Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $x^{10}-3x^8+5x^6-5x^4+3x^2-1=0$ है।
पदों को समूहित करके गुणनखंड करने पर,$f(x) = (x^2-1)(x^4-x^2+1)^2$ प्राप्त होता है।
$f(x) = 0$ रखने पर,$x^2-1=0$ या $(x^4-x^2+1)^2=0$ प्राप्त होता है।
$x^2-1=0$ से $x = \pm 1$ ($2$ वास्तविक मूल) प्राप्त होते हैं।
$x^4-x^2+1=0$ के लिए,$x^2$ के मान सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जो कुल $8$ अवास्तविक मूल प्रदान करते हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ है जहाँ $b=17$ है।
चूँकि मूल $-2$ और $-15$ हैं,मूलों का योग $-2 + (-15) = -17$ है।
समीकरण $x^2+bx+c=0$ से,मूलों का योग $-b$ होता है।
अतः,$-b = -17$,जो $b=17$ के अनुरूप है।
मूलों का गुणनफल $c = (-2) \times (-15) = 30$ है।
अब,$b=13$ और $c=30$ के साथ समीकरण $x^2+13x+30=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $x^2+10x+3x+30=0 \implies (x+10)(x+3)=0$।
मूल $\alpha = -10$ और $\beta = -3$ हैं।
अतः,$|\alpha-\beta| = |-10 - (-3)| = |-10+3| = |-7| = 7$।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है कि समीकरण $x^2 - 2cx + ab = 0$ के मूल वास्तविक और असमान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर (discriminant) $D_1 > 0$ है।
$D_1 = (-2c)^2 - 4(1)(ab) = 4c^2 - 4ab > 0$,जिसका अर्थ है $c^2 > ab$।
अब,समीकरण $x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2 + 2c^2 = 0$ पर विचार करें।
इस समीकरण का विविक्तकर $D_2$ है:
$D_2 = [-2(a + b)]^2 - 4(1)(a^2 + b^2 + 2c^2)$
$D_2 = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 8ab - 8c^2 = 8(ab - c^2)$।
चूंकि $c^2 > ab$,इसलिए $ab - c^2 < 0$ है।
अतः,$D_2 < 0$ है।
चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।

(D) कथन $(A)$: मान लीजिए $f(x) = -x^2+3x+1$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = -2x+3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
चूंकि $f''(x) = -2 < 0$,फलन का मान $x = \frac{3}{2}$ पर अधिकतम है।
अधिकतम मान $f\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 = \frac{13}{4}$ है।
चूंकि दिया गया कथन कहता है कि अधिकतम मान $\frac{11}{4}$ है,इसलिए कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$: $f(x) = ax^2+bx+c$ के लिए जहाँ $a < 0$,शीर्ष $x = -\frac{b}{2a}$ पर होता है।
$f'(x) = 2ax+b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}$.
चूंकि $f''(x) = 2a < 0$,यह बिंदु वास्तव में अधिकतम है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(D) माना $y = \frac{2(x^2+2x-11)}{2x-5}$.
$y(2x-5) = 2x^2+4x-22$.
$2x^2 + x(4-2y) + (5y-22) = 0$.
चूँकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (4-2y)^2 - 4(2)(5y-22) \geq 0$.
$16 + 4y^2 - 16y - 40y + 176 \geq 0$.
$4y^2 - 56y + 192 \geq 0$.
$y^2 - 14y + 48 \geq 0$.
$(y-6)(y-8) \geq 0$.
अतः,$y \in (-\infty, 6] \cup [8, \infty)$.
इसलिए,व्यंजक का कोई भी मान अंतराल $(6,8)$ में स्थित नहीं है।

(B) दिया गया है $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y(x^2+4x+2) = 11x^2+12x+6$
$(y-11)x^2 + (4y-12)x + (2y-6) = 0$
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए:
$D = (4y-12)^2 - 4(y-11)(2y-6) \geq 0$
$16(y-3)^2 - 8(y-11)(y-3) \geq 0$
$8(y-3) [2(y-3) - (y-11)] \geq 0$
$8(y-3)(2y-6-y+11) \geq 0$
$8(y-3)(y+5) \geq 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $y \leq -5$ या $y \geq 3$ हो।
दी गई शर्त $y < a$ या $y \geq b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -5$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$.
पदों को $x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \geq 0$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$[(y+1) - 2(y-1)][(y+1) + 2(y-1)] \geq 0$.
$(-y+3)(3y-1) \geq 0$.
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
यह असमिका $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) दिए गए मूल $\alpha = \sin^2 18^{\circ}$ और $\beta = \cos^2 36^{\circ}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} + \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{16}\right)^2 = \left(\frac{5-1}{16}\right)^2 = \left(\frac{4}{16}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$।
$16$ से गुणा करने पर,हमें $16x^2 - 12x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = (x-\alpha)(x-\beta)$.
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2x - (\alpha+\beta) = 0$.
इससे $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूसरा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ पर न्यूनतम है।
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$y_{min} = \left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \beta\right)$
$y_{min} = \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
$y_{min} = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)(\alpha-\beta) = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x-1}{\sqrt{2x^2-5x+2}} = \frac{41}{60}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x^2-2x+1}{2x^2-5x+2} = \frac{1681}{3600}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$3600(x^2-2x+1) = 1681(2x^2-5x+2)$.
$3600x^2 - 7200x + 3600 = 3362x^2 - 8405x + 3362$.
$238x^2 + 1205x + 238 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(34x + 7)(7x + 34) = 0$.
अतः,$x = -\frac{7}{34}$ या $x = -\frac{34}{7}$.
चूंकि $-\frac{1}{2} < \alpha < 0$ और $-\frac{7}{34} \approx -0.205$ जबकि $-\frac{34}{7} \approx -4.857$,इसलिए मूल $\alpha = -\frac{7}{34}$ शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया समीकरण $3x^3 + bx^2 + bx + 3 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3(x^3 + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$3(x + 1)(x^2 - x + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 - 3x + 3 + bx) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 + (b - 3)x + 3) = 0$.
एक मूल $x = -1$ है। अन्य दो मूल $3x^2 + (b - 3)x + 3 = 0$ के मूल हैं।
$f(x) = 3x^2 + (b - 3)x + 3$ मानिए।
$A$ के लिए: सभी मूल ऋणात्मक हैं। यदि $b = 9$,$f(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$. मूल $-1, -1, -1$ हैं। सभी ऋणात्मक हैं। अतः $A \rightarrow IV$.
$B$ के लिए: दो मूल सम्मिश्र हैं। विविक्तकर $D < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 - 4(3)(3) < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 < 36 \Rightarrow -6 < b - 3 < 6 \Rightarrow -3 < b < 9$. अतः $B \rightarrow II$.
$C$ के लिए: दो मूल धनात्मक हैं। यदि $b = -3$,$f(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. मूल $-1, 1, 1$ हैं। दो धनात्मक हैं। अतः $C \rightarrow V$.
$D$ के लिए: सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं। $D > 0$ और $f(-1) \neq 0$. $D = (b - 3)^2 - 36 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, -3) \cup (9, \infty)$. साथ ही $f(-1) = 3 - (b - 3) + 3 = 9 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 9$. अतः $D \rightarrow III$.
अतः,$A-IV, B-II, C-V, D-III$.

(B) वक्र $f(x) = a x^2 + b x + c$ द्वारा $X$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $A = |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ है,जहाँ $D = b^2 - 4 a c$ है।
$f_1(x) = 5 x^2 + 2 x + 1$ के लिए,$D = 4 - 20 = -16$ है। चूँकि $D < 0$ है,वक्र $X$-अक्ष को नहीं काटता है,इसलिए $A_1$ परिभाषित नहीं है।
$f_2(x) = 5 x^2 + 6 x + 1$ के लिए,$D = 36 - 20 = 16$ है। अतः,$A_2 = \frac{\sqrt{16}}{5} = 0.8$ है।
$f_3(x) = x^2 - 7 x + 6$ के लिए,$D = 49 - 24 = 25$ है। अतः,$A_3 = \frac{\sqrt{25}}{1} = 5$ है।
$f_4(x) = 64 x^2 + 48 x + 9$ के लिए,$D = 2304 - 2304 = 0$ है। अतः,$A_4 = 0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $A_4 = 0, A_2 = 0.8, A_3 = 5$ है।
इसलिए,$A_4 < A_2 < A_3$ सत्य है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(p-3)x^2 + 2(p-3)x + 2p-5 = 0$ है। मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $p \neq 3$ है।
$D = [2(p-3)]^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)[(p-3) - (2p-5)] > 0$
$4(p-3)(-p+2) > 0$
$(p-3)(p-2) < 0$
अतः,$2 < p < 3$। इसलिए,$\alpha = 2$ और $\beta = 3$ है।
व्यंजक $f(x) = -(2+3)x^2 + (2 \times 3)x + (2-3) = -5x^2 + 6x - 1$ हो जाता है।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ (जहाँ $a < 0$) का अधिकतम मान $\frac{4ac - b^2}{4a}$ होता है।
यहाँ $a = -5, b = 6, c = -1$ है।
चरम मान $= \frac{4(-5)(-1) - (6)^2}{4(-5)} = \frac{20 - 36}{-20} = \frac{-16}{-20} = \frac{4}{5}$।

(D) मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया है $f(0) + f(1) = 0$,अतः $c + (a + b + c) = 0$,जिसका अर्थ है $a + b + 2c = 0$ $(i)$।
दिया है $f(-2) = 0$,अतः $4a - 2b + c = 0$ (ii)।
$(i)$ से,$b = -a - 2c$। (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$4a - 2(-a - 2c) + c = 0$ $\Rightarrow 4a + 2a + 4c + c = 0$ $\Rightarrow 6a + 5c = 0$।
मान लीजिए $a = 5k$,तो $c = -6k$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $5k + b + 2(-6k) = 0$ $\Rightarrow 5k + b - 12k = 0$ $\Rightarrow b = 7k$।
अतः,$f(x) = k(5x^2 + 7x - 6) = k(5x^2 + 10x - 3x - 6) = k(5x(x + 2) - 3(x + 2)) = k(5x - 3)(x + 2)$।
मूल $x = -2$ और $x = \frac{3}{5}$ हैं।
इसलिए,$f\left(\frac{3}{5}\right) = 0$।

(A) समीकरण $x^3-5x^2+4x=0$ के मूल $0, 1, 4$ हैं।
अतः $(\alpha-2)^2, (\beta-2)^2, (\gamma-2)^2$ के मान $0, 1, 4$ हैं।
विभिन्न संयोजनों की जाँच करने पर,$P+Q+R$ का न्यूनतम मान $5$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(x) = x^4-4x^3+3x^2+2x-2$ है।
परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार,संभावित पूर्णांक मूल $\pm 1, \pm 2$ हैं।
$x=1$ का परीक्षण करने पर: $1-4+3+2-2 = 0$। अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x^2+2$ में पुनः $x=1$ का परीक्षण करने पर: $1-3+2 = 0$। अतः,$(x-1)^2$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x^2+2$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर $x^2-2x-2$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=1$ हैं और $x^2-2x-2=0$ के मूल $\gamma, \delta = 1 \pm \sqrt{3}$ हैं।
हमें $\alpha+2\beta+\gamma^2+\delta^2$ की गणना करनी है।
चूंकि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2-2x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma+\delta=2$ और $\gamma\delta=-2$ है।
अतः $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta = (2)^2 - 2(-2) = 4+4 = 8$।
मान रखने पर: $1 + 2(1) + 8 = 11$।

(D) दिया गया व्युत्क्रम समीकरण $12x^4-56x^3+89x^2-56x+12=0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $12(x^2+\frac{1}{x^2})-56(x+\frac{1}{x})+89=0$ प्राप्त होता है।
माना $u = x+\frac{1}{x}$ है। तब $x^2+\frac{1}{x^2} = u^2-2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$12(u^2-2)-56u+89=0$,जो सरल होकर $12u^2-56u+65=0$ बनता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $u$ का मान निकालने पर: $u = \frac{56 \pm \sqrt{56^2-4(12)(65)}}{2(12)} = \frac{56 \pm 4}{24}$।
अतः,$u_1 = \frac{5}{2}$ और $u_2 = \frac{13}{6}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $\alpha\beta=1$ है,$\alpha+\beta$ का मान $u$ के मानों में से एक है। माना $\alpha+\beta = \frac{5}{2}$ और $\gamma+\delta = \frac{13}{6}$ है।
तब $\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta} = \frac{5/2}{13/6} = \frac{15}{13}$।
चूंकि $\frac{15}{13} > 1$ है,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^5+x^4-13x^3-13x^2+36x+36=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^4(x+1) - 13x^2(x+1) + 36(x+1) = 0$
$(x+1)(x^4-13x^2+36) = 0$
$(x+1)(x^2-4)(x^2-9) = 0$
$(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = 0$
मूल $-3, -2, -1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma < \delta < \varepsilon$,हमारे पास है:
$\alpha = -3, \beta = -2, \gamma = -1, \delta = 2, \varepsilon = 3$.
अब,$\frac{\varepsilon}{\alpha}+\frac{\delta}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ की गणना करने पर:
$\frac{3}{-3} + \frac{2}{-2} + \frac{1}{-1} = -1 - 1 - 1 = -3$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 3 x^2 - 10 x - 24 = 0$ है।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x = 3$ के लिए: $(3)^3 + 3(3)^2 - 10(3) - 24 = 27 + 27 - 30 - 24 = 0$।
अतः,$(x - 3)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x - 3)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 3)(x^2 + 6 x + 8) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 4)(x + 2) = 0$।
मूल $3, -2, -4$ हैं।
चूँकि $\alpha > \beta > \gamma$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 3, \beta = -2, \gamma = -4$ है।
इन मानों को व्यंजक $\alpha^3 + 3 \beta^2 - 10 \gamma - 24$ में रखने पर:
$(3)^3 + 3(-2)^2 - 10(-4) - 24 = 27 + 12 + 40 - 24 = 55$।
चूँकि $55 = 11 k$ दिया गया है,इसलिए $k = 5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $12 x^{1/3} - 25 x^{1/6} + 12 = 0$.
माना $t = x^{1/6}$. तब समीकरण $12 t^2 - 25 t + 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $12 t^2 - 16 t - 9 t + 12 = 0 \Rightarrow 4 t(3 t - 4) - 3(3 t - 4) = 0$.
$(4 t - 3)(3 t - 4) = 0$,अतः $t = \frac{3}{4}$ या $t = \frac{4}{3}$.
चूंकि $\alpha > \beta$ और $x^{1/6} = t$,हमें $\alpha^{1/6} = \frac{4}{3}$ और $\beta^{1/6} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
हमें $\sqrt[6]{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\alpha^{1/6}}{\beta^{1/6}}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{4/3}{3/4} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(D) दिया गया समीकरण $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ है। चूँकि इसका एक बहुविध मूल है,मान लीजिए $\alpha$ बहुविध मूल है। तब $f(\alpha) = 0$ और $f'(\alpha) = 0$ होगा।
$f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$। $f'(\alpha) = 0$ रखने पर $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ में $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ प्रतिस्थापित करने पर $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ मिलता है। चूँकि $\alpha \neq 0$,हम $4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ को हल करते हैं,जो $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ के रूप में गुणनखंडित होता है।
$\alpha = 1$ को $f(x)$ में रखने पर $16+16-4-1 \neq 0$ मिलता है। अतः,$\alpha = -\frac{1}{2}$ बहुविध मूल है।
$f(x)$ को $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ से विभाजित करने पर,$16x^2 - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = \pm \frac{1}{2}$ मिलता है।
मूल $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ हैं।
अतः $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$।

(D) दिया गया है $x^3+3x^2-9x+\lambda = (x-\alpha)^2(x-\beta) = x^3 - (2\alpha+\beta)x^2 + (2\alpha\beta+\alpha^2)x - \alpha^2\beta$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2\alpha+\beta = -3$ $(i)$
$2\alpha\beta+\alpha^2 = -9$ (ii)
$-\alpha^2\beta = \lambda$ (iii)
$(i)$ से,$\beta = -3-2\alpha$.
(ii) में मान रखने पर: $2\alpha(-3-2\alpha) + \alpha^2 = -9$ $\Rightarrow 3\alpha^2 + 6\alpha - 9 = 0$ $\Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $(\alpha+3)(\alpha-1) = 0$,अतः $\alpha = 1$ या $\alpha = -3$.
यदि $\alpha = 1$,तो $\beta = -5$. (iii) से,$\lambda = -(1)^2(-5) = 5$.
यदि $\alpha = -3$,तो $\beta = 3$. (iii) से,$\lambda = -(-3)^2(3) = -27$.
अतः,$\lambda$ के मान $-27$ और $5$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^4-4x^3-7x^2+22x+24=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = 3, x_4 = 4$ हैं।
शर्त की जाँच करने पर: $3 + (-1) = 2$ और $4 + (-2) = 2$।
अतः,मूलों के घनों का योग:
$(-1)^3 + (-2)^3 + (3)^3 + (4)^3 = -1 - 8 + 27 + 64 = 82$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3+4x^2-9x-36=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+4)-9(x+4)=0$
$(x^2-9)(x+4)=0$
$(x-3)(x+3)(x+4)=0$
मूल $x = -4, -3, 3$ हैं।
शर्त $\alpha < \beta < \gamma$ के अनुसार,$\alpha = -4$,$\beta = -3$,और $\gamma = 3$ है।
अब,$\alpha+2\beta+3\gamma$ की गणना करने पर:
$\alpha+2\beta+3\gamma = -4 + 2(-3) + 3(3)$
$= -4 - 6 + 9$
$= -10 + 9 = -1$.

(D) माना $f(x) = x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8$.
छोटे पूर्णांक मूलों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है।
बहुपद विभाजन का उपयोग करके,हम व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$f(x) = (x-2)^3(x^2-1) = (x-2)^3(x-1)(x+1)$.
मूल $x=2$ (जिसकी बहुलता $3$ है),$x=1$,और $x=-1$ हैं।
चूंकि $\alpha$ एक बहुल मूल है,इसलिए $\alpha=2$.
व्यंजक $3\alpha^2-2\alpha+1$ में $\alpha=2$ रखने पर:
$3(2)^2-2(2)+1 = 3(4)-4+1 = 12-4+1 = 9$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+2x^2-x-2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+2)-1(x+2)=0$
$(x^2-1)(x+2)=0$
$(x-1)(x+1)(x+2)=0$
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=-1, \gamma=-2$ हैं।
हमें $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6$ का मान ज्ञात करना है:
$\alpha^6+\beta^6+\gamma^6 = (1)^6 + (-1)^6 + (-2)^6$
$= 1 + 1 + 64$
$= 66$

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $y = x + \frac{1}{x}$,तो $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$।
$(y+3)(y-2) = 0$,अतः $y = 2$ या $y = -3$।
यदि $x + \frac{1}{x} = 2$,तो $x=1, 1$।
यदि $x + \frac{1}{x} = -3$,तो $x^2 + 3x + 1 = 0$,अतः $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
माना मूल $r_1, r_2, r_3, r_4$ हैं। दो मूलों के गुणनफल का योग $\sum r_i r_j = -4$ है।
जब मूलों को $h$ से कम किया जाता है,तो नए मूल $r_i - h$ होते हैं।
$x^2$ का नया गुणांक $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ है।
इसका विस्तार $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ होता है।
मूल समीकरण से,$\sum r_i = -1$ और $\sum r_i r_j = -4$।
इन मानों को रखने पर,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$।
$h$ में इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ और $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$।
तब $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$।
अतः,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$।

(B) दिया गया है कि $1+\sqrt{2}$ और $2-i$ परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के मूल हैं,इसलिए इनके संयुग्मी मूल $1-\sqrt{2}$ और $2+i$ भी मूल होने चाहिए।
माना मूल $\alpha_1 = 1+\sqrt{2}, \alpha_2 = 1-\sqrt{2}, \alpha_3 = 2-i, \alpha_4 = 2+i$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$-b = \sum \alpha_i = 6 \Rightarrow b = -6$.
$c = \sum \alpha_i \alpha_j = 12$.
$-d = \sum \alpha_i \alpha_j \alpha_k = 6 \Rightarrow d = -6$.
समीकरण $bx^2+cx+d=0$ का रूप $-6x^2+12x-6=0$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $x^2-2x+1=0$ प्राप्त होता है।
यह $(x-1)^2=0$ है,अतः मूल $1, 1$ हैं,जो वास्तविक और समान हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^5-3x^4+5x^3-5x^2+3x-1=0$ है।
पदों को समूहित करके समीकरण को फिर से लिखने पर: $(x^5-1) - 3x(x^3-1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x-1)(x^2+x+1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)[(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x^2+x+1) + 5x^2] = 0$.
$(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) = 0$.
चतुर्थ घात वाले भाग के लिए,$x^2$ से विभाजित करने पर: $x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.
$(x^2+\frac{1}{x^2}) - 2(x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$.
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तो $y^2-2 - 2y + 3 = 0$,अर्थात $y^2-2y+1 = 0$.
$(y-1)^2 = 0$,जिससे $y=1$ प्राप्त होता है।
$x+\frac{1}{x} = 1 \implies x^2-x+1 = 0$.
अतः,सभी भिन्न मूलों का योग $1 + 1 = 2$ है।

(A) माना दिए गए समीकरण $x^4-2 x^3+6 x-21=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ हैं।
माना $y = x^2$,तो $x = \sqrt{y}$।
दिए गए समीकरण को $x^4-21 = 2 x(x^2-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y^2-21 = 2 x(y-3)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^2-21)^2 = 4 x^2(y-3)^2$।
चूँकि $x^2 = y$,हमारे पास है: $(y^2-21)^2 = 4 y(y-3)^2$।
विस्तार करने पर: $y^4-42 y^2+441 = 4 y(y^2-6 y+9)$।
$y^4-42 y^2+441 = 4 y^3-24 y^2+36 y$।
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^4-4 y^3-18 y^2-36 y+441=0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^4-4 x^3-18 x^2-36 x+441=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3x^3+4x^2-5x-2=0$ $(i)$.
मान लीजिए $(i)$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों को $h$ से कम करने पर,नए मूल $t = x - h$ होते हैं,जिसका अर्थ है $x = t + h$.
$(i)$ में $x = t + h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(t+h)^3 + 4(t+h)^2 - 5(t+h) - 2 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$3t^3 + (9h + 4)t^2 + (9h^2 + 8h - 5)t + (3h^3 + 4h^2 - 5h - 2) = 0$.
चूंकि $x^2$ (या $t^2$) पद अनुपस्थित है,इसका गुणांक शून्य होना चाहिए:
$9h + 4 = 0 \Rightarrow h = -\frac{4}{9}$.
अब,मूल समीकरण $3x^3+4x^2-5x-2=0$ के मूल ज्ञात करें।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है $(3+4-5-2=0)$.
$(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(3x^2+7x+2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-1)(3x+1)(x+2) = 0$.
मूल $x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}, x_3 = -2$ हैं।
नए मूल $x_i - h = x_i - (-\frac{4}{9}) = x_i + \frac{4}{9}$ हैं।
नए मूल: $1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$,$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$,और $-2 + \frac{4}{9} = -\frac{14}{9}$.

(B) दिया गया है कि एक मूल $-1+i$ है।
चूंकि समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $-1-i$ भी एक मूल होगा।
अतः,$(x+1-i)(x+1+i) = x^2+2x+2$ दिए गए समीकरण का एक गुणनखंड है।
$x^4+4x^3+5x^2+2x-2$ को $x^2+2x+2$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $x^2+2x-1$ प्राप्त होता है।
$x^2+2x-1 = 0$ के लिए,द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
अतः,वास्तविक मूल $-1 \pm \sqrt{2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} + \sqrt{\frac{x-2}{5x}} = \frac{29}{10}$ है।
माना $y = \sqrt{\frac{5x}{x-2}}$. तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$ हो जाता है।
$10y$ से गुणा करने पर,$10y^2 - 29y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $10y^2 - 25y - 4y + 10 = 0 \Rightarrow 5y(2y - 5) - 2(2y - 5) = 0$.
अतः,$(5y - 2)(2y - 5) = 0$,जिससे $y = \frac{2}{5}$ या $y = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{4}{25}$ $\Rightarrow 125x = 4x - 8$ $\Rightarrow 121x = -8$ $\Rightarrow x = -\frac{8}{121}$.
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{25}{4}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4x = 5x - 10$ $\Rightarrow x = 10$.
चूंकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 10$ और $\beta = -\frac{8}{121}$ है।
अब,$\sqrt{\alpha^2 - 11^4 \beta^2} = \sqrt{10^2 - 11^4 \left(-\frac{8}{121}\right)^2} = \sqrt{100 - 11^4 \cdot \frac{64}{11^4}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

(A) माना $f(x) = x^5-8x^4+25x^3-38x^2+28x-8$.
चूँकि $\alpha$ $3$ बहुलता वाला मूल है,तो $f(\alpha) = 0$,$f'(\alpha) = 0$,और $f''(\alpha) = 0$ होगा।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = 5x^4-32x^3+75x^2-76x+28$
$f''(x) = 20x^3-96x^2+150x-76$
$x = 2$ के लिए जाँच करने पर:
$f(2) = 32-128+200-152+56-8 = 0$
$f'(2) = 80-256+300-152+28 = 0$
$f''(2) = 160-384+300-76 = 0$
$f'''(2) = 60(4)-192(2)+150 = 6 \neq 0$.
अतः,$\alpha = 2$ $3$ बहुलता वाला मूल है।
इसलिए,$\alpha^2-5\alpha+6 = (2)^2-5(2)+6 = 4-10+6 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6(x^6-1) - 25x(x^4-1) + 31x^2(x^2-1) = 0$
$(x^2-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2-1)[6(x^4+x^2+1) - 25x(x^2+1) + 31x^2] = 0$
$(x^2-1)[6x^4 - 25x^3 + 37x^2 - 25x + 6] = 0$
दूसरे कोष्ठक को $x^2$ से विभाजित करने पर: $x^2(x^2-1)[6(x^2+\frac{1}{x^2}) - 25(x+\frac{1}{x}) + 37] = 0$
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तो $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2) - 25y + 37 = 0 \Rightarrow 6y^2 - 25y + 25 = 0$
$(2y-5)(3y-5) = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}, \frac{5}{3}$
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ के लिए,$x=2, \frac{1}{2}$ (वास्तविक मूल)।
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ के लिए,$3x^2-5x+3=0$. ये मूल सम्मिश्र हैं।
इन सम्मिश्र मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-5}{3}) = \frac{5}{3}$।

(C) दिया गया समीकरण: $x^3-6x^2+6x-2=0$.
विकल्प $(a)$ की जाँच: $x=-1$ रखने पर,$(-1)^3-6(-1)^2+6(-1)-2 = -15 \neq 0$.
विकल्प $(b)$ की जाँच: $x=2$ रखने पर,$(2)^3-6(2)^2+6(2)-2 = -6 \neq 0$.
विकल्प $(c)$ की जाँच: माना $x = \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$.
योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo) लगाने पर: $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2^{1/3}+2^{1/3}-1}{2^{1/3}-2^{1/3}+1} = 2 \cdot 2^{1/3}-1$.
$\frac{x+1}{x-1} + 1 = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{2x}{x-1} = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-1} = 2^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $\frac{x^3}{(x-1)^3} = 2
$ $\Rightarrow x^3 = 2(x^3-3x^2+3x-1)
$ $\Rightarrow x^3 = 2x^3-6x^2+6x-2
$ $\Rightarrow x^3-6x^2+6x-2 = 0$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया समीकरण: $(x+1)^4+(x+3)^4=8$.
माना $x+2=y$,तब $x+1=y-1$ और $x+3=y+1$.
समीकरण $(y-1)^4+(y+1)^4=8$ हो जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर: $(y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=8$.
$2y^4+12y^2+2=8$ $\Rightarrow 2y^4+12y^2-6=0$ $\Rightarrow y^4+6y^2-3=0$.
माना $t=y^2$,तब $t^2+6t-3=0$.
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
वास्तविक $y$ के लिए $t=y^2$ का मान ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए हम $y^2 = 2\sqrt{3}-3$ लेते हैं।
$y=x+2$ वापस रखने पर: $(x+2)^2 = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2+4x+4 = 2\sqrt{3}-3 \Rightarrow x^2+4x+(7-2\sqrt{3}) = 0$.
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है जो $ax^2+bx+c=0$ के रूप में है।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{7-2\sqrt{3}}{1} = 7-2\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$।
चूंकि मूल $\alpha, \alpha, \beta, \beta$ हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $2\alpha + 2\beta = 10 \Rightarrow \alpha + \beta = 5$ $(i)$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha^2\beta^2 = 36 \Rightarrow \alpha\beta = 6$ $(ii)$।
$(i)$ से,$\beta = 5 - \alpha$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha(5 - \alpha) = 6 \Rightarrow \alpha^2 - 5\alpha + 6 = 0$।
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $(\alpha - 2)(\alpha - 3) = 0$,अतः $\alpha = 2$ या $\alpha = 3$।
चूंकि $\alpha < \beta$,इसलिए $\alpha = 2$ और $\beta = 3$।
अब,$2\alpha + 3\beta - 2\alpha\beta$ की गणना करने पर:
$2(2) + 3(3) - 2(2)(3) = 4 + 9 - 12 = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $x^2-8x+9-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 8(x+\frac{1}{x}) + 9 = 0$
माना $t = x+\frac{1}{x}$. तब $t^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$,अतः $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
समीकरण में मान रखने पर: $(t^2-2) - 8t + 9 = 0$
$t^2 - 8t + 7 = 0$
$(t-7)(t-1) = 0$
स्थिति $1$: $t = 7$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 7$ $\Rightarrow x^2-7x+1 = 0$. विविक्तकर $D = (-7)^2 - 4(1)(1) = 45 > 0$,अतः दो वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। इन मूलों का गुणनफल $c/a = 1$ है।
स्थिति $2$: $t = 1$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 1$ $\Rightarrow x^2-x+1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ है।
माना $|x|^{3/5} = t$ है।
चूँकि $|x|^{3/5} \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ होगा।
समीकरण $t^2 - 26t - 27 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 27)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $t = 27$ या $t = -1$ है।
चूँकि $t \ge 0$,इसलिए $t = -1$ को छोड़ देंगे।
अतः,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$ है।
दोनों पक्षों की घात $5/3$ करने पर: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = 3^5$ या $x = -3^5$ है।
वास्तविक मूलों का गुणनफल $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ है।

(C) दिया है,$f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$,$x^2-3 x+2 = (x-2)(x-1)$ से विभाज्य है।
अतः,$f(2)=0$ और $f(1)=0$ होगा।
$f(2)=0$ के लिए:
$2(2)^4-13(2)^2+a(2)+b=0$
$32-52+2a+b=0$
$2a+b=20$ ... $(i)$
$f(1)=0$ के लिए:
$2(1)^4-13(1)^2+a(1)+b=0$
$2-13+a+b=0$
$a+b=11$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$a=9$
$a=9$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$b=2$
अतः,$(a, b) = (9, 2)$।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-3x-2=0$ है।
$x=-1$ रखने पर:
$(-1)^3-3(-1)-2 = -1+3-2 = 0$.
अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x-2$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)$.
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर:
$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$.
इस प्रकार,समीकरण $(x+1)(x+1)(x-2)=0$ हो जाता है।
अतः मूल $x = -1, -1, 2$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-2x^3+2x-1=0$ है।
चूंकि $1$,$3$ क्रम का एक मूल है,इसलिए $(x-1)^3$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
हम बहुपद को $(x-1)^3(x-k) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ चौथा मूल है।
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ का विस्तार करने पर।
$(x-k)$ से गुणा करने पर: $(x^3-3x^2+3x-1)(x-k) = x^4 - (k+3)x^3 + (3k+3)x^2 - (3k+1)x + k = 0$.
मूल समीकरण $x^4-2x^3+0x^2+2x-1=0$ के साथ तुलना करने पर:
अचर पद से,$k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अन्य मूल $-1$ है।