જો $k(6x^2 + 3) + rx + 2x^2 - 1 = 0$ અને $6k(2x^2 + 1) + px + 4x^2 - 2 = 0$ બંને સમીકરણોના બીજ સમાન હોય,તો $2r - p$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b, c, p, q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2+2px+q=0$ ના બીજ છે અને $\alpha, \frac{1}{\beta}$ એ સમીકરણ $ax^2+2bx+c=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\beta^2 \notin \{-1, 0, 1\}$.
$\text{વિધાન}-1$: $(p^2-q)(b^2-ac) \geq 0$ અને
$\text{વિધાન}-2$: $b \neq pa$ અથવા $c \neq qa$.

$k$ ની કઈ કિંમત માટે સમીકરણો $2x^2 + kx - 5 = 0$ અને $x^2 - 3x - 4 = 0$ નું એક બીજ સામાન્ય છે?

જો $ax^2 + bx + c = 0$ અને $bx^2 + cx + a = 0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $a \neq 0$,તો $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = $

જો સમીકરણો $x^2 + bx + c = 0$ અને $x^2 + cx + b = 0$ $(b \neq c)$ સમાન બીજ ધરાવતા હોય,તો:

જો $\alpha$ એ દ્વિઘાત સમીકરણો $x^2-5x+4a=0$ અને $x^2-2ax-8=0$ નું સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $a \in R$,તો $\alpha^4-\alpha^3+68$ ની કિંમત શોધો.