Parabola Questions in Gujarati

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ છે.
અહીં નાભિ $S = (2, 3)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $3x-4y+7=0$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું લંબઅંતર $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $2d$ થાય છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x=t^2+t+1$ અને $y=t^2-t+1$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x-y = 2t$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{x-y}{2}$.
$t$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2+1\right)$.
$x+y = 2\left(\frac{(x-y)^2}{4}+1\right) = \frac{(x-y)^2}{2}+2$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x+y) = (x-y)^2+4$.
ગોઠવતા: $(x-y)^2 = 2(x+y-2)$.
આ $Y^2 = 4aX$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Y = x-y$,$X = x+y-2$,અને $4a = 2$.
તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-6x+4y+\lambda=0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-3)^2-9+4y+\lambda=0$,જે $(x-3)^2 = -4(y - \frac{9-\lambda}{4})$ માં પરિણમે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h=3$,$k=\frac{9-\lambda}{4}$,અને $a=1$ મળે છે.
આ પરવલયની નિયામિકા $y = k+a$ છે.
નિયામિકા $y+1=0$ એટલે કે $y=-1$ આપેલ હોવાથી,$k+a = -1$ લેતા.
$k$ અને $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{9-\lambda}{4} + 1 = -1$.
$\frac{9-\lambda}{4} = -2 \implies 9-\lambda = -8 \implies \lambda = 17$.
નાભિ $(h, k-a) = (3, -2-1) = (3, -3)$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2+8x+12y+4=0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2+8x = -12y-4$
$(x+4)^2 - 16 = -12y-4$
$(x+4)^2 = -12y+12$
$(x+4)^2 = -12(y-1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = -12$ મળે છે,તેથી $a = -3$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-4, 1)$ છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k - a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.
આમ,નિયામિકાનું સમીકરણ $y-4=0$ છે.

(D) પરવલયનું નાભિ $(0, -a) = (0, -3)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
નિયામિકા $y = a = 3$ છે.
નાભિ $y$-અક્ષ પર છે અને ઉગમબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 = -4ay$ છે.
સમીકરણમાં $a = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 = -4 \times 3y$
$x^2 = -12y$

(D) પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને તેની અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ અથવા $x^2 = -4ay$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય $(6,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,જે ચોથા ચરણમાં આવેલું છે,તેથી પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 = -4ay$ છે.
બિંદુ $(6,-2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6)^2 = -4a(-2)$
$36 = 8a$
$a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.
$a = \frac{9}{2}$ ને સમીકરણ $x^2 = -4ay$ માં પાછું મૂકતા:
$x^2 = -4 \left(\frac{9}{2}\right)y$
$x^2 = -18y$.

(A) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x=5t^2+2$ અને $y=10t+4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y-4}{10}$.
$t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$.
આમ,$(y-4)^2 = 20(x-2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=2, k=4$ અને $4a=20$ મળે,તેથી $a=5$.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ ની નાભિ $(h+a, k)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(2+5, 4) = (7,4)$ મળે છે.

(B) પરવલયના લેટસ રેક્ટમ અને અક્ષનું છેદબિંદુ એ પરવલયની નાભિ (focus) છે.
આપેલ સમીકરણ: $y^2+4x+2y-8=0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^2+2y = -4x+8$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2+2y+1 = -4x+8+1$.
$(y+1)^2 = -4x+9$.
$(y+1)^2 = -4\left(x-\frac{9}{4}\right)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = \frac{9}{4}$,$k = -1$,અને $4a = -4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = -1$.
નાભિ $(h+a, k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ $= \left(\frac{9}{4}-1, -1\right) = \left(\frac{5}{4}, -1\right)$.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V = (2,0)$ છે.
નિયામિકા $Y$-અક્ષ છે,જે રેખા $x = 0$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $F(a, 0)$ અને નિયામિકા પરના બિંદુ $D(0, 0)$ (જ્યાં પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને છેદે છે) નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$V = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0)$
$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$
તેથી,નાભિ $(4, 0)$ છે.

(B) આપેલ પરવલય:
$y^2 - x + 4y + 5 = 0$
$y^2 + 4y = x - 5$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$y^2 + 4y + 4 = x - 5 + 4$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ અને $4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપના પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -a$ છે,જ્યાં $X = x - h$.
કિંમતો મૂકતા:
$x - 1 = -\frac{1}{4}$
$x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$4x = 3$
$4x - 3 = 0$

(C) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $169\{(x-1)^2+(y-3)^2\}=(5x-12y+17)^2$ છે.
$169$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$(x-1)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{5x-12y+17}{13}\right)^2$.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S$ એ નાભિ $(1, 3)$ છે અને $PM$ એ બિંદુ $P(x, y)$ થી નિયામિકા $5x-12y+17=0$ નું લંબ અંતર છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
$2a = \left|\frac{5(1)-12(3)+17}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}\right| = \left|\frac{5-36+17}{13}\right| = \left|\frac{-14}{13}\right| = \frac{14}{13}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
કારણ કે $2a = \frac{14}{13}$,તેથી $4a = 2 \times \frac{14}{13} = \frac{28}{13}$.

(A) નિયામિકા $x = -5$ છે અને શિરોબિંદુ $V(-3, 0)$ છે.
નિયામિકા શિરોબિંદુની ડાબી બાજુએ હોવાથી,પરવલય જમણી તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુથી નિયામિકાનું અંતર $a = |-3 - (-5)| = 2$ છે.
પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(y-0)^2 = 4(2)(x - (-3))$
$y^2 = 8(x+3)$

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $5x^2 = -12y$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2 = -\frac{12}{5}y$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = -\frac{12}{5}$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = -\frac{12}{5 \times 4} = -\frac{3}{5}$.
$x^2 = 4ay$ સ્વરૂપના પરવલયની નાભિ $(0, a)$ હોય છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,નાભિ $\left(0, -\frac{3}{5}\right)$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(x+3)^2 = 2(y-5)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-3, 5)$ મળે છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = 1/2$ થાય.
પરવલય $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ માટે નાભિના યામ $(h, k+a)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(-3, 5 + 1/2) = (-3, 11/2)$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ એ નાભિસ્થ જીવાના ખંડોનો હરાત્મક મધ્યક (harmonic mean) છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંબ છે. તો,$\frac{1}{PS} + \frac{1}{QS} = \frac{2}{l}$.
અહીં $PS = 3$ અને $QS = 2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ થાય.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $2 y^2+25 x=0$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2 y^2 = -25 x$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $y^2 = -\frac{25}{2} x$ મળે છે.
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = -4 a x$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$4 a = \frac{25}{2}$
$a = \frac{25}{8}$
પરવલય $y^2 = -4 a x$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x = \frac{25}{8}$ મળે છે.
આને $8 x = 25$ અથવા $8 x - 25 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $20(x^2+y^2-6x-2y+10) = (4x-2y-5)^2$ છે.
$20$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-3)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{4x-2y-5}{\sqrt{20}}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(3,1)$ એ નાભિ છે અને $4x-2y-5=0$ એ નિયામિકા છે.
નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $2a = \frac{|4(3)-2(1)-5|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}} = \frac{|12-2-5|}{\sqrt{16+4}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2(2a) = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ થાય.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2-8x-4y-12=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2-4y+4)-4-8x-12=0$
$(y-2)^2=8x+16$
$(y-2)^2=8(x+2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2=4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h=-2, k=2$ અને $4a=8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
$(y-k)^2=4a(x-h)$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x=h+at^2$ અને $y=k+2at$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x=-2+2t^2$ અને $y=2+2(2)t$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x=-2+2t^2$ અને $y=2+4t$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ પરવલય: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$. જે $(F)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(h+a, k) = (-2+\frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$. જે $(A)$ સાથે બંધ બેસે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ: $x = h-a$ $\Rightarrow x = -2-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x+5=0$. જે $(C)$ સાથે બંધ બેસે છે.
અક્ષનું સમીકરણ: $y = k \Rightarrow y+3=0$. જે $(E)$ સાથે બંધ બેસે છે.
આમ,સાચી જોડ $(I-F, II-A, III-C, IV-E)$ છે.

(C) સમક્ષિતિજ અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2, 1)$ માટે: $(1 - k)^2 = 4a(-2 - h) \implies 1 - 2k + k^2 = -8a - 4ah$ $(i)$
$(1, 2)$ માટે: $(2 - k)^2 = 4a(1 - h) \implies 4 - 4k + k^2 = 4a - 4ah$ (ii)
$(-1, 3)$ માટે: $(3 - k)^2 = 4a(-1 - h) \implies 9 - 6k + k^2 = -4a - 4ah$ (iii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $-3 + 2k = -12a \implies 2k = 3 - 12a$ (iv)
(ii) માંથી (iii) બાદ કરતા: $-5 + 2k = 8a$ $(v)$
(iv) ને $(v)$ માં મૂકતા: $(3 - 12a) - 5 = 8a \implies -2 = 20a \implies a = -\frac{1}{10}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a| = |4 \times -\frac{1}{10}| = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2+6y+9) - 9 - 2x + 5 = 0$
$(y+3)^2 = 2x + 4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $V(h, k) = (-2, -3)$ મળે છે. જે $F$ સાથે બંધ બેસે છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(h+a, k) = (-2 + \frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$ છે. જે $A$ સાથે બંધ બેસે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h - a = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ છે,જેનો અર્થ $2x + 5 = 0$ થાય છે. જે $C$ સાથે બંધ બેસે છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y = k$ છે,તેથી $y = -3$,જેનો અર્થ $y + 3 = 0$ થાય છે. જે $E$ સાથે બંધ બેસે છે.
આમ,સાચી જોડણી $I-F, II-A, III-C, IV-E$ છે.

(B) શિરોબિંદુ $V(4,3)$ છે અને નિયામિકા $3x+2y-7=0$ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોય છે અને શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા નાભિલંબનું સમીકરણ $3x+2y-29=0$ મળે છે.

(B) $X$-અક્ષને સમાંતર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x = Ay^2 + By + C$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2, 1)$ માટે: $A + B + C = -2 \quad (i)$
$(1, 2)$ માટે: $4A + 2B + C = 1 \quad (ii)$
$(-1, 3)$ માટે: $9A + 3B + C = -1 \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A = -\frac{5}{2}$,$B = \frac{21}{2}$ અને $C = -10$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા $5y^2 + 2x - 21y + 20 = 0$ મળે છે.

(A) $X$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
પરવલય $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 0$.
તે $(0,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \implies 4a - 2b + c = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $3a - 3b = 0 \implies a = b$.
$a + b + c = 0$ માં $b = a$ મૂકતા,$2a + c = 0 \implies c = -2a$.
પરવલય $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3$.
આમ,$c = 3$,$a = -\frac{3}{2}$,અને $b = -\frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x = -\frac{3}{2}y^2 - \frac{3}{2}y + 3$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(A) (3,-1)$ માટે,$3 = -\frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{3}{2}(-1) + 3 = 3$. આ બિંદુ પરવલય પર છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ:
$x^2-2x+3y-2=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2-2x = -3y+2$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$x^2-2x+1 = -3y+2+1$
$(x-1)^2 = -3y+3$
$(x-1)^2 = -3(y-1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = -3$ મળે છે,તેથી $a = -\frac{3}{4}$.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $|a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $= |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $(x, y)$ અને $(x, -y)$ પર છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ છે અને $x$-અક્ષથી શિરોબિંદુઓનું લંબ અંતર $\frac{a}{2}$ છે.
તેથી,પરવલય પરના શિરોબિંદુના યામ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{a}{2}\right)$ છે.
આ બિંદુ પરવલય $y^2 = 8x$ પર હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$
$\frac{a^2}{4} = 4\sqrt{3}a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{4} = 4\sqrt{3}$
$a = 16\sqrt{3} \text{ એકમ}$.

(A) પરવલયનું નાભિ $(3,4)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $2x - 3y + 5 = 0$ છે.
નાભિ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|2(3) - 3(4) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times$ (નાભિથી નિયામિકાનું અંતર).
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 12x + 4y + 5 = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$x^2 - 3x + y + \frac{5}{4} = 0$ મળે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - \frac{3}{2})^2 = -(y - 1)$.
આ સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $h = \frac{3}{2}$,$k = 1$,અને $a = \frac{1}{4}$.
શિરોબિંદુ $V = (\frac{3}{2}, 1)$ છે.
નાભિ $S = (h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ છે.
નિયામિકા $y = k + a = \frac{5}{4}$ છે.
અક્ષ $x = \frac{3}{2}$ છે.
$Z$ એ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ હોવાથી $Z = (\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$.
$SZ$ ને $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P = (\frac{3}{2}, \frac{13}{12})$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,તેથી $a = 2$.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
બિંદુ $(6, 4 \sqrt{3})$ અને નાભિ $(2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 \sqrt{3} - 0)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (4 \sqrt{3})^2}$
$d = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64}$
$d = 8$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2 = 16x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4px$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4p = 16$ મળે છે,તેથી $p = 4$.
પરવલયની નાભિ $S = (4, 0)$ છે.
નાભિમાંથી પસાર થતી દ્વિ-કોટિ એ રેખા $x = 4$ છે.
બિંદુ $P(a, 2a)$ એ પરવલય $y^2 - 16x = 0$ ના અંદરના પ્રદેશમાં હોવાથી,$y^2 - 16x < 0$ થવું જોઈએ.
બિંદુ $(a, 2a)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$(2a)^2 - 16a < 0$
$4a^2 - 16a < 0$
$4a(a - 4) < 0$
આનો અર્થ એ છે કે $0 < a < 4$.
વધુમાં,બિંદુ $P(a, 2a)$ એ ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં હોવા માટે દ્વિ-કોટિ $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a < 4$.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $0 < a < 4$ મળે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 24$,તેથી $a = 6$.
પરવલયની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ છે,જે $x = -6$ થાય.
પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા છે.
આપણે રેખા $y = 6x + 1$ પરનું એવું બિંદુ $P$ શોધવાનું છે કે જ્યાંથી પરવલય પર દોરેલો સ્પર્શક આપેલી રેખાને લંબ હોય.
બિંદુ $P$ નિયામિકા પર હોવું જોઈએ,તેથી આપણે રેખા $y = 6x + 1$ ના સમીકરણમાં $x = -6$ મૂકીએ.
$y = 6(-6) + 1 = -36 + 1 = -35$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(-6, -35)$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $y^2 = 32x$ પરથી,$4a = 32$,તેથી $a = 8$.
નાભિ અંતર $x + 8 = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
પરવલયના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા: $y^2 = 32(2) = 64$,તેથી $y = \pm 8$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 8)$ અને $(2, -8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 8$ અને $x_2 = 2, y_2 = -8$.
આપણે $2(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2^2 + 2^2 + 8^2 + (-8)^2 = 4 + 4 + 64 + 64 = 136$.
તેથી,$2(136) = 272$.

(A) ધારો કે જીવાનો ઢાળ $m = 2$ છે. જીવાનું સમીકરણ $y = 2x + c$ છે.
$y^2 = 4x$ માં કિંમત મૂકતા,$(2x + c)^2 = 4x$,એટલે કે $4x^2 + (4c - 4)x + c^2 = 0$.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$R(h, k)$ બિંદુ માટે $h = \frac{x_2 + 2x_1}{3}$ અને $k = \frac{y_2 + 2y_1}{3}$.
આના પરથી $c = k - 2h$ મળે છે.
સમીકરણ ઉકેલતા,બિંદુપથનું શિરોબિંદુ $\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2-4x-4y+16=0$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x-4-4\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x-4}{4} = \frac{x-2}{2}$.
સ્પર્શક $2x-y-5=0$ નો ઢાળ $m=2$ છે.
વિકલનને ઢાળ સાથે સરખાવતા: $\frac{x-2}{2} = 2$ $\Rightarrow x-2=4$ $\Rightarrow x=6$.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x=6$ મૂકતા: $2(6)-y-5=0$ $\Rightarrow 12-y-5=0$ $\Rightarrow y=7$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $P(6, 7)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ: $(y-7) = -\frac{1}{2}(x-6)$.
$2y-14 = -x+6 \Rightarrow x+2y-20=0$.
$ax+y+c=0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2}x+y-10=0$.
$ax+y+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=\frac{1}{2}$ અને $c=-10$ મળે છે.
તેથી,$ac = \frac{1}{2} \times (-10) = -5$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 - 4y - 3x + 7 = 0$ છે.
તેને $(y - 2)^2 = 3(x - 1)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં શિરોબિંદુ $(1, 2)$ છે અને $4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
નાભિ $(h + a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ છે.
નાભિ જીવા $(\frac{7}{4}, 2)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવાનો ઢાળ $m = \frac{5 - 2}{4 - 7/4} = \frac{4}{3}$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{4}{3}(x - 4) \Rightarrow 4x - 3y - 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{5}$ થાય.

(C) પરવલય $y^2=5x$ છે,તેથી $4a=5 \Rightarrow a=\frac{5}{4}$. નાભિ $S$ એ $\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ છે.
નાભિ જીવા $P(5,5)$ અને $S\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવા $PS$ નો ઢાળ $m = \frac{5-0}{5-\frac{5}{4}} = \frac{5}{15/4} = \frac{4}{3}$ છે.
નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y-0 = \frac{4}{3}\left(x-\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow 3y = 4x-5$ $\Rightarrow 4x-3y=5$ છે.
$Q$ શોધવા માટે,$y^2=5x$ માં $x = \frac{3y+5}{4}$ મૂકતા:
$y^2 = 5\left(\frac{3y+5}{4}\right)$ $\Rightarrow 4y^2 - 15y - 25 = 0$ $\Rightarrow (4y+5)(y-5) = 0$.
$P$ એ $(5,5)$ હોવાથી,$Q$ એ $\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ થશે.
$Q(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શક $yy_1 = \frac{5}{2}(x+x_1)$ છે.
$Q\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ મૂકતા: $y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{2}\left(x+\frac{5}{16}\right) \Rightarrow -\frac{1}{2}y = x+\frac{5}{16}$.
પરવલયની અક્ષ $y=0$ છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા $x = -\frac{5}{16}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી બિંદુ $\left(-\frac{5}{16}, 0\right)$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નાભિ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ આપેલ હોવાથી,$4t=2$,જેનો અર્થ છે કે $t=\frac{1}{2}$.
પેરામીટર $t$ વાળી નાભિ જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = a\left(t + \frac{1}{t}\right)^2$ છે.
$a=2$ અને $t=\frac{1}{2}$ મુકતા:
$L = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{2} + 2\right)^2$.
$L = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$ એકમ.

(D) આપેલ પરવલય $x^2 = 4ay$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(2at_1, at_1^2)$ અને $(2at_2, at_2^2)$ છે.
જીવા નાભિ જીવા હોવાથી,પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય.
આપણે $y_1 y_2$ નો ગુણાકાર શોધવો છે.
$y_1 y_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1 t_2)^2$.
$t_1 t_2 = -1$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$y_1 y_2 = a^2(-1)^2 = a^2$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. અહીં,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબ જીવાનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
$a = \frac{9}{4}$ મૂકતા,આપણને $y = -tx + \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ મળે,જેને $tx + y = \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ તરીકે લખી શકાય.
જીવા શિરોબિંદુ $V(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પરવલય $y^2 = 9x$ ને સમઘાત બનાવતા:
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3} \right)$
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{4}t(2 + t^2)} \right) = \frac{4x(tx + y)}{t(2 + t^2)}$
$t(2 + t^2)y^2 = 4tx^2 + 4xy$
$4tx^2 + 4xy - t(2 + t^2)y^2 = 0$
ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$4t - t(2 + t^2) = 0$
$t \neq 0$ હોવાથી,$t$ વડે ભાગતા:
$4 - (2 + t^2) = 0$
$4 - 2 - t^2 = 0$
$t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે નાભિ-જીવાના રેખાખંડોની લંબાઈ $l_1 = 5$ અને $l_2 = 3$ છે.
પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબ $L$ એ કોઈપણ નાભિ-જીવાના રેખાખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
તેથી,$L = \frac{2 l_1 l_2}{l_1 + l_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$L = \frac{2 \times 5 \times 3}{5 + 3} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $2L$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$ એકમ.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $a = 1$,નાભિ જીવા $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. નાભિ જીવાનો ઢાળ $m_c = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે. નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$.
જીવાનો ઢાળ $m_c = \frac{2}{t_1 + t_2} = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t_1 + t_2 = 2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના કોઈપણ બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે.
તેથી,અંત્યબિંદુઓ પરના અભિલંબના ઢાળ $m_1 = -t_1$ અને $m_2 = -t_2$ છે.
આપણે $m_1$ અને $m_2$ દ્વારા સંતોષાતું સમીકરણ શોધવાનું છે. બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -(t_1 + t_2) = -2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = (-t_1)(-t_2) = t_1 t_2 = -1$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2 - (m_1 + m_2)m + m_1 m_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $m^2 - (-2)m + (-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m^2 + 2m - 1 = 0$ થાય છે.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ નું નાભિ $S(a, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ છે.
$SP = \alpha$ હોવાથી,$S(a, 0)$ થી $P(at^2, 2at)$ નું અંતર $\alpha = a(t^2+1)$ થાય.
તે જ રીતે,$SQ = \alpha^{\prime}$ માટે,$S(a, 0)$ થી $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ નું અંતર $\alpha^{\prime} = \frac{a(1+t^2)}{t^2}$ થાય.
હવે,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^{\prime}} = \frac{1}{a(t^2+1)} + \frac{t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1}{a}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{9}{4}$ મળે.
નાભિ $S = (\frac{9}{4}, 0)$ છે.
બિંદુ $P(9, 9)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -2x + 27$ મળે છે.
આ રેખા પરવલયને બીજા બિંદુ $Q(\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ માં છેદે છે.
$SP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4}{3}$ અને $SQ$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{3}{4}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,નાભિ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 5$,તેથી $a = \frac{5}{4}$.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ અને $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ છે.
નાભિસ્થ જીવા માટેની શરત $t_1t_2 = -1$ છે.
તેથી $x_1x_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$.
તે જ રીતે,$y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$.
આપણે $4x_1x_2 + y_1y_2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $4(a^2) + (-4a^2) = 4a^2 - 4a^2 = 0$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1) = (1, 3)$ છે.
બિંદુ $P(1, 3)$ માંથી પરવલય $y^2 = 8x$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3y = 2(2)(x + 1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3y = 4x + 4$ અથવા $4x - 3y + 4 = 0$ થાય છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a = 2$,$x_1 = 1$,અને $y_1 = 3$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{(3^2 - 4(2)(1))^{3/2}}{2(2)} = \frac{(9 - 8)^{3/2}}{4} = \frac{1^{3/2}}{4} = \frac{1}{4}$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2=4ax$ છે. નાભિ $(a, 0) = (\frac{1}{4}, k)$ આપેલ છે.
સરખાવતા,$a = \frac{1}{4}$ અને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,પરવલય $y^2 = x$ છે.
રેખા $x - 2y - 3 = 0$ પરથી $x = 2y + 3$ મળે.
પરવલયના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 2y + 3 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y-3)(y+1) = 0$,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -1$.
જો $y = 3$,તો $x = 9$. તેથી $Q = (9, 3)$.
જો $y = -1$,તો $x = 1$. તેથી $P = (1, -1)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$a = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$16a = 4$ થાય.
તેથી,$PQ = 16a\sqrt{5}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^2=4ay$ છે અને રેખા $y=2x+1$ છે. અહીં $m=2$ અને $c=1$ છે.
$x = \frac{y-1}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{y-1}{2})^2 = 4ay$ $\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 16ay$ $\Rightarrow y^2 - (16a+2)y + 1 = 0$.
ધારો કે બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. તેથી $y_1+y_2 = 16a+2$ અને $y_1y_2 = 1$.
છેદબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ છે.
$y=2x+1$ હોવાથી,$x_2-x_1 = \frac{y_2-y_1}{2}$.
$L = \sqrt{\frac{5}{4}(y_2-y_1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$.
$L = \sqrt{40}$ આપેલ છે,તેથી $40 = \frac{5}{4} ((16a+2)^2 - 4)$.
$32 = (16a+2)^2 - 4 \Rightarrow (16a+2)^2 = 36$.
$16a+2 = 6$ અથવા $16a+2 = -6$.
$16a = 4$ $\Rightarrow a = 1/4$ $\Rightarrow 4a = 1$ (વિકલ્પોમાં નથી).
$16a = -8$ $\Rightarrow a = -1/2$ $\Rightarrow 4a = -2$.
આમ,$4a$ ની કિંમત $-2$ છે.