मान लीजिए omega इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r + 1)(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n$ तक है।$\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ गुणधर्

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$[\frac{n(n + 1)}{2}]^2 + n$

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(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r + 1)(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n$ तक है।$\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1) = r^2\omega^3 + r\omega + r\omega^2 + 1 = r^2 + r(\omega + \omega^2) + 1 = r^2 - r + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$T_r = (r + 1)(r^2 - r + 1) = r^3 + 1$ है।योग $\sum_{r=1}^n (r^3 + 1) = \sum_{r=1}^n r^3 + \sum_{r=1}^n 1$ है।$\sum_{r=1}^n r^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}]^2$ सूत्र का उपयोग करने पर,योग $[\frac{n(n + 1)}{2}]^2 + n$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। तो $2(\omega + 1)(\omega^2 + 1) + 3(2\omega + 1)(2\omega^2 + 1) + \dots + (n + 1)(n\omega + 1)(n\omega^2 + 1)$ का मान क्या है?

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