Condition for common roots Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2-5x+\lambda=0$ અને $x^2-8x-2\lambda=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
બંને સમીકરણોમાં $\alpha$ મૂકતા:
$\alpha^2-5\alpha+\lambda=0$ ... $(i)$
$\alpha^2-8\alpha-2\lambda=0$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$3\alpha+3\lambda=0 \Rightarrow \alpha=-\lambda$.
$\alpha$ એ $x^2-5x+\lambda=0$ નું બીજ હોવાથી,$\alpha=-\lambda$ મૂકતા:
$(-\lambda)^2-5(-\lambda)+\lambda=0$
$\lambda^2+6\lambda=0$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda=-6$.
તેથી,$\alpha = 6$.
$x^2-5x-6=0$ માટે,બીજ $\alpha=6$ અને $\beta=-1$ છે.
$x^2-8x+12=0$ માટે,બીજ $\alpha=6$ અને $\gamma=2$ છે.
અંતે,$\alpha+\beta+\gamma+\lambda = 6 - 1 + 2 - 6 = 1$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તો આપણી પાસે છે:
$1) \alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$
$2) \alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$
સમીકરણ $(1)$ ને $\alpha$ વડે ગુણતા:
$\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$
આ પરિણામમાંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) = 0$
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
કારણ કે $\alpha = 1$ એ સામાન્ય બીજ છે,તે પ્રથમ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1)^3 + a(1) + 1 = 0$
$1 + a + 1 = 0$
$a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$

(A) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2+ax+b=0$ અને $x^2+bx+a=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+a\alpha+b=0$ અને $\alpha^2+b\alpha+a=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2+a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha+a) = 0$
$a\alpha - b\alpha + b - a = 0$
$\alpha(a-b) - (a-b) = 0$
$(a-b)(\alpha-1) = 0$.
$a \neq b$ હોવાથી,$\alpha-1=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha=1$.
$\alpha=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2-ax+b=0$ અને $x^2+bx-a=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2-a\alpha+b=0$ અને $\alpha^2+b\alpha-a=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2-a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha-a) = 0$
$-a\alpha-b\alpha+b+a = 0$
$-(a+b)\alpha + (a+b) = 0$
$(a+b)(1-\alpha) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a+b=0$ અથવા $\alpha=1$.
જો $\alpha=1$ એ બીજ હોય,તો $1^2-a(1)+b=0$,જે $1-a+b=0$ આપે છે,એટલે કે $a-b=1$.
આમ,સામાન્ય બીજ માટેની શરત $a+b=0$ અથવા $a-b=1$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણો $f(x) = x^3+x^2-2x-2=0$ અને $g(x) = x^3-x^2-2x+2=0$ છે.
$f(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+1) - 2(x+1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x+1) = 0$.
બીજ $x = -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
$g(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$x^2(x-1) - 2(x-1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x-1) = 0$.
બીજ $x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય બીજ $x = \sqrt{2}$ અને $x = -\sqrt{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય બીજની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ આપેલા સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે:
$\alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $(i)$
$\alpha^2 - 2a\alpha + 49 = 0$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - 8\alpha + 7) - (\alpha^2 - 2a\alpha + 49) = 0$
$(2a - 8)\alpha - 42 = 0$
$2(a - 4)\alpha = 42$
$\alpha = \frac{21}{a - 4}$
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{21}{a - 4})^2 - 8(\frac{21}{a - 4}) + 7 = 0$
$(a - 4)^2$ વડે ગુણતા:
$441 - 168(a - 4) + 7(a - 4)^2 = 0$
$441 - 168a + 672 + 7(a^2 - 8a + 16) = 0$
$7a^2 - 224a + 1225 = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 32a + 175 = 0$
$(a - 7)(a - 25) = 0$
આમ,$a = 7$ અથવા $a = 25$.
તેથી $a$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ અને $3x^2 - 4x + 5 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$2a\alpha^2 - 3b\alpha + 4c = 0$ અને $3\alpha^2 - 4\alpha + 5 = 0$.
સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$.
આથી $2a = 3k$,$3b = 4k$,અને $4c = 5k$.
તેથી $a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,અને $c = \frac{5k}{4}$.
હવે,$\frac{a+b}{b+c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{4k}{3} + \frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{31k}{12}} = \frac{34}{31}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $3x^2 - 7x + 2 = 0$ $(i)$ અને $15x^2 - 11x + a = 0$ (ii) છે.
$(i)$ ઉકેલતા: $3x^2 - 6x - x + 2 = 0 \implies 3x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \implies (3x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,$(i)$ ના બીજ $x = \frac{1}{3}$ અને $x = 2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x = 2$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $15(2)^2 - 11(2) + a = 0 \implies 60 - 22 + a = 0 \implies a = -38$. $a > 0$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{3}$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $15(\frac{1}{3})^2 - 11(\frac{1}{3}) + a = 0 \implies 15(\frac{1}{9}) - \frac{11}{3} + a = 0 \implies \frac{5}{3} - \frac{11}{3} + a = 0 \implies -2 + a = 0 \implies a = 2$.
હવે,સમીકરણ $15x^2 - ax + 7 = 0$ માટે,$a = 2$ મૂકતા,આપણને $15x^2 - 2x + 7 = 0$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{A} = -(\frac{-2}{15}) = \frac{2}{15}$ થાય.

(A) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
$2b\alpha^2 + 3c\alpha - d = 0$
$2a\alpha^2 + 3b\alpha + 4c = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{12c^2 + 3bd} = \frac{-\alpha}{8bc + 2ad} = \frac{1}{6b^2 - 6ac}$
પ્રથમ અને બીજા ગુણોત્તર પરથી:
$\alpha = -\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad}$
બીજા અને ત્રીજા ગુણોત્તર પરથી:
$\alpha = -\frac{8bc + 2ad}{6b^2 - 6ac}$
$\alpha$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad} = \frac{8bc + 2ad}{6(b^2 - ac)}$
$18(4c^2 + bd)(b^2 - ac) = 4(4bc + ad)^2$
$\frac{4bc + ad}{\frac{9}{2}(b^2 - ac)} = \frac{4c^2 + bd}{4bc + ad}$
આમ,$k = \frac{9}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+px+2=0$ અને $x^2+x+2p=0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+p\alpha+2=0$ અને $\alpha^2+\alpha+2p=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(p-1)\alpha + (2-2p) = 0$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $(p-1)\alpha - 2(p-1) = 0$ થાય.
આથી $(p-1)(\alpha-2) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $p=1$ હોય,તો સમીકરણો $x^2+x+2=0$ અને $x^2+x+2=0$ બને છે,જે સમાન છે. પરંતુ વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ હોવાથી બીજ વાસ્તવિક નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha=2$ હોય,તો $x^2+px+2=0$ માં $\alpha=2$ મૂકતા $4+2p+2=0$ મળે,તેથી $2p = -6$,એટલે કે $p=-3$.
હવે,$p=-3$ ને $x^2+2px+8=0$ માં મૂકતા $x^2+2(-3)x+8=0$ મળે,જે $x^2-6x+8=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
તેથી $x^2-6x+8=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-(-6)/1 = 6$ થાય.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ $2x^2+ax-2=0$ અને $x^2+x+2a=0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $2\alpha^2+a\alpha-2=0$ અને $\alpha^2+\alpha+2a=0$.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2\alpha^2+2\alpha+4a=0$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(a-2)\alpha - 2 - 4a = 0$,તેથી $\alpha = \frac{4a+2}{a-2}$.
$\alpha$ ની કિંમત $x^2+x+2a=0$ માં મૂકતા: $(\frac{4a+2}{a-2})^2 + \frac{4a+2}{a-2} + 2a = 0$.
$a \neq 0$ માટે આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $a = -3$ મળે છે.
$a = -3$ ને $ax^2-4x-2a=0$ માં મૂકતા,આપણને $-3x^2-4x+6=0$ અથવા $3x^2+4x-6=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-6)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{3}$.
આમ,એક બીજ $\frac{-2+\sqrt{22}}{3}$ છે.

(B) કારણ કે $(x-2)$ એ $x^2+ax+b$ નો અવયવ છે,તેથી $x=2$ એ તેનું બીજ છે,એટલે કે $(2)^2+2a+b=0$,જે $2a+b=-4$ આપે છે ... $(i)$.
તે જ રીતે,$(x-2)$ એ $x^2+cx+d$ નો અવયવ હોવાથી,$(2)^2+2c+d=0$,જે $2c+d=-4$ આપે છે ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2a+b) - (2c+d) = -4 - (-4)$
$2(a-c) + (b-d) = 0$
$b-d = -2(a-c)$
$b-d = 2(c-a)$
તેથી,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. સમીકરણો $x^2-6x+a=0$ અને $x^2-cx+6=0$ છે.
ધારો કે અન્ય બીજ અનુક્રમે $\beta_1$ અને $\beta_2$ છે. આપેલ છે કે $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,તેથી $\beta_1 = 4k$ અને $\beta_2 = 3k$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\alpha + 4k = 6$ અને $\alpha \cdot 4k = a$.
બીજા સમીકરણ માટે: $\alpha + 3k = c$ અને $\alpha \cdot 3k = 6$.
$\alpha \cdot 3k = 6$ પરથી,$k = \frac{2}{\alpha}$ મળે.
$k$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$.
$\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,તેથી $\alpha = 4$ અથવા $\alpha = 2$.
જો $\alpha = 4$ હોય,તો $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$. તેથી $\beta_1 = 2$ અને $\beta_2 = 1.5$. $\beta_2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,તેથી આ શક્ય નથી.
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$. તેથી $\beta_1 = 4$ અને $\beta_2 = 3$. બંને પૂર્ણાંક છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $2$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+3x-2k=0$ અને $x^2-2x-7k=0$ નું શૂન્યેતર સામાન્ય બીજ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2+3x-2k) - (x^2-2x-7k) = 0$ $\Rightarrow 5x+5k=0$ $\Rightarrow x=-k$.
$x=-k$ એ બીજ હોવાથી,તેને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(-k)^2+3(-k)-2k=0$ $\Rightarrow k^2-5k=0$ $\Rightarrow k(k-5)=0$.
બીજ શૂન્યેતર હોવાથી,$k \neq 0$,તેથી $k=5$.
$k=5$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5x^2+(5+2)x-(5+1)=0 \Rightarrow 5x^2+7x-6=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $5x^2+10x-3x-6=0$ $\Rightarrow 5x(x+2)-3(x+2)=0$ $\Rightarrow (5x-3)(x+2)=0$.
બીજ $x=\frac{3}{5}$ અને $x=-2$ મળે છે.
તેથી ધન બીજ $x=\frac{3}{5}$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
આપેલા સમીકરણો $ax^2-7x+c=0$ અને $ax^2+5x-c=0$ છે.
$\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી,$a\alpha^2-7\alpha+c=0$ અને $a\alpha^2+5\alpha-c=0$ થાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$-12\alpha + 2c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{6}$.
$\alpha = \frac{c}{6}$ ને $ax^2-7x+c=0$ માં મૂકતા,$ac=6$ મળે છે.
$3$ એ અન્ય બીજ હોવાથી,$9a-21+c=0$ થાય.
$c=21-9a$ ને $ac=6$ માં મૂકતા $3a^2-7a+2=0$ મળે,જેના ઉકેલ $a=2$ અથવા $a=\frac{1}{3}$ છે.
$a=2$ માટે $c=3$ મળે,તેથી સમીકરણ $2x^2-7x+3=0$ બને,જેના બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$x^3-2x-25\lambda=0 \quad (1)$
$3x^3-8x-\frac{175}{3}\lambda=0 \quad (2)$
$\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી:
$25\lambda = \alpha^3-2\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha^3-2\alpha}{25}$
$\frac{175}{3}\lambda = 3\alpha^3-8\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha^3-2\alpha}{25} = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$7(\alpha^3-2\alpha) = 9\alpha^3-24\alpha$
$2\alpha^3-10\alpha = 0$
$2\alpha(\alpha^2-5) = 0$
$\lambda > 0$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{5}$ લેતા:
$\lambda = \frac{5\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{25} = \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{3}{5\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+ax+2=0$ અને $g(x)=x^2+2x+a=0$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક સામાન્ય બીજ છે. સામાન્ય બીજ શોધવા માટે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$f(x)-g(x)=(a-2)x+(2-a)=0$
$(a-2)(x-1)=0$
$a \neq 2$ હોવાથી,સામાન્ય બીજ $x=1$ મળે છે.
$x=1$ ને $f(x)=0$ માં મૂકતા:
$1+a+2=0 \Rightarrow a=-3$.
હવે,$f(x)=x^2-3x+2=0$ અને $g(x)=x^2+2x-3=0$.
તેથી $f(x)+g(x) = 2x^2-x-1=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2+Bx+C=0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ થાય છે.
આમ,$2x^2-x-1=0$ માટે બીજનો સરવાળો $-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ $3x^2 - 7x + 2 = 0$ અને $kx^2 + 7x - 3 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$3\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$ $\dots(i)$
અને $k\alpha^2 + 7\alpha - 3 = 0$ $\dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$(k+3)\alpha^2 - 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 = \frac{1}{k+3}$.
$(i)$ પરથી,$3\alpha^2 + 2 = 7\alpha$,તેથી $3(\frac{1}{k+3}) + 2 = 7\alpha$,જે $\alpha = \frac{2k+9}{7(k+3)}$ આપે છે.
$\alpha^2$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{k+3} = \left(\frac{2k+9}{7(k+3)}\right)^2$.
$49(k+3) = (2k+9)^2 = 4k^2 + 36k + 81$.
$4k^2 - 13k - 66 = 0$.
$(k-6)(4k+11) = 0$.
$k$ ધન હોવાથી,$k = 6$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3$,તેથી $abc$ વડે ગુણતા $a^3+b^3+c^3=3abc$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $a+b+c=0$ અથવા $a=b=c$.
જો $a=b=c$ હોય,તો $E_1=E_2=E_3=a(x^2+x+1)$,જે સમાન બીજ ધરાવે છે.
જો $a+b+c=0$ હોય,તો $x=1$ એ $E_1, E_2, E_3$ માટે બીજ છે કારણ કે $a(1)^2+b(1)+c = a+b+c=0$.
$E_2$ અને $E_3$ માટે,બીજ $x=1$ અને $x=\frac{a}{b}$ ($E_2$ માંથી) તથા $x=\frac{a}{c}$ ($E_3$ માંથી) છે.
સામાન્ય બીજ $x=1$ છે. અન્ય બીજ $x=\frac{a}{b}$ અને $x=\frac{a}{c}$ છે.
$x=\frac{a}{b}$ અને $x=\frac{a}{c}$ બીજ ધરાવતી દ્વિઘાત પદાવલિ $(x-\frac{a}{b})(x-\frac{a}{c}) = x^2 - (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})x + \frac{a^2}{bc} = x^2 - \frac{a(b+c)}{bc}x + \frac{a^2}{bc}$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha^2-3a\alpha+14=0$ અને $\alpha^2+2a\alpha-16=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2-3a\alpha+14) - (\alpha^2+2a\alpha-16) = 0$
$-5a\alpha + 30 = 0
$ $\Rightarrow 5a\alpha = 30
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{6}{a}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\alpha = \frac{6}{a}$ મૂકતા:
$(\frac{6}{a})^2 - 3a(\frac{6}{a}) + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} - 18 + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} = 4
\Rightarrow a^2 = 9$.
હવે,$a^4+a^2 = (a^2)^2 + a^2 = (9)^2 + 9 = 81 + 9 = 90$.

(A) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તેથી $\alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$ અને $\alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a\alpha = -\alpha^3 - 1$.
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$.
બીજા સમીકરણમાંથી આને બાદ કરતા: $(\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) = 0$.
આનાથી $1 - \alpha = 0$ મળે છે,તેથી $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $1^3 + a(1) + 1 = 0$.
$1 + a + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -2$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે. તો:
$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ $(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - \alpha^2) + (a\alpha - b\alpha) + (b - a) = 0$
$(a - b)\alpha - (a - b) = 0$
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$\alpha - 1 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$

(D) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 - 7x + 3c = 0$ અને $x^2 + x - 5c = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 - 7\alpha + 3c = 0$ અને $\alpha^2 + \alpha - 5c = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 - 7\alpha + 3c) - (\alpha^2 + \alpha - 5c) = 0$ $\Rightarrow -8\alpha + 8c = 0$ $\Rightarrow \alpha = c$.
$\alpha = c$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $c^2 - 7c + 3c = 0$ $\Rightarrow c^2 - 4c = 0$ $\Rightarrow c(c - 4) = 0$.
$c$ શૂન્યતર હોવાથી,$c = 4$.
પદાવલિ $x^2 - 3x + 4$ બને છે.
વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $1 > 0$ છે અને $D < 0$ હોવાથી,પદાવલિ $x^2 - 3x + 4$ હંમેશા બધા $x \in R$ માટે ધન રહેશે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b = a+c$.
સમીકરણો $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ અને $2(c+a)x^2 + (b+c)x = 0$ માટે,જો $x=1$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $a^2, c^2, b^2$ એ $A$.$P$. માં છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^{2}+\alpha+a=0$ ... $(i)$
અને $\alpha^{2}+a\alpha+1=0$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(\alpha^{2}+\alpha+a) - (\alpha^{2}+a\alpha+1) = 0$
$\alpha(1-a) + (a-1) = 0$
$\alpha(1-a) - (1-a) = 0$
$(1-a)(\alpha-1) = 0$
આથી $a=1$ અથવા $\alpha=1$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $a=1$ હોય,તો સમીકરણો $x^{2}+x+1=0$ બને છે,જેના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha=1$ હોય,તો $(i)$ માં મૂકતા $1^{2}+1+a=0$,તેથી $a=-2$ મળે.
$a=-2$ માટે,સમીકરણો $x^{2}+x-2=0$ અને $x^{2}-2x+1=0$ છે.
$x^{2}+x-2=0$ ના બીજ $x=1, -2$ છે.
$x^{2}-2x+1=0$ ના બીજ $x=1, 1$ છે.
સામાન્ય બીજ $x=1$ છે,જે વાસ્તવિક છે.
આમ,$a$ ની બરાબર એક કિંમત $(a=-2)$ માટે સમીકરણોને સામાન્ય વાસ્તવિક બીજ છે.