Parabola Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પરવલય $y=x^{2}+4$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે. કારણ કે $P$ પરવલય પર આવેલું છે,તેથી $k = h^{2}+4$ થાય.
આપેલી સીધી રેખા $L: y = 4x - 1$ છે,જેને $4x - y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $P(h, k)$ થી રેખા $4x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|4h - k - 1|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|4h - (h^{2} + 4) - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|4h - h^{2} - 5|}{\sqrt{17}} = \frac{|-(h^{2} - 4h + 5)|}{\sqrt{17}} = \frac{h^{2} - 4h + 5}{\sqrt{17}}$.
રેખાની સૌથી નજીકનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવીએ:
$\frac{dd}{dh} = \frac{1}{\sqrt{17}} (2h - 4)$.
$\frac{dd}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $2h - 4 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = 2$.
$h = 2$ માટે,$y$-યામ $k = (2)^{2} + 4 = 4 + 4 = 8$ થાય.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 8)$ છે.

(B) વક્ર અને રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર હંમેશા વક્ર પરના તે બિંદુ $P(x_0, y_0)$ આગળ હોય છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
રેખાનું સમીકરણ $x-y=1$ છે,જેને $y=x-1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m=1$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $x^2=2y$ છે,જેનો અર્થ છે $y=\frac{x^2}{2}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો લેતા,આપણને $x_0 = 1$ મળે છે.
$x_0=1$ ને વક્રના સમીકરણ $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,વક્ર પરનું બિંદુ $P(1, \frac{1}{2})$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખા $x-y-1=0$ છે,તેથી $A=1, B=-1, C=-1$. બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 8x$ છે,તેથી $4a = 8 \Rightarrow a = 2$. નિયામિકા $x = -2$ છે.
$1$. $P(2, -4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$T = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$y(-4) = 4(x + 2)$ $\Rightarrow -4y = 4x + 8$ $\Rightarrow x + y + 2 = 0$.
નિયામિકા $x = -2$ સાથે છેદબિંદુ: $-2 + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 0$. તેથી,$A(-2, 0)$.
$2$. $P(2, -4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = -1$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -1 / m_{T} = 1$ છે.
સમીકરણ: $y - (-4) = 1(x - 2)$ $\Rightarrow y + 4 = x - 2$ $\Rightarrow x - y - 6 = 0$.
નિયામિકા $x = -2$ સાથે છેદબિંદુ: $-2 - y - 6 = 0 \Rightarrow y = -8$. તેથી,$B(-2, -8)$.
$3$. $AQBP$ ચોરસ હોવાથી,વિકર્ણો $AB$ અને $PQ$ એકબીજાને મધ્યબિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ = $((-2 + -2) / 2, (0 + -8) / 2) = (-2, -4)$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ = $((a + 2) / 2, (b - 4) / 2) = (-2, -4)$.
યામ સરખાવતા:
$(a + 2) / 2 = -2$ $\Rightarrow a + 2 = -4$ $\Rightarrow a = -6$.
$(b - 4) / 2 = -4$ $\Rightarrow b - 4 = -8$ $\Rightarrow b = -4$.
$4$. $2a + b$ ની ગણતરી:
$2(-6) + (-4) = -12 - 4 = -16$.

(B) પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) હોય છે.
પરવલય $y^{2} = 4a(x-h)$ માટે,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h - a$ છે.
અહીં,$4a = 16$,તેથી $a = 4$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (3, 0)$ છે.
તેથી નિયામિકા $x = 3 - 4$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x = -1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x + 1 = 0$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $V$ છે અને નાભિ $F$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ ના યામ $(R, 0)$ છે અને નાભિ $F$ ના યામ $(S, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = VF = S - R$ છે.
પરવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= 4(S - R)$ છે.

(B) શિરોબિંદુ $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ અને નિયામિકા $y = k - a = \frac{1}{2}$ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ છે.
અહીં $k - a = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{3}{4} - a = \frac{1}{2}$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
સમીકરણ $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} \left(y - \frac{3}{4}\right)$,એટલે કે $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ થાય.
$x = -\frac{1}{2}$ માટે,$\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow 1 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y = \frac{7}{4}$. આમ,$P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$.
પરવલયના સમીકરણનું વિકલન કરતા: $2\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{dy}{dx}$.
$x = -\frac{1}{2}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = -2$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{1}{2}$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 2$.
પરવલયના સમીકરણમાં $y = \frac{x}{2} + 2$ મૂકતા: $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right) - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$.
$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$ $\Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
$x = -\frac{1}{2}$ એ $P$ છે,તેથી $Q$ માટે $x = 2$. તો $y = \frac{2}{2} + 2 = 3$,એટલે કે $Q = (2, 3)$.
$(PQ)^2 = \left(2 - (-\frac{1}{2})\right)^2 + \left(3 - \frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{16} = \frac{125}{16}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=2x$ છે,તેથી $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ છે.
$P(2,2)$ આગળનો સ્પર્શક $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ દ્વારા મળે છે.
$P(2,2)$ અને $a=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $2y=1(x+2) \Rightarrow x-2y+2=0$ મળે છે.
$Q$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકો: $x-2(0)+2=0 \Rightarrow x=-2$. આમ,$Q=(-2,0)$ છે.
$P(2,2)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m=\frac{1}{2}$ છે. $P$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m'=-\frac{1}{m}=-2$ છે.
$P(2,2)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y-2=-2(x-2) \Rightarrow y=-2x+6$ છે.
$R$ શોધવા માટે,$y=-2x+6$ ને $y^{2}=2x$ માં મૂકો:
$(-2x+6)^{2}=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-24x+36=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-26x+36=0$ $\Rightarrow 2x^{2}-13x+18=0$.
$(2x-9)(x-2)=0$. $x=2$ એ બિંદુ $P$ હોવાથી,$R$ નો $x$-યામ $x=\frac{9}{2}$ છે.
તેથી $y=-2(\frac{9}{2})+6=-9+6=-3$. આમ,$R=(\frac{9}{2}, -3)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $P(2,2)$,$Q(-2,0)$,અને $R(\frac{9}{2}, -3)$ ધરાવતા $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$= \frac{1}{2} |2(0 - (-3)) + (-2)(-3 - 2) + \frac{9}{2}(2 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |2(3) + (-2)(-5) + \frac{9}{2}(2)|$
$= \frac{1}{2} |6 + 10 + 9| = \frac{1}{2} |25| = \frac{25}{2} \ sq. \ units$.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$ એ $y = 4x^2 + 1$ પરનું બિંદુ છે. રેખા $PQ$ એ $y = x$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-1$ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $X + Y = x + y$ છે.
$Q(c, c)$ એ $PQ$ અને $y = x$ પર હોવાથી,$c = \frac{x + y}{2}$.
$Q = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$.
$R(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$h = \frac{3x + y}{4}$ અને $k = \frac{x + 3y}{4}$.
$x = \frac{3h - k}{2}$ અને $y = \frac{3k - h}{2}$ મળે છે.
$y = 4x^2 + 1$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{3k - h}{2} = 4(\frac{3h - k}{2})^2 + 1$.
$3k - h = 2(3h - k)^2 + 2$.
$2(3h - k)^2 + (h - 3k) + 2 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$ છે.

(B) કોઈ બિંદુથી વક્ર સુધીનું લઘુત્તમ અંતર તે બિંદુએ વક્રના અભિલંબ (normal) ની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે પરવલય $y^{2}=6x$ પરનું બિંદુ $P\left(\frac{3}{2}t^{2}, 3t\right)$ છે,જ્યાં $4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}$.
બિંદુ $P(t)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $tx + y = 2at + at^{3}$ છે.
$a=\frac{3}{2}$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $tx + y = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$ મળે છે.
આ અભિલંબ બિંદુ $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$t(3) + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$3t + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}t^{3}$
$t^{3} = 1 \Rightarrow t = 1$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left(\frac{3}{2}(1)^{2}, 3(1)\right) = \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{3}{2}$ અને $\beta = 3$.
$2(\alpha+\beta) = 2\left(\frac{3}{2} + 3\right) = 2\left(\frac{9}{2}\right) = 9$.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(2,0)$ અને નાભિ $F(4,0)$ છે.
તેથી,અંતર $VF = a = 4 - 2 = 2$.
પરવલયનું સમીકરણ $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ છે,જે $y^2 = 8(x - 2)$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પરવલય પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $c = 0$,તેથી $y = mx$.
$y = mx$ ને $y^2 = 8x - 16$ માં મૂકતા,આપણને $(mx)^2 = 8x - 16$,અથવા $m^2x^2 - 8x + 16 = 0$ મળે છે.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = (-8)^2 - 4(m^2)(16) = 0$.
$64 - 64m^2 = 0$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
સ્પર્શબિંદુઓ $S$ અને $R$ એ $x^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=1$ માટે) અને $(-x)^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=-1$ માટે) ઉકેલીને મળે છે.
બંને કિસ્સામાં $(x-4)^2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 4$.
$x = 4$ માટે,$y = \pm 4$. આમ,બિંદુઓ $R(4, 4)$ અને $S(4, -4)$ છે.
$\triangle SOR$ નો પાયો $RS$ છે,જેની લંબાઈ $4 - (-4) = 8$ છે.
$\triangle SOR$ ની પાયા $RS$ ને અનુરૂપ ઊંચાઈ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી રેખા $x = 4$ નું અંતર છે,જે $4$ છે.
$\triangle SOR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ sq. units}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.
$x$-અક્ષ માટે,$Y = 0$ લેતા,$X = x - \frac{y}{y'}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $Q$ એ $\left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$ છે.
$y$-અક્ષ રેખાખંડ $PQ$ ને દુભાગે છે,તેથી $PQ$ ના મધ્યબિંદુનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{x + (x - \frac{y}{y'})}{2} = 0$ $\Rightarrow 2x - \frac{y}{y'} = 0$ $\Rightarrow y' = \frac{y}{2x}$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln(x) + C$,જે $y^2 = kx$ માં પરિણમે છે.
વક્ર $(3, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3^2 = k(3) \Rightarrow k = 3$.
આમ,વક્ર $y^2 = 3x$ છે.
$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 3$,તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $3$ છે અને નાભિ $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ છે.

(A) પરવલય $P_{1}$ ની અક્ષ શિરોબિંદુ $(3,2)$ અને નાભિ $(4,4)$ માંથી પસાર થાય છે. અક્ષનો ઢાળ $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ છે.
નિયામિકા અક્ષને લંબ હોવાથી,નિયામિકાનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x + 2y = k$ સ્વરૂપનું છે.
શિરોબિંદુ $(3,2)$ થી નિયામિકાનું અંતર એ શિરોબિંદુથી નાભિના અંતર જેટલું હોય છે,જે $a = \sqrt{(4-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $(3,2)$ થી રેખા $x + 2y - k = 0$ સુધીના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|3 + 2(2) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5} \implies |7 - k| = 5$.
આનાથી $7 - k = 5 \implies k = 2$ અથવા $7 - k = -5 \implies k = 12$ મળે છે.
નાભિ $(4,4)$ એ $4 + 2(4) = 12$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખા $x + 2y = 12$ નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને તે નિયામિકા હોઈ શકે નહીં. આમ,$P_{1}$ ની નિયામિકા $x + 2y = 2$ છે.
ધારો કે પરાવર્તનની રેખા $L: x + 2y = 6$ છે. રેખા $x + 2y = 2$ નું $x + 2y = 6$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે નોંધીએ છીએ કે રેખાઓ સમાંતર છે.
જો રેખા $x + 2y = c$ એ $x + 2y = 2$ નું $x + 2y = 6$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ હોય,તો $6$ એ $2$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક છે:
$\frac{2 + c}{2} = 6 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10$.
તેથી,$P_{2}$ ની નિયામિકા $x + 2y = 10$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = x - x^{2}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ દ્વારા મળે છે. $x = \alpha$ પર,ઢાળ $1 - 2\alpha$ છે.
રેખા $y = kx + 4$ એ $A(0, 4)$ અને $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $AP$ નો ઢાળ $\frac{(\alpha - \alpha^{2}) - 4}{\alpha - 0} = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $1 - 2\alpha = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$.
$\alpha(1 - 2\alpha) = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha - 2\alpha^{2} = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha^{2} = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$.
$k > 0$ હોવાથી,ઢાળ $1 - 2\alpha$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $1 - 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha < \frac{1}{2}$. આમ,$\alpha = -2$.
બિંદુ $P$ એ $(-2, -2 - (-2)^{2}) = (-2, -6)$ છે.
પરવલય $y = -(x^{2} - x) = -(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ નું શિરોબિંદુ $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ છે.
$P(-2, -6)$ અને $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $\frac{\frac{1}{4} - (-6)}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{25}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{2}$ છે.

(D) આપેલ શંકુ $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ છે. $x$ નો વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 4t^2$ મળે છે. કારણ કે $y = \frac{t^2}{3}$,તેથી $t^2 = 3y$. આમ,$x^2 = 4(3y) = 12y$. આ એક પરવલય છે જેની નાભિ $S(0, 3)$ છે.
આપેલ છે કે $SA \perp BA$,તેથી $SA$ અને $BA$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$SA$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{t^2}{3} - 3}{2t - 0} = \frac{t^2 - 9}{6t}$.
$BA$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{t^2}{3} - \alpha}{2t - 0} = \frac{t^2 - 3\alpha}{6t}$.
$SA \perp BA$ હોવાથી,$\left(\frac{t^2 - 9}{6t}\right) \cdot \left(\frac{t^2 - 3\alpha}{6t}\right) = -1$.
$(t^2 - 9)(t^2 - 3\alpha) = -36t^2$.
$t^4 - 3\alpha t^2 - 9t^2 + 27\alpha = -36t^2$.
$27\alpha - 3\alpha t^2 = -36t^2 - t^4 + 9t^2 = -27t^2 - t^4$.
$3\alpha(9 - t^2) = -(27t^2 + t^4)$.
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$.
$\Delta SAB$ ના શિરોબિંદુઓ $S(0, 3)$,$A(2t, \frac{t^2}{3})$,અને $B(0, \alpha)$ છે,તેથી તેના મધ્યકેન્દ્રનો યામ $k = \frac{3 + \frac{t^2}{3} + \alpha}{3} = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{\alpha}{3}$ થાય.
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$ મુકતા,આપણને $\frac{\alpha}{3} = \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)}$ મળે છે.
$k = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9(t^2 - 9) + t^2(t^2 - 9) + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9t^2 - 81 + t^4 - 9t^2 + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{2t^4 + 27t^2 - 81}{9(t^2 - 9)}$.
જ્યારે $t \rightarrow 1$,ત્યારે $k \rightarrow \frac{2(1)^4 + 27(1)^2 - 81}{9(1^2 - 9)} = \frac{2 + 27 - 81}{9(-8)} = \frac{-52}{-72} = \frac{13}{18}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 6x$ છે,તેથી $4a = 6$,જે $a = \frac{3}{2}$ આપે છે.
બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
અભિલંબ $(5, -8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$-8 = -t(5) + 2(\frac{3}{2})t + \frac{3}{2}t^{3}$.
$-8 = -5t + 3t + \frac{3}{2}t^{3} \implies -8 = -2t + \frac{3}{2}t^{3} \implies 3t^{3} - 4t + 16 = 0$.
$t = -2$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
તેથી,$P = (6, -6)$.
$P(6, -6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ મુજબ $x + 2y + 6 = 0$ મળે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -\frac{3}{2}$ છે.
$x = -\frac{3}{2}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{3}{2} + 2y + 6 = 0 \implies 2y = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{4}$.

(D) શિરોબિંદુ $A$ એ $(5,4)$ છે અને નિયામિકા $3x+y-29=0$ છે.
ધારો કે $B$ એ શિરોબિંદુમાંથી નિયામિકા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. $A$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-4}{1} = k$ છે.
$B$ એ નિયામિકા $3x+y-29=0$ પર હોવાથી,$3(5+3k) + (4+k) - 29 = 0$ મળે,જે $15+9k+4+k-29=0$ આપે છે,તેથી $10k-10=0$,એટલે કે $k=1$.
આમ,$B$ ના યામ $(5+3(1), 4+1) = (8,5)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ $SB$ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $S$ એ નાભિ $(x_s, y_s)$ છે,$\frac{x_s+8}{2} = 5$ અને $\frac{y_s+5}{2} = 4$ મળે,જે $S = (2,3)$ આપે છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x,y)$ માટે $PS = PM$,જ્યાં $PM$ એ નિયામિકાથી લંબ અંતર છે.
$PS^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2-4x+4+y^2-6y+9 = x^2+y^2-4x-6y+13$.
$PM^2 = \frac{(3x+y-29)^2}{3^2+1^2} = \frac{9x^2+y^2+841+6xy-174x-58y}{10}$.
$10(x^2+y^2-4x-6y+13) = 9x^2+y^2+6xy-174x-58y+841$ ને સરખાવતા,$x^2+9y^2-6xy+134x-2y-711=0$ મળે છે.
$x^2+ay^2+bxy+cx+dy+k=0$ સાથે સરખાવતા,$a=9, b=-6, c=134, d=-2, k=-711$.
તેથી,$a+b+c+d+k = 9-6+134-2-711 = -576$.

(D) પરવલય $y^{2}=2x$ ના શિરોબિંદુ અને નાભિ અનુક્રમે $V(0,0)$ અને $S\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=4$ ધારો.
વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $h^{2}+k^{2}=4 \dots (1)$.
વર્તુળ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\left(\frac{1}{2}-h\right)^{2}+k^{2}=4$,જેનું સાદું રૂપ $h^{2}+k^{2}-h=\frac{15}{4} \dots (2)$ થાય છે.
$(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા,$h=\frac{1}{4}$ મળે છે.
$h=\frac{1}{4}$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$k^{2}=\frac{63}{16}$ મળે,તેથી $k=\pm\frac{\sqrt{63}}{4}$.
વર્તુળ પરવલય $y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $\alpha = k + 2 = \frac{\sqrt{63}}{4} + 2$.
આમ,$4\alpha - 8 = \sqrt{63}$.
તેથી,$(4\alpha-8)^{2} = 63$.

(B) શિરોબિંદુ $(x_1, y_1)$ થી નિયામિકા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું અંતર $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે અને નિયામિકા $4x - 3y - 21 = 0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{|4(2) - 3(-1) - 21|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
$a = \frac{|8 + 3 - 21|}{\sqrt{16 + 9}}$
$a = \frac{|-10|}{5} = 2$
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 4 \times 2 = 8$.

(D) રેખા $y = 3x + 5$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે. ધારો કે સ્પર્શકોનો ઢાળ $m$ છે. સ્પર્શકો અને રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
$\tan(\theta) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\pi}{4}) = |\frac{m - 3}{1 + 3m}| = 1$ મળે.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ અથવા $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$.
કિસ્સો $1$: $m - 3 = 1 + 3m \implies -2m = 4 \implies m = -2$.
કિસ્સો $2$: $m - 3 = -1 - 3m \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,બંને સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
પરવલયનો ગુણધર્મ છે કે જો બે સ્પર્શકો લંબ હોય,તો તેમનું છેદબિંદુ નિયામિકા પર હોય છે,અને સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખા નાભિ $S$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,કોઈપણ $a > 0$ માટે $A, S$ અને $B$ સમરેખ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} - 2y - 2x = 1$ છે,જેને $(y - 1)^{2} = 2(x + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $A(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y - x - 5 = 0$ છે.
બિંદુ $B(1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $-2y - x - 1 = 0$ છે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$P(-3, 1)$ મળે છે.
ત્રિકોણ $PAB$ ના શિરોબિંદુઓ $P(-3, 1)$,$A(1, 3)$ અને $B(1, -1)$ છે.
પાયો $AB$ ની લંબાઈ $|3 - (-1)| = 4$ છે.
ઊંચાઈ $|1 - (-3)| = 4$ છે.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે પરવલય $y = x^{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ છે.
આ રેખા $y = -(x - 2)^{2}$ ને પણ સ્પર્શતી હોવાથી,આપણે બીજા સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ:
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x - 2)^{2}$
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x^{2} - 4x + 4)$
$x^{2} + x(m - 4) + 4 - \frac{m^{2}}{4} = 0$
રેખા સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (m - 4)^{2} - 4(1)(4 - \frac{m^{2}}{4}) = 0$
$m^{2} - 8m + 16 - 16 + m^{2} = 0$
$2m^{2} - 8m = 0$
$2m(m - 4) = 0$
આમ,$m = 0$ અથવા $m = 4$.
$m = 4$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - \frac{4^{2}}{4} = 4x - 4 = 4(x - 1)$ મળે છે.

(C) નાભિ $(a, a)$ થી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક $x+y-a=0$ સુધીનું અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.
આ અંતર $d$ એ પ્રમાણિત પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં $a$ જેટલું છે,જ્યાં $4a$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ $16$ છે,તેથી $4d = 16$,જેનો અર્થ છે કે $d = 4$.
તેથી,$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 4$.
$|a| = 4 \sqrt{2}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = -\frac{1}{2}$,તેથી $a = -\frac{1}{8}$.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{1}{8m}$ છે.
સ્પર્શક $(2,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 2m - \frac{1}{8m}$,જેનો અર્થ છે $2m = \frac{1}{8m}$,તેથી $m^{2} = \frac{1}{16}$,એટલે કે $m = \pm \frac{1}{4}$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $x - 4y - 2 = 0$ અને $x + 4y - 2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વર્તુળ $(x-5)^{2} + y^{2} = r$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(5,0)$ થી રેખા $x \pm 4y - 2 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{r}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{r} = \frac{|5 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r = \frac{9}{17}$.
તેથી,$17r = 9$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 2x - 3$ છે.
બિંદુ $R(0, 1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
$y(1) = 1(x + 0) - 3 \implies y = x - 3$.
$x = y + 3$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} = 2(y + 3) - 3 = 2y + 3$.
$y^{2} - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
આમ,$y = 3$ અથવા $y = -1$.
$y = 3$ માટે $x = 6$ અને $y = -1$ માટે $x = 2$.
તેથી,બિંદુઓ $P(2, -1)$ અને $Q(6, 3)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3 - (-1)}{6 - 2} = 1$ છે.
$PR$ નો ઢાળ $m_{PR} = \frac{1 - (-1)}{0 - 2} = -1$ છે.
$m_{PQ} \times m_{PR} = -1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $PQR$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $P(2, -1)$ છે.

(B) આપેલ પરવલય $y=x^2+x+10$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$y = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{39}{4}$,અથવા $(x + \frac{1}{2})^2 = (y - \frac{39}{4})$.
આ $X^2 = 4aY$ પ્રકારનું પરવલય છે જ્યાં $4a = 1$,તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $1$ છે.
પરવલય અને $L$ લંબાઈની જીવા દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{L^3}{6 \cdot (4a)}$ છે.
અહીં $L = 1$ અને $4a = 1$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1^3}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 + px + q$ છે.
આ પરવલય બિંદુ $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3 = (0)^2 + p(0) + q \implies q = 3$.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2x + p$.
બિંદુ $(0, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $x = 0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 2(0) + p = p$.
આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $p = -1$.
અંતે,$p + q$ ની કિંમત:
$p + q = -1 + 3 = 2$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(y-1)^2 = 4x+1$ છે. શિરોબિંદુ $A = (-1/4, 1)$,નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $D = (3/4, 3)$,અને $P = (0, 1)$ છે. ઢાળની ગણતરી કરતા $\tan^{-1}(2/19)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $BOAC$ એ $XY$-સમતલમાં એક લંબચોરસ છે જ્યાં $O(0,0)$ ઉગમબિંદુ છે અને બિંદુઓ $A, B$ પરવલય $y=x^2$ પર આવેલા છે.
ધારો કે $A = (t_1, t_1^2)$ અને $B = (t_2, t_2^2)$.
$BOAC$ લંબચોરસ હોવાથી,વિકર્ણો $OA$ અને $BC$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે,અને બાજુઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{t_1^2 - 0}{t_1 - 0} = t_1$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{t_2^2 - 0}{t_2 - 0} = t_2$ છે.
$OA \perp OB$ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 t_2 = -1$.
ધારો કે $C = (h, k)$. $BOAC$ લંબચોરસ હોવાથી,સદિશ $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ થાય.
તેથી,$h = t_1 + t_2$ અને $k = t_1^2 + t_2^2$.
આપણે $k$ ને $h$ ના પદમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ:
$k = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2$
$k = h^2 - 2(-1)$
$k = h^2 + 2$.
તેથી,$C(h, k)$ નો બિંદુપથ $y = x^2 + 2$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y=ax^2+bx+c$ છે.
શિરોબિંદુ $(2,-2)$ છે અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે (કારણ કે તેને બે $x$-અંતઃખંડો છે અને શિરોબિંદુ $x$-અક્ષની નીચે છે),તેથી $a > 0$.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-\frac{b}{2a} = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$-b = 4a$,જેનો અર્થ છે $b = -4a$. $a > 0$ હોવાથી,$b < 0$ થાય.
$y$-અંતઃખંડ $x=0$ પર છે,જે $y=c$ છે. આલેખ પરથી,$y$-અંતઃખંડ $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી $c < 0$.
હવે,ગુણાકાર $bc$ ધ્યાનમાં લો. $b < 0$ અને $c < 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $bc$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $bc > 0$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=4x$ અને રેખા $y=2x-4$ છે.
પાયાના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=2x-4$ ને $y^2=4x$ માં મૂકતા:
$(2x-4)^2 = 4x$
$4(x-2)^2 = 4x$
$x^2-4x+4 = x$
$x^2-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
તેથી,$x=1$ અથવા $x=4$.
$x=1$ માટે,$y=2(1)-4 = -2$. બિંદુ $C = (1, -2)$.
$x=4$ માટે,$y=2(4)-4 = 4$. બિંદુ $B = (4, 4)$.
ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $A = (x, 0)$ છે જે $X$-અક્ષ પર છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$AB=AC$,તેથી $AB^2 = AC^2$.
$(x-4)^2 + (0-4)^2 = (x-1)^2 + (0-(-2))^2$
$x^2-8x+16+16 = x^2-2x+1+4$
$-8x+32 = -2x+5$
$6x = 27$
$x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ $\left(\frac{9}{2}, 0\right)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે,તેથી $4a = 6$,જે $a = \frac{3}{2}$ આપે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{3}{2}$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 3m - \frac{3}{2}m^3$ બને છે.
અભિલંબ બિંદુ $(\lambda, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$0 = m\lambda - 3m - \frac{3}{2}m^3$.
$m \neq 0$ માટે (કારણ કે અભિલંબ એ પરવલયની અક્ષ નથી),આપણે $m$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$0 = \lambda - 3 - \frac{3}{2}m^2$.
$m^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{3}{2}m^2 = \lambda - 3$,અથવા $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ મળે છે.
ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$m$ માટે ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવી જોઈએ. $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ હોવાથી,$m$ માટે ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો (અક્ષ માટે $m=0$ સહિત) મેળવવા માટે,આપણે $\lambda - 3 > 0$ ની જરૂર છે,જે સૂચવે છે કે $\lambda > 3$.

(C) ધારો કે $x^3+a x^2+b x+a=0$ ના બીજ $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha = -a$ થાય,તેથી $\alpha = -a/3$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $(-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + a = 0$.
$-a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + a = 0$.
$27$ વડે ગુણતા,$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27a = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2a^3 - 9ab + 27a = 0$ થાય.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા: $2a^2 - 9b + 27 = 0$.
આમ,$2a^2 = 9b - 27$,અથવા $b = \frac{2}{9}a^2 + 3$.
$(a, b)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y = \frac{2}{9}x^2 + 3$ મળે,જે એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $Y$-અક્ષ પર $(0, 3)$ છે.

(B) ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $B\left(\frac{K^2}{4}, K\right)$ છે અને $A(0,3)$ છે.
અંતર $AB = \sqrt{\left(\frac{K^2}{4} - 0\right)^2 + (K - 3)^2} = \sqrt{\frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9}$.
ધારો કે $f(K) = AB^2 = \frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9$.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f'(K) = 0$ લઈને $f(K)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
$f'(K) = \frac{4K^3}{16} + 2K - 6 = \frac{K^3}{4} + 2K - 6 = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $K^3 + 8K - 24 = 0$ મળે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$K=2$ એ ઉકેલ છે: $(2)^3 + 8(2) - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$.
$K^3 + 8K - 24$ ને $(K-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(K-2)(K^2 + 2K + 12) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $K^2 + 2K + 12$ નો વિવેચક ઋણ છે $(D = 4 - 48 = -44)$,તેથી $K=2$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે.
$K=2$ માટે,બિંદુ $B$ એ $\left(\frac{2^2}{4}, 2\right) = (1, 2)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

(B) બાજુઓના સમીકરણો $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ અને $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,$A$ નો $y$-યામ શોધવા માટે આપણે બંને સમીકરણોમાં $x=0$ મૂકીએ છીએ.
$AB$ માટે,$y = 4/\lambda$. $AC$ માટે,$y = \lambda/(\lambda-1)$.
આ બંનેને સરખાવતા,$4/\lambda = \lambda/(\lambda-1)$ $\Rightarrow 4\lambda - 4 = \lambda^2$ $\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow (\lambda-2)^2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda=2$ મૂકતા,$AB: 3x + 2y = 4$ અને $AC: 2x - y + 2 = 0$ મળે છે. આમ,$A$ એ $(0,2)$ છે.
ધારો કે $C$ એ $(\alpha, 2\alpha+2)$ છે (કારણ કે $C$ એ $AC$ પર છે).
લંબકેન્દ્ર $H(1,2)$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે. $C$ માંથી પસાર થતો વેધ $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $-3/2$ છે,તેથી $C$ માંથી પસાર થતા વેધનો ઢાળ $2/3$ છે.
$H(1,2)$ અને $C(\alpha, 2\alpha+2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $(2\alpha+2-2)/(\alpha-1) = 2\alpha/(\alpha-1)$ છે.
$2\alpha/(\alpha-1) = 2/3$ $\Rightarrow 6\alpha = 2\alpha - 2$ $\Rightarrow 4\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -1/2$ લેતા.
આમ,$C$ એ $(-1/2, 1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 6x$ છે,તેથી $4a = 6 \Rightarrow a = 3/2$. સ્પર્શક $y = mx + a/m = mx + 3/(2m)$ છે.
સ્પર્શક $C(-1/2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$1 = m(-1/2) + 3/(2m)$ $\Rightarrow 2 = -m + 3/m$ $\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા,$(m+3)(m-1) = 0 \Rightarrow m = 1$ અથવા $m = -3$.
પ્રથમ ચરણ માટે,સ્પર્શબિંદુ $T(a/m^2, 2a/m) = (3/(2m^2), 3/m)$ છે.
$m=1$ માટે,$T = (3/2, 3)$. અંતર $CT = \sqrt{(3/2 - (-1/2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(B) પરવલય $y^2 = \frac{x}{2}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{8m}$ છે.
વક્ર $x = 1 + y^2$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ મૂકતા $x = 1 + (mx + \frac{1}{8m})^2$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $m^2x^2 - \frac{3}{4}x + (1 + \frac{1}{64m^2}) = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાથી વિવેચક $D = 0$ લેતા,$m = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2\sqrt{2}y + 1 = 0$ થાય.
બિંદુ $(6, -2\sqrt{2})$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9}} = 5$ થાય.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 6$,તેથી $a = \frac{3}{2}$ મળે.
પરવલય $y^2 = 6x$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{3}{2m}$ છે.
ત્રિકોણ રેખાઓ $x = 0$,$y = 3$,અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$1$. $x = 0$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ નું છેદબિંદુ $(0, \frac{3}{2m})$ છે.
$3$. $y = 3$ અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ નું છેદબિંદુ $(\frac{6m - 3}{2m^2}, 3)$ છે.
ધારો કે પરિવૃતકેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિવૃતકેન્દ્ર કર્ણનું મધ્યબિંદુ થાય.
તેથી,$h = \frac{6m - 3}{4m^2}$ અને $k = \frac{6m + 3}{4m}$.
$k = \frac{6m + 3}{4m}$ પરથી $m = \frac{3}{2(2k - 3)}$ મળે.
આ કિંમત $h$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ $4y^2 - 18y + 3x + 18 = 0$ મળે છે.

(D) પરવલય $x = 4y^2$ છે,જેને $y^2 = \frac{1}{4}x$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $4a = \frac{1}{4}$,તેથી $a = \frac{1}{16}$.
પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{16}, \frac{t}{8})$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અભિલંબ $Q(0, 33)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$33 = \frac{2t}{16} + \frac{t^3}{16}$.
$528 = 2t + t^3 \Rightarrow t^3 + 2t - 528 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$t = 8$ એ ઉકેલ છે: $512 + 16 - 528 = 0$.
તેથી,$P = (\frac{8^2}{16}, \frac{8}{8}) = (4, 1)$.
બીજો પરવલય $y^2 - 4y = 4x \Rightarrow (y - 2)^2 = 4(x + 1)$ છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $(-1, 2)$ છે અને $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -a$ છે,જ્યાં $X = x + 1$.
$x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$.
રેખા $x = -2$ થી બિંદુ $P(4, 1)$ નું અંતર $|4 - (-2)| = 6$ છે.

(C) આપેલ પરવલયો $ax^2 + 2bx + cy = 0$ અને $dx^2 + 2ex + fy = 0$ રેખા $y = 1$ પર છેદે છે.
$y = 1$ માટે,સમીકરણો $ax^2 + 2bx + c = 0$ અને $dx^2 + 2ex + f = 0$ બને છે.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$,એટલે કે $b = \sqrt{ac}$.
પ્રથમ સમીકરણ $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ બને છે,જે $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ છે.
તેથી,$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$.
આ $x$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $dx^2 + 2ex + f = 0$ માં મૂકતા:
$d(\frac{c}{a}) + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2e\frac{1}{\sqrt{ac}}$ મળે છે.
$b = \sqrt{ac}$ હોવાથી,આ $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ માં પરિણમે છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) પરવલયની નાભિ $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ અને નિયામિકા $y = -\frac{1}{2}$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$(x, y)$ થી નાભિનું અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું થાય:
$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = \left|y + \frac{1}{2}\right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = y^2 + y + \frac{1}{4}$
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = y + \frac{1}{4} \Rightarrow y = x^2 + x = f(x)$.
આપણને $\tan^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(x)+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ આપેલ છે.
ધારો કે $u = \sqrt{f(x)}$. તો $\tan^{-1}(u) + \sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u) = \cot^{-1}(u) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\right)$.
તેથી,$\sqrt{u^2+1} = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ $\Rightarrow u^2+1 = 1$ $\Rightarrow u^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) = 0$.
$f(x) = x^2+x$ હોવાથી,$x^2+x = 0$,જે $x(x+1) = 0$ આપે છે.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = -1$.
ગણ $S = \{0, -1\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે.

(D) બિંદુ $P(b, c)$ એ પરવલય $y^2 = 2ax$ પર હોવાથી,$c^2 = 2ab$ મળે.
પરવલય $y^2 = 2ax$ ના બિંદુ $(b, c)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yc = a(x + b)$ છે.
$x$-અક્ષ $(y = 0)$ સાથેના છેદબિંદુ માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા $x = -b$ મળે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(b, c)$,$(b, 0)$ અને $(-b, 0)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2b) \times c = bc = 16$.
$b, c \in \mathbb{N}$ હોવાથી,શક્ય જોડીઓ $(b, c) = (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)$ છે.
$a = \frac{c^2}{2b}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(b, c) = (1, 16)$ માટે $a = 128$,
$(b, c) = (2, 8)$ માટે $a = 16$,
$(b, c) = (4, 4)$ માટે $a = 2$.
અન્ય કિંમતો માટે $a$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
તેથી,$S = \{128, 16, 2\}$ અને તેમનો સરવાળો $128 + 16 + 2 = 146$ થાય.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x + 4y + 4$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 2)^2 = 8(x + 1)$.
અહીં $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને નાભિ $(1, 2)$ મળે છે.
નાભિસ્થ જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે ઢાળ $m$ છે,તો રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ થાય.
$x$-અંતઃખંડ $3$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 0)$ રેખા પર છે.
કિંમત મૂકતા: $0 - 2 = m(3 - 1) \implies m = -1$.
નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $4a(1 + \frac{1}{m^2}) = 4(2)(1 + 1) = 16$ થાય.

(D) વક્રનું સમીકરણ $x^2+2x-4y+9=0$ છે. $P(1,3)$ આગળનો સ્પર્શક $x-y+2=0$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=2$ મળે,તેથી $A = (0,2)$.
$P(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $x-3y=6$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x-3y+8=0$ છે.
આ રેખા $y^2=4x$ ને છેદે છે,તેથી $y^2-12y+32=0$ મળે,જેના ઉકેલ $y=4$ અને $y=8$ છે.
બિંદુઓ $(4,4)$ અને $(16,8)$ મળે છે.
શરત $2x-3y=8$ ચકાસતા,$B = (16,8)$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^2 = (16-0)^2 + (8-2)^2 = 256 + 36 = 292$.

(A) પરવલય $y^2=20x$ છે,તેથી નાભિ $R$ એ $(5, 0)$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ એ રેખા $y=mx+c$ અને પરવલયના છેદબિંદુઓ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં $x = (y-c)/m$ મૂકતા: $y^2 = 20(y-c)/m \Rightarrow my^2 - 20y + 20c = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$y_1+y_2 = 20/m$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(10, 10)$ હોવાથી $(y_1+y_2+y_R)/3 = 10$. અહીં $y_R = 0$ હોવાથી,$(y_1+y_2)/3 = 10 \Rightarrow y_1+y_2 = 30$.
તેથી,$20/m = 30 \Rightarrow m = 2/3$.
$c-m=6$ આપેલ હોવાથી,$c = 6 + 2/3 = 20/3$.
$y$ માટેનું દ્વિઘાત સમીકરણ $y^2 - 30y + 200 = 0 \Rightarrow (y-10)(y-20) = 0$ થાય.
તેથી $y_1=10$ અને $y_2=20$. અનુરૂપ $x$ ની કિંમતો $x_1 = 5$ અને $x_2 = 20$ મળે.
આમ $P(5, 10)$ અને $Q(20, 20)$ મળે.
$(PQ)^2 = (20-5)^2 + (20-10)^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $A(0,1)$,$B(1,1)$,અને $C(1,0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(0,0)$,$Q(0,2)$,અને $R(2,0)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $PQ = 2$,$QR = 2\sqrt{2}$,અને $RP = 2$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $D = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ એ $D$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2-\sqrt{2})^2 = 4a(2-\sqrt{2})$.
આથી $4a = 2-\sqrt{2}$,એટલે કે $a = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}$.
નાભિ $(a, 0) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}, 0)$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = -\frac{1}{4}$.
$\frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{1/2}{1/16} = 8$.

(A) પરવલયની નાભિ $(3,0)$ અને નિયામિકા $x = -3$ છે. શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને $a = 3$ છે. પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $P(3t_1^2, 6t_1)$ અને $Q(3t_2^2, 6t_2)$ છે.
યામોનો ગુણોત્તર $3:1$ હોવાથી,$6t_1 / 6t_2 = 3/1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 = 3t_2$.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(\alpha, \beta)$ એ $\alpha = at_1t_2 = 9t_2^2$ અને $\beta = a(t_1 + t_2) = 12t_2$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$\frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{(12t_2)^2}{9t_2^2} = \frac{144t_2^2}{9t_2^2} = 16$.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ માટે,અહીં $4a=36$,તેથી $a=9$. પેરામીટર $t$ વાળી નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $a(t+1/t)^2 = 100$ છે.
$9(t+1/t)^2 = 100 \implies (t+1/t)^2 = 100/9 \implies t+1/t = 10/3$ (કારણ કે ખૂણો લઘુકોણ છે,$t>0$).
$3t^2 - 10t + 3 = 0$ ઉકેલતા,$(3t-1)(t-3)=0$ મળે,તેથી $t=3$ અથવા $t=1/3$.
$P$ નો કોટિ ધન હોવાથી,$P$ એ $t=3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $P = (81, 54)$.
તેથી $Q$ એ $t=1/3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $Q = (1, 6)$.
બિંદુ $M$ એ $PQ$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $M = (21, 18)$.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = 3/5$ છે.
$PQ$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_{\perp} = -5/3$ છે.
$M(21, 18)$ માંથી પસાર થતી અને $-5/3$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $5x+3y = 159$ છે.

(C) પરવલય $x^2 = 8y$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 5/4)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$T = x x_1 - 4(y + y_1)$ અને $S_1 = x_1^2 - 8y_1$.
કિંમતો મૂકતા,$x(1) - 4(y + 5/4) = 1^2 - 8(5/4)$.
$x - 4y - 5 = 1 - 10$.
$x - 4y + 4 = 0$.
$P(\alpha, \beta)$ આ જીવા પર હોવાથી,$\alpha - 4\beta + 4 = 0$,એટલે કે $\alpha = 4\beta - 4$.
વળી,$P(\alpha, \beta)$ એ $y^2 = 4x$ પર હોવાથી,$\beta^2 = 4\alpha$.
$\alpha$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\beta^2 = 4(4\beta - 4) = 16\beta - 16$.
$\beta^2 - 16\beta + 16 = 0$.
આથી $\beta = 8 \pm 4\sqrt{3}$.
$\alpha = 4\beta - 4$ હોવાથી,$\alpha - 28 = 4\beta - 32 = 4(\beta - 8)$.
તેથી,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4(\beta - 8)^2$.
$(\beta - 8) = \pm 4\sqrt{3}$ હોવાથી,$(\beta - 8)^2 = 48$.
આમ,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4 \times 48 = 192$.

(C) ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $S_2 = \frac{ab(a+b)}{2}$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y = (a - b)x + ab$ છે.
પરવલય અને રેખા વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = \frac{(a+b)^3}{6}$ છે.
તેથી,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right)$.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4}{3}$ મળે છે.
અહીં $m = 4$ અને $n = 3$ છે,તેથી $m + n = 7$.

(D) આપેલ પરવલયો $2y^2 = kx$ અને $ky^2 = 2(y - x)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{2y^2}{k}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકો:
$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$
$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$
$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$
$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ આ મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$
$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થવા માટે,છેદ $(k + \frac{4}{k})^2$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$AM \geq GM$ મુજબ,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ માટે) અથવા $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k < 0$ માટે).
$(k + \frac{4}{k})^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $16$ છે,જે $k = \frac{4}{k}$ એટલે કે $k^2 = 4$ હોય ત્યારે મળે છે,તેથી $k = 2$ અથવા $k = -2$.
આ મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ થાય છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ની નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $L = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ જીવાએ પરવલયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. લંબાઈ $L = 15$.
$12 \operatorname{cosec}^2 \theta = 15 \implies \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
તેથી $\sin^2 \theta = \frac{4}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આમ,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4/5}{1/5} = 4$,તેથી $\tan \theta = 2$.
નાભિસ્થ જીવા નાભિ $(a, 0) = (3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $\theta$ ઢાળવાળી જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 3)$ છે.
જીવા ધરી સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \pm \tan \theta = \pm 2$ છે. ધારો કે $m = 2$.
સમીકરણ $y = 2(x - 3) \implies 2x - y - 6 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $2x - y - 6 = 0$ નું અંતર $p = \frac{|2(0) - 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$p^2 = \frac{36}{5}$.
અંતે,$10p^2 = 10 \times \frac{36}{5} = 2 \times 36 = 72$.