De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $x^3 + 27 = 0$ है,जिसे $x^3 = -27$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके मूल $x = -3, -3\omega, -3\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
मान लीजिए $\alpha = -3$,$\beta = -3\omega$,और $\gamma = -3\omega^2$ है।
अतः $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-3\omega}{-3} = \omega$ और $\frac{\gamma}{\alpha} = \frac{-3\omega^2}{-3} = \omega^2$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $\omega^2$ और $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega$ हैं।
मूलों का योग $\omega^2 + \omega = -1$ है।
मूलों का गुणनफल $\omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$.
हम व्यंजक से $i$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$S = i \sum_{k=1}^{10} \left( \cos \frac{2k\pi}{11} - i \sin \frac{2k\pi}{11} \right)$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = i \sum_{k=1}^{10} e^{-i \frac{2k\pi}{11}}$.
माना $\omega = e^{-i \frac{2\pi}{11}}$. तब $S = i \sum_{k=1}^{10} \omega^k$.
यह $10$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{10} \omega^k = \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{10}$.
हम जानते हैं कि इकाई के $11$वें मूलों का योग $\sum_{k=0}^{10} \omega^k = 0$ होता है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{10} \omega^k = -\omega^0 = -1$.
इस मान को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = i(-1) = -i$.

(D) दिया गया है $z^2 + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ है।
प्रत्येक पद की गणना:
$1$. $\left( z + \frac{1}{z} \right)^2 = (-1)^2 = 1$
$2$. $\left( z^2 + \frac{1}{z^2} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$3$. $\left( z^3 + \frac{1}{z^3} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
$4$. $\left( z^4 + \frac{1}{z^4} \right)^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$5$. $\left( z^5 + \frac{1}{z^5} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$6$. $\left( z^6 + \frac{1}{z^6} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
योग $= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल के लिए,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
अतः,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1 + \omega$ प्राप्त होता है।
$1 + \omega$ की तुलना $A + B\omega$ से करने पर,$A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$.
तब $\alpha^{101} + \beta^{107} = (-\omega)^{101} + (-\omega^2)^{107} = -\omega^{101} - \omega^{214}$.
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{101} = \omega^2$ और $\omega^{214} = \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(\omega^2 + \omega)$.
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(-1) = 1$.

(D) माना $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$ है। डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}$ होता है।
दिया गया योग $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)}$ है।
हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7} = -i \left( \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7} \right) = -i z^k$।
अतः,$S = -i \sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -i (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6)$।
चूंकि $z$ इकाई का $7$ वां मूल है ($z^7 = 1$ और $z \neq 1$),इकाई के सभी $7$ वें मूलों का योग $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0$ होता है।
इसलिए,$\sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -1$।
इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें $S = -i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम समीकरण को $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके मूल $-1, \omega, \text{ और } \omega^2$ हैं।
माना $f(z) = z^{1985} + z^{100} + 1$ है।
$z = -1$ के लिए: $f(-1) = (-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = 1 \neq 0$ है।
अतः,$-1$ समीकरण $f(z) = 0$ का मूल नहीं है।
$z = \omega$ के लिए: $f(\omega) = \omega^{1985} + \omega^{100} + 1$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $f(\omega) = (\omega^3)^{661} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{33} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$ है।
अतः,$\omega$ समीकरण $f(z) = 0$ का मूल है।
इसी प्रकार,$z = \omega^2$ के लिए $f(\omega^2) = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$ है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\omega \text{ और } \omega^2$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $(x - 2)^3 + 27 = 0$ है।
इसे $(x - 2)^3 = -27$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x - 2 = (-27)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(-27)^{1/3} = -3(1)^{1/3}$,और इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,इसलिए:
$x - 2 = -3(1), -3(\omega), -3(\omega^2)$.
$x - 2 = -3, -3\omega, -3\omega^2$.
प्रत्येक पद में $2$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 2 - 3, 2 - 3\omega, 2 - 3\omega^2$.
$x = -1, 2 - 3\omega, 2 - 3\omega^2$.

(B) दिया गया है $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$
$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3 + \dots + (2n - 1)\alpha^n$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2\alpha + 2\alpha^2 + \dots + 2\alpha^{n-1} - (2n - 1)\alpha^n$
चूँकि इकाई के $n^{th}$ मूल के लिए $\alpha^n = 1$:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2(\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) - (2n - 1)$
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर $\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1} = -1$:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2(-1) - 2n + 1 = -2n$
अतः,$S = -\frac{2n}{1 - \alpha}$.

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{2017} (n-\omega)(n-\omega^2)$.
चूंकि $\omega^2+\omega+1=0$,इसलिए $(n-\omega)(n-\omega^2) = n^2 + n + 1$ है।
अतः,$S = \sum_{n=1}^{2017} (n^2 + n + 1) = \sum_{n=1}^{2017} n^2 + \sum_{n=1}^{2017} n + \sum_{n=1}^{2017} 1$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $S = \frac{2017(2018)(4035)}{6} + \frac{2017(2018)}{2} + 2017$.
$2017$ से विभाजित करने पर: $\frac{S}{2017} = \frac{2018 \cdot 4035}{6} + \frac{2018}{2} + 1 = 1009(1346) + 1$.
चूंकि $1009(1346)$ एक सम संख्या है,इसलिए $\frac{S}{2017} = \text{सम} + 1 = \text{विषम}$.
अतः,$\cos\left( \frac{S\pi}{2017} \right) = \cos(\text{विषम} \cdot \pi) = -1$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + \omega x + \omega^2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha = \omega^2$ और $\beta = 1$ प्राप्त होते हैं।
$z = \alpha^9 + i\beta^9$ में मान रखने पर:
$z = (\omega^2)^9 + i(1)^9 = \omega^{18} + i = 1 + i$.
अतः,$|z| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $1 + \omega^r + \omega^{2r}$ एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है।
यदि $r$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^r = 1$ और $\omega^{2r} = 1$,इसलिए $1 + \omega^r + \omega^{2r} = 1 + 1 + 1 = 3$।
यदि $r$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $1 + \omega^r + \omega^{2r} = \frac{1 - (\omega^r)^3}{1 - \omega^r} = \frac{1 - (\omega^3)^r}{1 - \omega^r} = \frac{1 - 1}{1 - \omega^r} = 0$।
$r = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए पद इस प्रकार हैं:
$r=1: 1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=2: 1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
$r=3: 1 + \omega^3 + \omega^6 = 1 + 1 + 1 = 3$
$r=4: 1 + \omega^4 + \omega^8 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=5: 1 + \omega^5 + \omega^{10} = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
योग $= 0 + 0 + 3 + 0 + 0 = 3$।

(A) इकाई के $n$-वें मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, n-1$ है।
$n=10$ के लिए,मूल $\omega^k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ हैं,जहाँ $k \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
मान लीजिए $z_1 = \omega^r$ और $z_2 = \omega^s$ दो ऐसे मूल हैं,जहाँ $r, s \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
उनका गुणनफल $z_1 z_2 = \omega^r \cdot \omega^s = \omega^{r+s} = e^{i \frac{2(r+s)\pi}{10}}$ है।
चूँकि $\omega^{10} = 1$,इसलिए $\omega^{r+s} = \omega^{(r+s) \pmod{10}}$ होता है।
चूँकि $(r+s) \pmod{10}$ हमेशा $\{0, 1, \dots, 9\}$ समुच्चय का एक पूर्णांक है,इसलिए गुणनफल $z_1 z_2$ हमेशा इकाई के दसवें मूलों में से एक होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $x = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pm i\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होते हैं।
इन्हें ध्रुवीय रूप में $\alpha = e^{i\pi/4}$ और $\beta = e^{-i\pi/4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\alpha^{50} + \beta^{50} = (e^{i\pi/4})^{50} + (e^{-i\pi/4})^{50} = e^{i25\pi/2} + e^{-i25\pi/2}$।
चूंकि $e^{i25\pi/2} = i$ और $e^{-i25\pi/2} = -i$ होता है।
इसलिए,$\alpha^{50} + \beta^{50} = i + (-i) = 0$।

(B) माना $z_1 = \cos \theta + i \sin \theta$,$z_2 = \cos \phi + i \sin \phi$,और $z_3 = \cos \psi + i \sin \psi$ है।
दिए गए समीकरण $\cos \theta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ और $\sin \theta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ हैं।
इन्हें संयोजित करने पर,$z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ प्राप्त होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ का उपयोग करने पर यदि $x + y + z = 0$ हो,जहाँ $x = z_1$,$y = 2z_2$,और $z = 3z_3$:
$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18 z_1 z_2 z_3$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_1^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta$,$(2z_2)^3 = 8(\cos 3\phi + i \sin 3\phi)$,और $(3z_3)^3 = 27(\cos 3\psi + i \sin 3\psi)$।
अतः,$(\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi) + i(\sin 3\theta + 8\sin 3\phi + 27\sin 3\psi) = 18(\cos(\theta + \phi + \psi) + i \sin(\theta + \phi + \psi))$।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = 18\cos(\theta + \phi + \psi)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 4 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
मूलों को ध्रुवीय रूप में लिखने पर:
$\alpha = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$
$\beta = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)$
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$.
अतः,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( 2 \cos \frac{n\pi}{3} \right) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.

(D) माना $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
हर के संयुग्मी $(1 + i\sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
यह मान $\omega$ है,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$z = \omega$.
समीकरण $\omega^n = 1$ हो जाता है।
इसलिए,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x+1)^2 + 1 = 0$,अतः $(x+1)^2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x+1 = \pm i$,जिससे $x = -1 \pm i$ मिलता है।
ध्रुवीय रूप में,$x = \sqrt{2} e^{\pm i(3\pi/4)}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7} \sqrt{2} \times 2 \cos \left( \frac{45\pi}{4} \right)$।
चूँकि $\cos \left( \frac{45\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,
अतः $\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \sqrt{2} \times \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -256$।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$ और $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = e^{-i\pi/6}$.
अतः,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$,हमें $z = 2\cos(5\pi/6)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $z = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.
यहाँ,$R(z) = -\sqrt{3}$ और $I(z) = 0$.
इसलिए,$I(z) = 0$ सही कथन है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1 + i$ और $\beta = 1 - i$ है।
तब $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$ है।
हमें $n$ का वह न्यूनतम प्राकृतिक मान ज्ञात करना है जिसके लिए $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$ हो,जिसका अर्थ है $i^n = 1$ है।
$i$ की घातें $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ होती हैं।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(A) दिया गया है $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है,जो $\omega^{3} = 1$ और $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ को संतुष्ट करता है।
$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ के लिए।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,अनुक्रम $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ हर तीन पदों में $1, \omega^{2}, \omega$ के रूप में दोहराता है। तीन क्रमागत पदों का योग $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ होता है।
योग में कुल $101$ पद हैं। पहले $99$ पदों का योग $0$ है। शेष दो पद $100$वें और $101$वें पद हैं: $1 + \omega^{2}$।
अतः,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.
$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.
मूल $a = 1$ और $b = 101$ वाला द्विघात समीकरण $(x - 1)(x - 101) = 0$ है,जो $x^{2} - 102x + 101 = 0$ है।

(A) आधार पदों को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ और $\frac{1+i}{i-1} = -i$.
दिए गए समीकरण:
$(i)^{m/2} = 1$ और $(-i)^{n/3} = 1$.
$(i)^{m/2} = 1$ के लिए,$m/2$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। अतः,$m/2 = 4k_1 \Rightarrow m = 8k_1$. $m$ का न्यूनतम मान $8$ है।
$(-i)^{n/3} = 1$ के लिए,$n/3 = 4k_2 \Rightarrow n = 12k_2$. $n$ का न्यूनतम मान $12$ है।
$8$ और $12$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $4$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(2+\omega)^4$ का विस्तार करने पर:
$(2+\omega)^4 = 2^4 + 4(2^3)(\omega) + 6(2^2)(\omega^2) + 4(2)(\omega^3) + \omega^4$
$= 16 + 32\omega + 24\omega^2 + 8(1) + \omega$
$= 24 + 33\omega + 24\omega^2$
$\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 24 + 33\omega + 24(-1 - \omega)$
$= 24 + 33\omega - 24 - 24\omega$
$= 9\omega$
$a + b\omega$ के साथ तुलना करने पर,$a = 0$ और $b = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 0 + 9 = 9$.

(D) दिया गया है $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$।
चूंकि $P(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए इसे $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों पर शून्य होना चाहिए। मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। अतः,$P(\omega) = 0$ और $P(\omega^2) = 0$।
$P(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$ (समीकरण $1$)
$P(\omega^2) = f((\omega^2)^3) + \omega^2 g((\omega^2)^3) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(f(1) + \omega g(1)) - (f(1) + \omega^2 g(1)) = 0$
$(\omega - \omega^2) g(1) = 0$
चूंकि $\omega \neq \omega^2$,इसलिए $g(1) = 0$ होना चाहिए।
$g(1) = 0$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$f(1) + \omega(0) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$।
हमें $P(1)$ ज्ञात करना है:
$P(1) = f(1^3) + 1 \cdot g(1^3) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$।

(C) दिया गया समीकरण $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,$(x-1)$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
विभाजन करने पर,$(x-1)(x^{2}-x+1)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $x=1$ और $x^{2}-x+1=0$ के मूल हैं,जो $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega^{2}$ और $-\omega$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$162^{\text{th}}$ घातों का योग $S = (1)^{162} + (-\omega^{2})^{162} + (-\omega)^{162}$ है।
$S = 1 + \omega^{324} + \omega^{162}$।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\omega^{324} = 1$ और $\omega^{162} = 1$ है।
अतः,$S = 1 + 1 + 1 = 3$।

(B) दिया गया है $k = \frac{(-1+i \sqrt{3})^{21}}{(1-i)^{24}}+\frac{(1+i \sqrt{3})^{21}}{(1+i)^{24}}$.
हम जानते हैं कि $-1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2e^{i \frac{2\pi}{3}}$ और $1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i \frac{\pi}{3}}$.
साथ ही $1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}}$ और $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{(2e^{i \frac{2\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}})^{24}} + \frac{(2e^{i \frac{\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{24}} = \frac{2^{21} e^{i 14\pi}}{2^{12} e^{-i 6\pi}} + \frac{2^{21} e^{i 7\pi}}{2^{12} e^{i 6\pi}}$
$k = 2^9 (e^{i 20\pi} + e^{i \pi}) = 512(1 - 1) = 0$.
अतः,$n = [|k|] = 0$.
व्यंजक $\sum_{j=0}^{5} (j+5)^2 - \sum_{j=0}^{5} (j+5) = \sum_{j=0}^{5} ((j+5)^2 - (j+5)) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 10j + 25 - j - 5) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 9j + 20)$.
$= \sum_{j=0}^{5} j^2 + 9 \sum_{j=0}^{5} j + \sum_{j=0}^{5} 20 = \frac{5(6)(11)}{6} + 9 \frac{5(6)}{2} + 20(6) = 55 + 135 + 120 = 310$.

(D) दिया गया है $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{-i \frac{\pi}{3}}$.
अतः $z^r + \frac{1}{z^r} = e^{-i \frac{r\pi}{3}} + e^{i \frac{r\pi}{3}} = 2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
हमें $S = 21 + \sum_{r=1}^{21} \left(2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right)^3$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $8 \cos^3 \theta = 2(\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$ का उपयोग करने पर:
$S = 21 + \sum_{r=1}^{21} 2 \left(\cos(r\pi) + 3 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right) = 21 + 2 \sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) + 6 \sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
यहाँ $\sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) = -1$ और $\sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right) = -1$ है।
अतः,$S = 21 + 2(-1) + 6(-1) = 21 - 2 - 6 = 13$.

(A) दिया गया है $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$.
$\sqrt{3}+i$ को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर: $(2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))^{100} = 2^{100}(\cos \frac{50\pi}{3} + i \sin \frac{50\pi}{3})$.
चूंकि $\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{50\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $\sin \frac{50\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2^{100}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{99}(p+iq)$.
$2^{99}$ से भाग देने पर,$2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = p+iq$,जिससे $p = -1$ और $q = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$p$ और $q$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ है।
$p+q = \sqrt{3}-1$ और $pq = -\sqrt{3}$.
अतः,समीकरण $x^2 - (\sqrt{3}-1)x - \sqrt{3} = 0$ है।

(C) दिया गया है $z^{2} + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ और $\frac{1}{\omega^{2}} = \omega$ है।
माना $S = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} + 2(-1)^{n} \right)$.
$z = \omega$ के लिए,$z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} = \omega^{2n} + \omega^{n}$.
$\sum_{n=1}^{15} \omega^{2n} = 0$ और $\sum_{n=1}^{15} \omega^{n} = 0$ क्योंकि $15$,$3$ का गुणज है।
$\sum_{n=1}^{15} 2(-1)^{n} = 2(-1 + 1 - 1 + 1 ... - 1) = -2$.
अतः,$|S| = |0 + 0 - 2| = |-2| = 2$.

(A) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{2}+1=0$ है।
इसके गुणनखंड $(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=0$ हैं।
यहाँ $\alpha^{6}=1$ होता है।
$\alpha^{1011} = (\alpha^{6})^{168} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
$\alpha^{2022} = (\alpha^{6})^{337} = 1$.
$\alpha^{3033} = (\alpha^{6})^{505} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
अतः,$\alpha^{1011}+\alpha^{2022}-\alpha^{3033} = \alpha^{3} + 1 - \alpha^{3} = 1$.

(B) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है,जिसे $x \neq 1$ के लिए $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इकाई के $5$ वें मूल हैं,$1$ को छोड़कर,अर्थात $\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{5}}$ है।
चूंकि $\omega^{5} = 1$,इसलिए $\omega^{2021} = (\omega^{5})^{404} \cdot \omega = \omega$ होगा।
इसी प्रकार,$\beta^{2021} = \omega^{2}$,$\gamma^{2021} = \omega^{3}$,और $\delta^{2021} = \omega^{4}$ होगा।
अतः,योग $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021} = \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4}$ है।
समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ से,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -\frac{1}{1} = -1$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि नियमित $10$-भुज के शीर्ष $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, \ldots, 9$ है। शीर्ष $z_0 = 1$ को स्थिर रखें। जीवाओं की लंबाई $l_k = |1 - z_k| = |1 - e^{i \frac{2k\pi}{10}}| = 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ है,जहाँ $k = 1, 2, \ldots, 9$ है।
हमें गुणनफल $P = \prod_{k=1}^{9} 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ की गणना करनी है।
सर्वसमिका $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ का उपयोग करते हुए:
$P = 2^9 \prod_{k=1}^{9} \sin \frac{k\pi}{10} = 2^9 \times \frac{10}{2^{10-1}} = 2^9 \times \frac{10}{2^9} = 10$.

(D) इकाई के मूल समीकरण $z^n = 1$ के हलों द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।
ये मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ के रूप में होते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,इकाई के सभी मूलों का समुच्चय $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{e^{i \frac{2k\pi}{n}} : k=0, 1, \dots, n-1\}$ इकाई वृत्त $|z|=1$ पर सघन (dense) हो जाता है।
चूँकि धनात्मक लंबाई के किसी भी चाप पर इस सघन समुच्चय के अनंत बिंदु स्थित होते हैं,इसलिए ऐसे किसी भी चाप पर इकाई के अनंत मूल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n$ होता है।
$\theta = 1^{\circ}$ और $n = 90$ के लिए,$\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ} = (\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ})^{90} = i$ है।
यह दर्शाता है कि $\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ बहुपद $z^{90} - i = 0$ का एक मूल है।
कोई भी सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ बीजीय होती है यदि और केवल यदि उसका वास्तविक भाग $a$ और काल्पनिक भाग $b$ दोनों बीजीय हों।
चूंकि $\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$,$z^{90} = i$ का मूल है,इसलिए $z^{180} = -1$,या $z^{180} + 1 = 0$ होगा।
अतः,$\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ एक बीजीय संख्या है।
यह एक ज्ञात परिणाम है कि यदि $\alpha$ एक बीजीय संख्या है,तो $\pi$ के परिमेय गुणजों के लिए $\cos \alpha$ और $\sin \alpha$ बीजीय होते हैं।
चूंकि $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}$ रेडियन है,इसलिए $\cos 1^{\circ}$ और $\sin 1^{\circ}$ दोनों बीजीय संख्याएँ हैं।

(A) शीर्ष $z_1, z_2, \ldots, z_7$ समीकरण $z^7 - 1 = 0$ के मूल हैं।
बहुपद $P(z) = z^7 + 0z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - 1 = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार,एक बार में दो मूलों का योग $z^5$ के गुणांक को $z^7$ के गुणांक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
अतः,$w = \sum_{1 \leq i < j \leq 7} z_i z_j = 0$.
इसलिए,$|w| = |0| = 0$.

(C) हमारे पास व्यंजक $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$ है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है।
अतः,घातांक $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ है।
हमें $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}\right|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $z = (-1)^n \omega^{2n}$ है। तब $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$ होगा।
$n$ के विभिन्न मानों के लिए,वास्तविक भाग $\text{Re}(z)$ के मान $1, -1, 1/2, -1/2$ प्राप्त होते हैं।
इस प्रकार,संभावित मान $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ हैं।
कुल $4$ संभावित मान हैं।

(B) हमें व्यंजक $|a + b\omega + c\omega^2|$ दिया गया है जहाँ $a, b, c \in \{1, -1\}$ है।
चूंकि $\omega$ इकाई का घनमूल है,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$.
हम $a, b, c \in \{1, -1\}$ के संभावित संयोजनों की जाँच करते हैं:
यदि $a=1, b=-1, c=-1$ है,तो $|1 - \omega - \omega^2| = |1 - (\omega + \omega^2)| = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$.
यदि $a=1, b=1, c=-1$ है,तो $|1 + \omega - \omega^2| = |1 + \omega - (-1 - \omega)| = |2 + 2\omega| = 2|1 + \omega| = 2|-\omega^2| = 2$.
यदि $a=1, b=1, c=1$ है,तो $|1 + \omega + \omega^2| = |0| = 0$.
अतः,अधिकतम संभव मान $2$ है।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$।
बहुपद के मूल इस प्रकार हैं:
$z_1 = 2\omega$
$z_2 = 2\omega^2$
$z_3 = 3+4\omega$
$z_4 = 3+4\omega^2$
$z_5 = 5-(\omega+\omega^2) = 5-(-1) = 6$
चूंकि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं,यदि $z$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\bar{z}$ भी एक मूल होगा।
$1$. $z_1 = 2\omega$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_1} = 2\omega^2$ है,जो $z_2$ है।
$2$. $z_3 = 3+4\omega$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_3} = 3+4\omega^2$ है,जो $z_4$ है।
$3$. $z_5 = 6$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z_5} = 6$ है।
इस प्रकार,कुल $5$ भिन्न मूल हैं। अतः,बहुपद की न्यूनतम घात $5$ है।

(B) दिया गया है कि $2x^2+2x+1$, $(x+1)^n-r$ को विभाजित करता है, इसलिए $2x^2+2x+1=0$ के मूल $(x+1)^n-r=0$ को संतुष्ट करने चाहिए।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $2x^2+2x+1=0$ को हल करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.
$x = \frac{-1+i}{2}$ को $(x+1)^n = r$ में रखने पर:
$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.
$\frac{1+i}{2}$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.
अतः, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.
चूंकि $r$ एक वास्तविक संख्या है, काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए, इसलिए $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $n$, $4$ का गुणज होना चाहिए।
$n=4000$ के लिए, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.
अतः, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

(B) दिया गया है $(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{199}(p + iq)$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर: $1-\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{-\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi}{3}))$.
अतः,$(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{200}(\cos(\frac{-200\pi}{3}) + i\sin(\frac{-200\pi}{3}))$.
चूँकि $\frac{-200\pi}{3} = -66\pi - \frac{2\pi}{3}$,इसलिए $\cos(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$2^{200}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{199}(p + iq)$.
$p + iq = -1 - i\sqrt{3}$,जिससे $p = -1$ और $q = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = p + q + q^2 = -1 - \sqrt{3} + 3 = 2 - \sqrt{3}$.
माना $\beta = p - q + q^2 = -1 + \sqrt{3} + 3 = 2 + \sqrt{3}$.
मूलों का योग $\alpha + \beta = 4$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1$.
समीकरण $x^2 - 4x + 1 = 0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-\sqrt{2} x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-8}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{6}}{2}$ प्राप्त होता है।
मूलों को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $\alpha = \sqrt{2} e^{i\pi/3}$ और $\beta = \sqrt{2} e^{-i\pi/3}$।
अब,$\alpha^{14} + \beta^{14}$ की गणना करने पर:
$\alpha^{14} = 128 e^{i2\pi/3}$ और $\beta^{14} = 128 e^{-i2\pi/3}$।
$\alpha^{14} + \beta^{14} = 128 (e^{i2\pi/3} + e^{-i2\pi/3}) = 256 \cos(2\pi/3)$।
चूंकि $\cos(2\pi/3) = -1/2$,इसलिए $\alpha^{14} + \beta^{14} = 256 \times (-1/2) = -128$।

(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$,इसके मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। मान लीजिए $\alpha = \omega$.
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
तब $(1+\alpha)^7 = (1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1+\omega$.
$1+\omega$ की तुलना $A+B\alpha+C\alpha^2 = A+B\omega+C\omega^2$ से करने पर,हमें $A=1, B=1, C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$5(3A-2B-C) = 5(3(1)-2(1)-0) = 5(3-2) = 5(1) = 5$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,इसलिए $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ और $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ है।
हमें $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ और $\alpha\beta = 3$ है।
अतः,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$,इसलिए $\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ है।
अतः $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (यहाँ $\sqrt{3}$ के स्थान पर $1$ लेने पर)।
$3^n(a+ib)$ से तुलना करने पर,$n=49, a=-1, b=1$ प्राप्त होता है।
अतः $n+a+b = 49-1+1 = 49$।

(B) दिए गए समीकरण $z^{1985}+z^{100}+1=0$ और $z^3+2z^2+2z+1=0$ हैं।
सबसे पहले,$z^3+2z^2+2z+1=0$ का गुणनखंड करें:
$(z^3+1) + (2z^2+2z) = 0$
$(z+1)(z^2-z+1) + 2z(z+1) = 0$
$(z+1)(z^2+z+1) = 0$
मूल $z = -1$,$z = \omega$,और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अब,इन मूलों की जाँच पहले समीकरण $f(z) = z^{1985}+z^{100}+1=0$ में करें:
$1$. $z = -1$ के लिए:
$(-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$.
$2$. $z = \omega$ के लिए:
$\omega^{1985} + \omega^{100} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.
$3$. $z = \omega^2$ के लिए:
$(\omega^2)^{1985} + (\omega^2)^{100} + 1 = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं।
उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $2$ है।

(B) हम जानते हैं कि $|a + b\omega + c\omega^2|^2 = (a + b\omega + c\omega^2)(\overline{a + b\omega + c\omega^2})$.
चूंकि $\overline{\omega} = \omega^2$ और $\overline{\omega^2} = \omega$,यह $(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक को $\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
भिन्न शून्येतर पूर्णांकों $a, b, c$ के लिए,अंतर के सबसे छोटे संभावित मान $1$ और $2$ हैं (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2, c=3$)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2}[(1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 1)^2] = \frac{1}{2}[1 + 1 + 4] = \frac{6}{2} = 3$ प्राप्त होता है।

(C) $(P)$ चूँकि $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$,हमारे पास $z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ है यदि $k+j = 10$ हो। किसी भी $k \in \{1, \ldots, 9\}$ के लिए,हम $j = 10-k \in \{1, \ldots, 9\}$ चुन सकते हैं। अतः,यह कथन सत्य है $(1)$.
$(Q)$ समीकरण $z_1 \cdot z = z_k$ सम्मिश्र संख्याओं में एक रैखिक समीकरण है,जिसका हमेशा एक हल $z = z_k / z_1$ होता है। अतः,यह कथन असत्य है $(2)$.
$(R)$ $z_1, z_2, \ldots, z_9$ समीकरण $\frac{z^{10}-1}{z-1} = 0$ के मूल हैं। अतः,$z^{10}-1 = (z-1)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$। $(z-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $1+z+z^2+\ldots+z^9 = (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$ प्राप्त होता है। $z=1$ रखने पर,हमें $10 = (1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_9)$ प्राप्त होता है। मापांक लेने पर,$|1-z_1||1-z_2|\ldots|1-z_9| = 10$। अतः,व्यंजक का मान $10/10 = 1$ है $(3)$.
$(S)$ $z^{10}-1=0$ के सभी मूलों का योग $1 + z_1 + z_2 + \ldots + z_9 = 0$ है। अतः,$\sum_{k=1}^9 z_k = -1$। वास्तविक भाग लेने पर,$\sum_{k=1}^9 \cos(2k\pi/10) = -1$। तब $1 - (-1) = 2$ $(4)$.
अतः,सही मिलान $P-1, Q-2, R-3, S-4$ है।

(A) योगफल एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = -\omega$,सार्व अनुपात $r = -\omega$ और $n = 2025$ पद हैं।
$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.
चूंकि $\omega^3 = 1$ और $2025$,$3$ का गुणज है,इसलिए $\omega^{2025} = 1$.
$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.
$1+\omega = -\omega^2$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.
चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.
अतः,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
इसलिए,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} \times \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -2$.

(A) दिया गया है $z(2-i) = 3+i$.
$z = \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{4+1} = \frac{6+5i-1}{5} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$.
अब,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $z = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{38} = (\sqrt{2})^{38} \left( \cos \frac{38\pi}{4} + i \sin \frac{38\pi}{4} \right)$.
$z^{38} = 2^{19} \left( \cos \frac{19\pi}{2} + i \sin \frac{19\pi}{2} \right)$.
चूंकि $\frac{19\pi}{2} = 9\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \frac{19\pi}{2} = 0$ और $\sin \frac{19\pi}{2} = -1$.
$z^{38} = 2^{19} (0 + i(-1)) = -2^{19} i$.

(B) डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{i\theta}$.
अतः,$f(x) = e^{ix} \cdot e^{i3x} \cdot e^{i5x} \cdots e^{i(2n-1)x}$.
$f(x) = e^{i(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))x}$.
प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ है,इसलिए $f(x) = e^{i(n^2)x}$.
अब,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = i n^2 e^{i(n^2)x} = i n^2 f(x)$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = i n^2 f'(x) = i n^2 (i n^2 f(x)) = i^2 n^4 f(x)$.
चूंकि $i^2 = -1$,हमें $f''(x) = -n^4 f(x)$ प्राप्त होता है।