De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(\cos \theta + i \sin \theta)^4}{(\sin \theta + i \cos \theta)^5}$
डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,अंश $(\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4 \theta + i \sin 4 \theta$ है।
हर के लिए,$\sin \theta + i \cos \theta$ को $i(\cos \theta - i \sin \theta) = i(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\sin \theta + i \cos \theta)^5 = i^5 (\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)) = i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)$।
इस प्रकार,$E = \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta}$।
गुणधर्म $\frac{\cos \alpha + i \sin \alpha}{\cos \beta + i \sin \beta} = \cos(\alpha - \beta) + i \sin(\alpha - \beta)$ का उपयोग करते हुए:
$E = -i \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)} = -i (\cos(4 \theta - (-5 \theta)) + i \sin(4 \theta - (-5 \theta)))$
$E = -i (\cos 9 \theta + i \sin 9 \theta) = -i \cos 9 \theta - i^2 \sin 9 \theta = \sin 9 \theta - i \cos 9 \theta$।

(C) दिया गया है कि $z$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $z^3 = 1$ और $1+z+z^2 = 0$ है।
$1+z+z^2 = 0$ से,हमें $z^2+1 = -z$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2$ पर विचार करें।
$z^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(1+\frac{1}{1}\right)^2+\left(z^3 \cdot z+\frac{1}{z^3 \cdot z}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$= (1+1)^2 + \left(z+\frac{1}{z}\right)^2$.
$= 4 + \left(\frac{z^2+1}{z}\right)^2$.
$z^2+1 = -z$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 + \left(\frac{-z}{z}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$= 4 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) दिया गया है $w = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जिसे $\omega$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = -1 - \omega$।
हमें $(3 + \omega + 3 \omega^2)^4$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 + \omega + 3(-1 - \omega))^4 = (3 + \omega - 3 - 3 \omega)^4$।
$= (-2 \omega)^4$।
$= 16 \omega^4$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$।
अतः,$16 \omega^4 = 16 \omega$।

(B) माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $\alpha^4 + \beta^{28} + \frac{1}{\alpha \beta}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \omega^4 + (\omega^2)^{28} + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^{56} + \frac{1}{\omega^3}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$ और $\omega^{56} = (\omega^3)^{18} \cdot \omega^2 = 1^{18} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
अतः,व्यंजक $\omega + \omega^2 + \frac{1}{1} = \omega + \omega^2 + 1$ हो जाता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

(C) इकाई के सम्मिश्र घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ लेने पर।
दिया गया व्यंजक: $\alpha^3 + \beta^3 + \alpha^{-2} \times \beta^{-2} = \alpha^3 + \beta^3 + \frac{1}{(\alpha \beta)^2}$.
यहाँ $\alpha^3 = \omega^3 = 1$ और $\beta^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1$ है।
साथ ही,$\alpha \beta = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = 1$ है।
मान रखने पर: $1 + 1 + \frac{1}{(1)^2} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(C) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega=-\omega^2$.
दिए गए व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$(1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= (-1)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -1 \times \omega^{14}$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^{14} = \omega^{12} \times \omega^2 = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$ होता है।
अतः,$(1+\omega)^7 = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1+\omega$ प्राप्त होता है।
$1+\omega$ की तुलना $A+B\omega$ से करने पर,$A=1$ और $B=1$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1+\omega^2 = -\omega$ और $\omega^3 = 1$।
दिया गया व्यंजक: $E = (3+5\omega+3\omega^2)^2 + (3+3\omega+5\omega^2)^2$
$3(1+\omega+\omega^2) = 0$ का उपयोग करके पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E = (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega)^2 + (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega^2)^2$
$E = (0 + 2\omega)^2 + (0 + 2\omega^2)^2$
$E = 4\omega^2 + 4\omega^4$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ होगा।
$E = 4\omega^2 + 4\omega = 4(\omega^2 + \omega)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ होगा।
$E = 4(-1) = -4$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$।
हमें $\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega^{16} + (\omega^{2})^{16}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\omega^{16} = (\omega^{3})^{5} \cdot \omega = 1^{5} \cdot \omega = \omega$।
इसी प्रकार,$\omega^{32} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega^{2} = 1^{10} \cdot \omega^{2} = \omega^{2}$।
अतः,$\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega + \omega^{2}$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\omega + \omega^{2} = -1$।

(D) माना $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ का उपयोग करते हुए,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ लें।
तब $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.
अतः,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.
$z^n = 1$ के लिए,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ और $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.
सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k=3$ रखने पर,$n = 16$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$2x = -1 + i\sqrt{3}$।
$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$।
व्यंजक में $x = \omega$ रखने पर:
$(1 - \omega^2 + \omega)^6 - (1 - \omega + \omega^2)^6$
$= (-\omega^2 - \omega^2)^6 - (-\omega - \omega)^6$
$= (-2\omega^2)^6 - (-2\omega)^6$
$= 2^6 \cdot \omega^{12} - 2^6 \cdot \omega^6$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^6 = 1$ और $\omega^{12} = 1$ है।
$= 64(1) - 64(1) = 0$.

(A) दिया गया है कि $\omega^{3} = 1$ और $1+\omega+\omega^{2} = 0$.
हम जानते हैं कि $1+\omega^{2} = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^{2}$.
साथ ही,$\omega^{3} = 1, \omega^{4} = \omega, \omega^{8} = \omega^{2}, \omega^{16} = \omega$.
व्यंजक $P = (1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega)(1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड) है।
$1+\omega^{2} = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2})(-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड)।
$P = (-2\omega)(-2\omega^{2})(-2\omega)(-2\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड)।
यहाँ $(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3} = 4(1) = 4$ के $n$ जोड़े हैं।
अतः,$P = (4)^{n} = 2^{2n}$.

(B) दिया गया है $x+iy=(-1+i\sqrt{3})^{2010}$.
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $-1+i\sqrt{3} = 2\omega$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+iy = (2\omega)^{2010} = 2^{2010} \cdot \omega^{2010}$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{2010} = (\omega^3)^{670} = 1^{670} = 1$.
अतः,$x+iy = 2^{2010} \cdot 1 = 2^{2010} + i(0)$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$x = 2^{2010}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\alpha^{2}+\alpha+1=0$ है।
यह इकाई के घनमूल के लिए अभिलक्षणिक समीकरण है,जहाँ $\alpha$ या तो $\omega$ है या $\omega^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^{3}=1$ होता है।
यदि $\alpha=\omega$ है,तो $\alpha^{31} = \omega^{31} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega = 1^{10} \cdot \omega = \omega = \alpha$।
यदि $\alpha=\omega^{2}$ है,तो $\alpha^{31} = (\omega^{2})^{31} = \omega^{62} = (\omega^{3})^{20} \cdot \omega^{2} = 1^{20} \cdot \omega^{2} = \omega^{2} = \alpha$।
दोनों ही स्थितियों में,$\alpha^{31} = \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^{2}=0$ और $\omega^{3}=1$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega^{4})(1+\omega^{8})$
$= (1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega)(1+\omega^{2})$
$= [(1+\omega)(1+\omega^{2})]^{2}$
$= [1+\omega^{2}+\omega+\omega^{3}]^{2}$
$= [1+(\omega^{2}+\omega)+1]^{2}$
$= [1+(-1)+1]^{2}$
$= [1]^{2} = 1$.

(C) दिया गया है,$\alpha^{2}-\alpha+1=0$.
$(\alpha+1)$ से गुणा करने पर,$(\alpha+1)(\alpha^{2}-\alpha+1)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^{3}+1=0$,अतः $\alpha^{3}=-1$.
इसलिए,$\alpha^{6}=1$.
हमें $\alpha^{2011}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $2011 = 6 \times 335 + 1$,इसलिए $\alpha^{2011} = (\alpha^{6})^{335} \times \alpha^{1} = (1)^{335} \times \alpha = \alpha$.
अतः,$\alpha^{2011} = \alpha$.

(A) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{6}\left(\sin \frac{2 k \pi}{7}-i \cos \frac{2 k \pi}{7}\right)$ है।
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S = -i \sum_{k=1}^{6}\left(\cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7}\right)$.
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$,तब:
$S = -i \sum_{k=1}^{6} \omega^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$S = -i \left( \frac{\omega(1 - \omega^6)}{1 - \omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - \omega^7}{1 - \omega} \right)$.
चूंकि $\omega^7 = 1$,इसलिए:
$S = -i \left( \frac{\omega - 1}{1 - \omega} \right) = -i (-1) = i$.

(D) हमारे पास है,$(1-\omega+\omega^{2})(1+\omega-\omega^{2}) \quad \dots(1)$
हम जानते हैं कि,$1+\omega+\omega^{2}=0$.
इससे,हम लिख सकते हैं:
$1+\omega^{2} = -\omega$,इसलिए $(1-\omega+\omega^{2}) = -\omega - \omega = -2\omega$.
$1+\omega = -\omega^{2}$,इसलिए $(1+\omega-\omega^{2}) = -\omega^{2} - \omega^{2} = -2\omega^{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3}$.
चूंकि $\omega^{3}=1$,इसलिए व्यंजक का मान $4(1) = 4$ होगा।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$x = 2 \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.
माना $\alpha = 2 e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2 e^{-i\pi/3}$ है।
तब $\alpha^n + \beta^n = (2 e^{i\pi/3})^n + (2 e^{-i\pi/3})^n = 2^n (e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^n + \beta^n = 2^n (2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1+i\sqrt{3}$ और $\beta = 1-i\sqrt{3}$ है।
ध्रुवीय रूप में बदलने पर, $\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः $\alpha^n + \beta^n = (2e^{i\pi/3})^n + (2e^{-i\pi/3})^n = 2^n(e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$ है।
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर, $\alpha^n + \beta^n = 2^n(2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n\pi}{3}$ के साथ तुलना करने पर, $k = 2^{n+1}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=2$ और $\alpha\beta=4$ है।
समीकरण के मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 e^{i3\pi} = -2^9$ और $\beta^9 = (2e^{-i\pi/3})^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = -2^9$ है।
इसलिए,$\alpha^9+\beta^9 = -2^9 - 2^9 = -2 \times 2^9 = -2^{10}$।

(A) दिया गया समीकरण $x^9-x^5+x^4-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x^5+1)(x^4-1) = 0$.
$x^4-1=0$ के लिए मूल $x=1, -1, i, -i$ हैं।
$x^5+1=0$ के लिए मूल $x=-1, e^{\pm i\pi/5}, e^{\pm 3i\pi/5}$ हैं।
वास्तविक मूलों की संख्या $n=3$ (पुनरावृत्ति के साथ),$m=2$,$k=1$.
अतः,$m \cdot n \cdot k = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3-x^2-x-2=0$ है।
$x=2$ रखने पर,$8-4-2-2=0$ प्राप्त होता है,अतः $(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$(x-2)$ से विभाजित करने पर,$(x-2)(x^2+x+1)=0$ प्राप्त होता है।
अवास्तविक मूल $\alpha$ और $\beta$,$x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
ये इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
हमें $\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha=\omega$ और $\beta=\omega^2$ होने पर,$\alpha^{2020}=\omega^{2020}=\omega$ और $\beta^{2020}=\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020} = \omega + \omega^2 + \omega^3 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$।
विकल्पों को देखने पर,$1+\alpha+\beta = 1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$,$x^7=1$ का एक अवास्तविक मूल है,अतः $\alpha^7=1$ और $\alpha \neq 1$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$\alpha(1+\alpha)(1+\alpha^2+\alpha^4) = \alpha(1+\alpha^2+\alpha^4+\alpha+\alpha^3+\alpha^5)$
$= \alpha + \alpha^3 + \alpha^5 + \alpha^2 + \alpha^4 + \alpha^6$
$= \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$= \frac{\alpha(1-\alpha^6)}{1-\alpha} = \frac{\alpha-\alpha^7}{1-\alpha}$
चूंकि $\alpha^7=1$,इसलिए:
$= \frac{\alpha-1}{1-\alpha} = -1$.

(B) माना $z = 8i = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 8e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2$ है।
घनमूल लेने पर,$z^{\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}$।
$k=0$ के लिए: $2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + i$।
$k=1$ के लिए: $2e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए: $2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i$।
अतः,मान $\pm \sqrt{3} + i, -2i$ हैं।

(D) माना $z = (1+i \sqrt{3})^{3/4}$.
हम जानते हैं कि एक सम्मिश्र संख्या $w = z^n$ के लिए,जहाँ $n = p/q$ है,$q$ मानों का गुणनफल $(-1)^{q-1} (z^p)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = |1+i\sqrt{3}| = 2$ है।
अतः,$r^3 = 2^3 = 8$ होगा।
गणना करने पर,चार मानों का गुणनफल $8$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $x^2+x+1=0$ के लिए,मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अतः,$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें $\alpha^{2021}$ और $\beta^{2021}$ मूलों वाला समीकरण ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{2021} = \omega^{2021} = (\omega^3)^{673} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
इसी प्रकार,$\beta^{2021} = (\omega^2)^{2021} = \omega^{4042} = (\omega^3)^{1347} \cdot \omega = \omega$ है।
नए मूल $\omega^2$ और $\omega$ हैं।
$\omega$ और $\omega^2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\omega + \omega^2)x + \omega \cdot \omega^2 = 0$ है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।

(B) माना $z_1 = -i+\sqrt{3}$ और $z_2 = -i-\sqrt{3}$ है।
हम $z_1 = -i(1+i\sqrt{3})$ और $z_2 = i(1-i\sqrt{3})$ लिख सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से,$z_1 = -2i(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{i\pi/3}$ पर ध्यान दें।
$z_1^{300} = (-2i)^{300} (e^{i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$।
इसी प्रकार,$z_2 = -2i(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{-i\pi/3}$ है।
$z_2^{300} = (-2i)^{300} (e^{-i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{-i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$।
अतः,$z_1^{300} + z_2^{300} = 2^{300} + 2^{300} = 2 \times 2^{300} = 2^{301}$।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) दिया गया है कि $x^6 = 1$,अतः $x^6 - 1 = 0$.
इसे $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
चूंकि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,यह समीकरण $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$.
हम पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$
दोनों पक्षों को $(\alpha^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$.

(C) दिया गया है $f(x, y) = (x+y)(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega)$.
हम जानते हैं कि $(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega) = x^2 \omega^3 + xy \omega^2 + xy \omega^4 + y^2 \omega^3 = x^2 + xy(\omega^2 + \omega) + y^2 = x^2 - xy + y^2$ (चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$).
अतः,$f(x, y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
$x = 2$ और $y = 3$ रखने पर:
$f(2, 3) = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.

(D) दिया है,$z^2+z+1=0$.
चूंकि $z^2+z+1=0$,इसलिए $z^2+1=-z$ होगा।
$z$ से भाग देने पर,$z+\frac{1}{z}=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
साथ ही,$z^3=1$ (क्योंकि $z$ इकाई का घनमूल है)।
तब $z^4 = z^3 \cdot z = z$ होगा।
इसलिए,$z^4+\frac{1}{z^4} = z+\frac{1}{z} = -1$.
अतः,$\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = -1 + (-1) = -2$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-x+1=0$ है।
इसके मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$ है।
हमें $\alpha^{2009} + \beta^{2009} = (-\omega)^{2009} + (-\omega^2)^{2009}$ का मान ज्ञात करना है।
यह $-(\omega^{2009} + \omega^{4018})$ के बराबर है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{2009} = \omega^2$ और $\omega^{4018} = \omega$ होगा।
अतः,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\omega^2 + \omega)$।
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 + \omega = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$।

(D) दिया गया है $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ और $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$।
यहाँ $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
हमें $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha$ और $\beta^4 = \beta$ होगा।
अतः,$5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta} = 5(\alpha + \beta) + 7 = 5(-1) + 7 = 2$।

(C) दिया गया समीकरण $\alpha_1 + \alpha_2 z + \alpha_3 z^2 + \ldots + \alpha_n z^{n-1} + z^n = 0$ है।
चूँकि $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,इसलिए $z^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$ है।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $\alpha_1 + \alpha_2 e^{i \theta} + \alpha_3 e^{i 2 \theta} + \ldots + \alpha_n e^{i (n-1) \theta} + e^{i n \theta} = 0$।
पूरे समीकरण को $e^{-i n \theta}$ से गुणा करने पर:
$\alpha_1 e^{-i n \theta} + \alpha_2 e^{-i (n-1) \theta} + \ldots + \alpha_n e^{-i \theta} + 1 = 0$।
इस समीकरण का वास्तविक भाग लेने पर:
$\alpha_1 \cos (-n \theta) + \alpha_2 \cos (-(n-1) \theta) + \ldots + \alpha_n \cos (-\theta) + 1 = 0$।
चूँकि $\cos (-x) = \cos x$,यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\alpha_1 \cos n \theta + \alpha_2 \cos (n-1) \theta + \ldots + \alpha_n \cos \theta + 1 = 0$।
अतः,$\alpha_1 \cos n \theta + \alpha_2 \cos (n-1) \theta + \ldots + \alpha_n \cos \theta = -1$।

(D) माना $\omega = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ है।
तब दिया गया व्यंजक $z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5$ है।
$z = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$।
सर्वसमिका $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर, हमें $z = 2\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है, इसलिए $z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$।
चूंकि $z = -\sqrt{3} + 0i$ है, इसलिए काल्पनिक भाग $\operatorname{Im}(z) = 0$ है।

(B) दिया गया सम्मिश्र समीकरण:
$i z^3+4 z^2-z+4 i=0$
पदों को समूहित करने पर:
$z^2(i z + 4) + i(i z + 4) = 0$
$(i z + 4)(z^2 + i) = 0$
इससे $z = 4i$ या $z^2 = -i$ प्राप्त होता है।
$z^2 = -i$ के लिए,$z = \pm(\frac{1-i}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|4i| = 4$ और $|z| = 1$ है।
अतः,न्यूनतम मापांक वाला मूल $\frac{1-i}{\sqrt{2}}$ है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$ और $x^2+y^2=1$, हम लिख सकते हैं $z=e^{i\phi}$ जहाँ $\phi = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
$z_1 = ze^{i\theta} = e^{i\phi}e^{i\theta} = e^{i(\phi+\theta)}$.
तब $z_1^{2n} = e^{i2n(\phi+\theta)}$.
व्यंजक $\frac{z_1^{2n}-1}{z_1^{2n}+1} = \frac{e^{i2n(\phi+\theta)}-1}{e^{i2n(\phi+\theta)}+1}$ पर विचार करें।
अंश और हर को $e^{-in(\phi+\theta)}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{e^{in(\phi+\theta)} - e^{-in(\phi+\theta)}}{e^{in(\phi+\theta)} + e^{-in(\phi+\theta)}} = \frac{2i \sin(n(\phi+\theta))}{2 \cos(n(\phi+\theta))}$.
$= i \tan(n(\phi+\theta)) = i \tan(n(\theta+\tan^{-1}(\frac{y}{x})))$.

(D) दिया गया है $Z = \cos \theta + i \sin \theta$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$Z^{2n} = \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 + Z^{2n}}{1 - Z^{2n}} = \frac{1 + \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)}{1 - \cos(2n\theta) - i \sin(2n\theta)}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 + \cos(2A) = 2 \cos^2 A$ और $1 - \cos(2A) = 2 \sin^2 A$,तथा $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos^2(n\theta) + 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)}{2 \sin^2(n\theta) - 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)} = \frac{2 \cos(n\theta) [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]}{2i \sin(n\theta) [-i \sin(n\theta) + \cos(n\theta)]}$.
$= \frac{\cos(n\theta)}{i \sin(n\theta)} = -i \cot(n\theta)$.

(C) एक सम्मिश्र संख्या $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के $n^{\text{th}}$ मूल $z_k = r^{1/n} \operatorname{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, n-1$ है।
$z = -1$ के लिए,$r = 1$ और $\theta = \pi$ है।
अतः,$15^{\text{th}}$ मूल $\operatorname{cis} \left( \frac{\pi + 2k\pi}{15} \right)$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, 14$ है।
$k = 6$ के लिए,मूल $\operatorname{cis} \left( \frac{\pi + 12\pi}{15} \right) = \operatorname{cis} \left( \frac{13\pi}{15} \right)$ है।

(C) माना $z = 1 \pm i \sqrt{3}$ है। हम $z$ को ध्रुवीय रूप में $2(\cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(1+i \sqrt{3})^n + (1-i \sqrt{3})^n = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})]^n + [2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3})]^n$ है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,यह $2^n(\cos \frac{n \pi}{3} + i \sin \frac{n \pi}{3}) + 2^n(\cos \frac{n \pi}{3} - i \sin \frac{n \pi}{3})$ हो जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $2^n(2 \cos \frac{n \pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{k=1}^6 \left(\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}\right)$ है।
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$S = -i \sum_{k=1}^6 \left(\cos \frac{2 \pi k}{7} + i \sin \frac{2 \pi k}{7}\right)$ प्राप्त होता है।
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$S = -i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}}$ प्राप्त होता है।
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ है। तब योग $S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$ होगा।
चूंकि $\omega$ इकाई का $7$ वां मूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 + \omega^5 + \omega^6 = 0$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^6 \omega^k = -1$ है।
इस मान को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर,$S = -i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
$z^{101} = e^{i(101\pi/6)} = e^{i(16\pi + 5\pi/6)} = e^{i5\pi/6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$.
साथ ही,$i^{103} = i^{100} \cdot i^3 = -i$.
अतः,$z^{101} + i^{103} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = -z$.
इसलिए,$\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.
$z^{105} = (e^{i\pi/6})^{105} = e^{i(17\pi + \pi/2)} = -i$.
अतः,$-z^{105} = -(-i) = i$.
चूंकि $z^3 = e^{i(3\pi/6)} = i$,इसलिए उत्तर $z^3$ है।

(C) माना $z = 1+\sin \theta+i \cos \theta$ है। इसे $z = 1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) + i\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिकाओं $1+\cos(2A) = 2\cos^2(A)$ और $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}$:
$z = 2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + 2i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$
$z = 2\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})]$
अतः $z^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2}) + i\sin(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
इसी प्रकार,संयुग्मी पद $\bar{z}^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2}) - i\sin(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
इन दोनों पदों को जोड़ने पर:
$z^n + \bar{z}^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [2\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
$= 2^{n+1} \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})$.

(C) दिया है,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,इसलिए $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.
साथ ही,$i^{103} = i^{100} \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$.
अतः,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}\right) = -z$.
इसलिए,$\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.
$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.
चूंकि $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,इसलिए $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$.
अंत में,$-z^{105} = -(-i) = i$.

(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = -i \sum_{n=1}^{20} \left[ \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) + i \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right]$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक $-i \sum_{n=1}^{20} e^{i(2n\pi/21)}$ बन जाता है।
मान लीजिए $\omega = e^{i(2\pi/21)}$ है। तो योग $-i \sum_{n=1}^{20} \omega^n$ है।
यह $20$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ पहला पद $\omega$ है और सार्व अनुपात $\omega$ है।
योग $\omega \frac{1-\omega^{20}}{1-\omega}$ है।
चूंकि $\omega^{21} = e^{i(2\pi)} = 1$,इसलिए $\omega^{20} = \omega^{-1} = \frac{1}{\omega}$ है।
अतः,योग $-i \left( \frac{\omega - \omega^{21}}{1-\omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - 1}{1-\omega} \right) = -i (-1) = i$ है।

(B) माना $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \frac{\pi}{16}}}{e^{i \frac{\pi}{16}}} = e^{-i \frac{2\pi}{16}} = e^{-i \frac{\pi}{8}}$.
अब,$z^8 = (e^{-i \frac{\pi}{8}})^8 = e^{-i \pi}$.
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$e^{-i \pi} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1 + 0 = -1$.

(D) दिया गया है $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^r}}$.
गुणनफल $P = Z_1 Z_2 Z_3 \ldots = e^{i \frac{\pi}{2^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^3}} \ldots$
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P = e^{i \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \right)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
इस अनंत श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \frac{\pi/2}{1/2} = \pi$ है।
अतः,$P = e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.

(C) माना $z = \sqrt{\sqrt{2}+1} + i\sqrt{\sqrt{2}-1}$ है।
सबसे पहले,$z^2 = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) + 2i\sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$ की गणना करें।
$z^2 = 2 + 2i\sqrt{2-1} = 2 + 2i$ प्राप्त होता है।
अब,$z^8 = (z^2)^4 = (2 + 2i)^4$ है।
$z^8 = [2(1+i)]^4 = 16(1+i)^4$ है।
चूंकि $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ है,इसलिए $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$ होगा।
अतः,$z^8 = 16 \times (-4) = -64$ है।