{left( frac{-1 + isqrt{3}}{2} right)^{20}} + | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ है।दिया

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$-1$

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(D) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ है।दिया गया व्यंजक $\omega^{20} + (\omega^2)^{20} = \omega^{20} + \omega^{40}$ है।चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{20} = (\omega^3)^6 \cdot \omega^2 = 1^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ प्राप्त होता है।इसी प्रकार,$\omega^{40} = (\omega^3)^{13} \cdot \omega = 1^{13} \cdot \omega = \omega$ प्राप्त होता है।अतः,व्यंजक $\omega^2 + \omega$ बन जाता है।चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ होगा।

${\left( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^{20}} + {\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^{20}} = $

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यदि $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \dots, \omega^{n-1}$ इकाई के $n$ मूल ($n^{th}$ roots of unity) हैं,तो $(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$ का मान क्या होगा?

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