Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-6x^2+6x-5=0$ है।
मूलों को $h$ से बढ़ाने के लिए,हम $x$ को $(x+h)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण: $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$ होगा।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-6(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)-5=0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के पदों को समूहित करने पर: $x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$।
चूंकि नए समीकरण में $x^2$ का पद नहीं है,इसलिए $x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $3h-6=0$।
$h$ के लिए हल करने पर: $3h=6 \Rightarrow h=2$।

(D) सबसे पहले,दिए गए समीकरण $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$ का गुणनखंड करें।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ और $x=3$ मूल हैं।
$(x-2)^2(x-3)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)^2(x-3)^2=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $2, 2, 3, 3$ हैं।
मान लीजिए मूल $r_1=2, r_2=2, r_3=3, r_4=3$ हैं।
हम दो भिन्न मूलों में $1$ जोड़ते हैं। भिन्न मूल $2$ और $3$ हैं।
इनमें $1$ जोड़ने पर नए मूल $3$ और $4$ प्राप्त होते हैं।
अन्य दो मूल $2$ और $3$ स्थिर रहते हैं।
अतः नए मूल $2, 3, 3, 4$ हैं।
मूल समीकरण के मूल ${2, 2, 3, 3}$ हैं और नए मूल ${2, 3, 3, 4}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $2, 3, 3$ हैं।
प्रश्न उभयनिष्ठ मूलों की संख्या पूछता है।
समुच्चयों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ मान $2$ और $3$ हैं।
अतः,$2$ भिन्न उभयनिष्ठ मूल हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 + bx + c$।
चूंकि सभी $k \in R$ के लिए $f(1+k) = f(1-k)$ है,परवलय की सममिति की धुरी $x = 1$ है।
$f(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए सममिति की धुरी का सूत्र $x = -b/(2a)$ है।
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $-b/2 = 1$,जिसका अर्थ है $b = -2$।
अतः,$f(x) = x^2 - 2x + c$।
अब,मानों की गणना करें:
$f(0) = 0^2 - 2(0) + c = c$।
$f(1) = 1^2 - 2(1) + c = 1 - 2 + c = c - 1$।
$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + c = 1 + 2 + c = c + 3$।
इन मानों की तुलना करने पर: $c - 1 < c < c + 3$।
इसलिए,$f(1) < f(0) < f(-1)$।

(D) माना $f(x) = 6x^3-25x^2+2x+8$ है। रेशनल रूट प्रमेय के अनुसार,संभावित पूर्णांक मूल $8$ के गुणनखंड और $6$ के गुणनखंडों का अनुपात हैं। $x=4$ रखने पर,$f(4) = 6(64)-25(16)+2(4)+8 = 384-400+8+8 = 0$। अतः,$x=4$ एक मूल है। $6x^3-25x^2+2x+8$ को $(x-4)$ से विभाजित करने पर,हमें $6x^2-x-2=0$ प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x+1)(3x-2)=0$। मूल $x = -1/2$ और $x = 2/3$ हैं। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta < 0$ है,इसलिए $\alpha = 2/3$ और $\beta = -1/2$ है। अतः,$\frac{4}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{-1/2} = 6 - 2 = 4$।

(D) दिया गया समीकरण $x^4-x^2+x-1=0$ है।
माना $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ है। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}i + 1-\sqrt{3}i}{2} = 1$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ है।
इन मूलों के संगत द्विघात गुणनखंड $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 - x + 1 = 0$ है।
$x^4-x^2+x-1$ को $x^2-x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $x^4-x^2+x-1 = (x^2-x+1)(x^2+x-1) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूल $x^2+x-1=0$ से प्राप्त होते हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) चूँकि समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक $a$ और $b$ वास्तविक हैं,इसलिए इसके सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि $1-i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1+i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल अचर पद $b$ के बराबर होता है।
अतः,$b = (1-i)(1+i)$.
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ का उपयोग करने पर:
$b = 1^2 - i^2$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया है $\sinh(\log x) = -2$।
माना $\log x = y$,तब $x = e^y$।
परिभाषा $\sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = -2$ का उपयोग करने पर।
$e^y - e^{-y} = -4$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $(e^y)^2 - 1 = -4e^y$।
$(e^y)^2 + 4e^y - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $e^y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$।
चूंकि $x = e^y$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $e^y = \sqrt{5} - 2$।
अतः,$x = \sqrt{5} - 2$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + 6x + 12 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ है।
इसे $(x + 3)^2 + 3 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x + 3)^2 + 3(1 + \sin(a + b\alpha)) = 0$।
चूंकि $(x + 3)^2 \ge 0$ और $1 + \sin(a + b\alpha) \ge 0$ है,इसलिए दोनों पदों का योग शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो।
अतः,$(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$ और $1 + \sin(a + b\alpha) = 0$।
इससे $\sin(a + b\alpha) = -1$ प्राप्त होता है।
$\theta = a + b\alpha$ के न्यूनतम धनात्मक मान के लिए $\sin \theta = -1$,जो $\theta = \frac{3\pi}{2}$ देता है।
अतः,$\cos(a + b\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$।

(A) मान लीजिए $h(x) = f(x) - g(x) = (A - L)x^2 + (B - M)x - N$ है।
दिया गया है:
$h(2) = 4(A - L) + 2(B - M) - N = 1$ ... $(i)$
$h(3) = 9(A - L) + 3(B - M) - N = 4$ ... $(ii)$
$h(4) = 16(A - L) + 4(B - M) - N = 9$ ... $(iii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$5(A - L) + (B - M) = 3$ ... $(iv)$
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$7(A - L) + (B - M) = 5$ ... $(v)$
$(v)$ में से $(iv)$ घटाने पर:
$2(A - L) = 2 \Rightarrow A - L = 1$।
$A - L = 1$ को $(iv)$ में रखने पर:
$5(1) + (B - M) = 3 \Rightarrow B - M = -2$।
$A - L = 1$ और $B - M = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(1) + 2(-2) - N = 1$ $\Rightarrow 4 - 4 - N = 1$ $\Rightarrow N = -1$।
अतः,$h(x) = (1)x^2 + (-2)x - (-1) = x^2 - 2x + 1$।
$h(x) = 0$ रखने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow x = 1$।

(C) दिया गया समीकरण $x^4-8x^3+11x^2+32x-60=0$ है।
गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके मूल ज्ञात करने पर,हमें $x = -2, 2, 3, 5$ प्राप्त होते हैं।
बहुपद का गुणनखंड करने पर,$(x+2)(x-2)(x-3)(x-5)=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ है,इसलिए $\alpha = -2, \beta = 2, \gamma = 3, \delta = 5$ है।
अब,$4\alpha+3\beta+2\gamma+\delta$ का मान ज्ञात करने पर:
$4(-2) + 3(2) + 2(3) + 5 = -8 + 6 + 6 + 5 = 9$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+ax-b=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = -b$ है।
वक्र $(\frac{x}{\alpha})^n + (\frac{y}{\beta})^n = 2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{n-1} + \frac{n}{\beta}(\frac{y}{\beta})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\beta}{\alpha}$ है।
रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = c$ की ढाल $-\cot \theta$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\cot \theta = -\frac{\beta}{\alpha} \implies \cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$।
चूंकि रेखा बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,इसलिए $\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = c$।
$\cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ और $\sin \theta = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\alpha(\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) + \beta(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) = c \implies \frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$।
हमें $(\frac{a}{b})^2 + \frac{2}{b} = (\frac{-(\alpha+\beta)}{-\alpha\beta})^2 + \frac{2}{-\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha\beta)^2} - \frac{2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$ से,$\alpha^2+\beta^2 = \frac{4\alpha^2\beta^2}{c^2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{4\alpha^2\beta^2/c^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{4}{c^2}$।

(B) सभी $n \in N$ के लिए $n^3+\alpha n$,$3$ से विभाज्य होने के लिए,$n=1$ पर: $1^3+\alpha(1) = 1+\alpha$। यह $3$ से विभाज्य हो,इसके लिए $\alpha$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $2$ है।
सभी $n \in N$ के लिए $n^3-\beta n$,$6$ से विभाज्य होने के लिए,$n=2$ पर: $2^3-\beta(2) = 8-2\beta$। यह $6$ से विभाज्य हो,इसके लिए $\beta$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $1$ है।
अतः,$\alpha+\beta = 2+1 = 3$।

(C) दिया गया समीकरण $||2x-3|-4|=2$ है।
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $|2x-3|-4 = 2 \implies |2x-3| = 6$.
यह आगे दो भागों में विभाजित होता है:
$2x-3 = 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$.
$2x-3 = -6 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
स्थिति $2$: $|2x-3|-4 = -2 \implies |2x-3| = 2$.
यह आगे दो भागों में विभाजित होता है:
$2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
$2x-3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.
मूल $4.5, -1.5, 2.5, 0.5$ हैं।
मूलों का योग $4.5 - 1.5 + 2.5 + 0.5 = 6$ है।

(A) मान लीजिए कि जब $P(x)$ को $(x-3)(x-5)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $ax+b$ है।
$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + (ax+b)$
दिया गया है कि $P(3) = 10$ और $P(5) = 6$ है।
समीकरण में $x=3$ रखने पर: $3a+b = 10$ $(i)$
समीकरण में $x=5$ रखने पर: $5a+b = 6$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(5a+b) - (3a+b) = 6 - 10$
$2a = -4 \Rightarrow a = -2$
समीकरण $(i)$ में $a = -2$ रखने पर:
$3(-2) + b = 10$
$-6 + b = 10 \Rightarrow b = 16$
अतः,शेषफल $-2x+16$ है।

(C) चूंकि $a, b$ और $c$ एक $GP$ में हैं,इसलिए $b^{2} = ac$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $2 \log_{e} b = \log_{e} a + \log_{e} c$ प्राप्त होता है।
दिया गया द्विघात समीकरण $(\log_{e} a) x^{2} - (2 \log_{e} b) x + \log_{e} c = 0$ है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर,हमें $(\log_{e} a) - (2 \log_{e} b) + \log_{e} c = 0$ प्राप्त होता है,जो $\log_{e} a + \log_{e} c = 2 \log_{e} b$ में सरल हो जाता है,जो सत्य है।
अतः,$x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
माना दूसरा मूल $\alpha$ है। मूलों का गुणनफल $\frac{\log_{e} c}{\log_{e} a}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$1 \times \alpha = \frac{\log_{e} c}{\log_{e} a} = \log_{a} c$ है।
अतः,मूल $1$ और $\log_{a} c$ हैं।

(A) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के परिमेय मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ को एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए। चूँकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,$D$ को एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए।
चूँकि $a, b, c$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं,$b^2$ विषम है और $4ac$ सम है। अतः,$D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक है।
मान लीजिए $D = (2k + 1)^2$। तब $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$ प्राप्त होता है।
$b = 2n + 1$ रखने पर,$4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$।
अतः $ac = (n - k)(n + k + 1)$।
यहाँ $(n - k)$ और $(n + k + 1)$ का अंतर $2k + 1$ (विषम) है,इसलिए उनका गुणनफल $ac$ सम होगा।
लेकिन $a$ और $c$ विषम हैं,इसलिए उनका गुणनफल विषम होना चाहिए,जो एक विरोधाभास है।
अतः,$D$ पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता और समीकरण के कोई परिमेय मूल नहीं हैं।
इस प्रकार,परिमेय मूलों की संख्या $0$ है।

(B) समीकरण $P(x) \cdot Q(x) = 0$ का अर्थ है कि या तो $P(x) = 0$ या $Q(x) = 0$ है।
$P(x) = ax^2 + bx + c$ का विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है।
$Q(x) = -ax^2 + dx + c$ का विविक्तकर $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ है।
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,$D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b^2 + d^2 \geq 0$,इसलिए $D_1$ या $D_2$ में से कम से कम एक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,और $C = b$ है।
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b) = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab = 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$।
चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,$(2a - b)^2$ एक पूर्ण वर्ग है।
यदि परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है,तो मूल परिमेय होते हैं।
अतः,मूल परिमेय हैं।

(A) दिया गया है $P(x) = ax^{2} + bx + c$ और $Q(x) = -ax^{2} + dx + c$.
$P(x) = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_{1} = b^{2} - 4ac$ है।
$Q(x) = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_{2} = d^{2} - 4(-a)(c) = d^{2} + 4ac$ है।
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,हमें $D_{1} + D_{2} = b^{2} + d^{2} \geq 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकरों का योग अ-ऋणात्मक है,इसलिए कम से कम एक विविक्तकर अ-ऋणात्मक होना चाहिए ($D_{1} \geq 0$ या $D_{2} \geq 0$)।
यदि $D_{1} \geq 0$,तो $P(x)$ के वास्तविक मूल हैं। यदि $D_{2} \geq 0$,तो $Q(x)$ के वास्तविक मूल हैं।
अतः,समीकरण $P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल होंगे।

(A) दो द्विघात समीकरणों पर विचार करें:
$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.
माना $D_{1}$ और $D_{2}$ क्रमशः इन समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।
$D_{1} = b_{1}^{2} - 4c_{1}$
$D_{2} = b_{2}^{2} - 4c_{2}$
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 4(c_{1} + c_{2})$
यह दिया गया है कि $b_{1}b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$,इसलिए $4(c_{1} + c_{2}) = 2b_{1}b_{2}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2b_{1}b_{2}$
$D_{1} + D_{2} = (b_{1} - b_{2})^{2}$
चूँकि सभी वास्तविक $b_{1}, b_{2}$ के लिए $(b_{1} - b_{2})^{2} \geq 0$ है,इसलिए $D_{1} + D_{2} \geq 0$ होता है।
यदि दो वास्तविक संख्याओं का योग अऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अऋणात्मक होनी चाहिए।
अतः,$D_{1}$ या $D_{2}$ में से कम से कम एक $\geq 0$ है,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2px^{2} + (2p + q)x + q = 0$ है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक $a = 2p$,$b = (2p + q)$,और $c = q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (2p + q)^{2} - 4(2p)(q)$
$D = 4p^{2} + q^{2} + 4pq - 8pq$
$D = 4p^{2} + q^{2} - 4pq$
$D = (2p - q)^{2}$
चूंकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,$D$ एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग है।
परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है,तो मूल परिमेय होते हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + 1 = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
$c = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^{2} - 4a \geq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^{2} \geq 4a$.
चूंकि $a, b \in \{1, 2, 3\}$ दिया गया है,हम संभावित मानों की जांच करते हैं:
यदि $a = 1$,$b^{2} \geq 4 \implies b \in \{2, 3\}$। युग्म: $(1, 2), (1, 3)$।
यदि $a = 2$,$b^{2} \geq 8 \implies b = 3$। युग्म: $(2, 3)$।
यदि $a = 3$,$b^{2} \geq 12 \implies b$ का कोई मान इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता है।
संभावित क्रमित युग्म $(a, b)$ हैं: $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$।
अतः,संभावित क्रमित युग्मों की संख्या $3$ है।

(C) अपरिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल हमेशा जोड़े में अपरिमेय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए,समीकरण $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$ पर विचार करें।
इसके मूल $x = 1$ और $x = \sqrt{2}$ हैं।
यहाँ,एक मूल परिमेय है और एक अपरिमेय है।
अतः,यह कथन कि ऐसे समीकरण में शून्य या दो अपरिमेय मूल होते हैं,गलत है।
इसलिए,विकल्प $C$ हमेशा गलत है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं और $\alpha+h, \beta+h$ समीकरण $px^{2}+qx+r=0$ के मूल हैं।
पहले समीकरण के लिए,विविक्तकर $D_{1} = b^{2}-4ac$ है और मूलों का अंतर $(\alpha-\beta)^{2} = \frac{D_{1}}{a^{2}}$ है।
दूसरे समीकरण के लिए,विविक्तकर $D_{2} = q^{2}-4pr$ है और मूलों का अंतर $((\alpha+h)-(\beta+h))^{2} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$ है।
चूँकि $(\alpha+h)-(\beta+h) = \alpha-\beta$,इसलिए $(\alpha-\beta)^{2} = ((\alpha+h)-(\beta+h))^{2}$ होगा।
अतः,$\frac{D_{1}}{a^{2}} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{D_{1}}{D_{2}} = \frac{a^{2}}{p^{2}}$.
इस प्रकार,विविक्तकरों का अनुपात $a^{2}: p^{2}$ है।

(A) चूंकि $a, b$ और $c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
दिया गया द्विघात समीकरण $a x^{2} - 2b x + c = 0$ है।
$2b = a + c$ का मान समीकरण में रखने पर:
$a x^{2} - (a + c) x + c = 0$
$a x^{2} - a x - c x + c = 0$
$a x(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(a x - c) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{c}{a}$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$,और $c = -22$ है।
$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-22) = 12 + 88 = 100$.
चूंकि $D > 0$,मूल वास्तविक और असमान हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 10}{2} = \sqrt{3} \pm 5$.
चूंकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए मूल $\sqrt{3} + 5$ और $\sqrt{3} - 5$ अपरिमेय हैं।
अतः,मूल वास्तविक,अपरिमेय और असमान हैं।

(B) माना $|x-2| = y$ है। चूँकि $|x-2| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ होना चाहिए।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 + y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \ge 0$,हम $y = -2$ को छोड़ देते हैं। अतः,$y = 1$ है।
अब,$|x-2| = 1$ को हल करने पर:
$x-2 = 1$ या $x-2 = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ या $x = 1$ है।
वास्तविक मूल $3$ और $1$ हैं।
मूलों का योग $3 + 1 = 4$ है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए समीकरण $3ax^2+3bx+c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$3a\alpha^2+3b\alpha+c=0$ है।
हम वह समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल $3\alpha$ और $3\beta$ हैं। मान लीजिए $x = 3\alpha$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{x}{3}$।
मूल समीकरण में $\alpha = \frac{x}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3a(\frac{x}{3})^2 + 3b(\frac{x}{3}) + c = 0$
$3a(\frac{x^2}{9}) + bx + c = 0$
$\frac{ax^2}{3} + bx + c = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ax^2 + 3bx + 3c = 0$.

(C) दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$
$3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$ इस प्रकार है:
$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab+bc+ca)$
$D = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca - 3ab-3bc-3ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,इसलिए $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 \geq 0$।
अतः,$D \geq 0$।
चूंकि विविक्तकर हमेशा गैर-ऋणात्मक है,इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(C) एक द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए सभी $x$ के लिए $a$ के समान चिह्न रखने हेतु,परवलय को $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।
इसका अर्थ है कि द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ का मान $0$ से कम होना चाहिए।
अतः,शर्त $b^{2} - 4ac < 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+15|x|+14=0$ है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को $|x|^2+15|x|+14=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2+15t+14=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t+1)(t+14)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = -1$ या $t = -14$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,हमने $t = |x|$ माना है,जो कि ऋणेतर $(t \ge 0)$ होना चाहिए।
चूंकि $-1$ और $-14$ दोनों $0$ से छोटे हैं,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समीकरण का कोई हल नहीं है।

(B) एक द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिन्हों के होने के लिए,मूलों का गुणनफल शून्य से कम होना चाहिए।
मूलों का गुणनफल = $\frac{C}{A} < 0$.
यहाँ,$A = 2$ और $C = a^{2} - 4a$ है।
अतः,$\frac{a^{2} - 4a}{2} < 0$.
$a^{2} - 4a < 0$.
$a(a - 4) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $0 < a < 4$ हो।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x-1}$ है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए,$x \ge 1$ होना आवश्यक है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1) + (x-1) - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ प्राप्त होता है।
यह $2x - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ या $-2\sqrt{x^2-1} = 2x-1$ में सरल हो जाता है।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(x^2-1) = 4x^2 - 4x + 1$ प्राप्त होता है।
इससे $4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$ मिलता है,जो $4x = 5$ अर्थात $x = \frac{5}{4}$ देता है।
मूल समीकरण में $x = \frac{5}{4}$ रखने पर,बायां पक्ष $\sqrt{\frac{9}{4}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 1$ प्राप्त होता है,जबकि दायां पक्ष $\sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि $1 \neq 2$,इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
चूँकि $0$ एक हल है,$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर $a(0)^2 + b(0) + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$ है।
गुणांक $a, b, c$ को समुच्चय $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ से चुना जाता है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$a$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ है। इससे $a$ के लिए $9$ विकल्प मिलते हैं।
गुणांक $b$ समुच्चय $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ से कोई भी मान हो सकता है,जिससे $b$ के लिए $10$ विकल्प मिलते हैं।
गुणांक $c$ को $0$ के रूप में निश्चित किया गया है,इसलिए $c$ के लिए केवल $1$ विकल्प है।
अतः,ऐसे द्विघात समीकरणों की कुल संख्या $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4ac < 0 \implies 4b^2 < 4ac \implies b^2 < ac$.
चूँकि $a, b, c > 0$,हमारे पास $b < \sqrt{ac}$ है।
$1$. यदि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,तो $2b = a + c$। चूँकि $b < \sqrt{ac}$,हमारे पास $a + c < 2\sqrt{ac}$ है,जिसका अर्थ है $(\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 < 0$,जो असंभव है। अतः,$a, b, c$ $A$.$P$. में नहीं हो सकते।
$2$. यदि $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,तो $b^2 = ac$। लेकिन हमारे पास $b^2 < ac$ है,इसलिए $a, b, c$ $G$.$P$. में नहीं हो सकते।
$3$. यदि $a, b, c$ $H$.$P$. में हैं,तो $b = \frac{2ac}{a+c}$। चूँकि $a, c > 0$,$A$.$M$. $\geq$ $G$.$M$. के अनुसार,$\frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}$ है,इसलिए $b = \frac{2ac}{a+c} \leq \sqrt{ac}$। यदि $a \neq c$ है तो $b < \sqrt{ac}$ की शर्त पूरी होती है। अतः,$a, b, c$ $H$.$P$. में हो सकते हैं।

(B) चरण $1$. सर्वसमिका $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें:
$2\sin^2 x - a\sin x + 2a - 8 = 0$
चरण $2$. द्विघात सूत्र का उपयोग करके $\sin x$ के लिए हल करें:
$\sin x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16(a - 4)}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
अतः,$\sin x = \frac{a - 4}{2}$ या $\sin x = 2$ (जो संभव नहीं है)।
चरण $3$. चूँकि $-1 \leq \sin x \leq 1$,इसलिए:
$-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$
अतः,$a \in [2, 6]$।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है और शर्त $a + 2b + 4c = 0$ है।
शर्त $a + 2b + 4c = 0$ को $4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{4} + \frac{2b}{4} + \frac{4c}{4} = 0$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + c = 0$
इसे द्विघात समीकरण $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $f(\frac{1}{2}) = 0$ है।
इसलिए,$x = \frac{1}{2}$ समीकरण का एक मूल है।

(C) मान लीजिए $h(x) = f(x) - g(x) = (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)\text{।}$
चूंकि $f(1) = g(1)$,इसलिए $h(1) = 0$ है।
चूंकि $f(2) = g(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है।
चूंकि $h(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल $1$ और $2$ हैं,हम इसे $h(x) = k(x-1)(x-2)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हमें $f(3) - g(3) = 2$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $h(3) = 2$ है।
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ में $x=3$ रखने पर,हमें $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(3) = 2$,इसलिए $2k = 2$ है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$ है।
अतः,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$ है।
हमें $f(4) - g(4)$ ज्ञात करना है,जो $h(4)$ है।
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$।

(D) मान लीजिए $P(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ है। $P(x)$ के $x^{2} + 2$ से विभाज्य होने के लिए,हम बहुपद विभाजन करते हैं।
$x^{3} + ax^{2} + bx + c$ को $x^{2} + 2$ से विभाजित करने पर भागफल $(x + a)$ और शेषफल $(b - 2)x + (c - 2a)$ प्राप्त होता है।
बहुपद के विभाज्य होने के लिए,शेषफल शून्य होना चाहिए,इसलिए $(b - 2)x + (c - 2a) = 0$ है।
इसका अर्थ है $b - 2 = 0$ और $c - 2a = 0$ है।
अतः,$b = 2$ और $c = 2a$ है।
दिया गया है कि $a, b, c \in \mathbb{N}$ और $a, b, c \le 20$,इसलिए $b = 2$ (जो निश्चित है)।
$c = 2a$ के लिए,चूंकि $c \le 20$,इसलिए $2a \le 20$,जिसका अर्थ है $a \le 10$ है।
चूंकि $a \in \mathbb{N}$,$a$ के मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हो सकते हैं।
इसलिए,ऐसे कुल $10$ बहुपद हैं।

(A) समीकरण $x|x+3|+|x-1|-2=0$ के वास्तविक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $x=-3$ और $x=1$ बिंदुओं के आधार पर तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं:
$I$. स्थिति $x \ge 1$:
$x(x+3) + (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x-3=0$.
हल करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{7}$.
चूंकि $x \ge 1$,दोनों हल अस्वीकार्य हैं।
$II$. स्थिति $-3 \le x < 1$:
$x(x+3) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+2x-1=0$.
हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{2}$.
दोनों हल $-3 \le x < 1$ के बीच हैं,इसलिए ये मान्य हैं।
$III$. स्थिति $x < -3$:
$x(-(x+3)) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x+1=0$.
हल करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि $x < -3$,केवल $x = -2-\sqrt{3}$ मान्य है।
अतः,कुल $3$ वास्तविक हल हैं।

(D) $x^4 - ax^2 + 9 = 0$ . . . . $(1)$
माना $x^2 = t$.
तब $t^2 - at + 9 = 0$ . . . . $(2)$
समीकरण $(1)$ के मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,समीकरण $(2)$ के मूल धनात्मक और भिन्न होने चाहिए।
$(i)$ विविक्तकर $D > 0$ $\Rightarrow a^2 - 36 > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty)$.
$(ii)$ मूलों का योग $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow a > 0$.
$(iii)$ मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} > 0 \Rightarrow 9 > 0$,जो सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$(i), (ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a > 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान $7$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$।
यह $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ में सरल हो जाता है।
$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ प्राप्त होता है।
$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$।
$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$।
चूंकि मूल $\alpha, \beta$ दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं,इसलिए $|\alpha - \beta| = 2$।
अतः,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$।
$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$।
$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$।
$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$।

(C) द्विघात समीकरण $12x^{2}-20x+3\lambda=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ और गुणनफल $\alpha\beta = \frac{3\lambda}{12} = \frac{\lambda}{4}$ है।
हमें $\frac{1}{2} \le |\beta-\alpha| \le \frac{3}{2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} \le (\beta-\alpha)^{2} \le \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\beta-\alpha)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4} \le (\frac{5}{3})^{2} - 4(\frac{\lambda}{4}) \le \frac{9}{4}$.
$\frac{1}{4} \le \frac{25}{9} - \lambda \le \frac{9}{4}$.
$\frac{19}{36} \le \lambda \le \frac{91}{36}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\lambda = 1, 2$ संभव है।
अतः,योग $1+2 = 3$ है।

(D) माना राजमिस्त्री $A$ द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय $x$ दिन है। तब,राजमिस्त्री $B$ अकेले $x+24$ दिन लेगा।
$A$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x}$.
$B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x+24}$.
$A+B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{22.5} = \frac{2}{45}$.
अतः,$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{2}{45}$.
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{2}{45} \implies 45(x+12) = x^2+24x$.
$x^2 - 21x - 540 = 0$.
$(x-36)(x+15) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 36$ दिन।

(C) दिया गया समीकरण $(\sqrt{3}-2)|\sqrt{x}-3| + (\sqrt{x}-3)^2 - 2\sqrt{3} = 0$ है।
माना $t = |\sqrt{x}-3|$। तब समीकरण $t^2 + (\sqrt{3}-2)t - 2\sqrt{3} = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t+ \sqrt{3})(t-2) = 0$।
चूंकि $t = |\sqrt{x}-3| \ge 0$,इसलिए $t = 2$ होगा।
अतः,$|\sqrt{x}-3| = 2$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x}-3 = 2$ या $\sqrt{x}-3 = -2$।
इससे $\sqrt{x} = 5$ या $\sqrt{x} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 25$ या $x = 1$।
$\alpha < \beta$ होने के कारण,$\alpha = 1$ और $\beta = 25$ है।
अंत में,$\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\frac{25}{1}} + \sqrt{1 \times 25} = 5 + 5 = 10$।

(B) $x$ के विभिन्न अंतरालों पर विचार करके हम समीकरण $x|x+4|+3|x+2|+10=0$ का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $I$: $x < -4$. समीकरण $x(-(x+4)) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $-x^2 - 4x - 3x - 6 + 10 = 0$ या $x^2 + 7x - 4 = 0$ बनता है। मूल $x = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2}$ हैं। $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{2} < -4$ है,अतः यह एक मान्य हल है।
स्थिति $II$: $-4 \leq x < -2$. समीकरण $x(x+4) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 4 = 0$ बनता है। विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $III$: $x \geq -2$. समीकरण $x(x+4) + 3(x+2) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^2 + 7x + 16 = 0$ बनता है। विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ भिन्न वास्तविक हल है।

(A) माना कि $|x-1|=t$ है।
तब समीकरण $t^{2}-5t+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-2)(t-3)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t=2$ या $t=3$ है।
स्थिति $1$: $|x-1|=2 \implies x-1=2$ या $x-1=-2$,जिससे $x=3$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $|x-1|=3 \implies x-1=3$ या $x-1=-3$,जिससे $x=4$ या $x=-2$ प्राप्त होता है।
मूल $3, -1, 4, -2$ हैं।
मूलों का योग $3 + (-1) + 4 + (-2) = 4$ है।