2 + (m+n)x + 1$
दोनों पक्षों में $x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$m+n = 0$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x+y+z=1$
$2) x^2+y^2+z^2=1$
$3) x^3+y^3+z^3=1$
समीकरण $(1)$ से,$z = 1 - x - y$ है। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 1$
$x^2 + y^2 + 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy = 1$
$2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y = 0$
$x^2 + y^2 + xy - x - y = 0$
यदि हम दो चरों को $0$ मान लें,तो तीसरा चर $1$ होगा। उदाहरण के लिए,यदि $x=1, y=0, z=0$ है,तो $1+0+0=1$,$1^2+0^2+0^2=1$,और $1^3+0^3+0^3=1$ प्राप्त होता है। ये सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
$(1, 0, 0)$ के क्रमपरिवर्तन लेने पर,हमें $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,और $(0, 0, 1)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{(x^2+1)^3}{x^3} + \frac{x^2+1}{3x} = 0$ है,जहाँ $x \neq 0$ है।
माना $t = \frac{x^2+1}{x}$ है। तब समीकरण $t^3 + \frac{t}{3} = 0$ बन जाता है।
$t$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $t(t^2 + \frac{1}{3}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $t = 0$ या $t^2 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि $t$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए,$t^2 = -\frac{1}{3}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हमें $t = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{x^2+1}{x} = 0$ है।
यह दर्शाता है कि $x^2 + 1 = 0$,या $x^2 = -1$ है।
चूंकि $x^2 = -1$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है,इसलिए दिए गए समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $3^{x^2-x} = 25 - 4^{x^2-x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 25$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$ होता है।
अतः,समीकरण $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 4^2 + 3^2$ बन जाता है।
घातों की तुलना करने पर,हमें $x^2 - x = 2$ प्राप्त होता है।
यह द्विघात समीकरण $x^2 - x - 2 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हल $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि बहुपद $f(x) = x^2-6x+12$,$\mathbb{Q}$ पर खंडनीय है या नहीं,हम द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करके इसके मूल ज्ञात करते हैं।
यहाँ,$a=1, b=-6, c=12$ है।
विविक्तकर (discriminant) $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12$ है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं: $x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = 3 \pm i\sqrt{3}$।
चूंकि मूल $\mathbb{Q}$ में नहीं हैं,इसलिए बहुपद को $\mathbb{Q}$ पर रैखिक कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय है।

(D) $x > 2$ के लिए दिया गया समीकरण:
$\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x-2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x+2) + (x-2) - 2\sqrt{(x+2)(x-2)} = 4x - 2$
$2x - 2\sqrt{x^2-4} = 4x - 2$
$-2\sqrt{x^2-4} = 2x - 2$
$-\sqrt{x^2-4} = x - 1$
पुनः वर्ग करने पर:
$x^2 - 4 = (x-1)^2$
$x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$
$-4 = -2x + 1$
$2x = 5$
$x = 2.5$
अब,मूल समीकरण में $x = 2.5$ का मान जाँचने पर:
बायाँ पक्ष: $\sqrt{2.5+2} - \sqrt{2.5-2} = \sqrt{4.5} - \sqrt{0.5} = \sqrt{9 \times 0.5} - \sqrt{0.5} = 3\sqrt{0.5} - \sqrt{0.5} = 2\sqrt{0.5} = \sqrt{4 \times 0.5} = \sqrt{2}$
दायाँ पक्ष: $\sqrt{4(2.5) - 2} = \sqrt{10 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
चूँकि बायाँ पक्ष $\neq$ दायाँ पक्ष,अतः कोई हल नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) एक बहुपद $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ को मोनिक बहुपद तब कहा जाता है जब उसका मुख्य गुणांक (leading coefficient),जो कि उच्चतम घात वाले पद $x^n$ का गुणांक है,$1$ के बराबर हो।
अतः,दिए गए बहुपद $f(x)$ के मोनिक होने के लिए,$a_n = 1$ होना चाहिए।

(C) दिया गया है,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.
इसका विस्तार करने पर,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = B^2 - 4AC$ है।
यहाँ,$A = 1$,$B = -(a + b)$,और $C = ab - \frac{a + b}{2}$ है।
$D = (-(a + b))^2 - 4(1)(ab - \frac{a + b}{2}) = (a + b)^2 - 4ab + 2(a + b) = (a - b)^2 + 2(a + b)$ है।
न्यूनतम मान $= -\frac{(a - b)^2 + 2(a + b)}{4}$ है।
चूँकि मूल अ-ऋणात्मक हैं,मूलों का योग $\alpha + \beta = (a + b) \geq 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = ab - \frac{a + b}{2} \geq 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए $D \geq 0$,जो $(a - b)^2 + 2(a + b) \geq 0$ होने के कारण संतुष्ट होता है।
अ-ऋणात्मक मूलों की शर्त के अनुसार,फलन का न्यूनतम मान $x = \frac{a + b}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x = \frac{a + b}{2}$ को $f(x)$ में रखने पर:
$f(\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a)(\frac{a + b}{2} - b) - \frac{a + b}{2} = (\frac{b - a}{2})(\frac{a - b}{2}) - \frac{a + b}{2} = -\frac{(a - b)^2}{4} - \frac{a + b}{2}$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार,न्यूनतम मान $\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + ax + 5 = 0$ के वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
यहाँ,$a = a$,$b = a$,और $c = 5$ है।
अतः,$a^2 - 4(a)(5) < 0$
$a^2 - 20a < 0$
$a(a - 20) < 0$
यह असमिका $0 < a < 20$ के लिए सत्य है।
'$a$' के पूर्णांक मान $1, 2, 3, \dots, 19$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $19$ है।

(C) द्विघात समीकरण $x^2-3ax+a^2-2a-K=0$ के भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2-4ac > 0$
$(-3a)^2 - 4(1)(a^2-2a-K) > 0$
$9a^2 - 4a^2 + 8a + 4K > 0$
$5a^2 + 8a + 4K > 0$
यह असमिका प्रत्येक परिमेय संख्या $a$ के लिए सत्य होनी चाहिए। चूंकि $5a^2 + 8a + 4K$,$a$ में एक द्विघात है जिसका मुख्य गुणांक धनात्मक $(5 > 0)$ है,इसलिए यह सभी $a$ के लिए धनात्मक होगा यदि इसका अपना विविक्तकर $D_a < 0$ हो।
$D_a = (8)^2 - 4(5)(4K) < 0$
$64 - 80K < 0$
$64 < 80K$
$K > \frac{4}{5}$
अतः,$K$ अंतराल $(\frac{4}{5}, \infty)$ में स्थित है।

(B) चूंकि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है और $f(-3) = 0$ है,हम $f(x) = a(x + 3)(x - k)$ लिख सकते हैं।
$f(x) \geq 0$ होने के कारण,ग्राफ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है,जिसका अर्थ है कि $x = -3$ एक दोहरा मूल है,इसलिए $k = -3$ है।
अतः,$f(x) = a(x + 3)^2$ है।
$f(0) = 18$ का उपयोग करने पर:
$a(0 + 3)^2 = 18$ $\Rightarrow 9a = 18$ $\Rightarrow a = 2$ है।
इसलिए,$f(x) = 2(x + 3)^2$ है।
अब,$f(3) = 2(3 + 3)^2 = 2(6)^2 = 2 \times 36 = 72$ है।

(A) दिया गया बहुपद समीकरण $x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144=0$ है।
हमें दिया गया है कि $2$ एक मूल है।
बहुपद विभाजन द्वारा,हम समीकरण के गुणनखंड कर सकते हैं।
$x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $x^4+6x^3-x^2-54x-72$ प्राप्त होता है।
आगे गुणनखंड करने पर,हमें समीकरण के मूल $-4, -3, -2, 2, 3$ प्राप्त होते हैं।
शर्त $\alpha < \beta < \gamma < 2 < \varepsilon$ के अनुसार,हम मूलों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
$\alpha = -4, \beta = -3, \gamma = -2, \varepsilon = 3$।
अब,व्यंजक की गणना करें:
$\alpha+2 \beta+3 \gamma+5 \varepsilon = (-4) + 2(-3) + 3(-2) + 5(3)$
$= -4 - 6 - 6 + 15$
$= -16 + 15 = -1$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।
$\sin ^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
$\cos ^2 36^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{8}$.
मूलों का योग $\frac{3-\sqrt{5}}{8} + \frac{3+\sqrt{5}}{8} = \frac{3}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{8}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\right) = \frac{1}{16}$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ के अनुसार,
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$,अर्थात $16x^2 - 12x + 1 = 0$।

(D) समीकरण $f(x)^{g(x)}=1$ निम्नलिखित स्थितियों में संतुष्ट होता है:
स्थिति $1$: $f(x)=1$
$x^2-7x+11=1 \implies x^2-7x+10=0 \implies (x-2)(x-5)=0 \implies x=2, 5$.
स्थिति $2$: $g(x)=0$ और $f(x) \neq 0$
$x^2-6x-7=0 \implies (x-7)(x+1)=0 \implies x=7, -1$.
स्थिति $3$: $f(x)=-1$ और $g(x)$ एक सम पूर्णांक है
$x^2-7x+11=-1 \implies x^2-7x+12=0 \implies (x-3)(x-4)=0 \implies x=3, 4$.
$x=3, 4$ के लिए $g(x)$ की जाँच करें:
$x=3$ के लिए,$g(3)=3^2-6(3)-7=-16$ (सम,इसलिए $x=3$ एक हल है)।
$x=4$ के लिए,$g(4)=4^2-6(4)-7=-15$ (विषम,इसलिए $x=4$ हल नहीं है)।
$x$ के वास्तविक मानों का समुच्चय $\{2, 5, 7, -1, 3\}$ है।
इन मानों का योग $2+5+7-1+3=16$ है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ है।
यह एक व्युत्क्रम समीकरण है।
$x^3$ से भाग देने पर,हमें $6(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 25(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 31(x - \frac{1}{x}) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = x - \frac{1}{x}$। तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ और $x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6(t^3 + 3t) - 25(t^2 + 2) + 31t = 0$।
$6t^3 - 25t^2 + 49t - 50 = 0$।
समीकरण के गुणनखंड करने पर $(x-1)(x+1)(2x-1)(x-2)(3x^2-5x+3)=0$ प्राप्त होता है।
परिमेय मूल $\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2\}$ हैं।
सबसे छोटा मूल $m = -1$ और सबसे बड़ा मूल $M = 2$ है।
अतः,$M-m = 2 - (-1) = 3$।

(C) दिया गया द्वि-वर्ग समीकरण $x^4-9x^3+31x^2-49x+30=0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः,यदि $(2-i)$ एक मूल है,तो $(2+i)$ भी एक मूल है।
माना चार मूल $\alpha, \beta, (2-i),$ और $(2+i)$ हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta + (2-i) + (2+i) = 9$ है।
$\alpha + \beta + 4 = 9 \implies \alpha + \beta = 5$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot (2-i)(2+i) = 30$ है।
चूंकि $(2-i)(2+i) = 5$ है,इसलिए $\alpha \cdot \beta \cdot 5 = 30 \implies \alpha \cdot \beta = 6$.
$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha \cdot \beta = 6$ को हल करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है (क्योंकि $\alpha < \beta$)।
अतः,$2\alpha - \beta = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

(C) दिया गया समीकरण $3p^2x^3 + px^2 + qx + 3 = 0$ है। $p = 1$ और $q = -7$ रखने पर:
$3x^3 + x^2 - 7x + 3 = 0$.
$x = 1$ रखने पर,$3(1)^3 + (1)^2 - 7(1) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x - 1)$ एक गुणनखंड है। बहुपद को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर:
$(x - 1)(3x^2 + 4x - 3) = 0$.
मूल $x = 1$ और $3x^2 + 4x - 3 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
माना $\alpha = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}$ और $\beta = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}$.
अतः $|\alpha - \beta| = |\frac{2\sqrt{13}}{3}| = \frac{2\sqrt{13}}{3}$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2-4x+12=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x-3)-4(x-3)=0$
$(x^2-4)(x-3)=0$
$(x-2)(x+2)(x-3)=0$
अतः,मूल $\alpha=-2, \beta=2, \gamma=3$ हैं।
हमें $\sum(\alpha+\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 + (\beta+\gamma)^2 + (\gamma+\alpha)^2$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$(\alpha+\beta)^2 = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$
$(\beta+\gamma)^2 = (2+3)^2 = 5^2 = 25$
$(\gamma+\alpha)^2 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
योग करने पर: $0 + 25 + 1 = 26$.

(C) दिया गया है कि द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$,जिसका अर्थ है $b^2 < 4ac$.
माना $f(x) = 3a^2x^2 + 6abx + 2b^2$.
यहाँ $x^2$ का गुणांक $3a^2 > 0$ है,इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान होगा।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^2}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 3a^2$,$B = 6ab$,और $C = 2b^2$.
न्यूनतम मान $= \frac{4(3a^2)(2b^2) - (6ab)^2}{4(3a^2)} = \frac{24a^2b^2 - 36a^2b^2}{12a^2} = \frac{-12a^2b^2}{12a^2} = -b^2$.
चूंकि $b^2 < 4ac$,इसलिए $-b^2 > -4ac$.
अतः,न्यूनतम मान $-4ac$ से अधिक है।

(A) माना समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ के मूलों को $h$ से कम किया गया है। $x$ को $x+h$ से प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $(x+h)^4+(x+h)^3-4(x+h)^2+(x+h)+1=0$ हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2$ का गुणांक $6h^2+3h-4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2$ पद अनुपस्थित है,इसलिए हम $6h^2+3h-4=0$ रखते हैं।
इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के अंतर के संबंध का उपयोग करते हुए,$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$।
द्विघात समीकरण $6h^2+3h-4=0$ से,हमारे पास $\alpha+\beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ और $\alpha\beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ है।
अतः,$(\alpha-\beta)^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{3+32}{12} = \frac{35}{12}$।
इसलिए,$12(\alpha-\beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$।

(A) द्विघात समीकरण $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = 169 - 28\lambda$.
$\lambda \in (-3, 7)$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
जाँच करने पर:
$\lambda = -2$ के लिए,$D = 225 = (15)^2$ (पूर्ण वर्ग)।
$\lambda = 0$ के लिए,समीकरण $13x + 7 = 0$ बनता है,जिसका मूल $x = -7/13$ (परिमेय) है।
$\lambda = 6$ के लिए,$D = 1 = (1)^2$ (पूर्ण वर्ग)।
अतः,$S = \{-2, 0, 6\}$।
योग $= -2 + 0 + 6 = 4$।

(D) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2-x-3=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+3)-1(x+3)=0$
$(x^2-1)(x+3)=0$
$(x-1)(x+1)(x+3)=0$
अतः,मूल $\alpha = -3, \beta = -1, \gamma = 1$ हैं।
अब,हम व्यंजक की गणना करते हैं:
$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (1+(-3)^2)(1+(-1)^2)(1+(1)^2)$
$= (1+9)(1+1)(1+1)$
$= (10)(2)(2) = 40$.

(C) माना $y = x^2 - 2nx$. समीकरण $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ हो जाता है।
$y$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^2 + (2n^2-5)y + (n^2-1)(n^2-4) = (y + n^2-1)(y + n^2-4) = 0$.
$y$ का मान वापस रखने पर: $(x-n)(x^2 - 2nx + n^2 - 1)(x^2 - 2nx + n^2 - 4) = 0$.
यह $(x-n)((x-n)^2 - 1)((x-n)^2 - 4) = 0$ में सरल हो जाता है।
$(x-n)(x-n-1)(x-n+1)(x-n-2)(x-n+2) = 0$.
मूल $x = n, n+1, n-1, n+2, n-2$ हैं।
मूलों का गुणनफल $P = n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है।

(A) दिया गया है कि $2+\sqrt{3}$ समीकरण $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $2-\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा।
माना $x=2+\sqrt{3}$,तो $(x-2)^2=3$,जो सरल होकर $x^2-4x+1=0$ बनता है।
$f(x)$ को $x^2-4x+1$ से विभाजित करने पर,भागफल $x^2+6x+7$ प्राप्त होता है।
$x^2+6x+7=0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$.
$f(x)=0$ के मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ मूल नहीं है।

(B) हमारे पास है,$x^2+|x-3|=4$.
स्थिति $I$: $x \ge 3$.
समीकरण $x^2 + x - 3 = 4$ हो जाता है,जो $x^2 + x - 7 = 0$ में सरल होता है।
मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$ हैं।
ये मान $x \ge 3$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।
स्थिति $II$: $x < 3$.
समीकरण $x^2 - (x - 3) = 4$ हो जाता है,जो $x^2 - x - 1 = 0$ में सरल होता है।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
दोनों मूल $x < 3$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,सभी वास्तविक संख्याओं का योग $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$ है।

(B) माना समीकरण $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
प्रत्येक मूल को $1$ से कम करने पर,नए मूल $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$ प्राप्त होते हैं।
माना $y = x - 1$,अतः $x = y + 1$।
मूल समीकरण में $x = y + 1$ रखने पर:
$2(y+1)^3 + a(y+1)^2 - 8(y+1) + b = 0$
$2(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + a(y^2 + 2y + 1) - 8(y + 1) + b = 0$
$2y^3 + (6 + a)y^2 + (6 + 2a - 8)y + (2 + a - 8 + b) = 0$।
दिया गया है कि $y^2$ का गुणांक और अचर पद शून्य हैं:
$6 + a = 0 \Rightarrow a = -6$।
$2 + a - 8 + b = 0$ $\Rightarrow 2 - 6 - 8 + b = 0$ $\Rightarrow b = 12$।
मूल समीकरण $2x^3 - 6x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = 1$ एक मूल है $(1 - 3 - 4 + 6 = 0)$,अतः $(x - 1)$ से भाग देने पर:
$(x - 1)(x^2 - 2x - 6) = 0$।
मूल $x = 1$ और $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ हैं।

(A) हमारे पास है,$(x-2)(x-3) = k^2$,जहाँ $k \in R$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x + 6 - k^2 = 0$।
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$b = -5$,और $c = 6 - k^2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-5)^2 - 4(1)(6 - k^2) = 25 - 24 + 4k^2 = 1 + 4k^2$।
चूँकि सभी $k \in R$ के लिए $k^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $1 + 4k^2 \ge 1$ होगा।
अतः,$D > 0$ है।
विविक्तकर धनात्मक होने के कारण,मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होते हैं।

(C) दी गई असमिका $f(x) = 9mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।
$x$ से गुणा करने पर,$9mx^2 - x + 1 \geq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c \geq 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a = 9m$,$b = -1$,और $c = 1$ है।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(9m)(1) = 1 - 36m$ है।
शर्त के अनुसार,$1 - 36m \leq 0 \implies 36m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{36}$।
अतः,$m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{36}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $|x|^2-5|x|+6=0$
माना $|x|=y$ है। चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ होगा।
समीकरण $y^2-5y+6=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(y-2)(y-3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $y=2$ या $y=3$ मिलता है।
$|x|=y$ प्रतिस्थापित करने पर:
स्थिति $1$: $|x|=2 \Rightarrow x = \pm 2$।
स्थिति $2$: $|x|=3 \Rightarrow x = \pm 3$।
अतः,वास्तविक मूल $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ हैं।
इसलिए,वास्तविक मूलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है $3 \cos A + 2 = 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{2}{3}$।
चूँकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,$\sin A > 0$ होगा। अतः $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$।
तब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$।
मूलों $\alpha$ और $\beta$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ होता है।
यहाँ,$\alpha = \sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ और $\beta = \tan A = -\frac{\sqrt{5}}{2}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{6}$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = -\frac{5}{6}$।
समीकरण $x^2 - (-\frac{\sqrt{5}}{6})x - \frac{5}{6} = 0$ है,जो $x^2 + \frac{\sqrt{5}}{6}x - \frac{5}{6} = 0$ में सरल होता है।
$6$ से गुणा करने पर,$6x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-6x+1=0$ के मूल हैं।
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$ है।
तब $y(x+1) = x$,जिसका अर्थ है $yx + y = x$,या $x(1-y) = y$,इसलिए $x = \frac{y}{1-y}$।
इसे मूल समीकरण $x^2-6x+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{1-y})^2 - 6(\frac{y}{1-y}) + 1 = 0$।
$(1-y)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 - 6y(1-y) + (1-y)^2 = 0$।
$y^2 - 6y + 6y^2 + 1 - 2y + y^2 = 0$।
$8y^2 - 8y + 1 = 0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $8x^2-8x+1=0$ है।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
मूलों के गुणों के अनुसार:
$\alpha + \beta = p$ (मूलों का योग)
$\alpha \cdot \beta = q$ (मूलों का गुणनफल)
चूँकि $q$ एक अभाज्य संख्या है,इसके केवल $1$ और $q$ ही गुणनखंड हो सकते हैं। अतः,मूल $1$ और $q$ होने चाहिए।
योग के समीकरण में मान रखने पर: $1 + q = p$.
चूँकि $p$ और $q$ दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं,हम ऐसी दो अभाज्य संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका अंतर $1$ हो। ऐसी केवल $2$ और $3$ हैं (जहाँ $q=2$ और $p=3$)।
$p=3$ और $q=2$ को समीकरण में रखने पर: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,मूल $1$ और $2$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$.
माना $t = x-a$. तब समीकरण $t(t-1)+(t-1)(t-2)+t(t-2)=0$ हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर: $(t^2-t) + (t^2-3t+2) + (t^2-2t) = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर: $3t^2 - 6t + 2 = 0$.
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि $D > 0$,इसलिए $t$ के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
अतः,किसी भी $a \in R$ के लिए $x = a + t$ भी वास्तविक और भिन्न होंगे।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ के अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।
$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$ है। सूत्र में $m=1, n=1$ रखने पर: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. यह $(E)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ यदि $\alpha = 2\beta$ है,तो अनुपात $2:1$ है। $m=2, n=1$ रखने पर: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ यदि $\alpha = 3\beta$ है,तो अनुपात $3:1$ है। $m=3, n=1$ रखने पर: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ यदि $\alpha = \beta^2$ है,तो $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ रखने पर,हमें $\beta^2 + \beta = -b/a$ और $\beta^3 = c/a$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = (c/a)^{1/3}$. इस मान को योग के समीकरण में रखने पर: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ से गुणा करने पर: $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $i-E, ii-B, iii-D, iv-A$ है।

(C) माना $f(x) = x^4+4x^3-16x-16$ है।
बहुल मूल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 4x^3+12x^2-16$ निकालते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4(x^3+3x^2-4) = 0$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$,$f'(x)$ का एक मूल है,अतः $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3+3x^2-4$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(x+2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$f'(x)=0$ के मूल $x=1$ और $x=-2$ हैं।
$f(x)$ में इन मानों की जाँच करने पर:
$f(1) = 1+4-16-16 = -27 \neq 0$.
$f(-2) = (-2)^4+4(-2)^3-16(-2)-16 = 16-32+32-16 = 0$.
चूँकि $f(-2)=0$ और $f'(-2)=0$ है,इसलिए $x=-2$ एक बहुल मूल है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=-2$,$x^2+x-2=0$ का मूल है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक और समान होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $3x^2 + (2k + 1)x - 5k = 0$.
यहाँ $a = 3$,$b = (2k + 1)$,और $c = -5k$.
$D = (2k + 1)^2 - 4(3)(-5k) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 + 60k = 0$.
$4k^2 + 64k + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{-64 \pm \sqrt{4080}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{255}}{2}$.
शर्त $-\frac{1}{2} < k < 0$ के अनुसार,$k = \frac{-16 + \sqrt{255}}{2}$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x_1+x_2+x_3 = -1$.
दिया गया है कि $E_2: x^3+ax^2+bx+c=0$ प्रथम प्रकार का व्युत्क्रम समीकरण है,इसलिए $c=1$ और $a=b$.
अतः,$E_2: x^3+ax^2+ax+1=0$.
$E_2$ के मूल $\frac{x_i-1}{2}$ हैं।
$E_2$ के मूलों का योग $\sum \frac{x_i-1}{2} = \frac{(x_1+x_2+x_3)-3}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$.
$E_2$ से,मूलों का योग $-a$ है,इसलिए $-a = -2 \Rightarrow a=2$.
$E_2$ समीकरण $x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) = 0$ बन जाता है।
$E_2$ के मूल $-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
$\frac{x_i-1}{2} = y_i$ का उपयोग करने पर,$x_i = 2y_i+1$.
$y_1 = -1$ के लिए,$x_1 = 2(-1)+1 = -1$.
$y_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_2 = 2(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})+1 = i\sqrt{3}$.
$y_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_3 = 2(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})+1 = -i\sqrt{3}$.
$E_1$ के मूल $\{-1, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}\}$ हैं।
$E_2$ के मूल $\{-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $-1$ है।
उभयनिष्ठ मूल को छोड़कर,शेष मूल $\{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $3$,$x^2+kx-24=0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x=3$ रखने पर:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.
अब,$k=5$ और $x=3$ रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - kx + 6 = 0$
$x=3$ और $k=5$ रखने पर:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
अतः,$3$,$x^2-kx+6=0$ का भी मूल है।