Parabola Questions in Gujarati

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}+2y=8x-7$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^{2}-8x=-2y-7$ મળે છે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^{2}-8x+16=-2y-7+16$.
આનું સાદું રૂપ $(x-4)^{2}=-2y+9$ થાય છે.
જમણી બાજુથી $-2$ સામાન્ય લેતા: $(x-4)^{2}=-2(y-\frac{9}{2})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2}=4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ છે.
અહીં,$4a = -2$,તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $|-2| = 2$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $3x^{2} = 16y$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2} = \frac{16}{3}y$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = \frac{16}{3}$ મળે છે,તેથી $a = \frac{4}{3}$.
પરવલય $x^{2} = 4ay$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = -a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = -\frac{4}{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3y + 4 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -16x$ અને પ્રાચલ $t = \frac{1}{2}$ છે.
$y^2 = -16x$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 16$ મળે છે,તેથી $a = 4$.
પરવલય $y^2 = -4ax$ પરના બિંદુના પ્રાચલિત યામ $P(t) = (-at^2, 2at)$ છે.
$a = 4$ અને $t = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$x = -a t^2 = -4 \times (\frac{1}{2})^2 = -4 \times \frac{1}{4} = -1$.
$y = 2at = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$.
તેથી,બિંદુના યામ $(-1, 4)$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4x^{2}-4x-2y+3=0$
$4(x^{2}-x) = 2y-3$
$4(x-\frac{1}{2})^{2} = 2y-2$
$(x-\frac{1}{2})^{2} = 2(y-1)$
આ સમીકરણને $X^{2} = 4aY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x-\frac{1}{2}$ અને $Y = y-1$:
$4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$
નિયામિકાનું સમીકરણ $Y = -a$ છે
$y-1 = -\frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2} \implies 2y = 1$.

(D) ધારો કે નાભિજીવા $PQ$ છે જે નાભિ $S(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $P$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $Q$ ના યામ $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ છે.
નાભિજીવા હોવાથી,$t_{1}t_{2} = -1$ થાય.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ અંતર $SP = a + x = a + at_{1}^{2} = a(1 + t_{1}^{2})$ છે.
આપેલ છે કે નાભિજીવાના અંતઃખંડો $b$ અને $k$ છે,તેથી $b = a(1 + t_{1}^{2})$ અને $k = a(1 + t_{2}^{2})$.
$t_{2} = -1/t_{1}$ હોવાથી,$k = a(1 + 1/t_{1}^{2}) = a(\frac{t_{1}^{2} + 1}{t_{1}^{2}})$.
$b = a(1 + t_{1}^{2})$ પરથી,$t_{1}^{2} = \frac{b-a}{a}$ મળે.
આ કિંમત $k$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = a(1 + \frac{a}{b-a}) = a(\frac{b-a+a}{b-a}) = \frac{ab}{b-a}$.

(C) $(0,0)$ શિરોબિંદુ ધરાવતા અને $x$-અક્ષ પર ખુલ્લા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \frac{16}{3}$ આપેલ છે.
$4a = \frac{16}{3}$ ને $y^{2} = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને $y^{2} = \frac{16}{3}x$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,$3y^{2} = 16x$ મળે છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે.
તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
બિંદુ $P(x, y)$ માટે,કોટિ $y=6$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ પરવલય પર હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $y=6$ મૂકીએ:
$(6)^{2}=12x$ $\Rightarrow 36=12x$ $\Rightarrow x=3$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરના બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x+a$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x=3$ અને $a=3$ ની કિંમતો મૂકતા:
નાભિ અંતર $= 3+3=6$.

(B) આપેલ પરવલય $y^{2}=16x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=16$,તેથી $a=4$ મળે.
ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે કોટિ એ ભુજ કરતાં બમણો છે,તેથી $k=2h$.
પરવલયના સમીકરણમાં $k=2h$ મૂકતા: $(2h)^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h(h-4)=0$.
આમ,$h=0$ અથવા $h=4$.
$h=0$ માટે,$k=0$. $h=4$ માટે,$k=8$.
બિંદુ $(0,0)$ એ શિરોબિંદુ છે,જ્યાં નાભિઅંતર $a=4$ છે.
બિંદુ $(4,8)$ એ પરવલય પર છે,જ્યાં નાભિઅંતર $h+a = 4+4 = 8$ છે.
પ્રશ્નમાં બિંદુના નાભિઅંતર વિશે પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,જવાબ $8$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $a = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 4)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -1$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ થી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{y_1^2 - 4ax_1}}{x_1 + a} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 1, x_1 = 1, y_1 = 4$.
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$ મળે,તેથી $a=2$ છે.
રેખા $4x-y+3=0$ નો ઢાળ $m=4$ છે.
$m$ ઢાળવાળા પરવલય $y^2=4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
સૂત્રમાં $a=2$ અને $m=4$ મૂકતા:
$y=4x+\frac{2}{4}$
$y=4x+\frac{1}{2}$
$2y=8x+1$
$8x-2y+1=0$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
ધારો કે રેખા $lx + my + n = 0$ એ પરવલયનો સ્પર્શક છે.
રેખાના સમીકરણને $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ તરીકે લખતા,જે $y = Mx + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $M = -\frac{l}{m}$ અને અંતઃખંડ $C = -\frac{n}{m}$ છે.
રેખા $y = Mx + C$ એ પરવલય $y^{2} = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $C = \frac{a}{M}$ છે.
$M$ અને $C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m} = -\frac{am}{l}$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{n}{m} = \frac{am}{l}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $nl = am^{2}$ મળે છે.

(B) બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ છે.
અહીં,પરવલય $y^{2} = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(6) = 2(4)(x + 3)$
$6y = 8(x + 3)$
$6y = 8x + 24$
$2$ વડે ભાગતા:
$3y = 4x + 12$
પદોને ગોઠવતા:
$3y - 4x - 12 = 0$.

(B) આપેલ પરવલયો $y^2 = 32x$ $(4a = 32 \implies a = 8)$ અને $x^2 = 108y$ $(4b = 108 \implies b = 27)$ છે.
$y^2 = 32x$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{8}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા $x^2 = 108y$ નો પણ સ્પર્શક છે. $y = mx + \frac{8}{m}$ ને $x^2 = 108y$ માં મૂકતા,$x^2 = 108(mx + \frac{8}{m}) \implies x^2 - 108mx - \frac{864}{m} = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$:
$(-108m)^2 - 4(1)(-\frac{864}{m}) = 0 \implies 11664m^2 + \frac{3456}{m} = 0$.
$11664m^3 = -3456 \implies m^3 = -\frac{8}{27}$.
તેથી,$m = -\frac{2}{3}$.
$Y$-અંત:ખંડ $c = \frac{8}{m} = \frac{8}{-2/3} = -12$.

(A) પરવલય $y^2 = 4(x-1)$ માટે,શિરોબિંદુ $(1, 0)$ છે અને $a = 1$ છે. નાભિલંબ $x = 2$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(2, -2)$ છે.
પરવલય $x^2 = -4(y-3)$ માટે,શિરોબિંદુ $(0, 3)$ છે અને $a = 1$ છે. નાભિલંબ $y = 2$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, 2)$ છે.
સામાન્ય બિંદુ $(2, 2)$ છે.
$y^2 = 4(x-1)$ માટે,વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$m_1 = 1$.
$x^2 = -4(y-3)$ માટે,વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$m_2 = -1$.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 8x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ મળે.
પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{y_{1}}{2a}$ છે.
આપેલ અભિલંબનું સમીકરણ $2x + y + \lambda = 0$ છે,જેને $y = -2x - \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -2$ મળે.
ઢાળને સરખાવતા: $-2 = -\frac{y_{1}}{2(2)}$ $\Rightarrow -2 = -\frac{y_{1}}{4}$ $\Rightarrow y_{1} = 8$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પરવલય $y^{2} = 8x$ પર હોવાથી,$8^{2} = 8x_{1}$ $\Rightarrow 64 = 8x_{1}$ $\Rightarrow x_{1} = 8$.
બિંદુ $(8, 8)$ એ રેખા $2x + y + \lambda = 0$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$2(8) + 8 + \lambda = 0$
$16 + 8 + \lambda = 0$
$24 + \lambda = 0$
$\lambda = -24$.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે,$(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{y_{1}}$ છે.
$(a, 2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{2a} = 1$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ થાય.
$(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2a = -1(x - a)$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x + y - 3a = 0$ થાય છે.
$(a, -2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{-2a} = -1$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $1$ થાય.
$(a, -2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-2a) = 1(x - a)$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x - y - 3a = 0$ થાય છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$((x - 3a) + y)((x - 3a) - y) = 0$ મળે,જે $(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0$ છે.
આમ,$x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$,અથવા $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે બિંદુ $P(x_{1}, y_{1})$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ છે.
આને $2ax - yy_{1} + 2ax_{1} = 0 \dots(i)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0 \dots(ii)$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2a}{l} = \frac{-y_{1}}{m} = \frac{2ax_{1}}{n}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ગુણોત્તર પરથી: $x_{1} = \frac{n}{l}$.
પ્રથમ અને બીજા ગુણોત્તર પરથી: $y_{1} = \frac{-2am}{l}$.
તેથી,ધ્રુવ $\left(\frac{n}{l}, \frac{-2am}{l}\right)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = a/m$ છે.
આપેલ રેખા $y = mx + 3$ માટે,$c = 3$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $3 = 1/m$.
તેથી,$m = 1/3$ મળે.

(D) ધારો કે વક્ર $x^2=2y$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે. $x^2=2y$ હોવાથી,$y = \frac{x^2}{2}$ મળે.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(x, \frac{x^2}{2})$ છે.
બિંદુ $P(x, \frac{x^2}{2})$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $D$ એ $D^2 = (x-0)^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2 = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = x^3 - 8x = x(x^2 - 8) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = 8$ મળે,એટલે કે $x = \pm 2\sqrt{2}$.
$x=0$ માટે,$y=0$,$D^2 = 25$,$D=5$.
$x^2=8$ માટે,$y = \frac{8}{2} = 4$. તેથી $D^2 = 8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$,એટલે કે $D=3$.
$3 < 5$ હોવાથી,સૌથી નજીકનું બિંદુ $(2\sqrt{2}, 4)$ અથવા $(-2\sqrt{2}, 4)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(2\sqrt{2}, 4)$ છે.

(D) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y \frac{dy}{dx}|$ છે.
આપેલ છે કે સબનોર્મલની લંબાઈ અચળ છે,ધારો કે $L = k$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
તેથી,$|y \frac{dy}{dx}| = k$.
ધારો કે $y > 0$,તો $y \frac{dy}{dx} = k$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int y \, dy = \int k \, dx$.
આનાથી $\frac{y^2}{2} = kx + C$ મળે છે.
સરળતા માટે,$C = 0$ લેતા,$y^2 = 2kx$ મળે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે.
પરવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4y^{2} + 3x + 3y + 1 = 0$.
$y$ વાળા પદોને અલગ કરતા: $4y^{2} + 3y = -3x - 1$.
$4$ વડે ભાગતા: $y^{2} + \frac{3}{4}y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{9}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}(x + \frac{7}{48})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^{2} = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \frac{3}{4}$ છે.

(A) પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (6, 0)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 6$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -a$ છે,જે $x = -6$ છે.
નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાથી અને નિયામિકા શિરોલંબ રેખા હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપનું છે.
$a = 6$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(6)x$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે.

(B) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $3x^{2} - 4y + 6x - 3 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$3x^{2} + 6x = 4y + 3$ મળે.
$3$ સામાન્ય લેતા,$3(x^{2} + 2x) = 4y + 3$ મળે.
કૌંસમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$3(x^{2} + 2x + 1 - 1) = 4y + 3$ મળે.
$3((x + 1)^{2} - 1) = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} - 3 = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} = 4y + 6$.
$(x + 1)^{2} = \frac{4}{3}(y + \frac{6}{4}) = \frac{4}{3}(y + \frac{3}{2})$.
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^{2} = 4aY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x + 1$ અને $Y = y + \frac{3}{2}$,આપણને $4a = \frac{4}{3}$ મળે છે.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4a = \frac{4}{3}$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = 2x^{2} + x$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{y}{2}$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{y}{2} + \frac{1}{16}$.
આથી $(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{2}(y + \frac{1}{8})$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^{2} = 4AY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x + \frac{1}{4}$,$Y = y + \frac{1}{8}$,અને $4A = \frac{1}{2}$,તેથી $A = \frac{1}{8}$ મળે.
$(X, Y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ $(0, A) = (0, \frac{1}{8})$ છે.
કિંમતો પાછી મૂકતા,$x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$ અને $y + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \Rightarrow y = 0$.
આમ,આપેલ પરવલયનું નાભિ $(-\frac{1}{4}, 0)$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4x$ છે. આને $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે,નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાભિ અંતર $17$ છે,તેથી $x + 1 = 17$,જેનો અર્થ છે કે $x = 16$.
$x = 16$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} = 4(16) = 64$.
આમ,$y = \pm 8$.
તેથી,જરૂરી બિંદુઓ $(16, 8)$ અથવા $(16, -8)$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ છે.
$PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_{1}t_{2} = -1$ થાય.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના નાભિ અંતરો $r_{1} = a(1 + t_{1}^{2})$ અને $r_{2} = a(1 + t_{2}^{2})$ છે.
વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + t_{2}^{2})}$ થાય.
$t_{2} = -\frac{1}{t_{1}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + \frac{1}{t_{1}^{2}})} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{t_{1}^{2}}{a(t_{1}^{2} + 1)}$ મળે.
$= \frac{1 + t_{1}^{2}}{a(1 + t_{1}^{2})} = \frac{1}{a}$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y = \alpha x^{2} - 6x + \beta \dots (i)$
પરવલય બિંદુ $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2 = \alpha(0)^{2} - 6(0) + \beta \implies \beta = 2$
હવે,સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2\alpha x - 6$
$x = \frac{3}{2}$ આગળ સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3}{2}$ આગળ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3/2} = 2\alpha \left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 0$
$3\alpha - 6 = 0 \implies 3\alpha = 6 \implies \alpha = 2$
આમ,કિંમતો $\alpha = 2$ અને $\beta = 2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4x$ છે.
$y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ મળે છે.
પરવલયના સ્પર્શકનું ઢાળ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=1$ મૂકતા,$y=mx+\frac{1}{m} \quad (i)$ મળે છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $m=1$ મૂકતા,$y = (1)x + \frac{1}{1}$ મળે છે.
આથી $y = x + 1$,એટલે કે $x - y + 1 = 0$ થાય.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=-8y$ છે. તેને $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=-8$ મળે છે,તેથી $a=-2$. પરવલયની નાભિ $(0, a) = (0, -2)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $P'(x_2, y_2)$ છે. પરવલયની નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો નિયામિકા (directrix) પર છેદે છે.
પરવલય $x^{2}=4ay$ ની નિયામિકા $y=-a$ છે.
અહીં,$a=-2$ છે,તેથી નિયામિકા $y=-(-2) = 2$ છે.
તેથી,સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ રેખા $y=2$ છે.

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^{2}=16x$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
પરવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે કોઈપણ નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો પરવલયની નિયામિકા (directrix) પર કાટખૂણે છેદે છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x=-a$ છે.
$a=4$ મૂકતા,નિયામિકાનું સમીકરણ $x=-4$ મળે છે,જેને $x+4=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સ્પર્શકો $x+4=0$ રેખા પર છેદે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4ax$ છે. ધારો કે પરવલય પરનું પ્રાચલ બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ છે.
આ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે. ધારો કે અભિલંબનો ઢાળ $m$ છે,તેથી $m = -t$,જેનો અર્થ છે કે $t = -m$.
બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2at = -t(x - at^{2})$ છે.
$t = -m$ મૂકતા,આપણને મળે છે $y - 2a(-m) = -(-m)(x - a(-m)^{2})$.
$y + 2am = m(x - am^{3})$.
$y + 2am = mx - am^{3}$.
$y = mx - 2am - am^{3}$.
આને આપેલ રેખા $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = -2am - am^{3}$ મળે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 12x$ છે,જે $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ માટે,સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_{1} = T^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = y^{2} - 12x$,$S_{1} = (2)^{2} - 12(-3) = 40$,અને $T = 2y - 6x + 18$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(y^{2} - 12x)(40) = (2y - 6x + 18)^{2}$
$10y^{2} - 120x = y^{2} + 9x^{2} + 81 - 6xy - 54x + 18y$
$9x^{2} - 9y^{2} - 6xy + 66x + 18y + 81 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^{2} - AB}}{A + B} \right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 9$,$B = -9$ છે.
તેથી,$A + B = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
આમ,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો:
$x = t^{2} + 2$
$y = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$t$ ની આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (\frac{y}{2})^{2} + 2$
$x = \frac{y^{2}}{4} + 2$
$x - 2 = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4(x - 2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે નાભિ $S(a, 0)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ છે.
$SP$ નું મધ્યબિંદુ $(x, y)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a + at^{2}}{2}$ અને $y = \frac{0 + 2at}{2} = at$.
$y = at$ પરથી,$t = \frac{y}{a}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{a + a(\frac{y}{a})^{2}}{2} = \frac{a + \frac{y^{2}}{a}}{2}$.
$2x = a + \frac{y^{2}}{a} \implies \frac{y^{2}}{a} = 2x - a \implies y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$.
આ $Y^{2} = 4AX$ સ્વરૂપનો પરવલય છે જ્યાં $A = \frac{a}{2}$ અને $X = x - \frac{a}{2}$ છે.
$Y^{2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X = -A$ છે.
તેથી,$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$.
$x = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2} = 4ay$ છે.
પરવલય બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(2)^{2} = 4a(1)$
$4 = 4a$
પરવલય $x^{2} = 4ay$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
સમીકરણ $4 = 4a$ પરથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^{2} = \left|\begin{array}{ll}x+1 & x+2 \\ x+3 & x+5\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$y^{2} = (x+1)(x+5) - (x+2)(x+3)$
$y^{2} = (x^{2} + 6x + 5) - (x^{2} + 5x + 6)$
$y^{2} = x - 1$,જે એક પરવલય છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુ $Q$ ના પ્રચલિત યામ $Q(t^{2}+1, t)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x, y)$ એ $A(1, 0)$ અને $Q(t^{2}+1, t)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે:
$x = \frac{1 + t^{2} + 1}{2} = \frac{t^{2} + 2}{2} \Rightarrow t^{2} = 2x - 2$
$y = \frac{0 + t}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2y$
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$(2y)^{2} = 2x - 2$
$4y^{2} = 2(x - 1)$
$y^{2} = \frac{1}{2}(x - 1)$
આ એક પરવલય છે જેની અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $x$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે.
લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,એટલે કે $(6, 3)$ અને $(-6, 3)$.
શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને બિંદુઓ $(6, 3)$ તથા $(-6, 3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,પાયો એ લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
વેધ એ શિરોબિંદુથી લેટસ રેક્ટમ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 3$ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જેને $\frac{y-mx}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને રેખા અને પરવલયના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પરવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$y^2 - 4ax \left( \frac{y-mx}{c} \right) = 0$
$cy^2 - 4axy + 4amx^2 = 0$
$4amx^2 - 4axy + cy^2 = 0$
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$4am + c = 0$
રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ માં $c = -4am$ મૂકતા:
$y = mx - 4am$
$y = m(x - 4a)$
આ સમીકરણ નિશ્ચિત બિંદુ $(4a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે.
આમ,સંગામી બિંદુ $(4a, 0)$ છે.

(C) આપેલ શિરોબિંદુ $O = (2,3)$ અને નાભિ $S = (3,2)$ છે.
ધારો કે નિયામિકા અક્ષને બિંદુ $A = (x_1, y_1)$ પર છેદે છે. શિરોબિંદુ $O$ એ $AS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+3}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1+2}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 4$
તેથી,$A = (1,4)$.
અક્ષ $AS$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2-3}{3-2} = -1$ છે.
નિયામિકા અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(1,4)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી નિયામિકાનું સમીકરણ:
$y-4 = 1(x-1) \Rightarrow y-x-3 = 0$.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x,y)$ માટે,નાભિથી અંતર = નિયામિકાથી અંતર:
$PS^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right)^2$
$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = \frac{(x-y+3)^2}{2}$
$2(x^2+y^2-6x-4y+13) = x^2+y^2+9-2xy+6x-6y$
$x^2+2xy+y^2-18x-2y+17 = 0$.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિથી અંતર અને નિયામિકાથી લંબ અંતર સમાન હોય છે.
આપેલ નાભિ $S(1, 0)$ અને નિયામિકા $x+2y-1=0$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(x+2y-1)^2}{5} = (x-1)^2 + y^2$
$(x+2y-1)^2 = 5(x^2-2x+1+y^2)$
$x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y = 5x^2 - 10x + 5 + 5y^2$
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $2y^2 + 5x - 6y + 1 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$2(y^2 - 3y) = -5x - 1$ મળે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $2(y^2 - 3y + \frac{9}{4}) = -5x - 1 + \frac{9}{2}$.
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5x + \frac{7}{2}$.
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5(x - \frac{7}{10})$.
$(y - \frac{3}{2})^2 = 4(-\frac{5}{8})(x - \frac{7}{10})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ અને $a = -\frac{5}{8}$ મળે.
નાભિ $(h + a, k) = (\frac{7}{10} - \frac{5}{8}, \frac{3}{2}) = (\frac{28 - 25}{40}, \frac{3}{2}) = (\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,શિરોબિંદુ અને નાભિ અનુક્રમે $(\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ અને $(\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^2-4x+6y+17=0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2+6y+9)-9-4x+17=0$
$(y+3)^2-4x+8=0$
$(y+3)^2=4(x-2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2=4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y=y+3$ અને $X=x-2$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (2, -3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું પડે.
આમ,$h=2$ અને $k=-3$.
$h^2+k^2$ ની ગણતરી કરતા:
$h^2+k^2 = (2)^2+(-3)^2 = 4+9 = 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 2px$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 2p$,તેથી $a = \frac{p}{2}$.
પરવલયની નાભિ $S = (\frac{p}{2}, 0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{p}{2}, 0)$ છે અને તે નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = p$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ મૂકતા,$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$ મળે છે.
ઉકેલતા $x = \frac{p}{2}$ મળે છે.
તેથી $y^2 = p^2$,એટલે કે $y = \pm p$.
છેદબિંદુઓ $(\frac{p}{2}, p)$ અને $(\frac{p}{2}, -p)$ છે.

(A) પરવલયની ધરી $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ સ્વરૂપનું છે $(i)$.
આપેલ બિંદુઓ $(0, -1)$,$(6, 1)$ અને $(-2, -3)$ પરવલય પર હોવાથી:
$0 = a - b + c$ $(ii)$
$6 = a + b + c$ $(iii)$
$-2 = 9a - 3b + c$ $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2b = 6$ મળે,તેથી $b = 3$.
$b = 3$ ને $(ii)$ અને $(iii)$ માં મૂકતા,$a + c = 3$ મળે.
$b = 3$ ને $(iv)$ માં મૂકતા,$-2 = 9a - 9 + c$,તેથી $9a + c = 7$.
$a + c = 3$ અને $9a + c = 7$ ઉકેલતા,$8a = 4$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
તેથી $c = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
સમીકરણ $x = \frac{1}{2}y^2 + 3y + \frac{5}{2}$ છે.
$X$-અક્ષ પર છેદતું બિંદુ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા:
$x = \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9y^2+12y+9x-14=0$
$(y + \frac{2}{3})^2 = -(x - 2)$
શિરોબિંદુ $(h', k') = (2, -2/3)$ અને $a = 1/4$ મળે છે.
નિયામિકા $l$ નું સમીકરણ $x = 2 + 1/4 = 9/4$ છે.
રેખા $l_1$ એ $(2, -2/3)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -1/3$ છે.
$l_1$ નું સમીકરણ: $y = -x/3$.
$l$ $(x = 9/4)$ અને $l_1$ $(y = -x/3)$ નું છેદબિંદુ:
$h = 9/4$,$k = -3/4$.
તેથી,$h+k = 9/4 - 3/4 = 3/2$.

(D) $Y$-અક્ષને સમાંતર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(0, 2/5)$,$(4, -2)$ અને $(1, 8/5)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(0 - h)^2 = 4a(2/5 - k) \implies h^2 = 4a(2/5 - k) \quad (i)$
$(4 - h)^2 = 4a(-2 - k) \quad (ii)$
$(1 - h)^2 = 4a(8/5 - k) \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h = 3/2$,$k = 7/4$ અને $a = -5/12$ મળે છે.
પરવલયનું સમીકરણ $(x - 3/2)^2 = -5/3(y - 7/4)$ છે.
બિંદુ $(2, 8/5)$ ચકાસતા:
$(2 - 3/2)^2 = 1/4$ અને $-5/3(8/5 - 7/4) = 1/4$.
તેથી,બિંદુ $(2, 8/5)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
આપેલ છે કે તે $(0,4), (1,9)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0,4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4$.
$(1,9)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $9 = a(1)^2 + b(1) + 4 \implies a + b = 5 \dots (1)$.
$(4,5)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $5 = a(4)^2 + b(4) + 4 \implies 16a + 4b = 1 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $4a + 4b = 20 \dots (3)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $12a = -19 \implies a = -\frac{19}{12}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $b = \frac{79}{12}$.
આમ,સમીકરણ $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ મળે છે.
જેને સાદું રૂપ આપતા: $19x^2 + 12y - 79x - 48 = 0$.

(B) વિકલ્પ $(A)$ માટે: $x=4 \cos t, y=4 \sin t$. વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$x^2+y^2=16(\cos^2 t + \sin^2 t) = 16$. આ વર્તુળનું સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $x^2-2=-2 \cos t$ અને $y=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
નિત્યસમ $\cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-1$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1+\cos t}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos t = 2y-1$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2-2 = -2(2y-1) = -4y+2$.
આમ,$x^2 = -4y+4$,એટલે કે $x^2 = -4(y-1)$. આ પરવલયનું સમીકરણ છે.

(D) નાભિ $(4, -3)$ પર છે અને શિરોબિંદુ $(4, -1)$ પર છે.
$x$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ રેખા $x=4$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ $(4, -1)$ અને નાભિ $(4, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $a = |-1 - (-3)| = 2$ છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ છે.
$h=4, k=-1, a=2$ મૂકતા:
$(x-4)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x-4)^2 = -8(y+1)$
$x^2 - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^2 - 8x + 8y + 24 = 0$.