यदि $\omega ( \neq 1)$ इकाई का घनमूल है और $(1 + \omega )^7 = A + B\omega$ है,तो $A$ और $B$ क्रमशः कौन सी संख्याएँ हैं?

$\frac{(\cos \theta + i \sin \theta)^4}{(\sin \theta + i \cos \theta)^5}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है:

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg (z)$,$z$ का मुख्य कोणांक दर्शाता है,जहाँ $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ है। मान लीजिए $\omega$ इकाई का घनमूल है जिसके लिए $0 < \arg (\omega) < \pi$ है। मान लीजिए $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$ है। तो $\frac{3 \alpha}{\pi}$ का मान $.....$ है।

यदि $Z_{r} = \sin \frac{2 \pi r}{11} - i \cos \frac{2 \pi r}{11}$ है,तो $\sum_{r=0}^{10} Z_{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $n$ के धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,गुणनफल $\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \cdots \omega^n$ होगा:

मान लीजिए $1, \omega$ और $\omega^2$ इकाई के घनमूल हैं। वास्तविक गुणांक वाले उस बहुपद की न्यूनतम घात क्या होगी जिसके मूल $2\omega, 2\omega^2, 3+4\omega, 3+4\omega^2$ और $5-\omega-\omega^2$ हैं?