Condition for common roots Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો $x^{12} - 1 = 0$ અને $x^4 + x^2 + 1 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^6 + 1)$.
અહીં $x^4 + x^2 + 1$ એ $x^{12} - 1$ નો અવયવ હોવાથી,$x^4 + x^2 + 1 = 0$ ના તમામ બીજ સામાન્ય બીજ થશે.
$x^4 + x^2 + 1 = 0$ ને ઉકેલતા:
ધારો કે $y = x^2$,તો $y^2 + y + 1 = 0$.
તેના બીજ $y = \omega$ અને $y = \omega^2$ મળે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$x^2 = \omega$ અથવા $x^2 = \omega^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \pm \sqrt{\omega} = \pm \omega^2$ અને $x = \pm \sqrt{\omega^2} = \pm \omega$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\pm \omega, \pm \omega^2$ છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + ax + b = 0$ અને $x^2 + bx + a = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ અને $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$ મળે.
$(a - b)\alpha + (b - a) = 0$.
$(a - b)\alpha = (a - b)$.
જો $a \neq b$ હોય,તો $\alpha = 1$ મળે.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1)^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
તેથી,$a + b = -1$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ પ્રથમ સમીકરણનું એક બીજ છે,તો $\frac{1}{\alpha}$ એ બીજા સમીકરણનું એક બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ થાય છે.
સમીકરણો $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $\frac{ba' - b'c}{ab' - bc'} = \left(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}\right)^2$.
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.

(B) આપેલ સમીકરણોને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(6k + 2)x^2 + rx + (3k - 1) = 0$ .....$(i)$
$2(6k + 2)x^2 + px + 2(3k - 1) = 0$ .....$(ii)$
બંને બીજ સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{2(6k + 2)}{6k + 2} = \frac{p}{r} = \frac{2(3k - 1)}{3k - 1}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 = \frac{p}{r} = 2$
તેથી,$p = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $2r - p = 0$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $y$ છે.
તેથી,$y^2 + py + q = 0$ અને $y^2 + \alpha y + \beta = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
પ્રથમ અને બીજા પદ પરથી,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ અથવા $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ છે.

(C) ધારો કે $x^2 - cx + d = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ સમાન છે અને તે પ્રથમ સમીકરણ સાથે એક સામાન્ય બીજ $\alpha$ ધરાવે છે,તેથી તેના બીજ $\alpha$ અને $\alpha$ થશે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\alpha + \beta = c$ અને $\alpha \beta = d$.
બીજા સમીકરણ માટે: $\alpha + \alpha = a \implies 2\alpha = a$ અને $\alpha^2 = b$.
આપણે $2(b + d)$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(b + d) = 2(\alpha^2 + \alpha \beta) = 2\alpha(\alpha + \beta)$.
કારણ કે $2\alpha = a$ અને $\alpha + \beta = c$,તેથી $2(b + d) = a \times c = ac$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 - h\alpha - 21 = 0$ $(1)$
અને $\alpha^2 - 3h\alpha + 35 = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - 3h\alpha + 35) - (\alpha^2 - h\alpha - 21) = 0$
$-2h\alpha + 56 = 0$
$2h\alpha = 56$
$h\alpha = 28$
$\alpha = \frac{28}{h}$
$\alpha = \frac{28}{h}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{28}{h})^2 - h(\frac{28}{h}) - 21 = 0$
$\frac{784}{h^2} - 28 - 21 = 0$
$\frac{784}{h^2} = 49$
$h^2 = \frac{784}{49} = 16$
$h > 0$ હોવાથી,$h = 4$ મળે.

(A) ધારો કે સમીકરણોની જોડીના સામાન્ય બીજ અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
પ્રથમ જોડી $(x^2 + px + qr = 0)$ અને $(x^2 + qx + rp = 0)$ માટે,સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
બીજી જોડી $(x^2 + qx + rp = 0)$ અને $(x^2 + rx + pq = 0)$ માટે,સામાન્ય બીજ $\beta$ છે.
ત્રીજી જોડી $(x^2 + rx + pq = 0)$ અને $(x^2 + px + qr = 0)$ માટે,સામાન્ય બીજ $\gamma$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ,દરેક સમીકરણ માટે બીજનો સરવાળો $x$ ના સહગુણક સાથે ઋણ ચિહ્ન દ્વારા મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta = -p$,$\beta + \gamma = -q$,અને $\gamma + \alpha = -r$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\alpha + \beta + \gamma) = -(p + q + r)$ મળે છે.
તેથી,ત્રણ સામાન્ય બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = \frac{-(p + q + r)}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ અને $bx^2 + cx + a = 0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
પ્રથમ બે ગુણોત્તર પરથી,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ab - c^2}$.
છેલ્લા બે ગુણોત્તર પરથી,$\alpha = \frac{ac - b^2}{bc - a^2}$.
$\alpha$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$(bc - a^2)^2 = (ab - c^2)(ac - b^2)$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ મળે.
તેથી,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + p\alpha + q = 0$ $(i)$
અને $\alpha^2 + q\alpha + p = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 + p\alpha + q) - (\alpha^2 + q\alpha + p) = 0$
$(p - q)\alpha + (q - p) = 0$
$(p - q)(\alpha - 1) = 0$
જો $p \neq q$ હોય,તો $\alpha = 1$ મળે.
$\alpha = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1^2 + p(1) + q = 0$
$1 + p + q = 0$
તેથી,$p + q + 1 = 0$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,${\alpha ^2} + a\alpha + 10 = 0$ $(i)$ અને ${\alpha ^2} + b\alpha - 10 = 0$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(a - b)\alpha + 20 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -\frac{20}{a - b}$.
$\alpha$ ની આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
${\left( -\frac{20}{a - b} \right)^2} + a\left( -\frac{20}{a - b} \right) + 10 = 0$
$\frac{400}{(a - b)^2} - \frac{20a}{a - b} + 10 = 0$
$(a - b)^2$ વડે ગુણતા:
$400 - 20a(a - b) + 10(a - b)^2 = 0$
$10$ વડે ભાગતા:
$40 - 2a(a - b) + (a - b)^2 = 0$
$40 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 0$
$40 - a^2 + b^2 = 0$
તેથી,$a^2 - b^2 = 40$.

(B) ધારો કે સામાન્ય અવયવ $(x - k)$ છે. તો $k$ એ સમીકરણો $x^2 - 11x + a = 0$ અને $x^2 - 14x + 2a = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^2 - 11x + a) - (x^2 - 14x + 2a) = 0$
$3x - a = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{3}$.
$x = \frac{a}{3}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{8a}{3} = 0$
$a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
આમ,$a = 0$ અથવા $a = 24$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $2x^2 + 3x + 5\lambda = 0$ અને $x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda = 0$ $(1)$
અને $\alpha^2 + 2\alpha + 3\lambda = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $(2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda) - (2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda) = 0$
$\alpha + \lambda = 0 \implies \alpha = -\lambda$
$\alpha = -\lambda$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(-\lambda)^2 + 2(-\lambda) + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 - 2\lambda + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 + \lambda = 0$
$\lambda(\lambda + 1) = 0$
તેથી,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -1$.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ એ $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ બને છે.
આને $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે પુનરાવર્તિત બીજ $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ આપે છે.
આ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે $dx^2 + 2ex + f = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ મૂકતા,આપણને $d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ મળે છે.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$ મળે છે.
$b = \sqrt{ac}$ હોવાથી,આ $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ બને છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 3x + a = 0$ $(i)$ અને $x^2 + ax - 3 = 0$ $(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x^2 - 3x + a) - (x^2 + ax - 3) = 0$
$-3x - ax + a + 3 = 0$
$-(a + 3)x + (a + 3) = 0$
$(a + 3)(1 - x) = 0$
આથી $a = -3$ અથવા $x = 1$ મળે.
જો $x = 1$ સામાન્ય બીજ હોય,તો સમીકરણ $(i)$ માં $x = 1$ મુકતા:
$1^2 - 3(1) + a = 0$
$1 - 3 + a = 0$
$a - 2 = 0$
$a = 2$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $3x^2 + ax + 1 = 0$ અને $2x^2 + bx + 1 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
$\alpha$ બીજ હોવાથી:
$3\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0$ --- $(1)$
$2\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0$ --- $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\alpha^2 + (a - b)\alpha = 0$
$\alpha(\alpha + a - b) = 0$
$\alpha = 0$ શક્ય નથી,તેથી $\alpha = b - a$.
$\alpha = b - a$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મુકતા:
$2(b - a)^2 + b(b - a) + 1 = 0$
$2(b^2 - 2ab + a^2) + b^2 - ab + 1 = 0$
$3b^2 - 5ab + 2a^2 + 1 = 0$
તેથી,$2a^2 + 3b^2 - 5ab = -1$
આમ,$5ab - 2a^2 - 3b^2 = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$k(6x^2 + 3) + rx + 2x^2 - 1 = 0 \implies (6k + 2)x^2 + rx + (3k - 1) = 0$ $(i)$
$6k(2x^2 + 1) + px + 4x^2 - 2 = 0 \implies (12k + 4)x^2 + px + (6k - 2) = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ભાગતા: $(6k + 2)x^2 + (p/2)x + (3k - 1) = 0$ $(iii)$
બંને સમીકરણોના બીજ સમાન હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$r = p/2$ મળે.
તેથી,$2r = p$,એટલે કે $2r - p = 0$.

(A) જો બે દ્વિઘાત સમીકરણો $A_1x^2 + B_1x + C_1 = 0$ અને $A_2x^2 + B_2x + C_2 = 0$ સમાન બીજ ધરાવતા હોય,તો તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.
આપેલ સમીકરણો $x^2 + 2x + 3 = 0$ અને $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = k$,$b = 2k$,અને $c = 3k$.
તેથી,ગુણોત્તર $a : b : c = k : 2k : 3k = 1 : 2 : 3$ થાય.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$ મળે.
બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega^2, -\omega$ છે (જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે).
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + a = 0$ ને ત્રિઘાત સમીકરણ સાથે બે સમાન બીજ હોવાથી,તે બીજ $-\omega$ અને $-\omega^2$ હોવા જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + a = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{a}{a} = 1$ થાય.
સમાન બીજનો ગુણાકાર $(-\omega)(-\omega^2) = \omega^3 = 1$ છે,જે સુસંગત છે.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\omega - \omega^2 = -(\omega + \omega^2) = -(-1) = 1$ થાય.
આમ,$-\frac{b}{a} = 1 \implies b = -a$,જેનો અર્થ છે કે $a + b = 0$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ સમાન બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + 10 = 0 \dots (i)$ અને $\alpha^2 + b\alpha - 10 = 0 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(a - b)\alpha + 20 = 0 \implies \alpha = -\frac{20}{a - b}$.
આ $\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{20}{a - b}\right)^2 + a\left(-\frac{20}{a - b}\right) + 10 = 0$.
$\frac{400}{(a - b)^2} - \frac{20a}{a - b} + 10 = 0$.
$(a - b)^2$ વડે ગુણતા:
$400 - 20a(a - b) + 10(a - b)^2 = 0$.
$10$ વડે ભાગતા:
$40 - 2a(a - b) + (a - b)^2 = 0$.
$40 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 0$.
$40 - a^2 + b^2 = 0$.
તેથી,$a^2 - b^2 = 40$.

(C) ધારો કે $x^2 - cx + d = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
ધારો કે $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha$ છે (કારણ કે તેના બંને બીજ સમાન છે).
બીજા સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $2\alpha = a$ છે,તેથી $\alpha = \frac{a}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2 = b$ છે,તેથી $(\frac{a}{2})^2 = b$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{a^2}{4}$.
કારણ કે $\alpha$ એ પ્રથમ સમીકરણનું પણ બીજ છે,તેથી $\alpha^2 - c\alpha + d = 0$.
$\alpha = \frac{a}{2}$ મૂકતા,આપણને $(\frac{a}{2})^2 - c(\frac{a}{2}) + d = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{a^2}{4} - \frac{ac}{2} + d = 0$ થાય છે.
$b = \frac{a^2}{4}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $b$ ની કિંમત મૂકીએ: $b - \frac{ac}{2} + d = 0$.
તેથી,$b + d = \frac{ac}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2(b + d) = ac$.

(D) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તેથી,$\alpha^2 - 3\alpha + a = 0$ અને $\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 - 3\alpha + a) - (\alpha^2 + a\alpha - 3) = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $-3\alpha - a\alpha + a + 3 = 0$.
$-\alpha(3 + a) + (a + 3) = 0$.
$(a + 3)(1 - \alpha) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = -3$ અથવા $\alpha = 1$.
જો $\alpha = 1$ એ સામાન્ય બીજ હોય,તો $1^2 - 3(1) + a = 0$.
$1 - 3 + a = 0$.
$a - 2 = 0 \implies a = 2$.

(A) ધારો કે સમાન બીજ $\alpha$ છે. $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું બીજ હોવાથી:
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ $(1)$
$c\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(a - c)\alpha^2 + (c - a) = 0$
$(a - c)(\alpha^2 - 1) = 0$
$a \neq c$ હોવાથી,$\alpha^2 - 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -1$.
આપેલ છે કે સમાન બીજ ઋણ છે,તેથી $\alpha = -1$.
$\alpha = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$
$a - b + c = 0$

(A) ધારો કે સમાન અવયવ $(x - \alpha)$ છે.
તેથી $\alpha^2 - 11\alpha + a = 0$ $(1)$
અને $\alpha^2 - 14\alpha + 2a = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - 11\alpha + a) - (\alpha^2 - 14\alpha + 2a) = 0$
$3\alpha - a = 0 \implies \alpha = \frac{a}{3}$
$\alpha = \frac{a}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$9$ વડે ગુણતા:
$a^2 - 33a + 9a = 0$
$a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
તેથી $a = 24$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$2\alpha^2 + k\alpha - 5 = 0$ અને $\alpha^2 - 3\alpha - 4 = 0$.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$\frac{\alpha^2}{-4k - 15} = \frac{\alpha}{-5 + 8} = \frac{1}{-6 - k}$.
આથી,$\alpha^2 = \frac{4k + 15}{k + 6}$ અને $\alpha = \frac{-3}{k + 6}$.
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ હોવાથી,$\left(\frac{-3}{k + 6}\right)^2 = \frac{4k + 15}{k + 6}$.
$\frac{9}{(k + 6)^2} = \frac{4k + 15}{k + 6}$.
$9 = (4k + 15)(k + 6)$.
$9 = 4k^2 + 24k + 15k + 90$.
$4k^2 + 39k + 81 = 0$.
$(k + 3)(4k + 27) = 0$.
આમ,$k = -3$ અથવા $k = -\frac{27}{4}$.

(D) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. પ્રથમ અને દ્વિતીય સમીકરણના અન્ય બીજ અનુક્રમે $\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta$ અને $\gamma$ પૂર્ણાંક છે અને $\frac{\beta}{\gamma} = \frac{4}{3}$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
$x^2 - 6x + a = 0$ માટે,$\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha\beta = a$.
$x^2 - cx + 6 = 0$ માટે,$\alpha + \gamma = c$ અને $\alpha\gamma = 6$.
$\beta = \frac{4}{3}\gamma$ હોવાથી,પ્રથમ સમીકરણના બીજના સરવાળામાં મૂકતા: $\alpha + \frac{4}{3}\gamma = 6 \implies 3\alpha + 4\gamma = 18$.
દ્વિતીય સમીકરણના બીજના ગુણાકાર પરથી,$\gamma = \frac{6}{\alpha}$.
$\gamma$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $3\alpha + 4(\frac{6}{\alpha}) = 18 \implies 3\alpha^2 - 18\alpha + 24 = 0 \implies \alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$,તેથી $\alpha = 2$ અથવા $\alpha = 4$.
જો $\alpha = 4$ હોય,તો $\gamma = \frac{6}{4} = 1.5$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\gamma = \frac{6}{2} = 3$ (પૂર્ણાંક) અને $\beta = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ (પૂર્ણાંક).
આમ,સામાન્ય બીજ $\alpha = 2$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + bx + c = 0$ અને $x^2 + cx + b = 0$ નું સમાન બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $\alpha^2 + c\alpha + b = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 + b\alpha + c) - (\alpha^2 + c\alpha + b) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $(b - c)\alpha + (c - b) = 0$ મળે.
$(b - c)\alpha = b - c$.
અહીં $b \neq c$ હોવાથી,$(b - c)$ વડે ભાગતા $\alpha = 1$ મળે.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $1^2 + b(1) + c = 0$.
તેથી,$1 + b + c = 0$,એટલે કે $b + c + 1 = 0$.

(B) બે દ્વિઘાત સમીકરણો $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ અને $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ માટે,જો બીજ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય,તો $\frac{b_1^2}{b_2^2} = \frac{a_1c_1}{a_2c_2}$ થાય.
આપેલ સમીકરણો $x^2 + 3x + 2 = 0$ અને $x^2 - x + \lambda = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = 2$ અને $a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = \lambda$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{3^2}{(-1)^2} = \frac{1 \times 2}{1 \times \lambda}$
$\frac{9}{1} = \frac{2}{\lambda}$
$9\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{9}$

(C) ધારો કે $(x - \alpha)$ સમાન અવયવ છે.
તેથી $x = \alpha$ બંને સમીકરણોનું બીજ છે.
$\alpha^2 - 11\alpha + a = 0$ --- $(1)$
$\alpha^2 - 14\alpha + 2a = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતાં:
$(\alpha^2 - 14\alpha + 2a) - (\alpha^2 - 11\alpha + a) = 0$
$-3\alpha + a = 0 \implies \alpha = \frac{a}{3}$
$\alpha = \frac{a}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$\frac{a^2 - 33a + 9a}{9} = 0 \implies a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$a = 24$ મળે.
$a = 24$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x^2 - 11x + 24 = (x - 8)(x - 3)$
$x^2 - 14x + 48 = (x - 8)(x - 6)$
તેથી સમાન અવયવ $(x - 8)$ છે.

(D) $x^2 + 3x + 4 = 0$ માટે,વિવેચક $D = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$.
$a, b, c \in R$ હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
જો એક બીજ સમાન હોય,તો બંને બીજ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ: $\frac{a}{1} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{k+4k}{3k} = \frac{5k}{3k} = \frac{5}{3}$.
$\frac{5}{3} \neq \frac{4}{3}$ હોવાથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ એ બંને બીજ સમાન હોય તેવા સમીકરણો માટેનું પ્રમાણિત પ્રમેય છે,જે સાચું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2x + 3 = 0$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ મળે છે.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ કાલ્પનિક છે.
જો બે દ્વિઘાત સમીકરણોના સહગુણકો વાસ્તવિક હોય અને તેમને એક સામાન્ય બીજ હોય,તો બંને બીજ સમાન હોય.
તેથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$
આથી $a = k, b = 2k, c = 3k$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $a:b:c = 1:2:3$ થાય.

(D) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તેથી:
$\alpha^2 + a\alpha + bc = 0$ ....$(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + ac = 0$ ....$(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં:
$(a - b)\alpha + bc - ac = 0$
$(a - b)\alpha - c(a - b) = 0$
$a \ne b$ હોવાથી,$(a - b)$ વડે ભાગતા $\alpha = c$ મળે.
$\alpha = c$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$c^2 + ac + bc = 0$
$c(c + a + b) = 0$
$c \ne 0$ હોવાથી,$a + b + c = 0$ મળે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન-$2$ સાચું છે.
હવે,પ્રથમ સમીકરણના બીજ $c$ અને $\beta$ છે. બીજોના ગુણાકાર પરથી,$c\beta = bc \implies \beta = b$.
બીજા સમીકરણના બીજ $c$ અને $\gamma$ છે. બીજોના ગુણાકાર પરથી,$c\gamma = ac \implies \gamma = a$.
$\beta = b$ અને $\gamma = a$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ:
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
$a + b = -c$ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 - (-c)x + ab = 0$ એટલે કે $x^2 + cx + ab = 0$ બને છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ $(a+b+c=0)$ નો ઉપયોગ વિધાન-$1$ ના સમીકરણના સ્વરૂપને મેળવવા માટે થાય છે,તેથી વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ અને $3x^2 - 4x + 5 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણ $3x^2 - 4x + 5 = 0$ માટે વિવેચક $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44 < 0$ હોવાથી,તેના બીજ કાલ્પનિક છે.
જો બે દ્વિઘાત સમીકરણોનું એક બીજ સામાન્ય હોય અને સહગુણકો વાસ્તવિક હોય,તો બંને બીજ સામાન્ય હોય.
તેથી,સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$
$\frac{2a}{3} = k \Rightarrow a = \frac{3k}{2}$
$\frac{3b}{4} = k \Rightarrow b = \frac{4k}{3}$
$\frac{4c}{5} = k \Rightarrow c = \frac{5k}{4}$
હવે,$\frac{a + b}{c}$ ની કિંમત મેળવીએ:
$\frac{a + b}{c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{5k}{4}} = \frac{34}{15}$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + px + 2q = 0$ અને $x^2 + qx + 2p = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + p\alpha + 2q = 0$ અને $\alpha^2 + q\alpha + 2p = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 + p\alpha + 2q) - (\alpha^2 + q\alpha + 2p) = 0$.
$\alpha(p - q) - 2(p - q) = 0$.
$(p - q)(\alpha - 2) = 0$.
કારણ કે $p \neq q$,તેથી $\alpha - 2 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2$.
$\alpha = 2$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(2)^2 + p(2) + 2q = 0$.
$4 + 2p + 2q = 0$.
$2(p + q) = -4$.
તેથી,$p + q = -2$.

(C) $5x^2 + 12x + 13 = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે.
તેથી,$\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13} = k$ (ધારો).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos C = \frac{(5k)^2 + (12k)^2 - (13k)^2}{2(5k)(12k)} = 0$.
તેથી,$\cos C = 0 \Rightarrow \angle C = 90^\circ$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ અને $bx^2 + cx + a = 0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી,$\alpha^2 = \frac{ab - c^2}{ac - b^2}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ac - b^2}$.
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ હોવાથી:
$(ab - c^2)(ac - b^2) = (bc - a^2)^2$
$a^2bc - ab^3 - ac^3 + b^2c^2 = b^2c^2 - 2a^2bc + a^4$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા ($a, b, c \neq 0$ હોવાથી):
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$
તેથી,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સામાન્ય બીજ છે.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(b-1)\alpha = b+1 \implies \alpha = \frac{b+1}{b-1}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા $b^3+3b=0$ મળે છે.
તેથી $b(b^2+3)=0$.
આમ,$|b| = \sqrt{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. સમીકરણ $2x^2 + 3x + 4 = 0$ માટે વિવેચક $D = 3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0$ છે.
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,તેના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હશે. જો બે સમીકરણોના સહગુણકો વાસ્તવિક હોય અને એક બીજ સામાન્ય હોય,તો બંને બીજ સામાન્ય હોય.
તેથી,સમીકરણો પ્રમાણસર છે: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$.
આમ,$a : b : c = 2 : 3 : 4$.

(D) $\alpha, \beta, \gamma$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\beta^2 = \alpha\gamma$ મળે.
આપેલ છે કે સમીકરણો $\alpha x^2 + 2\beta x + \gamma = 0$ અને $x^2 + x - 1 = 0$ ના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવાથી,બંને બીજ સામાન્ય હશે.
તેથી,$\frac{\alpha}{1} = \frac{2\beta}{1} = \frac{\gamma}{-1} = k$.
જેથી $\alpha = k$,$\beta = \frac{k}{2}$,અને $\gamma = -k$ મળે.
હવે,$\alpha(\beta + \gamma) = k(\frac{k}{2} - k) = k(-\frac{k}{2}) = -\frac{k^2}{2}$.
વળી,$\beta\gamma = (\frac{k}{2})(-k) = -\frac{k^2}{2}$.
આમ,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$.

(N/A) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $q^{2} = pr$.
સમીકરણ $p x^{2} + 2 q x + r = 0$ ને $p x^{2} + 2 q x + \frac{q^{2}}{p} = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે $p^{2} x^{2} + 2 p q x + q^{2} = 0$ માં પરિણમે છે.
આ $(p x + q)^{2} = 0$ છે,તેથી બીજ $x = -\frac{q}{p}$ છે.
આ $d x^{2} + 2 e x + f = 0$ માટે સામાન્ય બીજ હોવાથી,આપણે $x = -\frac{q}{p}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકીએ:
$d(-\frac{q}{p})^{2} + 2 e(-\frac{q}{p}) + f = 0$
$d(\frac{q^{2}}{p^{2}}) - 2 e(\frac{q}{p}) + f = 0$
$\frac{p^{2}}{q^{2}}$ વડે ગુણતા:
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p^{2}}{q^{2}}) = 0$
$q^{2} = pr$ હોવાથી,$\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$ અને $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{p}{r}$ થાય.
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p}{r}) = 0$
$p$ વડે ભાગતા:
$\frac{d}{p} - 2 \frac{e}{q} + \frac{f}{r} = 0$
$\frac{d}{p} + \frac{f}{r} = 2 \frac{e}{q}$
આ સાબિત કરે છે કે $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^{2}-x+2\lambda=0$ અને $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ છે.
$\alpha$ એ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^{2}-\alpha+2\lambda=0 \quad ...(1)$
$3\alpha^{2}-10\alpha+27\lambda=0 \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3\alpha^{2}-3\alpha+6\lambda=0 \quad ...(3)$
$(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $-7\alpha+21\lambda=0 \Rightarrow \alpha=3\lambda$.
$\alpha=3\lambda$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(3\lambda)^{2}-(3\lambda)+2\lambda=0 \Rightarrow 9\lambda^{2}-\lambda=0$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda=\frac{1}{9}$.
તેથી $\alpha=3\lambda=3(\frac{1}{9})=\frac{1}{3}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha+\beta=1 \Rightarrow \beta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\alpha\gamma=\frac{27\lambda}{3}=9\lambda=9(\frac{1}{9})=1 \Rightarrow \gamma=\frac{1}{\alpha}=3$.
અંતે,$\frac{\beta\gamma}{\lambda} = \frac{(2/3)(3)}{1/9} = 18$.

(A) ધારો કે $p_1(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ અને $p_2(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \delta)$.
આપેલ છે કે $p_1(x)q_1(x) + p_2(x)q_2(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
$p_1(x)$ અને $p_2(x)$ સામાન્ય અવયવો $(x - \alpha)$ અને $(x - \beta)$ ધરાવે છે,તેથી $(x - \alpha)(x - \beta)$ એ $(x - 1)(x - 2)$ ને ભાગે છે.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$.
$p_1(x)$ અને $p_2(x)$ માં $x^2$ ના સહગુણકો પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = 2020 \implies 1 + 2 + \gamma = 2020 \implies \gamma = 2017$.
તે જ રીતે,$\alpha + \beta + \delta = 2021 \implies 1 + 2 + \delta = 2021 \implies \delta = 2018$.
તેથી,$p_1(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2017)$ અને $p_2(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2018)$.
કિંમતો શોધતા: $p_1(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 2017) = 2 \times 1 \times (-2014) = -4028$.
$p_2(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 2018) = 0$.
તેથી,$p_1(3) + p_2(1) + 4028 = -4028 + 0 + 4028 = 0$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $f(x)=0$ અને $g(x)=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + 2 = 0$ અને $\alpha^2 + 2\alpha + a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a-2)\alpha + (2-a) = 0$.
$(a-2)(\alpha - 1) = 0$.
બહુપદીઓ ભિન્ન હોવાથી,$a \neq 2$. તેથી,$\alpha = 1$.
$f(x)=0$ માં $\alpha = 1$ મૂકતા: $1^2 + a(1) + 2 = 0 \Rightarrow a = -3$.
સમીકરણ $f(x)+g(x)=0$ એ $(x^2-3x+2) + (x^2+2x-3) = 0$ બને છે.
$2x^2 - x - 1 = 0$.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 - 5ax + 1 = 0$ અને $x^2 - ax - 5 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $\alpha^2 - 5a\alpha + 1 = 0$ અને $\alpha^2 - a\alpha - 5 = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 - 5a\alpha + 1) - (\alpha^2 - a\alpha - 5) = 0$.
$-4a\alpha + 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{6}{4a} = \frac{3}{2a}$.
$\alpha = \frac{3}{2a}$ ને $x^2 - ax - 5 = 0$ માં મૂકતા:
$(\frac{3}{2a})^2 - a(\frac{3}{2a}) - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} - \frac{3}{2} - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} = \frac{13}{2}$.
$a^2 = \frac{9 \times 2}{4 \times 13} = \frac{9}{26}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{3}{\sqrt{26}}$.
આપેલ છે કે $a = \frac{3}{\sqrt{2\beta}}$,તેથી $\sqrt{2\beta} = \sqrt{26}$,એટલે કે $2\beta = 26$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 13$.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $x^2+2px+q=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta$ છે. તેથી,$\alpha+\beta = -2p$ અને $\alpha\beta = q$. વિવેચક $D_1 = 4(p^2-q)$ છે.
બીજા સમીકરણ $ax^2+2bx+c=0$ માટે,બીજ $\alpha, \frac{1}{\beta}$ છે. તેથી,$\alpha+\frac{1}{\beta} = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha\cdot\frac{1}{\beta} = \frac{c}{a}$. વિવેચક $D_2 = 4(b^2-ac)$ છે.
$\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી,$(2ap-2b)\alpha + (aq-c) = 0$ મળે. જો $b=ap$ અને $c=aq$ હોય,તો સમીકરણો સમાન થઈ જાય,જે $\beta^2 \neq 1$ ની વિરુદ્ધ છે. તેથી $b \neq ap$ અથવા $c \neq aq$.
$\alpha$ વાસ્તવિક હોવાથી,$p^2-q \geq 0$ અને $b^2-ac \geq 0$ થાય,તેથી તેમનો ગુણાકાર $\geq 0$ થાય. આમ $\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ પણ સાચું છે,પરંતુ તે $\text{વિધાન}-1$ ની સીધી સમજૂતી નથી. તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2+bx-1=0$ અને $x^2+x+b=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+b\alpha-1=0$ અને $\alpha^2+\alpha+b=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2+b\alpha-1) - (\alpha^2+\alpha+b) = 0$
$(b-1)\alpha - (1+b) = 0$
$(b-1)\alpha = b+1$
$\alpha = \frac{b+1}{b-1}$ (જ્યાં $b \neq 1$).
$\alpha$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $\alpha^2+\alpha+b=0$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{b+1}{b-1}\right)^2 + \frac{b+1}{b-1} + b = 0$
$(b-1)^2$ વડે ગુણતા:
$(b+1)^2 + (b+1)(b-1) + b(b-1)^2 = 0$
$(b^2+2b+1) + (b^2-1) + b(b^2-2b+1) = 0$
$2b^2+2b + b^3-2b^2+b = 0$
$b^3+3b = 0$
$b(b^2+3) = 0$
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,$b^2+3=0$,તેથી $b^2=-3$,એટલે કે $b = \pm i\sqrt{3}$.

(A) $\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે:
$1) \alpha^2 - 5\alpha + 4a = 0 \implies 4a = 5\alpha - \alpha^2$
$2) \alpha^2 - 2a\alpha - 8 = 0$
બીજા સમીકરણમાં $2a = \frac{5\alpha - \alpha^2}{2}$ મૂકતા:
$\alpha^2 - (\frac{5\alpha - \alpha^2}{2})\alpha - 8 = 0$
$2\alpha^2 - 5\alpha^2 + \alpha^3 - 16 = 0$
$\alpha^3 - 3\alpha^2 - 16 = 0$
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$\alpha = 4$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $64 - 3(16) - 16 = 0$.
$\alpha = 4$ માટે,$4a = 5(4) - 16 = 4 \implies a = 1$.
પદાવલિ $\alpha^4 - \alpha^3 + 68 = 4^4 - 4^3 + 68 = 256 - 64 + 68 = 260$ થાય.

(B) ધારો કે $y$ એ $x^2+5ax+6=0$ અને $x^2+3ax+2=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$y^2+5ay+6=0$ અને $y^2+3ay+2=0$ થાય.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(y^2+5ay+6) - (y^2+3ay+2) = 0$
$2ay + 4 = 0$
$2ay = -4$
$ay = -2$
$ay = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y^2 + 3(-2) + 2 = 0$
$y^2 - 6 + 2 = 0$
$y^2 - 4 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$.

(B) પ્રથમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2+3x-2=0$ ના અવયવ પાડો:
$2x^2+4x-x-2=0$ $\Rightarrow 2x(x+2)-1(x+2)=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x+2)=0$.
આમ,બીજ $x=-2$ અને $x=\frac{1}{2}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x=-2$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તેને $3x^2+ax-2=0$ માં મૂકતા:
$3(-2)^2+a(-2)-2=0$ $\Rightarrow 12-2a-2=0$ $\Rightarrow 10=2a$ $\Rightarrow a=5$.
કિસ્સો $2$: જો $x=\frac{1}{2}$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તેને $3x^2+ax-2=0$ માં મૂકતા:
$3(\frac{1}{2})^2+a(\frac{1}{2})-2=0$ $\Rightarrow \frac{3}{4}+\frac{a}{2}-2=0$ $\Rightarrow \frac{a}{2} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a=2.5$.
$a$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $5+2.5=7.5$ થાય છે.