Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) माना $f(x) = (x-a)(x-c) + 2(x-b)(x-d)$.
चूंकि $f(x)$ एक धनात्मक अग्रणी गुणांक $(3x^2)$ वाला द्विघात बहुपद है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होंगे यदि विविक्तकर $D > 0$ हो।
$x=a, b, c, d$ पर $f(x)$ के मानों पर विचार करने पर:
$f(a) = 2(a-b)(a-d) > 0$ (क्योंकि $a < b$ और $a < d$)
$f(b) = (b-a)(b-c) < 0$ (क्योंकि $b > a$ और $b < c$)
$f(c) = 2(c-b)(c-d) < 0$ (क्योंकि $c > b$ और $c < d$)
$f(d) = (d-a)(d-c) > 0$ (क्योंकि $d > a$ और $d > c$)
चूंकि $f(a) > 0$ और $f(b) < 0$,इसलिए $(a, b)$ के बीच एक मूल स्थित है।
चूंकि $f(c) < 0$ और $f(d) > 0$,इसलिए $(c, d)$ के बीच एक मूल स्थित है।
अतः,समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

(B) मान लीजिए कि $p(x)$ को $x^2-a^2$ से विभाजित करने पर शेषफल $R(x) = mx + c$ है,जहाँ $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(a) = -a$ और $p(-a) = a$ है।
चूँकि $p(x) = (x^2-a^2)q(x) + (mx+c)$ है,इसलिए:
$p(a) = m(a) + c = -a$ ... $(i)$
$p(-a) = m(-a) + c = a$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर: $2ma = -2a \Rightarrow m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $-a + c = -a \Rightarrow c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $R(x) = -1(x) + 0 = -x$ है।

(C) माना $f(x) = 4x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 12x + 36$ है।
यदि $\alpha$ एक बहुविध मूल है,तो $f'(\alpha) = 0$ होगा।
$f'(x) = 16x^3 + 12x^2 - 46x - 12$।
$f'(x) = 0$ रखने पर: $8x^3 + 6x^2 - 23x - 6 = 0$।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x = -2$ के लिए: $8(-8) + 6(4) - 23(-2) - 6 = 0$।
अतः,$x = -2$ एक मूल है।
$x = 1.5$ के लिए: $8(27/8) + 6(9/4) - 23(3/2) - 6 = 0$।
अतः,$x = 1.5$ एक मूल है।
चूँकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 1.5$ और $\beta = -2$ है।
तब $2\alpha - \beta = 2(1.5) - (-2) = 3 + 2 = 5$।

(A) सबसे पहले,समीकरण $x^4-6x^3+11x^2-6x=0$ के मूल ज्ञात करें।
गुणनखंड करने पर,हमें $x(x^3-6x^2+11x-6)=0$ प्राप्त होता है।
$x^3-6x^2+11x-6$ का और गुणनखंड करने पर,हमें $x(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $0, 1, 2, 3$ हैं। सबसे छोटा मूल $0$ है।
मान लीजिए कि $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ के मूल $r_1, r_2, r_3$ हैं।
जब इन मूलों में $1$ की वृद्धि की जाती है,तो नए मूलों में से एक $0$ है।
अतः,किसी $i$ के लिए $r_i+1=0$,जिसका अर्थ है कि $r_i=-1$ है।
चूंकि $-1$,$x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ का एक मूल है,हम $x=-1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(-1)^3+\alpha(-1)^2+\beta(-1)+6=0$
$-1+\alpha-\beta+6=0$
$\alpha-\beta+5=0$.

(C) माना कि दिए गए समीकरण $x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4=0$ के मूल $\alpha_i$ हैं। हमें वह समीकरण चाहिए जिसके मूल $\beta_i = \alpha_i + 2$ हों।
इसका अर्थ है $\alpha_i = \beta_i - 2$।
मूल समीकरण में $x = y - 2$ रखने पर,हमें $(y-2)^5 - 3(y-2)^4 - (y-2)^3 + 11(y-2)^2 - 12(y-2) + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(y-2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$
$-3(y-2)^4 = -3y^4 + 24y^3 - 72y^2 + 96y - 48$
$-(y-2)^3 = -y^3 + 6y^2 - 12y + 8$
$11(y-2)^2 = 11y^2 - 44y + 44$
$-12(y-2) = -12y + 24$
$+4 = 4$
योग करने पर:
$y^5 - 13y^4 + 63y^3 - 135y^2 + 108y = 0$।
अतः,समीकरण $x^5 - 13x^4 + 63x^3 - 135x^2 + 108x = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-x^3-6x^2+4x+8=0$ है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(x^3+x^2-4x-4)=0$ प्राप्त होता है।
त्रिघात बहुपद $x^3+x^2-4x-4$ में पुनः $x=2$ रखने पर,$8+4-8-4=0$ प्राप्त होता है,अतः $x=2$ पुनः एक मूल है।
$(x^3+x^2-4x-4)$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(x^2+3x+2)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x^2+3x+2) = (x+1)(x+2)$।
अतः,मूल $x=2, 2, -1, -2$ हैं।
दो समान मूल $2, 2$ हैं।
अन्य दो मूल $\alpha = -1$ और $\beta = -2$ हैं।
इसलिए,$\alpha^2+\beta^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+3x^2-10x-24=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -3$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -10$,और $\alpha\beta\gamma = 24$।
माना $S = \alpha+\beta+\gamma = -3$। नए समीकरण के मूल $\alpha(S-\alpha), \beta(S-\beta), \gamma(S-\gamma)$ हैं।
$q$ दो-दो मूलों के गुणनफल का योग है:
$q = (\alpha S - \alpha^2)(\beta S - \beta^2) + (\beta S - \beta^2)(\gamma S - \gamma^2) + (\gamma S - \gamma^2)(\alpha S - \alpha^2)$।
मान रखने पर:
$q = (-3)^2(-10) - (-3)((-3)(-10) - 3(24)) + ((-10)^2 - 2(24)(-3))$।
$q = -90 + 3(30 - 72) + (100 + 144) = 28$।

(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(k+2)x+6k+7=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = b^2 - 4ac = 0$।
$ax^2+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$b=2(k+2)$,और $c=6k+7$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[2(k+2)]^2 - 4(1)(6k+7) = 0$
$4(k^2+4k+4) - 24k - 28 = 0$
$4k^2 + 16k + 16 - 24k - 28 = 0$
$4k^2 - 8k - 12 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$k^2 - 2k - 3 = 0$
$(k-3)(k+1) = 0$
अतः,$k_1 = 3$ और $k_2 = -1$।
इसलिए,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$।

(D) दिया गया है कि $(3+2 \sqrt{2}) \cdot (3-2 \sqrt{2}) = 9-8 = 1$.
अतः,$(3-2 \sqrt{2}) = \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$.
माना $y = (3+2 \sqrt{2})^{x^2-4}$.
समीकरण $y + \frac{1}{y} = 6$ हो जाता है,जो $y^2 - 6y + 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y$ के लिए हल करने पर,$y = 3 \pm 2 \sqrt{2}$.
स्थिति $1$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3+2 \sqrt{2}$ $\Rightarrow x^2-4 = 1$ $\Rightarrow x^2 = 5$.
स्थिति $2$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3-2 \sqrt{2} = (3+2 \sqrt{2})^{-1}$ $\Rightarrow x^2-4 = -1$ $\Rightarrow x^2 = 3$.
यदि $x^2 = 5$ है,तो $x^4+x^2+5 = (5)^2 + 5 + 5 = 35$.
यदि $x^2 = 3$ है,तो $x^4+x^2+5 = (3)^2 + 3 + 5 = 17$.
दिए गए विकल्पों में $35$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $35$ है।

(D) माना समीकरण $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल $\alpha, \alpha, \alpha, \beta$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$3\alpha + \beta = -a$
$3\alpha^2 + 3\alpha\beta = b$
$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta = -c$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = \frac{6c-ab}{3a^2-8b}$

(B) दिया गया समीकरण $f(x) = ax^3 + ax^2 + bx + c = 0$ है।
चूंकि $x = -1$ एक दो बार पुनरावृत्त मूल है,इसलिए $f(-1) = 0$ और $f'(-1) = 0$ होगा।
सबसे पहले,$f(-1) = a(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -a + a - b + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = b$।
अगला,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3ax^2 + 2ax + b$।
$f'(-1) = 0$ रखने पर: $3a(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3a - 2a + b = a + b = 0$।
इससे $a = -b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $a:b:c = (-b):b:b = -1:1:1$।

(C) दिया गया समीकरण $3^{x+1}+3^{-x+1}=10$ है।
इसे $3(3^x) + \frac{3}{3^x} = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = 3^x$ है। तब समीकरण $3y + \frac{3}{y} = 10$ हो जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,हमें $3y^2 - 10y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0$।
अतः,$(3y-1)(y-3) = 0$,जिससे $y = 3$ या $y = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$y = 3^x$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$।
स्थिति $2$: $3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$।
धनात्मक वास्तविक मूल $x = 1$ है।
अतः,केवल $1$ धनात्मक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{13}{6}$ है।
माना $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$। $t$ को परिभाषित और वास्तविक होने के लिए,$\frac{x}{1-x} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \in (0, 1)$।
समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$ बन जाता है।
$6t$ से गुणा करने पर,हमें $6t^2 - 13t + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 3)(3t - 2) = 0$,इसलिए $t = \frac{3}{2}$ या $t = \frac{2}{3}$।
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow 4x = 9 - 9x$ $\Rightarrow 13x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{9}{13}$।
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 13x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{13}$।
दोनों मान $x = \frac{9}{13}$ और $x = \frac{4}{13}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित हैं।
अतः,$2$ वास्तविक मूल हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^4-2x^3+x-380=0$ है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=5$ एक मूल है:
$5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 380-380 = 0$.
इसके बाद,हम $x=-4$ का परीक्षण करते हैं:
$(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 384-4-380 = 0$.
चूंकि $x=5$ और $x=-4$ मूल हैं,हम बहुपद को $(x-5)(x+4) = x^2-x-20$ से विभाजित कर सकते हैं।
विभाजन करने पर: $(x^4-2x^3+x-380) \div (x^2-x-20) = x^2-x+19$.
शेष मूल $x^2-x+19=0$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(19) = 1 - 76 = -75$.
चूंकि $D < 0$,$x^2-x+19=0$ के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
अतः,केवल वास्तविक मूल $5$ और $-4$ हैं।
वास्तविक मूलों का योग $5 + (-4) = 1$ है।

(B) माना $y = x^{1/3}$ है। तब समीकरण $y^2 + y - 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y = 1$ या $y = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = x^{1/3}$,इसलिए $x^{1/3} = 1 \Rightarrow x = 1^3 = 1$ है।
और $x^{1/3} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$ है।
समीकरण के मूल $1$ और $-8$ हैं।
मूलों के वर्गों का योग $(1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$ है।

(B) यदि $x^2 + px + 1$,$ax^3 + bx + c$ का गुणनखंड है,तो बहुपद विभाजन करने पर:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax - ap) + (b - a + ap^2)x + (ap + c)$
शेषफल शून्य होना चाहिए:
$1) \ ap + c = 0 \Rightarrow p = -\frac{c}{a} \dots (i)$
$2) \ b - a + ap^2 = 0$
समीकरण $(i)$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$b - a + a(-\frac{c}{a})^2 = 0$
$b - a + \frac{c^2}{a} = 0$
$a$ से गुणा करने पर:
$ab - a^2 + c^2 = 0$
$a^2 - c^2 = ab$

(B) माना $x = e^t$,जिसका अर्थ है $t = \log_e x$।
तब,दिया गया समीकरण $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 22x + 4 = 0$ में परिवर्तित हो जाता है।
माना $x_1, x_2, x_3, x_4$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{4}{1} = 4$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e(x_1 x_2 x_3 x_4) = \log_e 4$।
गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर,$\log_e x_1 + \log_e x_2 + \log_e x_3 + \log_e x_4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$।
चूंकि $t_i = \log_e x_i$ समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 2 \log_e 2$ है।

(B) माना दिया गया समीकरण $f(x) = x^3-4x^2+5x-2=0$ है,जिसके मूल $x = 2, 1, 1$ हैं।
दूसरा समीकरण $f\left(x+\frac{1}{3}\right) = 0$ द्वारा दिया गया है।
यदि $x_0$,$f(x) = 0$ का एक मूल है,तो नए समीकरण के लिए $x+\frac{1}{3} = x_0$ होना चाहिए।
इसलिए,$x = x_0 - \frac{1}{3}$।
इस संबंध में मूल $x_0 = 2, 1, 1$ रखने पर:
$x_1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
$x_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$x_3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
अतः,नए समीकरण के मूल $\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $2x^3 - x^2 - 22x - 24 = 0$.
माना मूल $3k, 4k, \gamma$ हैं।
मूलों का योग: $3k + 4k + \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{1}{2} - 7k$.
मूलों का गुणनफल: $(3k)(4k)(\gamma) = 12$ $\Rightarrow 12k^2 \gamma = 12$ $\Rightarrow k^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $k^2(\frac{1}{2} - 7k) = 1 \Rightarrow 14k^3 - k^2 + 2 = 0$.
$k = -1/2$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः मूल $\frac{-3}{2}, -2, 4$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x+1}-|\sqrt{x-1}|=\sqrt{4x-1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
सरल करने पर $x = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) परिमेय गुणांकों वाले बहुपद $f(x)$ के लिए,यदि $a + \sqrt{b}$ के रूप की कोई अपरिमेय संख्या एक मूल है,तो उसका संयुग्मी $a - \sqrt{b}$ भी एक मूल होना चाहिए।
चूंकि सभी मूल अपरिमेय हैं और संयुग्मी जोड़ों में आते हैं,इसलिए मूलों की कुल संख्या सम होनी चाहिए।
अतः,$f(x)$ की घात एक सम संख्या होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $x^3-x^2+x-4=0$ का एक मूल है।
वह समीकरण ज्ञात करने के लिए जिसके मूल दिए गए समीकरण के मूलों के ऋणात्मक हैं,हम $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
मूल समीकरण में $x$ के स्थान पर $-x$ रखने पर:
$(-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 4 = 0$
$-x^3 - x^2 - x - 4 = 0$
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 + x^2 + x + 4 = 0$
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3 + x^2 + x + 4 = 0$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.
चूँकि भाजक $2$ घात का है,शेषफल $r(x)$ की घात अधिकतम $1$ होगी। मान लीजिए $r(x) = \alpha x + \beta$.
अतः $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + \alpha x + \beta$.
$x = a$ और $x = b$ रखने पर:
$f(a) = \alpha a + \beta$ $(i)$
$f(b) = \alpha b + \beta$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$f(a) - f(b) = \alpha(a - b) \implies \alpha = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$\beta = f(a) - \alpha a = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$.
इस प्रकार,$r(x) = \alpha x + \beta = \frac{(x - a) f(b) - (x - b) f(a)}{b - a}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$x^3 - 2x^2 - 9x^2 + 18x + 18x - 36 = 0$
$x^2(x - 2) - 9x(x - 2) + 18(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x^2 - 9x + 18) = 0$
$(x - 2)(x - 3)(x - 6) = 0$
अतः मूल $x = 2, 3, 6$ हैं।
इसलिए,$x = 4$ दिए गए बहुपद का मूल नहीं है।

(A) माना $P(x) = x^4-11x^3+44x^2-76x+48$ और $D(x) = x^2-7x+12$ है।
सबसे पहले,भाजक का गुणनखंड करें: $D(x) = (x-3)(x-4)$।
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$,जहाँ $R(x) = ax+b$ शेषफल है।
अतः,$P(x) = (x-3)(x-4)Q(x) + ax+b$।
$x=3$ के लिए: $P(3) = 3^4 - 11(3^3) + 44(3^2) - 76(3) + 48 = 0$।
अतः,$3a+b = 0$।
$x=4$ के लिए: $P(4) = 4^4 - 11(4^3) + 44(4^2) - 76(4) + 48 = 0$।
अतः,$4a+b = 0$।
समीकरणों $3a+b=0$ और $4a+b=0$ को हल करने पर $a=0$ और $b=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,शेषफल $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3+4 x^2 \cos \theta+x \cot \theta=0$ है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta)=0$ प्राप्त होता है।
एक मूल $x=0$ है। समीकरण के मूल समान होने के लिए,या तो द्विघात भाग $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ के मूल समान होने चाहिए (विविक्तकर $D=0$) या $x=0$ द्विघात भाग का एक मूल होना चाहिए।
स्थिति $1$: $D = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$.
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0 \Rightarrow 4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = 0$ (संभव नहीं क्योंकि $\theta$ न्यून कोण है) या $4 \cos \theta \sin \theta = 1$.
$2 \sin 2 \theta = 1 \Rightarrow \sin 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$.
स्थिति $2$: $x=0$ समीकरण $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ का मूल हो,जिसका अर्थ है $\cot \theta = 0$,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$ (न्यून कोण नहीं है)।
अतः,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{12} \text{ या } \frac{5 \pi}{12}$ हैं।

(C) माना $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$.
मूल ज्ञात करने के लिए,हम छोटी पूर्णांक मानों का परीक्षण करते हैं।
$f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,अतः $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$f'(x) = 5x^4-12x^3-15x^2+54x-32$.
$f'(1) = 5-12-15+54-32 = 0$,अतः $(x-1)^2$ एक गुणनखंड है।
$f''(x) = 20x^3-36x^2-30x+54$.
$f''(1) = 20-36-30+54 = 8 \neq 0$. इस प्रकार,$x=1$ एक $2$ की बहुलता (multiplicity) वाला मूल है।
$f(x)$ को $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $x^3-x^2-6x+12$ प्राप्त होता है।
$f'(x)$ में $x=2$ रखने पर $f'(2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x=2$ समीकरण $f(x)$ और $f'(x)$ का मूल है,जिसका अर्थ है कि $(x-2)^2$ एक गुणनखंड है।
$f(x)$ को $(x-1)^2(x-2)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+3)$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 1, 2, 2, -3$ हैं।
गैर-पुनरावृत्त मूल $-3$ है।
$-3$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^5-5x^4+9x^3-9x^2+5x-1=0$ है।
इसे $(x-1)(x^4-4x^3+5x^2-4x+1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2+1/x^2) - 4(x+1/x) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
$t = x+1/x$ रखने पर,$t^2-4t+3=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $t=3$ या $t=1$ हैं।
$t=3$ के लिए,$x^2-3x+1=0$ के मूल $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
उनका अंतर $\sqrt{5}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ है।
माना $|x|^{3/5} = t$ है।
तब समीकरण $t^2 - 26t - 27 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 27)(t + 1) = 0$।
इससे $t = 27$ या $t = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x|^{3/5} \geq 0$ है,इसलिए $t = 27$ होगा।
अतः,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$।
दोनों पक्षों की घात $5/3$ करने पर: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$।
इस प्रकार,$x = 3^5$ या $x = -3^5$।
वास्तविक मूलों का गुणनफल $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3-a x^2+a x-1=0$ है।
हम समीकरण का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$(x^3-1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1-a x) = 0$
$(x-1)(x^2+(1-a)x+1) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 1$ एक मूल है,इसलिए $\alpha$ द्विघात समीकरण $x^2+(1-a)x+1=0$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$\alpha^2+(1-a)\alpha+1=0$।
$\alpha$ से भाग देने पर (चूंकि $\alpha \neq 0$),हमें $\alpha + (1-a) + \frac{1}{\alpha} = 0$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $x$ एक मूल है,तो $\frac{1}{x}$ भी एक मूल है क्योंकि समीकरण व्युत्क्रम (reciprocal) है।
इसलिए,यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\frac{1}{\alpha}$ भी एक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ है।
$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots = 0$ के रूप वाले समीकरण के दूसरे पद को हटाने के लिए,हम मूलों को $h = -\frac{a_1}{n \cdot a_0}$ से कम करते हैं।
यहाँ,$a_0 = 1$,$a_1 = -8$,और $n = 4$ है।
अतः,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$।
इसलिए,मूलों को $2$ से कम करना चाहिए।

(B) माना $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$ है।
डेसकार्टेस के चिह्नों के नियम के अनुसार,धनात्मक वास्तविक मूलों की संख्या $f(x)$ के गुणांकों में होने वाले चिह्न परिवर्तनों की संख्या के बराबर होती है।
गुणांक $(1, 0, 0, -6, -4, 5)$ हैं।
चिह्न परिवर्तन: $(1$ से $-6)$ और $(-4$ से $5)$।
अतः,$2$ चिह्न परिवर्तन हैं,इसलिए अधिकतम $2$ धनात्मक वास्तविक मूल हो सकते हैं।
अब,$f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ लें।
गुणांक $(-1, 0, 0, -6, 4, 5)$ हैं।
चिह्न परिवर्तन: $(-6$ से $4)$।
अतः,$1$ चिह्न परिवर्तन है,इसलिए अधिकतम $1$ ऋणात्मक वास्तविक मूल हो सकता है।
इसलिए,वास्तविक मूलों की अधिकतम संभावित संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-6(k-1)x+4(k-2)=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,इसलिए $\alpha + \beta = 0$ होगा।
मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + \beta = 6(k-1) = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
$k=1$ रखने पर,$x^2 - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \pm 2$।
$\alpha > \beta$ होने के कारण,$\alpha = 2$ और $\beta = -2$ है।
अब,दूसरे समीकरण $2x^2 - \alpha x + 6\beta(\alpha+1) = 0$ में मान रखने पर: $2x^2 - 2x + 6(-2)(2+1) = 0$।
$2x^2 - 2x - 36 = 0$।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के लिए मूलों का गुणनफल $c/a$ होता है।
यहाँ,गुणनफल $-36/2 = -18$ है।

(B) दिया गया है कि $x^2-5x+6$,$f(x)=x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ का एक गुणनखंड है।
हम $x^2-5x+6$ को $(x-2)(x-3)$ के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।
अतः,$f(2)=0$ और $f(3)=0$ होगा।
मान लीजिए कि दूसरा द्विघात गुणनखंड $x^2+ax+b$ है।
$f(x)$ का अचर पद $210$ है,इसलिए $(x^2-5x+6)(x^2+ax+35) = x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ होगा।
$x^3$ के गुणांक की तुलना करने पर: $a-5 = -17$,जिससे $a = -12$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा द्विघात गुणनखंड $x^2-12x+35$ है।

(A) माना $f(x) = 18x^3-33x^2+20x-4$ है। यदि $\alpha$ का बहुलता $2$ है,तो यह $f(\alpha) = 0$ और $f'(\alpha) = 0$ को संतुष्ट करता है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 54x^2-66x+20$ है।
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,$54\alpha^2-66\alpha+20 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,$27\alpha^2-33\alpha+10 = 0$ मिलता है।
$\alpha = \frac{2}{3}$ समीकरण का मूल है।
विकल्प $A$ में $\alpha = \frac{2}{3}$ रखने पर: $3(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + 4 = 0$।

(B) दिया गया व्युत्क्रम समीकरण $6x^4-5x^3+13x^2-5x+6=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x=0$ मूल नहीं है),हमें $6x^2-5x+13-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$ प्राप्त होता है।
पदों को समूहित करने पर: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+13=0$।
माना $t = x+\frac{1}{x}$,तो $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $6(t^2-2)-5t+13=0 \implies 6t^2-5t+1=0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $(3t-1)(2t-1)=0$,अतः $t=\frac{1}{3}$ या $t=\frac{1}{2}$।
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ के लिए,$x^2-\frac{1}{3}x+1=0$। विविक्तकर $D = (\frac{1}{3})^2 - 4(1) = \frac{1}{9}-4 < 0$।
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ के लिए,$x^2-\frac{1}{2}x+1=0$। विविक्तकर $D = (\frac{1}{2})^2 - 4(1) = \frac{1}{4}-4 < 0$।
चूंकि दोनों द्विघात समीकरणों के विविक्तकर ऋणात्मक हैं,इसलिए चारों मूल सम्मिश्र संख्याएं हैं।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3x^2+x+5 = (x-3)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3x^2+x+5 = x^2-6x+9$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2+7x-4 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2+8x-x-4 = 0$,जो $2x(x+4)-1(x+4) = 0$ देता है।
अतः,$(2x-1)(x+4) = 0$,जिससे $x = 1/2$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
अब,हमें इन मानों को मूल समीकरण $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ में जांचना होगा।
$x = 1/2$ के लिए: $\sqrt{3(1/4)+1/2+5} = 2.5$,जबकि $x-3 = -2.5$। चूँकि $2.5 \neq -2.5$,इसलिए $x = 1/2$ हल नहीं है।
$x = -4$ के लिए: $\sqrt{3(16)-4+5} = 7$,जबकि $x-3 = -7$। चूँकि $7 \neq -7$,इसलिए $x = -4$ हल नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(A) समीकरण $x^2-7x+10=0$ के लिए,मूल $x=2$ और $x=5$ हैं। मूलों का अंतर $|5-2|=3$ है।
समीकरण $x^2-17x+k=0$ के लिए,मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। मूलों का अंतर $|\alpha-\beta|=3$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर,हमें $3^2 = (17)^2 - 4k$ प्राप्त होता है।
$9 = 289 - 4k$.
$4k = 289 - 9 = 280$.
$k = 70$.
$70$ के भाजक $1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$14$ संख्या $70$ का एक भाजक है।

(B) माना $|x| = t$ है। चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 5t + 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t-2)(t-3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 2$ या $t = 3$ है।
$|x| = 2$ होने पर,$x = 2$ या $x = -2$ है।
$|x| = 3$ होने पर,$x = 3$ या $x = -3$ है।
वास्तविक मूल $2, -2, 3, -3$ हैं।
सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $(2) \times (-2) \times (3) \times (-3) = (-4) \times (-9) = 36$ है।

(D) दिया गया है $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
वर्गमूल के अंदर हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
अब,हमें $x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ का मान ज्ञात करना है।
$x = 2+\sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ का उपयोग करने पर:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
अतः,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(D) दिया गया है कि $2+4i$,$x^2+bx+c=0$ समीकरण का एक मूल है,जहाँ $b, c \in R$ है। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः,दूसरा मूल $2-4i$ होगा।
मूलों का योग $= -b = (2+4i) + (2-4i) = 4$. अतः,$b = -4$.
मूलों का गुणनफल $= c = (2+4i)(2-4i) = 2^2 - (4i)^2 = 4 + 16 = 20$. अतः,$c = 20$.
इसलिए,$(b, c) = (-4, 20)$.
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
यह दिया गया है कि $1-i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1+i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल अचर पद $b$ के बराबर होता है।
अतः,$b = (1-i)(1+i)$।
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ का उपयोग करने पर:
$b = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।
इस प्रकार,$b = 2$।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
ये मूल इकाई के घनमूल हैं,अर्थात् $\omega$ और $\omega^2$।
माना $\alpha = \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ और $\beta = \omega^2 = e^{i \frac{4\pi}{3}}$।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{2023}$ और $\beta^{1012}$ हैं।
सबसे पहले,$\alpha^{2023} = (\omega)^{2023} = \omega^{2023 \pmod 3} = \omega^{2022+1} = \omega^1 = \alpha$ की गणना करें।
इसके बाद,$\beta^{1012} = (\omega^2)^{1012} = \omega^{2024} = \omega^{2022+2} = \omega^2 = \beta$ की गणना करें।
चूंकि नए समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए आवश्यक द्विघात समीकरण मूल समीकरण के समान ही है: $x^2+x+1=0$।