Parabola Questions in Gujarati

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ની જીવાનું સમીકરણ જેનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોય તે $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પરવલય $y^2=12x$ છે,તેથી $4a=12$,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ એ $(4, 1)$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $yy_1 - 2a(x+x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $y(1) - 2(3)(x+4) = (1)^2 - 12(4)$.
$y - 6(x+4) = 1 - 48$.
$y - 6x - 24 = -47$.
$6x - y = 23$.
હવે,આપણે તપાસીએ કે કયું બિંદુ $6x - y = 23$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $6\left(\frac{1}{2}\right) - (-20) = 3 + 20 = 23$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, -20\right)$ રેખા પર આવેલું છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. નાભિ $S$ એ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવા $AB$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. નાભિ જીવાની લંબાઈ $l = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta = 12 \operatorname{cosec}^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જીવાનું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $d$ એ $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan \theta$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું લંબ અંતર છે. રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \tan \theta (x - 3)$ છે,એટલે કે $x \sin \theta - y \cos \theta - 3 \sin \theta = 0$.
અંતર $d = \frac{|0 \cdot \sin \theta - 0 \cdot \cos \theta - 3 \sin \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |3 \sin \theta| = 3 \sin \theta$.
આમ,$d^2 = 9 \sin^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{d^2}{9}$.
આ કિંમત $l$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $l = 12 \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 12 \cdot \frac{9}{d^2} = \frac{108}{d^2}$.
તેથી,$l \cdot d^2 = 108$.

(B) આપેલ છે કે $P(x, y)$ એ શંકુ $C$ પરનું બિંદુ છે જ્યાં $x \geq 3$. $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)}{x - 3} \right) = \frac{y+5}{2(x-3)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y+5} = \frac{dx}{2(x-3)}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln(y+5) = \frac{1}{2} \ln(x-3) + C_1$,જેનો અર્થ છે કે $2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + C$.
શંકુ $(4,-2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2 \ln(-2+5) = \ln(4-3) + C \Rightarrow 2 \ln(3) = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln(3)$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + 2 \ln(3) = \ln(9(x-3))$ મળે.
આમ,$(y+5)^2 = 9(x-3)$,જે એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(3, -5)$ છે અને $4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
પરવલય પરના બિંદુ $(x, y)$ માટે નાભિ અંતર $d = x+a = x + \frac{9}{4}$ થાય.
પ્રશ્નમાં આપેલ બિંદુ $(4, -2)$ માટે,$d = 4 + 2.25 = 6.25 = \frac{25}{4}$.
તેથી $12d = 12 \times \frac{25}{4} = 3 \times 25 = 75$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $9x^2+12x+18y-14=0$ છે.
તેને ફરીથી લખતા,$(3x+2)^2 = -18(y-1)$ મળે છે.
$P(0,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = mx+1$ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3x+2)^2 = -18mx \implies 9x^2+(12+18m)x+4 = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$.
$(12+18m)^2 - 144 = 0 \implies 12+18m = \pm 12$.
$m_1 = 0$ અને $m_2 = -4/3$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = 4/3$.
$\triangle PQR$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$QR$ નો ઢાળ $m = -\cot(\theta/2)$ થાય.
$\tan(\theta/2)$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $\tan(\theta/2) = 1/2$ અથવા $-2$ મળે છે.
તેથી $m_1 = -2$ અને $m_2 = 1/2$.
$16(m_1^2+m_2^2) = 16(4 + 1/4) = 68$.

(A) ધારો કે પરવલય $P: y^2=8x$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ છે.
વર્તુળ $C: x^2+y^2=4$ ની જીવાનું સમીકરણ જે $(x_1, y_1)$ પર દુભાગે છે તે $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ $xx_1+yy_1-4$ છે અને $S_1$ એ $x_1^2+y_1^2-4$ છે.
તેથી,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.
આ જીવા $(\alpha, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણી પાસે $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ છે.
$x_1=2t^2$ અને $y_1=4t$ મૂકતા,આપણને $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ મળે છે.
$2t^2$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને),આપણને $\alpha = 2t^2 + 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$.
જીવા વર્તુળની અંદર અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $x_1^2+y_1^2 < 4$.
$x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ મૂકતા,આપણી પાસે $2\alpha t^2 < 4$,અથવા $\alpha t^2 < 2$ છે.
$t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ મૂકતા,આપણને $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}\right) < 2$ મળે છે,જે $\alpha^2 - 8\alpha - 4 < 0$ માં સરળ બને છે.
$\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ ના બીજ $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$4-2\sqrt{5} < \alpha < 4+2\sqrt{5}$.
ઉપરાંત,$t^2 > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ છે,તેથી $\alpha > 8$.
આ બંનેને જોડતા,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$.
તેથી,$p=8$ અને $q=4+2\sqrt{5}$.
તેથી $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$.

(B) પરવલય $y^2=4ax$ માટે,$4a=6$,તેથી $a=\frac{3}{2}$. ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ અનુક્રમે $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ છે.
રેખા $L$ એ $C$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y=2at_3$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$ છે.
બિંદુ $D$ એ $AB$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $2at_3(t_1+t_2)=2x_D+2at_1t_2$,જે $x_D=a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2)$ આપે છે.
$AM = |2at_1 - 2at_3| = |2a(t_1-t_3)|$.
$BN = |2at_2 - 2at_3| = |2a(t_2-t_3)|$.
$CD = |x_D - at_3^2| = |a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2-t_3^2)| = a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|$.
આમ,$\frac{AM \cdot BN}{CD} = \frac{|2a(t_1-t_3)| \cdot |2a(t_2-t_3)|}{a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|} = 4a$.
અહીં $a=\frac{3}{2}$ હોવાથી,$4a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
તેથી,$\left(\frac{AM \cdot BN}{CD}\right)^2 = 6^2 = 36$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$.
સંમિતિની અક્ષ શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} + 1$
$y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$.
આ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપમાં છે,જે રેખા $x = h$ ની આસપાસ સંમિત પરવલય દર્શાવે છે. અહીં,$h = 1$,તેથી વક્ર $x = 1$ ની આસપાસ સંમિત છે.
$Statement-1$ સાચું છે. $Statement-2$ એ પરવલયનો પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે,જે પણ સાચું છે. તેથી $Statement-2$ એ $Statement-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે. $P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
$x$-અક્ષ માટે,$y = 0$ લેતા,$0 = -tx + 2at + at^3$,તેથી $x = 2a + at^2$. આમ,$Q$ એ $(2a + at^2, 0)$ છે.
નાભિ $F$ એ $(a, 0)$ છે.
$\triangle PFQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= a^2|t|(1 + t^2)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે,તેથી $t = -m$. અહીં $m > 0$ હોવાથી,$|t| = m$.
ક્ષેત્રફળ $= a^2 m(1 + m^2) = 120$.
જો $a = 2$ અને $m = 3$ લઈએ,તો ક્ષેત્રફળ $= 2^2 \times 3(1 + 3^2) = 4 \times 3(10) = 120$.
આમ,જોડી $(a, m)$ એ $(2, 3)$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $2x+y=p$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$yk-8(x+h) = k^2-16h$
$yk-8x = k^2-8h$
આપેલ જીવાના સમીકરણ $2x+y=p$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{k}{1} = \frac{-8}{2} = \frac{k^2-8h}{p}$
$\frac{k}{1} = -4$ પરથી,$k=-4$ મળે છે.
$\frac{-8}{2} = \frac{k^2-8h}{p}$ પરથી,$-4 = \frac{16-8h}{p}$ મળે છે.
$-4p = 16-8h \Rightarrow 2h-p = 4$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $p=2, h=3, k=-4$.
$2(3)-2 = 4$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $T(-at^2, 0)$ માં મળે છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $N(2a + at^2, 0)$ માં મળે છે.
ધારો કે $\triangle PTN$ નું મધ્યકેન્દ્ર $R(h, k)$ છે.
$h = \frac{at^2 - at^2 + 2a + at^2}{3} = \frac{2a + at^2}{3}$
$k = \frac{2at + 0 + 0}{3} = \frac{2at}{3} \Rightarrow t = \frac{3k}{2a}$.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$3h = 2a + a\left(\frac{3k}{2a}\right)^2 = 2a + \frac{9k^2}{4a}$.
$9k^2 = 4a(3h - 2a) \Rightarrow k^2 = \frac{4a}{3}\left(h - \frac{2a}{3}\right)$.
બિંદુપથ $y^2 = \frac{4a}{3}\left(x - \frac{2a}{3}\right)$ છે.
$Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,$4A = \frac{4a}{3} \Rightarrow A = \frac{a}{3}$.
શિરોબિંદુ $\left(\frac{2a}{3}, 0\right)$ છે.
નાભિ $\left(\frac{2a}{3} + A, 0\right) = \left(\frac{2a}{3} + \frac{a}{3}, 0\right) = (a, 0)$ છે.
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(t_1^2, 2t_1)$ અને $(t_2^2, 2t_2)$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $\left(\frac{t_1^2+t_2^2}{2}, t_1+t_2\right)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. પરવલયની ધરી ($x$-અક્ષ,$y=0$) વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$|t_1+t_2| = r$,જેનો અર્થ છે કે $t_1+t_2 = \pm r$.
$A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = \frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = \frac{2}{t_1+t_2}$ છે.
$t_1+t_2 = \pm r$ મૂકતા,આપણને $m = \pm \frac{2}{r}$ મળે છે.
તેથી,ઢાળના શક્ય મૂલ્યો $\frac{2}{r}$ અને $-\frac{2}{r}$ છે,જે વિકલ્પો $C$ અને $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી,$4a=8$,એટલે કે $a=2$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,જે $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.
બિંદુઓ $(2, 4)$,$(2, -4)$ અને $P\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta_1 = 6$ મળે છે.
$y^2=8x$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 4(x+x_1)$ છે.
$(2, 4)$ આગળ સ્પર્શક: $y = x+2$.
$(2, -4)$ આગળ સ્પર્શક: $y = -x-2$.
$(0.5, 2)$ આગળ સ્પર્શક: $y = 2x+1$.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુઓ $(-2, 0)$,$(1, 3)$ અને $(-1, -1)$ છે.
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta_2 = 3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{3} = 2$.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(0, 0)$ અને $(x, y)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજનના સૂત્ર મુજબ:
$h = \frac{x}{4}$ અને $k = \frac{y}{4}$
તેથી,$x = 4h$ અને $y = 4k$.
બિંદુ $(x, y)$ પરવલય $y^2 = 4x$ પર હોવાથી:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $y^2 = x$ છે.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ (જ્યાં $a=1$) ના અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$a=1$ મૂકતા,$y=mx-2m-m^3$ મળે.
અભિલંબ $(9,6)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$6 = 9m - 2m - m^3$
$m^3 - 7m + 6 = 0$
આ સમીકરણના ઉકેલ $m=1, 2, -3$ મળે છે.
$m=1$ માટે: $y-x+3=0$.
$m=2$ માટે: $y-2x+12=0$.
$m=-3$ માટે: $y+3x-33=0$.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A), (B)$ અને $(D)$ છે.

(D) પરવલય $y^2=8x$ છે,તેથી $4a=8$,જે $a=2$ આપે છે. નાભિ $F$ એ $(2,0)$ છે અને નિયામિકા $x=-2$ છે.
બિંદુ $P=(-2,4)$ એ નિયામિકા $x=-2$ પર આવેલું છે.
તે એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે નિયામિકા પરના બિંદુમાંથી પરવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે,અને સ્પર્શજીવા $QQ^{\prime}$ એ નાભિ $F$ માંથી પસાર થાય છે.
જેহেতু $PQ$ અને $PQ^{\prime}$ એ $P$ માંથી પરવલય પરના સ્પર્શકો છે,$\angle QPQ^{\prime} = 90^{\circ}$,તેથી $(B)$ $TRUE$ છે.
સ્પર્શજીવા $QQ^{\prime}$ એ નાભિ $F$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(D)$ $TRUE$ છે.
અંતર $PF = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. તેથી,$(C)$ $FALSE$ છે.
પરવલય માટે,સ્પર્શજીવા દ્વારા નાભિ પર બનતો ખૂણો $180^{\circ}$ હોય છે જો સ્પર્શકો લંબ હોય,પરંતુ ત્રિકોણ $PFQ$ એ $Q$ આગળ કાટકોણ છે કારણ કે $Q$ આગળનો સ્પર્શક એ નાભિ અને સ્પર્શબિંદુને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B),$ અને $(D)$ છે.

(B,D) ધારો કે $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ અને $Q$ ના યામ $(a/t^2, -2a/t)$ છે કારણ કે $PQ$ નાભિ જીવા છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R = (-a, a(t - 1/t))$ છે.
આપેલ છે કે $R$ એ $y = 2x + a$ પર છે,તેથી $a(t - 1/t) = 2(-a) + a = -a$,એટલે કે $t - 1/t = -1$.
$1.$ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + 1/t)^2$ છે.
$(t + 1/t)^2 = (t - 1/t)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$,તેથી $PQ = 5a$. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ શિરોબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2(t + 1/t)}{-3}$.
$t + 1/t = \sqrt{5}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{-3} = -\frac{2}{3}\sqrt{5}$. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=16x$ પરનું બિંદુ $F$ એ $(4t^2, 8t)$ છે.
$F(4t^2, 8t)$ પર પરવલયનો સ્પર્શક $yt = x + 4t^2$ છે.
આ સ્પર્શક $y$-અક્ષને $G(0, 4t)$ પર છેદે છે,તેથી $y_1 = 4t$.
રેખા $L: y=mx+3$ એ $F(4t^2, 8t)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8t = m(4t^2) + 3$,જે $m = \frac{8t-3}{4t^2}$ આપે છે.
$\triangle EFG$ ના શિરોબિંદુઓ $E(0, 3)$,$F(4t^2, 8t)$,અને $G(0, 4t)$ છે.
$\triangle EFG$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_E(y_F-y_G) + x_F(y_G-y_E) + x_G(y_E-y_F)| = \frac{1}{2} |0 + 4t^2(4t-3) + 0| = 2t^2|4t-3|$.
$0 \leq y \leq 6$ હોવાથી,$0 \leq 8t \leq 6$,તેથી $0 \leq t \leq 3/4$.
$t < 3/4$ માટે,$A = 2t^2(3-4t) = 6t^2 - 8t^3$.
$\frac{dA}{dt} = 12t - 24t^2 = 12t(1-2t)$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા $t = 1/2$ મળે છે (કારણ કે $t=0$ એ ન્યૂનતમ છે).
$t=1/2$ પર,$m = \frac{8(1/2)-3}{4(1/2)^2} = \frac{4-3}{1} = 1$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(1/2)^2(3-4(1/2)) = 2(1/4)(1) = 1/2$.
$y_0 = 8t = 8(1/2) = 4$.
$y_1 = 4t = 4(1/2) = 2$.

(D,B) $1.$ કારણ કે $PQ$ એ નાભિજીવા છે,$t \cdot t' = -1$,તેથી $t' = -\frac{1}{t}$.
$PK$ નો ઢાળ $m_{PK} = \frac{2at - 0}{at^2 - 2a} = \frac{2at}{a(t^2-2)} = \frac{2t}{t^2-2}$ છે.
$QR$ નો ઢાળ $m_{QR} = \frac{2ar - 2at'}{ar^2 - at'^2} = \frac{2a(r-t')}{a(r-t')(r+t')} = \frac{2}{r+t'}$ છે.
$QR \parallel PK$ હોવાથી,$m_{QR} = m_{PK} \implies \frac{2}{r+t'} = \frac{2t}{t^2-2}$.
$r+t' = \frac{t^2-2}{t} = t - \frac{2}{t}$.
$t' = -\frac{1}{t}$ મૂકતા,આપણને $r - \frac{1}{t} = t - \frac{2}{t} \implies r = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$ મળે છે.
આમ,$1$ માટે સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ $P(at^2, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $ty = x + at^2$ છે.
$S(as^2, 2as)$ આગળનો અભિલંબ $y = -sx + 2as + as^3$ છે,અથવા $y + sx = 2as + as^3$.
આપેલ છે કે $st = 1$,તેથી $s = \frac{1}{t}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y + \frac{1}{t}x = 2a(\frac{1}{t}) + a(\frac{1}{t^3}) = \frac{2at^2+a}{t^3}$ બને છે.
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$.
આપણી પાસે સિસ્ટમ છે:
$ty - x = at^2$
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2ty = at^2 + \frac{2at^2+a}{t^2} = \frac{at^4 + 2at^2 + a}{t^2} = \frac{a(t^2+1)^2}{t^2}$.
$y = \frac{a(t^2+1)^2}{2t^3}$.
આમ,$2$ માટે સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) રેખા $y = -5$ નું રેખા $x + y + 4 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $x = 1$ મળે છે.
વક્ર $C$ એ $y^2 = 4x$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$C$ અને $y = -5$ ના છેદબિંદુઓ એ $y^2 = 4x$ અને $x = 1$ ના છેદબિંદુઓ સમાન અંતરે હોય છે.
$x = 1$ મુકતા,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$.
આમ,અંતર $|2 - (-2)| = 4$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 2x$ છે,તેથી $4a = 2$,જે $a = \frac{1}{2}$ આપે છે.
ધારો કે $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ અને $Q = (\frac{t_2^2}{2}, t_2)$ એ પરવલય પરના બિંદુઓ છે.
વ્યાસ $PQ$ વાળું વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સદિશ $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ લંબ છે,તેથી $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$.
$(\frac{t_1^2}{2})(\frac{t_2^2}{2}) + t_1 t_2 = 0 \Rightarrow t_1 t_2 (\frac{t_1 t_2}{4} + 1) = 0$.
$P$ અને $Q$ ભિન્ન હોવાથી,$t_1 t_2 = -4$.
ધારો કે $t_1 = t$,તો $t_2 = -\frac{4}{t}$.
યામ $P = (\frac{t^2}{2}, t)$ અને $Q = (\frac{8}{t^2}, -\frac{4}{t})$ છે.
$\Delta OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |(\frac{t^2}{2})(-\frac{4}{t}) - (\frac{8}{t^2})(t)| = \frac{1}{2} |-2t - \frac{8}{t}| = |t + \frac{4}{t}|$.
ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $|t + \frac{4}{t}| = 3\sqrt{2}$.
$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t^2 - 3\sqrt{2}t + 4 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$.
$t_1 = 2\sqrt{2}$ અને $t_2 = \sqrt{2}$.
$t = 2\sqrt{2}$ માટે,$P = (\frac{(2\sqrt{2})^2}{2}, 2\sqrt{2}) = (4, 2\sqrt{2})$.
$t = \sqrt{2}$ માટે,$P = (\frac{(\sqrt{2})^2}{2}, \sqrt{2}) = (1, \sqrt{2})$.
આમ,$P$ ના યામ $(4, 2\sqrt{2})$ અને $(1, \sqrt{2})$ છે,જે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(B, C) પરવલય $y^2=4x$ (જ્યાં $a=1$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
તે $P=(-2,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$1=-2m+\frac{1}{m}$,જે $2m^2+m-1=0$ માં પરિણમે છે.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2m-1)(m+1)=0$ મળે છે,તેથી $m=\frac{1}{2}$ અથવા $m=-1$.
સ્પર્શ બિંદુઓ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m=\frac{1}{2}$ માટે,બિંદુ $P_1=(4,4)$ છે. $m=-1$ માટે,બિંદુ $P_2=(1,-2)$ છે.
નાભિ $S$ એ $(1,0)$ છે.
રેખા $SP_1$ એ $(1,0)$ અને $(4,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-0=\frac{4-0}{4-1}(x-1)$ છે,જે $4x-3y-4=0$ છે.
રેખા $SP_2$ એ $(1,0)$ અને $(1,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=1$ છે.
લંબાઈ $PQ_1$ એ $P(-2,1)$ થી $4x-3y-4=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_1 = \frac{|4(-2)-3(1)-4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ છે.
તે જ રીતે,$PQ_2$ એ $P(-2,1)$ થી $x=1$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_2 = |-2-1| = 3$ છે.
$\triangle SPQ_1$ માં,$SQ_1 = \sqrt{SP^2 - PQ_1^2}$. અહીં $SP = \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ છે.
તેથી $SQ_1 = \sqrt{10-9} = 1$. તેવી જ રીતે,$SQ_2 = 1$.
આમ,વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -4ay$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2a}$ મળે.
અભિલંબનો ઢાળ $\frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ હોવાથી $t = \sqrt{6}$ મળે.
અભિલંબ $(0, -\alpha)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\alpha = 8a$ મળે.
$A$ અને $B$ માટે,$x^2 = -4a(-8a) = 32a^2$,તેથી $x = \pm 4\sqrt{2}a$.
$AB^2 = s = (8\sqrt{2}a)^2 = 128a^2$.
$r = 4a$ હોવાથી,$\frac{r}{s} = \frac{4a}{128a^2} = \frac{1}{32a} = \frac{1}{16}$.
તેથી $32a = 16$,એટલે કે $a = \frac{1}{2}$.
આમ,$24a = 24 \times \frac{1}{2} = 12$.

(A,C) પરવલય $y^2=8x$ (જ્યાં $4a=8$,તેથી $a=2$) માટે બિંદુ $(2t^2, 4t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + 2t^2$ છે.
સ્પર્શકો $C_1 = (-4, 0)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,$0 = -4 + 2t^2$,જેનો અર્થ છે $t^2 = 2$,તેથી $t = \pm \sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શ બિંદુઓ $A_1 = (2(\sqrt{2})^2, 4\sqrt{2}) = (4, 4\sqrt{2})$ અને $B_1 = (2(-\sqrt{2})^2, 4(-\sqrt{2})) = (4, -4\sqrt{2})$ છે.
$(A)$ $OA_1$ ની લંબાઈ $= \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ $A_1 B_1$ ની લંબાઈ $= |4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})| = 8\sqrt{2}$. તેથી,$(B)$ $FALSE$ છે.
$(C)$ $A_1 B_1$ નો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા $x=4$). $C_1(-4, 0)$ માંથી $A_1 B_1$ પરનો વેધ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y=0$ છે.
$A_1 C_1$ નો ઢાળ $\frac{4\sqrt{2}-0}{4-(-4)} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. $B_1(4, -4\sqrt{2})$ માંથી $A_1 C_1$ પરના વેધનો ઢાળ $-\sqrt{2}$ છે.
આ વેધનું સમીકરણ $y - (-4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(x - 4) \Rightarrow y + 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}x + 4\sqrt{2} \Rightarrow y = -\sqrt{2}x$ છે.
$y=0$ અને $y=-\sqrt{2}x$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(4, 4\sqrt{3})$ એ $y^2 = 4ax$ પર છે.
$P$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા: $(4\sqrt{3})^2 = 4a(4) \Rightarrow 48 = 16a \Rightarrow a = 3$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. નાભિ $S$ એ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ નો પ્રચલ $t_1$ છે. $P = (at_1^2, 2at_1) = (3t_1^2, 6t_1) = (4, 4\sqrt{3})$,તેથી $6t_1 = 4\sqrt{3} \Rightarrow t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$,તેથી $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (3(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2, 2(3)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ છે.
નિયામિકા $x = -3$ છે.
$P(4, 4\sqrt{3})$ થી $x = -3$ નું લંબ અંતર $PM = 4 - (-3) = 7$.
$Q(\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ થી $x = -3$ નું લંબ અંતર $QN = \frac{9}{4} - (-3) = \frac{21}{4}$.
ચતુષ્કોણ $PQMN$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં સમાંતર બાજુઓ $PM$ અને $QN$ છે અને ઊંચાઈ $MN$ છે. $MN$ ની લંબાઈ $y$-યામનો તફાવત છે: $MN = |4\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})| = 7\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (PM + QN) \times MN = \frac{1}{2} \times (7 + \frac{21}{4}) \times 7\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{49}{4} \times 7\sqrt{3} = \frac{343\sqrt{3}}{8}$.

(D) આપેલ રેખા $3x - 2y + 12 = 0$ છે અને પરવલય $4y = 3x^2$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2y = 3x + 12$.
આને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(3x + 12) = 3x^2$.
$3x^2 - 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$,તેથી $x = 4$ અથવા $x = -2$.
જો $x = 4$,તો $4y = 3(16) = 48 \Rightarrow y = 12$. બિંદુ $B = (4, 12)$.
જો $x = -2$,તો $4y = 3(4) = 12 \Rightarrow y = 3$. બિંદુ $A = (-2, 3)$.
પરવલય $4y = 3x^2$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2}$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{12 - 0}{4 - 0} = 3$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ આગળ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-3/2)}{1 + (3)(-3/2)} \right| = \left| \frac{9/2}{1 - 9/2} \right| = \left| \frac{9/2}{-7/2} \right| = \frac{9}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{7}\right)$.

(D) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $x + 2y = 0$ ને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $V \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અક્ષનો ઢાળ $2$ છે. અક્ષનું સમીકરણ $y - 3 = 2 \left(x - \frac{3}{2}\right)$ છે,જે $y = 2x$ માં પરિણમે છે.
નિયામિકાનો લંબપાદ એ $x + 2y = 0$ અને $y = 2x$ નું છેદબિંદુ છે,જે $(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $S$ અને નિયામિકાના લંબપાદ $(0, 0)$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_S + 0}{2} = \frac{3}{2}$ અને $\frac{y_S + 0}{2} = 3$ મળે,તેથી નાભિ $S(3, 6)$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$PS^2 = PM^2$,જ્યાં $P(x, y)$ પરવલય પરનું બિંદુ છે:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = \left(\frac{x + 2y}{\sqrt{5}}\right)^2$
$5(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36) = x^2 + 4y^2 + 4xy$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 30x - 60y + 225 = 0$
$\alpha = 4, \beta = 1, \gamma = 4$ સરખાવતા,$\alpha + \beta + \gamma = 4 + 1 + 4 = 9$ મળે.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ છે જ્યાં $a=1$. ધારો કે $A$ ના યામ $(t_1^2, 2t_1)$ અને $C$ ના યામ $(t_2^2, 2t_2)$ છે. $AD$ અને $BC$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$A$ અને $D$ નો $x$-યામ સમાન છે,અને $B$ અને $C$ નો $x$-યામ સમાન છે. તેથી,$D$ એ $(t_1^2, -2t_1)$ અને $B$ એ $(t_2^2, -2t_2)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ નાભિ $S(1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,બિંદુઓ $A, S, C$ સમરેખ છે. નાભિમાંથી પસાર થતી જીવા માટે $t_1 t_2 = -1$,તેથી $t_2 = -\frac{1}{t_1}$.
યામ $A(t_1^2, 2t_1)$ અને $C(\frac{1}{t_1^2}, -\frac{2}{t_1})$ છે.
$AC$ ની લંબાઈ $\sqrt{(t_1^2 - \frac{1}{t_1^2})^2 + (2t_1 + \frac{2}{t_1})^2} = \frac{25}{4}$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(t_1 + \frac{1}{t_1})^2 = \frac{25}{4}$ મળે છે.
તેથી,$t_1 + \frac{1}{t_1} = \frac{5}{2}$,જે $t_1 = 2$ અથવા $t_1 = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$t_1 = 2$ લેતા,$A(4, 4)$ અને $D(4, -4)$ મળે છે. પછી $t_2 = -\frac{1}{2}$,તેથી $C(\frac{1}{4}, -1)$ અને $B(\frac{1}{4}, 1)$ મળે છે.
સમાંતર બાજુઓ $AD = 8$ અને $BC = 2$ છે. સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $x$-યામનો તફાવત છે: $h = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (AD + BC) \times h = \frac{1}{2} (8 + 2) \times \frac{15}{4} = \frac{75}{4}$.

(D) પરવલય $y^2=4x$ છે જેનું નાભિ $S(1,0)$ છે.
રેખા $x+y+4=0$ ની સાપેક્ષે પરવલયનું પ્રતિબિંબ લેતા,નવા પરવલયનું નાભિ $S'(-4,-5)$ મળે છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d=4$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $5$ છે.
ક્ષેત્રફળ $a = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.
તેથી,$a+d = 10+4 = 14$.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના બિંદુઓ નાભિ અને નિયામિકાથી સમાન અંતરે હોય છે.
પ્રથમ પરવલય માટે: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = y^2 \implies (x - 4)^2 = 6y - 9$.
બીજા પરવલય માટે: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = x^2 \implies (y - 3)^2 = 8x - 16$.
છેદબિંદુઓ માટે $x^2 = y^2$ હોવાથી $y = x$ મળે છે.
$y = x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - 4)^2 + (x - 3)^2 = x^2 \implies x^2 - 14x + 25 = 0$.
અહીં $x_1 + x_2 = 14$ અને $x_1 x_2 = 25$ છે.
$(AB)^2 = 2(x_1 - x_2)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2[196 - 100] = 2(96) = 192$.

(A) પરવલય $y^2=12x$ માટે,$4a=12$,તેથી $a=3$. નાભિ $S$ એ $(3,0)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(3t^2, 6t)$ અને $Q$ ના યામ $(3/t^2, -6/t)$ છે જ્યાં $t_1 t_2 = -1$.
નિયામિકા $x=-3$ થી બિંદુ $(3t^2, 6t)$ નું અંતર $SP = 3t^2+3$ છે.
તે જ રીતે,$SQ = 3/t^2+3$.
આપેલ છે કે $(SP)(SQ) = (3t^2+3)(3/t^2+3) = 9(t^2+1)(1/t^2+1) = 9\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{4}$.
$\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{36} = \frac{49}{12}$.
$t^2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t^2 = 3/4$ અથવા $t^2 = 4/3$ મળે છે.
$t^2 = 3/4$ લેતા,આપણને $P = (9/4, 3\sqrt{3})$ અને $Q = (4, -4\sqrt{3})$ મળે છે.
$PQ$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-9/4)(x-4) + (y-3\sqrt{3})(y+4\sqrt{3}) = 0$.
$x^2 - (25/4)x + 9 + y^2 + \sqrt{3}y - 36 = 0$.
$x^2 + y^2 - (25/4)x + \sqrt{3}y - 27 = 0$.
$64$ વડે ગુણતા: $64x^2 + 64y^2 - 400x + 64\sqrt{3}y - 1728 = 0$.
$64x^2 + 64y^2 - \alpha x - 64\sqrt{3}y = \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 400$ અને $\beta = -1728$ મળે છે (અથવા ચિહ્નો ગોઠવતા,$\beta - \alpha = 1328$).

(A) પરવલય $y^2=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S$ એ $(1, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $(t^2, 2t)$ છે. નાભિ જીવા $PS$ નો ઢાળ $\frac{2t-0}{t^2-1} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ મળે છે.
$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$.
વ્યાસ $PS$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે,જ્યાં $P=(3, 2\sqrt{3})$ અને $S=(1, 0)$.
$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, \alpha)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી $x=0$ લેતા:
$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,તેથી $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$.
આમ,$\alpha = \sqrt{3}$.
તેથી $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે. નાભિ $S$ એ $(4, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ છે. આપેલ છે કે $P = (1, -4)$,તેથી $2at_1 = -4$ $\Rightarrow 2(4)t_1 = -4$ $\Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$.
$PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,તેના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = 2$.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(4, 0)$ એ જીવા $PQ$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$4 = \frac{m(16) + n(1)}{m+n}$
$4m + 4n = 16m + n$
$3n = 12m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\operatorname{gcd}(1, 4) = 1$,તેથી $m=1$ અને $n=4$.
તેથી,$m^2+n^2 = 1^2+4^2 = 17$.

(D) આપેલ પરવલયો રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ પરના સ્પર્શકો રેખા $y = x$ ને સમાંતર હોવા જોઈએ,તેથી સ્પર્શકોનો ઢાળ $1$ છે.
પરવલય $y = x^2 + 2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x = 1$,જે $x = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$x = \frac{1}{2}$ ને $y = x^2 + 2$ માં મૂકતા,આપણને $y = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $B = (\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$. સંમિતિ દ્વારા,બિંદુ $A = (\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$.
અંતર $AB = \sqrt{(\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2} = \sqrt{(\frac{7}{4})^2 + (-\frac{7}{4})^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \frac{7 \sqrt{2}}{4}$.
સૌથી નાના વર્તુળનો વ્યાસ એ અંતર $AB$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{AB}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$.

(B) શિરોબિંદુ $V$ એ ઉગમબિંદુથી $y=x$ રેખા પર $\sqrt{2}$ અંતરે છે,તેથી $V = (1, 1)$.
નાભિ $S$ એ ઉગમબિંદુથી $y=x$ રેખા પર $2\sqrt{2}$ અંતરે છે,તેથી $S = (2, 2)$.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
નિયામિકા એ અક્ષ $y=x$ ને લંબ છે અને બિંદુ $Z$ માંથી પસાર થાય છે જ્યાં $V$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $S=(2,2)$ અને $V=(1,1)$ હોવાથી,$Z = (0,0)$ થાય.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(1, k)$ નું નાભિ $S(2, 2)$ થી અંતર એ $P$ નું નિયામિકા $x+y=0$ થી અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = \sqrt{(1-2)^2 + (k-2)^2} = \sqrt{1 + (k-2)^2}$.
$PM = \frac{|1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|1+k|}{\sqrt{2}}$.
$PS^2 = PM^2$ લેતા:
$1 + (k-2)^2 = \frac{(1+k)^2}{2}$
$2(1 + k^2 - 4k + 4) = 1 + k^2 + 2k$
$2k^2 - 8k + 10 = 1 + k^2 + 2k$
$k^2 - 10k + 9 = 0$
$(k-1)(k-9) = 0$.
આમ,$k=1$ અથવા $k=9$. $k=1$ એ શિરોબિંદુ દર્શાવે છે,તેથી બીજી શક્ય કિંમત $k=9$ છે.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિથી અંતર અને નિયામિકાથી લંબ અંતર સમાન હોય છે.
આપેલ નાભિ $S = (-2, 1)$ અને નિયામિકા $L: 2x + y + 2 = 0$.
પરવલયનું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2x + y + 2}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right)^2$ છે.
$5[(x + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2x + y + 2)^2$.
$x = -2$ માટે બિંદુઓના કોટિ શોધવા,સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$5[(-2 + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2(-2) + y + 2)^2$.
$5(y - 1)^2 = (y - 2)^2$.
$5(y^2 - 2y + 1) = y^2 - 4y + 4$.
$5y^2 - 10y + 5 = y^2 - 4y + 4$.
$4y^2 - 6y + 1 = 0$.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. કોટિઓનો સરવાળો એ બીજનો સરવાળો છે,જે $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. પરવલય $y^2=x$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $ky - \frac{1}{2}(x+h) = k^2 - h$,એટલે કે $x - 2ky + 2k^2 - h = 0$ થાય.
પરવલય $y^2=4ax$ અને જીવા વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3} (h-k^2)^{3/2} = \frac{4}{3}$ થાય છે.
આમ,$(h-k^2)^{3/2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h-k^2=1$,અથવા $x-y^2=1$. આ વક્ર $S$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(4, \sqrt{3})$ માટે,$4-(\sqrt{3})^2 = 4-3=1$. તેથી $(4, \sqrt{3}) \in S$. $(5, \sqrt{2})$ માટે,$5-(\sqrt{2})^2 = 5-2=3 \neq 1$. તેથી $(B)$ ખોટું છે.
પ્રદેશ $R$ એ $x=1$ થી $x=4$ સુધી $y^2=x$ અને $y^2=x-1$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_1^4 (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) dx = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{2}{3} (x-1)^{3/2}]_1^4 = \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{3} - 2\sqrt{3}$.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $4y^2 - 4y + 2x - 1 = 0$ છે.
જ્યારે સ્પર્શક $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે $\frac{dx}{dy} = 0$ થાય.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy}(4y^2 - 4y + 2x - 1) = 0$
$8y - 4 + 2\frac{dx}{dy} = 0$
$2\frac{dx}{dy} = 4 - 8y$
$\frac{dx}{dy} = 2 - 4y$
$\frac{dx}{dy} = 0$ લેતા,$2 - 4y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$.
હવે,$y = \frac{1}{2}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2x - 1 = 0$
$1 - 2 + 2x - 1 = 0$
$2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2=2(x-3)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ થાય.
આપેલ રેખા $y - 2x + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $-y = 2$,જે $y = -2$ આપે છે.
$y = -2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(5, -2)$ છે.

(B) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x = a t^{2}$ અને $y = 2 a t$ એ પરવલય $y^{2} = 4 a x$ દર્શાવે છે.
જો સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય,તો તે શિરોલંબ રેખા હોવી જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય તે માટે,તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,જે $t = 0$ હોય ત્યારે થાય છે.
પ્રચલ સમીકરણોમાં $t = 0$ મૂકતા:
$x = a(0)^{2} = 0$
$y = 2a(0) = 0$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(0, 0)$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^{2} = -4y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
બિંદુ $P(-4, -4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{-4}{2} = 2$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1) = (-4, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y - (-4) = 2(x - (-4))$ મળે છે.
$y + 4 = 2(x + 4)$.
$y + 4 = 2x + 8$.
$2x - y + 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,તેથી $a=3$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરના બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
આપેલ અભિલંબ $x+y=k$ છે,જેને $y = -x + k$ તરીકે લખી શકાય.
$y = -tx + 2at + at^{3}$ ને $y = -x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t=1$ મળે છે.
$t=1$ અને $a=3$ ની કિંમત $k$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = 2at + at^{3} = 2(3)(1) + 3(1)^{3} = 6 + 3 = 9$.
તેથી,$k=9$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a=3$ મૂકતા,યામ $L_{1}(6, 3)$ અને $L_{2}(-6, 3)$ મળે છે.
ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$L_{1}(6, 3)$,અને $L_{2}(-6, 3)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો $L_{1}L_{2}$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ થી રેખા $L_{1}L_{2}$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $a = 3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 20y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = 20$,તેથી $a = 5$ મળે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,જે $(10, 5)$ અને $(-10, 5)$ થાય.
ત્રિકોણ $(0, 0)$,$(10, 5)$ અને $(-10, 5)$ બિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો નાભિલંબની લંબાઈ જેટલો છે,જે $4a = 20$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ શિરોબિંદુથી નાભિલંબ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 5$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2+4y+4x+2=0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y^2+4y = -4x-2$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$y^2+4y+4 = -4x-2+4$.
$(y+2)^2 = -4x+2$.
$(y+2)^2 = -4(x-\frac{1}{2})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$h = \frac{1}{2}$,$k = -2$,અને $4a = 4 \implies a = 1$.
ડાબી તરફ ખુલતા પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h+a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ નાભિથી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
આપેલ નાભિ $S = (3,3)$ અને નિયામિકા $L: 3x - 4y - 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{|3(3) - 4(3) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$a = \frac{|9 - 12 - 2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$a = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$a = \frac{5}{5} = 1$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4 \times 1 = 4$ એકમ થાય.

(B) પરવલયનું નાભિ $S = (1, -2)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x + y + 3 = 0$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $d$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ સુધીના અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|1(1) + 1(-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times (\text{નાભિથી નિયામિકાનું અંતર})$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ એકમ.

(B) $(0, 0)$ પર શિરોબિંદુ અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
બિંદુ $(4, 4)$ પરવલય પર હોવાથી,$4^2 = 4a(4)$,જેનો અર્થ છે કે $16 = 16a$,તેથી $a = 1$.
પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4y$ છે.
આ પરવલયની નાભિ $(0, a) = (0, 1)$ છે.
પરવલય $x^2 = 4ay$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|y_1 + a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ અંતર $|4 + 1| = 5$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = x$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
પ્રાચલ $t$ ના સ્વરૂપમાં પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુના યામ $(at^{2}, 2at)$ છે.
આપેલ પ્રાચલ $t = -\frac{4}{3}$ માટે,$a = \frac{1}{4}$ અને $t = -\frac{4}{3}$ મૂકતા:
$x = at^{2} = \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$.
$y = 2at = 2 \times \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{2}{3}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left(\frac{4}{9}, -\frac{2}{3}\right)$ છે.