परवलय ${y^2} = 5x + 4y + 1$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है

$3$ के निरपेक्ष पद वाले एक द्विघात बहुपद $y = f(x)$ न तो $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और न ही काटता है और रेखा $x = 1$ के परितः सममित है। बहुपद के अग्रणी पद का गुणांक इकाई है। कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली $OXY$ में प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु $A(x_1, y_1)$ जिसका भुज $x_1 = 1$ है और एक बिंदु $B(x_2, y_2)$ जिसका कोटि $y_2 = 11$ है,दिए गए हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। $y = f(x)$ का ग्राफ एक परवलय को दर्शाता है जिसकी नाभि (focus) के निर्देशांक हैं:

यदि बिंदु $(-2, -1)$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan 2\theta =$

परवलय $y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$ के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $P$ बिंदु $(3, 1)$ है और $Q$ वक्र $y^2 = 8x$ पर स्थित एक बिंदु है,तो रेखाखंड $PQ$ के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ क्या होगा?

यदि दो वृत्त $x^2+y^2-6x-6y+13=0$ और $x^2+y^2-8y+9=0$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो उस परवलय की नाभि ज्ञात कीजिए जिसकी नियता रेखा $AB$ है और शीर्ष बिंदु $O(0,0)$ है।