De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(A) इकाई के घनमूल समीकरण $z^3 = 1$ के हल हैं।
ये मूल $1$,$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \omega)^7 = A + B\omega$
$(-\omega^2)^7 = A + B\omega$
$-\omega^{14} = A + B\omega$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
अतः,$-\omega^2 = A + B\omega$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega^2 = -1 - \omega$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$-(-1 - \omega) = A + B\omega$.
$1 + \omega = A + B\omega$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

(B) इकाई (unity) के $n^{th}$ मूल का समीकरण $x^n = 1$ है।
हम $1$ को ध्रुवीय रूप में $\cos(2r\pi) + i\sin(2r\pi) = e^{i2r\pi}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
अतः,मूल $x = e^{i(2r\pi/n)}$ हैं।
$r$ के मान रखने पर,मूल $1, e^{i(2\pi/n)}, e^{i(4\pi/n)}, \dots, e^{i(2(n-1)\pi/n)}$ प्राप्त होते हैं।
ये पद प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = e^{i(2\pi/n)}$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाते हैं।

(A) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूलों के लिए,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $(3 + \omega^2 + \omega^4)^6$ है।
चूंकि $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$,इसलिए व्यंजक $(3 + \omega^2 + \omega)^6$ हो जाता है।
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(3 + (-1))^6 = (2)^6$ प्राप्त होता है।
$(2)^6 = 64$।

(A) व्यंजक $1 + \omega + \omega^2 + ... + \omega^{n-1}$ एक $n$ पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $\omega$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a = 1$ और $r = \omega$ रखने पर,हमें $S_n = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\omega$ इकाई का $n^{th}$ मूल है,इसलिए $\omega^n = 1$ है।
अतः,$S_n = \frac{1 - 1}{\omega - 1} = \frac{0}{\omega - 1} = 0$ (जहाँ $\omega \neq 1$ दिया गया है)।

(D) इकाई के $n$ वें मूल को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
${z_k} = {e^{\frac{i 2\pi (k - 1)}{n}}}$ जहाँ $k = 1, 2, ....., n$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|{z_k}| = |{e^{\frac{i 2\pi (k - 1)}{n}}}| = 1$ सभी $k = 1, 2, ....., n$ के लिए।
चूंकि प्रत्येक $n$ वें मूल का मापांक $1$ है,इसलिए:
$|{z_k}| = |{z_{k + 1}}| = 1$ सभी $k = 1, 2, ....., n-1$ के लिए।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है $a + b + c = 0$,इसलिए $c = -(a + b)$.
$a=1, b=1, c=-2$ रखने पर,$a+b+c=0$ होता है।
व्यंजक $= (1 + \omega - 2\omega^2)^3 + (1 + \omega^2 - 2\omega)^3$
$= (3 + 3\omega)^3 + (3 + 3\omega^2)^3$
$= 27(1 + \omega)^3 + 27(1 + \omega^2)^3$
$= 27(-\omega^2)^3 + 27(-\omega)^3$
$= 27(-1) + 27(-1) = -54$.
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $27abc = 27(1)(1)(-2) = -54$.
अतः,सही उत्तर $27abc$ है।

(A) समीकरण $z^4 = 1$ के मूल इकाई के चतुर्थ मूल हैं,जो $z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i$ हैं।
हमें $\sum_{i=1}^4 z_i^3 = z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + z_4^3$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $1^3 + (i)^3 + (-1)^3 + (-i)^3$.
$= 1 - i - 1 + i = 0$.
अतः,योग $0$ है।

(B) चूंकि $\alpha$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,मान लीजिए $\alpha = \omega$।
दिया गया व्यंजक: $\alpha^{3n + 1} + \alpha^{3n + 3} + \alpha^{3n + 5}$।
इकाई के घनमूल के गुणों का उपयोग करते हुए,$\omega^3 = 1$ और किसी भी $n \in N$ के लिए $\omega^{3n} = 1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^{3n} \cdot \omega^1 + \omega^{3n} \cdot \omega^3 + \omega^{3n} \cdot \omega^5 = 1 \cdot \omega + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \omega^2$।
$= \omega + 1 + \omega^2$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

(D) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ है।
दिया गया व्यंजक $\omega^{20} + (\omega^2)^{20} = \omega^{20} + \omega^{40}$ है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{20} = (\omega^3)^6 \cdot \omega^2 = 1^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\omega^{40} = (\omega^3)^{13} \cdot \omega = 1^{13} \cdot \omega = \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\omega^2 + \omega$ बन जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ होगा।

(C) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
हम व्यंजक का सरलीकरण करते हैं: $(3 + 5\omega + 3\omega^2)^2 + (3 + 3\omega + 5\omega^2)^2$.
$3 + 3\omega + 3\omega^2 = 3(1 + \omega + \omega^2) = 3(0) = 0$ का उपयोग करते हुए:
पहला पद: $(3 + 3\omega + 3\omega^2 + 2\omega)^2 = (0 + 2\omega)^2 = 4\omega^2$.
दूसरा पद: $(3 + 3\omega + 3\omega^2 + 2\omega^2)^2 = (0 + 2\omega^2)^2 = 4\omega^4$.
चूंकि $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$,इसलिए योग $4\omega^2 + 4\omega$ है।
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करते हुए,$\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$4\omega^2 + 4\omega = 4(\omega^2 + \omega) = 4(-1) = -4$.

(C) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
सबसे पहले,$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin \left[ (\omega + \omega^2)\pi - \frac{\pi}{4} \right]$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ है,
$\sin \left[ -\pi - \frac{\pi}{4} \right] = -\sin \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) माना $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ है।
अतः $z_1^6 = (e^{i\pi/6})^6 = e^{i\pi} = -1$ है।
माना $z_2 = \frac{i - \sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = e^{i5\pi/6}$ है।
अतः $z_2^6 = (e^{i5\pi/6})^6 = e^{i5\pi} = \cos(5\pi) + i\sin(5\pi) = -1$ है।
इसलिए,$z_1^6 + z_2^6 = -1 + (-1) = -2$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(1 + \omega - \omega^2)^7 = (-\omega^2 - \omega^2)^7$
$= (-2\omega^2)^7$
$= (-2)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -128 \times \omega^{14}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$.
अतः,व्यंजक का मान $-128\omega^2$ है।

(A) माना $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ और $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
अतः व्यंजक $E = \frac{(2\omega)^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{(2\omega^2)^{15}}{(1 + i)^{20}}$ होगा।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{15} = 1$ और $\omega^{30} = 1$ है।
$E = \frac{2^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{2^{15}}{(1 + i)^{20}} = 2^{15} \left[ \frac{(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}}{(1 - i^2)^{20}} \right]$.
चूँकि $1 - i^2 = 2$,हर $2^{20}$ होगा।
$E = \frac{2^{15}}{2^{20}} [(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}]$.
चूँकि $(1 + i)^2 = 2i$ और $(1 - i)^2 = -2i$,
$E = \frac{1}{2^5} [(2i)^{10} + (-2i)^{10}] = \frac{1}{32} [2^{10} i^{10} + 2^{10} i^{10}] = \frac{2 \times 2^{10} \times (-1)}{32} = -64$.

(A) घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 3/4} = \frac{1/2}{1/4} = 2$ है।
अतः,व्यंजक $\omega + \omega^2$ हो जाता है।
चूँकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
इसलिए,$\omega + \omega^2 = -1$।

(C) दिया गया व्यंजक: $(3 + \omega + 3\omega^2)^4$.
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$.
साथ ही,$3 + 3\omega^2 = 3(1 + \omega^2) = 3(-\omega) = -3\omega$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 + 3\omega^2 + \omega)^4 = (-3\omega + \omega)^4$.
$= (-2\omega)^4$.
$= 16\omega^4$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$.
अतः,मान $16\omega$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
अतः,$1 + \omega^2 = -\omega$ और $1 + \omega = -\omega^2$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(1 - \omega + \omega^2)(1 - \omega^2 + \omega)^6 = (-\omega - \omega)(-\omega^2 - \omega^2)^6$
$= (-2\omega)(-2\omega^2)^6$
$= (-2\omega)(64\omega^{12})$
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{12} = (\omega^3)^4 = 1^4 = 1$।
$= (-2\omega)(64 \times 1) = -128\omega$.

(D) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं।
उनका गुणनफल $1 \times \omega \times \omega^2 = \omega^3$ है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ होता है।
अतः,उनका गुणनफल $1$ है।

(C) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3} + i}{-2} = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$.
हम जानते हैं कि $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ को $i$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $iz = -\left(i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\omega$.
अतः,$z = \frac{-\omega}{i} = i\omega$.
अब,$z^{69} = (i\omega)^{69} = i^{69} \cdot \omega^{69}$.
चूँकि $i^{69} = i^{68} \cdot i = (i^4)^{17} \cdot i = 1^{17} \cdot i = i$ और $\omega^{69} = (\omega^3)^{23} = 1^{23} = 1$.
इसलिए,$z^{69} = i \cdot 1 = i$.

(C) दिया गया है ${\omega _n} = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$.
$n=3$ के लिए,${\omega _3} = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = -\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
इसी प्रकार,${\omega _3}^2 = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) = -\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt{3}}}{2} = {\omega ^2}$.
अब,व्यंजक $(x + y\omega + z{\omega ^2})(x + y{\omega ^2} + z\omega)$ है।
इस गुणनफल का विस्तार करने पर:
$= {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx$.

(D) दिया गया है $z + z^{-1} = 1$,जिसका अर्थ है $z + \frac{1}{z} = 1$,जिससे $z^2 - z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ या $-\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
स्थिति $1$: यदि $z = -\omega$ है,तो $z^{100} + z^{-100} = (-\omega)^{100} + (-\omega)^{-100} = \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{100} = \omega$ होगा।
अतः,$z^{100} + z^{-100} = \omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$.
स्थिति $2$: यदि $z = -\omega^2$ है,तो $z^{100} + z^{-100} = (-\omega^2)^{100} + (-\omega^2)^{-100} = \omega^{200} + \frac{1}{\omega^{200}} = \omega^2 + \omega = -1$.
दोनों स्थितियों में,परिणाम $-1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + i\sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
यह $\omega$ का मान है,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$z^n = \omega^n$.
$\omega^n$ को पूर्णांक होने के लिए $n$ को $3$ का गुणज होना चाहिए क्योंकि $\omega^3 = 1$.
अतः,$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $3$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega^2 = -\omega$ और $1 + \omega = -\omega^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \omega^2 + 2\omega)^{3n} - (1 + \omega + 2\omega^2)^{3n} = (-\omega + 2\omega)^{3n} - (-\omega^2 + 2\omega^2)^{3n}$
$= (\omega)^{3n} - (\omega^2)^{3n}$
$= (\omega^3)^n - (\omega^3)^{2n}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $1^n - 1^{2n} = 1 - 1 = 0$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(a + b)(a + b\omega)(a + b\omega^2)$
चूंकि $\omega$ इकाई का एक अवास्तविक घनमूल है,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
सबसे पहले,अंतिम दो पदों का गुणा करें: $(a + b\omega)(a + b\omega^2) = a^2 + ab\omega^2 + ab\omega + b^2\omega^3 = a^2 + ab(\omega + \omega^2) + b^2(1)$।
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,यह सरल होकर $a^2 - ab + b^2$ हो जाता है।
अब,पहले पद के साथ गुणा करने पर: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$।

(B) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
ध्रुवीय रूप में,यह $z = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = cis\left(\frac{\pi}{3}\right)$ है।
डी मोइवर प्रमेय के अनुसार,$cis(\theta)$ के $n$-वें मूल $cis\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
चतुर्थ मूल $(n=4)$ और $k=0$ के लिए,हमें $cis\left(\frac{\pi/3}{4}\right) = cis\left(\frac{\pi}{12}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$cis\left(\frac{\pi}{12}\right)$ दी गई संख्या का एक चतुर्थ मूल है।

(D) माना $(8)^{1/3} = x$ है।
तब $x^3 = 8$,जिसका अर्थ है $x^3 - 8 = 0$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 2$ या $x^2 + 2x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $x^2 + 2x + 4 = 0$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$8$ के घनमूल $2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ हैं।
इसलिए,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(C) दिया गया है कि $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega^2 = -\omega$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 + \omega + 3\omega^2)^4 = [3(1 + \omega^2) + \omega]^4$
$= [3(-\omega) + \omega]^4$
$= [-3\omega + \omega]^4$
$= [-2\omega]^4$
$= 16\omega^4$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$ होता है।
अतः,$16\omega^4 = 16\omega$।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega^2 = -\omega$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - 2\omega + \omega^2)^6 = (1 + \omega^2 - 2\omega)^6$
$= (-\omega - 2\omega)^6$
$= (-3\omega)^6$
$= (-3)^6 \times \omega^6$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$.
अतः,$(-3)^6 \times 1 = 729$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\omega^{99} + \omega^{100} + \omega^{101}$
$\omega^{99}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\omega^{99}(1 + \omega + \omega^{2})$
चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ और $\omega^{3} = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\omega^{99}(0) = 1^{33} \times 0 = 0$।
अतः,मान $0$ है।

(C) माना $y = |a + b\omega + c\omega^2|$.
$y$ को न्यूनतम होने के लिए $y^2$ को न्यूनतम होना चाहिए।
$y^2 = |a + b\omega + c\omega^2|^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$.
इसे $y^2 = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं और सभी समान नहीं हैं,इसलिए न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब दो चर समान हों और तीसरा $1$ से भिन्न हो (उदाहरण के लिए,$a=0, b=0, c=1$)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 = \frac{1}{2}[0 + 1 + 1] = 1$.
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2(1 + \omega)^3 - (1 + \omega^2)\omega = \omega^2(-\omega^2)^3 - (-\omega)\omega$
$= \omega^2(-\omega^6) + \omega^2$
$= -\omega^8 + \omega^2$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^8 = \omega^6 \times \omega^2 = 1 \times \omega^2 = \omega^2$।
अतः,$-\omega^2 + \omega^2 = 0$।

(C) दिया गया है $x = \alpha + \beta$,$y = \alpha \omega + \beta \omega^2$,और $z = \alpha \omega^2 + \beta \omega$।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$।
सबसे पहले,$yz$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$yz = (\alpha \omega + \beta \omega^2)(\alpha \omega^2 + \beta \omega)$
$yz = \alpha^2 \omega^3 + \alpha \beta \omega^2 + \alpha \beta \omega^4 + \beta^2 \omega^3$
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $\omega^4 = \omega$,हमें प्राप्त होता है:
$yz = \alpha^2(1) + \alpha \beta \omega^2 + \alpha \beta \omega + \beta^2(1)$
$yz = \alpha^2 + \alpha \beta(\omega^2 + \omega) + \beta^2$
चूँकि $\omega^2 + \omega = -1$,हमारे पास है:
$yz = \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2$
अब,$xyz = x(yz)$ ज्ञात करें:
$xyz = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$xyz = \alpha^3 + \beta^3$।

(D) दिया गया है $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ..... + C_nx^n$।
दोनों पक्षों में $x = i$ रखने पर:
$(1 + i)^n = (C_0 - C_2 + C_4 - .....) + i(C_1 - C_3 + C_5 - .....) \dots (i)$
$1 + i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(1 + i)^n = (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ के वास्तविक भागों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + ..... = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$।

(C) दिया गया है कि $x = \cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$ और $y = \cos \phi + i\sin \phi = e^{i\phi}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,${x^m} = e^{im\theta}$ और ${y^n} = e^{in\phi}$ प्राप्त होता है।
अतः,${x^m}{y^n} = e^{i(m\theta + n\phi)}$ और ${x^{-m}}{y^{-n}} = e^{-i(m\theta + n\phi)}$।
यूलर के सूत्र $e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cos \alpha$ का उपयोग करने पर:
${x^m}{y^n} + {x^{-m}}{y^{-n}} = e^{i(m\theta + n\phi)} + e^{-i(m\theta + n\phi)} = 2\cos (m\theta + n\phi)$।

(D) हमारे पास $\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^8 {i\left( {\cos \frac{{2r\pi }}{9} - i\sin \frac{{2r\pi }}{9}} \right)}$ है।
यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर,यह $i\sum\limits_{r = 1}^8 {e^{-i\frac{2r\pi}{9}}} = i\sum\limits_{r = 1}^8 {\alpha^r}$ हो जाता है,जहाँ $\alpha = e^{-i\frac{2\pi}{9}}$ है।
यह $8$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,इसलिए योग $i\alpha \frac{1 - \alpha^8}{1 - \alpha} = i \frac{\alpha - \alpha^9}{1 - \alpha}$ होगा।
चूँकि $\alpha^9 = e^{-i2\pi} = 1$,इसलिए व्यंजक $i \frac{\alpha - 1}{1 - \alpha} = i(-1) = -i$ में सरल हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ है।
माना $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,और $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$ है।
अतः $a + b + c = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) + i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) = 0 + i0 = 0$ है।
सर्वसमिका के अनुसार यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
मान रखने पर,$(\cos \alpha + i\sin \alpha)^3 + (\cos \beta + i\sin \beta)^3 + (\cos \gamma + i\sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta)(\cos \gamma + i\sin \gamma)$ प्राप्त होता है।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) + (\cos 3\beta + i\sin 3\beta) + (\cos 3\gamma + i\sin 3\gamma) = 3[\cos(\alpha + \beta + \gamma) + i\sin(\alpha + \beta + \gamma)]$ है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 3\cos(\alpha + \beta + \gamma)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $(x - 1)^3 + 8 = 0$ है।
इसे $(x - 1)^3 = -8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,इसलिए $-8$ के घनमूल $-2, -2\omega, -2\omega^2$ होंगे।
अतः,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,मूल $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ हैं।

(C) चूंकि $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^n - 1}{x - 1} = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष सरल होकर होता है:
$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
अब,दोनों पक्षों में $x = 1$ रखने पर:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 = (1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$
चूंकि बाईं ओर कुल $n$ पद हैं,इसलिए योग $n$ है।
अतः,$(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1}) = n$।

(C) माना $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $\omega^3 = 1$ है।
दिया गया व्यंजक $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{365}$ है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{334} = \omega^{333} \cdot \omega = (\omega^3)^{111} \cdot \omega = 1^{111} \cdot \omega = \omega$ है।
इसी प्रकार,$\omega^{365} = \omega^{363} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^{121} \cdot \omega^2 = 1^{121} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$4 + 5\omega + 3\omega^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 = -1 - \omega$ है।
इसे रखने पर:
$4 + 5\omega + 3(-1 - \omega) = 4 + 5\omega - 3 - 3\omega = 1 + 2\omega$ प्राप्त होता है।
$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$1 + 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + i\sqrt{3} = i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) इकाई के $n^{th}$ मूल ${z_r} = \cos \frac{2r\pi}{n} + i\sin \frac{2r\pi}{n}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.
मान लीजिए ${z_1} = \cos \frac{2r_1\pi}{n} + i\sin \frac{2r_1\pi}{n}$ और ${z_2} = \cos \frac{2r_2\pi}{n} + i\sin \frac{2r_2\pi}{n}$.
मूल बिंदु पर ${z_1}$ और ${z_2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण $\frac{z_1}{z_2}$ के कोणांक द्वारा दिया जाता है.
$\text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) = \frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n}$.
चूंकि कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n} = \pm \frac{\pi}{2}$.
इसका अर्थ है $\frac{2(r_1 - r_2)}{n} = \pm \frac{1}{2}$,जो $n = \pm 4(r_1 - r_2)$ में सरल हो जाता है.
चूंकि $r_1$ और $r_2$ पूर्णांक हैं,इसलिए $n$ को $4$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $n = 4k$.

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r + 1)(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n$ तक है।
$\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1) = r^2\omega^3 + r\omega + r\omega^2 + 1 = r^2 + r(\omega + \omega^2) + 1 = r^2 - r + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_r = (r + 1)(r^2 - r + 1) = r^3 + 1$ है।
योग $\sum_{r=1}^n (r^3 + 1) = \sum_{r=1}^n r^3 + \sum_{r=1}^n 1$ है।
$\sum_{r=1}^n r^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}]^2$ सूत्र का उपयोग करने पर,योग $[\frac{n(n + 1)}{2}]^2 + n$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega^4)^m$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega)^m$.
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$1 + \omega^2 = -\omega$ और $1 + \omega = -\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(-\omega)^m = (-\omega^2)^m$.
दोनों पक्षों को $(-\omega)^m$ से विभाजित करने पर: $1 = (\frac{-\omega^2}{-\omega})^m = (\omega)^m$.
$(\omega)^m = 1$ के लिए,$m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $3$ है,क्योंकि $\omega^3 = 1$ होता है।

(D) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$.
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
नए समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जो मूल समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों के समान हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^3 + 8 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
माना $y = x^2$,जिसका अर्थ है $x = y^{1/2}$।
मूल समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $(y^{1/2})^3 + 8 = 0$।
$y^{3/2} = -8$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^{3/2})^2 = (-8)^2$।
$y^3 = 64$।
$y^3 - 64 = 0$।
अतः,वह समीकरण जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं,$x^3 - 64 = 0$ है।

(D) $\text{दिया गया है}$ $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$.
$\text{माना}$ $x = \cos \alpha + i \sin \alpha = e^{i\alpha}$.
$\text{तब}$ $\frac{1}{x} = \cos \alpha - i \sin \alpha = e^{-i\alpha}$.
$\text{अतः}$,$x + \frac{1}{x} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2 \cos \alpha$.
$\text{अब}$,$x^n + \frac{1}{x^n} = (e^{i\alpha})^n + (e^{-i\alpha})^n = e^{in\alpha} + e^{-in\alpha}$.
$\text{यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर}$,$e^{in\alpha} + e^{-in\alpha} = 2 \cos n\alpha$.
$\text{इसलिए}$,$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n\alpha$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।
इस समीकरण के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$।
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$।
चूंकि नए मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,इसलिए अभीष्ट समीकरण मूल समीकरण के समान ही होगा,अर्थात $x^2 + x + 1 = 0$।

(C) दिया गया है कि $x = a$,$y = b\omega$,और $z = c\omega^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b\omega}{b} + \frac{c\omega^2}{c}$
$= 1 + \omega + \omega^2$
चूंकि इकाई के सम्मिश्र घनमूलों के लिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है,इसलिए परिणाम $0$ है।