Parabola Questions in Gujarati

(A) આપેલ પરવલય $(y - 3)^2 = 12(x - 2)$ છે.
તેને $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,$h = 2, k = 3$ અને $4a = 12$ મળે,તેથી $a = 3$.
પરવલયની નિયામિકા (directrix) $x = h - a = 2 - 3 = -1$ છે.
પરવલયનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ નિયામિકા પર હોય છે.
આપેલ છે કે બે સ્પર્શકો લંબ છે અને બિંદુ $P$ પર મળે છે,તેથી બિંદુ $P$ નિયામિકા $x = -1$ પર હોવું જોઈએ.
પ્રથમ સ્પર્શકના સમીકરણ $y = 3x - 2$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$y = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(-1, -5)$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $m x - y + (10 + m^2) = 0$ છે.
આને $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $m^2 + m x + (10 - y) = 0$.
રેખા પરવલયનો સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$a m^2 + b m + c = 0$ માટે,$D = b^2 - 4ac = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = x$,અને $c = (10 - y)$.
આ કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 4(1)(10 - y) = 0$.
$x^2 - 40 + 4y = 0$.
$x^2 = -4(y - 10)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે ડબલ ઓર્ડિનેટના અંતિમ બિંદુઓના યામ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_1, -y_1)$ છે.
આપેલ છે કે ડબલ ઓર્ડિનેટની લંબાઈ $AB = 2y_1 = 16$,તેથી $y_1 = 8$.
આમ,યામ $A(x_1, 8)$ અને $B(x_1, -8)$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ પરવલય $y^2 = 8x$ પર આવેલા હોવાથી,$8^2 = 8x_1$,જે $64 = 8x_1$ આપે છે,તેથી $x_1 = 8$.
$A$ અને $B$ ના યામ $(8, 8)$ અને $(8, -8)$ છે.
ધારો કે $\alpha$ એ $OA$ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,જ્યાં $O$ એ શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
તેથી $\tan \alpha = \frac{8}{8} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
શિરોબિંદુ આગળ ડબલ ઓર્ડિનેટ $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે. નાભિ $(a, 0)$ છે અને નિયામિકા $x=-a$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
આપેલ છે કે $2a = \frac{3}{2}$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
પરવલય પરનું બિંદુ $(4a, -4a) = (4 \times \frac{3}{4}, -4 \times \frac{3}{4}) = (3, -3)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ છે.
$x_1=3, y_1=-3$ અને $a=\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$y - (-3) = -\frac{-3}{2(3/4)}(x-3)$
$y+3 = \frac{3}{3/2}(x-3)$
$y+3 = 2(x-3)$
$y+3 = 2x-6$
$2x-y=9$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$t$ બિંદુ પરનો સ્પર્શક $ty = x + at^2$ છે. અહીં,$4a = 1$,તેથી $a = 1/4$.
$t_i$ અને $t_j$ પરના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(at_it_j, a(t_i + t_j))$ છે.
આપેલ $t_1 = 2, t_2 = -4, t_3 = 6$ અને $a = 1/4$ માટે:
બિંદુ $L$ ($t_1, t_2$ નું છેદબિંદુ) = $(-2, -0.5)$.
બિંદુ $M$ ($t_2, t_3$ નું છેદબિંદુ) = $(-6, 0.5)$.
બિંદુ $N$ ($t_3, t_1$ નું છેદબિંદુ) = $(3, 2)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |(-2)(0.5 - 2) + (-6)(2 - (-0.5)) + 3(-0.5 - 0.5)| = 7.5$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ થાય.
તે બિંદુ $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3 = m + \frac{2}{m}$
$m^2 - 3m + 2 = 0$
$(m - 1)(m - 2) = 0$
તેથી,$m = 1$ અથવા $m = 2$.
$m = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = x + 2$ મળે.
$m = 2$ માટે,સ્પર્શક $y = 2x + 1$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$y = 2x + 1$ સાચો જવાબ છે.

(C) શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $x-y+1=0 \dots (i)$ છે.
પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ છે.
નાભિથી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકનું લંબ અંતર $a = \left|\frac{0-0+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
નિયામિકા એ શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x-y+c=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
નાભિથી નિયામિકાનું લંબ અંતર $2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\left|\frac{0-0+c}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow |c| = 2$.
નાભિ $(0,0)$ અને સ્પર્શક $x-y+1=0$ નિયામિકાની એક જ બાજુએ હોવાથી,આપણે $c=2$ લઈએ છીએ.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x-y+2=0$ છે.

(D) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x-2=t^2$ અને $y=2t$ પરથી $x=t^2+2$ અને $y=2t$ મળે છે.
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $y^2=a(x-b)$ માં મૂકતા:
$(2t)^2 = a(t^2+2-b)$
$4t^2 = at^2 + a(2-b)$
બંને બાજુ $t^2$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$a = 4$
$a(2-b) = 0$ $\Rightarrow 4(2-b) = 0$ $\Rightarrow b = 2$
તેથી,$a+b = 4+2 = 6$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 12$,તેથી $a = 3$.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$a = 3$ મૂકતા,આપણને $yy_1 = 6(x + x_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x - y_1y + 6x_1 = 0$ થાય છે.
આપણને સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 9 = 0$ આપેલ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $\frac{6}{1} = \frac{-y_1}{-\sqrt{3}} = \frac{6x_1}{9}$.
$\frac{6}{1} = \frac{y_1}{\sqrt{3}}$ પરથી,$y_1 = 6\sqrt{3}$ મળે છે.
$\frac{6}{1} = \frac{6x_1}{9}$ પરથી,$x_1 = 9$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(9, 6\sqrt{3})$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે,તેથી $4a=16$,જે $a=4$ આપે છે.
આપેલ રેખા $3x-4y+5=0$ છે,જેને $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1=\frac{3}{4}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_1 = -1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$m = -\frac{4}{3}$.
$y^2=4ax$ પરવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=4$ અને $m=-\frac{4}{3}$ મૂકતા,આપણને $y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{-4/3}$ મળે છે.
$y=-\frac{4}{3}x-3$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3y=-4x-9$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+3y+9=0$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ અને બિંદુ $P(1, 2)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$
બિંદુ $P(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = \frac{2}{2} = 1$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \theta$ હોવાથી:
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પરવલય $y^2=4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ છે.
અહીં,$4a = 12$,તેથી $a = 3$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (3, -6)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(-6) = 2(3)(x+3)$
$-6y = 6(x+3)$
$-y = x+3$
$x+y+3 = 0$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
અહીં,પરવલય $y^2=8x$ છે,તેથી $4a=8$,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
ઢાળ $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ કિંમતો સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{1/\sqrt{3}}$
$y=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y=x+6$
$x-\sqrt{3}y+6=0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x - 2y + k = 0$ છે,જેને $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકના ઢાળને વિકલન સાથે સરખાવતા:
$\frac{3}{y} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{5}$.
$y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 6x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 6x$ $\Rightarrow \frac{36}{25} = 6x$ $\Rightarrow x = \frac{6}{25}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{6}{25}, \frac{6}{5}\right)$ છે.

(C) આપેલ પરવલયો $y^2=32x$ $(i)$ અને $2x^2=27y$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{32}$ ને (ii) માં મૂકતા:
$2(\frac{y^2}{32})^2 = 27y \implies 2 \cdot \frac{y^4}{1024} = 27y \implies \frac{y^4}{512} = 27y \implies y(y^3 - 512 \cdot 27) = 0$.
તેથી,$y=0$ અથવા $y^3 = (8^3)(3^3) = 24^3$,એટલે કે $y=24$.
$y=24$ માટે,$x = \frac{24^2}{32} = \frac{576}{32} = 18$. તેથી $P = (18, 24)$.
$y^2=32x$ માટે,વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 32 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{y}$. $P(18, 24)$ આગળ,$m_1 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$2x^2=27y$ માટે,વિકલન કરતા $4x = 27 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{27}$. $P(18, 24)$ આગળ,$m_2 = \frac{4(18)}{27} = \frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.
ખૂણા $\theta$ નો ટેન્જન્ટ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{8/3 - 2/3}{1 + (8/3)(2/3)}| = |\frac{6/3}{1 + 16/9}| = |\frac{2}{25/9}| = \frac{18}{25}$ મળે છે.
તેથી,$5\sqrt{\tan \theta} = 5\sqrt{\frac{18}{25}} = 5 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $yt = x + at^2$ છે ... $(i)$.
રેખા $NM$ સ્પર્શકને લંબ છે અને ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -tx$ છે ... (ii).
$N$ શોધવા માટે,$(i)$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$.
તેથી $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$. આમ,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$.
$M$ શોધવા માટે,$y^2 = 4ax$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$. $x \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{4a}{t^2}$.
તેથી $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$. આમ,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$.
હવે,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$.
અને $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$.
તેથી,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, \alpha_1)$ અને $(x_2, \alpha_2)$ છે. તેઓ $y^2=4ax$ પર હોવાથી,$\alpha_1^2=4ax_1$ અને $\alpha_2^2=4ax_2$ થાય.
બિંદુ $(x_i, \alpha_i)$ આગળનો સ્પર્શક $y\alpha_i = 2a(x+x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(x_3, \alpha_3)$ એ $\alpha_3 = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આથી,$2\alpha_3 = \alpha_1+\alpha_2$ થાય.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $\alpha_3-\alpha_2 = \alpha_1-\alpha_3$ મળે છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ $P = (2t^2, 4t)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (-2, 0)$,ધારો કે $Q = (h, k)$ એ $\overline{AP}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{2t^2 - 2}{2} = t^2 - 1$ અને $k = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$k = 2t$ પરથી,આપણને $t = \frac{k}{2}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $h = (\frac{k}{2})^2 - 1 = \frac{k^2}{4} - 1$.
ગોઠવતા $k^2 = 4(h + 1)$ મળે છે.
$Q$ નો બિંદુપથ $y^2 = 4(x + 1)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y$,$X = x + 1$,અને $4a = 4$,આપણને $a = 1$ મળે છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $(-1, 0)$ છે.
તેથી નાભિ $(X + a, Y) = (-1 + 1, 0) = (0, 0)$ થશે.

(D) ધારો કે $P$ માંથી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શ બિંદુઓ $A(at_1^2, 2at_1)$ અને $B(at_2^2, 2at_2)$ છે.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ એ $P(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $P = (x, y)$,તેથી $x = at_1t_2$ અને $y = a(t_1 + t_2)$.
$A(at_1^2, 2at_1)$ પરના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \tan \theta_1 = \frac{1}{t_1}$ છે.
$B(at_2^2, 2at_2)$ પરના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \tan \theta_2 = \frac{1}{t_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 + \tan \theta_2 = b$,તેથી $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = b$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{t_1 + t_2}{t_1t_2} = b$ થાય છે.
$P$ ના યામો મૂકતા,આપણને $\frac{y/a}{x/a} = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y}{x} = b$.
તેથી,$y = bx$.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
પરવલય $x^2=-32y$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-am^2$ છે,જ્યાં $x^2=4ay$ પરથી $a=-8$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શક $y=mx-(-8)m^2$ એટલે કે $y=mx+8m^2$ છે.
બંને સ્પર્શકના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{m}=8m^2$ મળે છે.
આથી $m^3=\frac{1}{8}$,એટલે કે $m=\frac{1}{2}$.
$m=\frac{1}{2}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $y=\frac{1}{2}x+2$.
આથી $2y=x+4$,એટલે કે $x-2y+4=0$.

(A) આપેલ પરવલયો $y^2=32x$ અને $x^2=256y$ છે.
પરવલયો $y^2=4ax$ અને $x^2=4by$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $b^{1/3}y + a^{1/3}x + (a^2b^2)^{1/3} = 0$ છે.
$y^2=32x$ ને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=32 \Rightarrow a=8$ મળે છે.
$x^2=256y$ ને $x^2=4by$ સાથે સરખાવતા,$4b=256 \Rightarrow b=64$ મળે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(64)^{1/3}y + (8)^{1/3}x + (8^2 \times 64^2)^{1/3} = 0$
$4y + 2x + 64 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 32x$ માટે,સ્પર્શક $y = mx + \frac{8}{m}$ છે.
પરવલય $x^2 = 256y$ માટે,સ્પર્શક $y = \frac{1}{m}x + 64m^2$ છે.
બંને સમીકરણો સરખાવતા,$\frac{8}{m} = -64m^2$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y + 32 = 0$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે.
પ્રાચલ $t$ આગળ પરવલય પરનું બિંદુ $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ છે.
$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,બિંદુ $(1, 2\sqrt{2})$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$a = 2$ અને $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,અભિલંબ $L$ નું સમીકરણ $x + \sqrt{2}y = 5$ મળે છે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
રેખા $Ax + By + C = 0$ પર બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(h, k)$ માટે $\frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = -\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3, \sqrt{2})$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
અહીં,$a=1$. તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2m-m^3$ છે.
આ અભિલંબ $(5,2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2=5m-2m-m^3$,જેનું સાદું રૂપ $m^3-3m+2=0$ થાય છે.
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(m-1)^2(m+2)=0$ મળે છે.
તેથી $m=1$ અને $m=-2$ મળે છે.
આપેલ અભિલંબ $x-y-3=0$ નો ઢાળ $m=1$ છે.
તેથી,બીજા અભિલંબનો ઢાળ $m=-2$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ માટે,$(2, -4) = (2t^2, 4t)$,જે $t = -1$ આપે છે.
પ્રાચલ $t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી પ્રાચલ $t_2 = -t - \frac{2}{t}$ પર મળે છે.
$t = -1$ મૂકતા,આપણને $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ મળે છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (2(3)^2, 2(2)(3)) = (18, 12)$ છે.
આમ,$\alpha + \beta = 18 + 12 = 30$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=6x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=6$,તેથી $a=1.5$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ છે.
$x_1=24$,$y_1=12$,અને $a=1.5$ ની કિંમતો મૂકતા:
$y-12 = -\frac{12}{2(1.5)}(x-24)$
$y-12 = -\frac{12}{3}(x-24)$
$y-12 = -4(x-24)$
$y-12 = -4x+96$
$4x+y = 108$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. બિંદુ $P$ એ $(2a, 2a\sqrt{2})$ છે.
$P(2a, 2a\sqrt{2})$ ની સરખામણી $(at^2, 2at)$ સાથે કરતા,$t = \sqrt{2}$ મળે.
$t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ બિંદુએ મળે છે.
$Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1) = (a(-2\sqrt{2})^2, 2a(-2\sqrt{2})) = (8a, -4a\sqrt{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{2a} = \sqrt{2}$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-4a\sqrt{2}}{8a} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$m_1 \times m_2 = \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4px$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2pm - pm^3$ છે.
આપેલ અભિલંબના સમીકરણ $ax + by = 1$ ને $y = -\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, $m = -\frac{a}{b}$ અને $-2pm - pm^3 = \frac{1}{b}$ મળે.
$m = -\frac{a}{b}$ ની કિંમત મૂકતા:
$-2p(-\frac{a}{b}) - p(-\frac{a}{b})^3 = \frac{1}{b}$
$\frac{2pa}{b} + \frac{pa^3}{b^3} = \frac{1}{b}$
બંને બાજુ $b^3$ વડે ગુણતા, $2pab^2 + pa^3 = b^2$ મળે, જેને $pa^3 = b^2 - 2pab^2$ તરીકે લખી શકાય.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2=4x$ ને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ મળે છે.
આપેલ રેખા $y=2x+k$ છે,તેથી ઢાળ $m=2$ છે.
$a=1$ અને $m=2$ ની કિંમત અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = -2(1)(2) - (1)(2)^3$
$k = -4 - 8$
$k = -12$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k=mh-2am-am^3$,જે $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે: $am^3 + (2a-h)m + k = 0$.
ધારો કે તેના બીજ $m_1, m_2, m_3$ છે.
અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1m_2 = -1$.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $m_1m_2m_3 = -k/a$ થાય.
$m_1m_2 = -1$ મૂકતા,$(-1)m_3 = -k/a$,તેથી $m_3 = k/a$.
$m_3$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $a(k/a)^3 + (2a-h)(k/a) + k = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $k^3/a^2 + 2k - hk/a + k = 0$.
$k$ વડે ભાગતા: $k^2/a^2 + 3 - h/a = 0$.
$k^2 = ah - 3a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = ax - 3a^2$ અથવા $y^2 - ax + 3a^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a=1$.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$a=1$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2m-m^3 \dots(I)$ મળે છે.
આપેલ રેખા $x+3y+1=0$ છે,જેને $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. જો અભિલંબનો ઢાળ $m$ હોય,તો $m \times (-\frac{1}{3}) = -1$,તેથી $m=3$ મળે.
સમીકરણ $(I)$ માં $m=3$ મૂકતા:
$y = 3x - 2(3) - (3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$
$3x - y = 33$.

(A) પરવલયની અક્ષ એ નાભિ $S(1,-1)$ અને શિરોબિંદુ $A(1,1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. $x$-યામ સમાન હોવાથી,અક્ષ એ શિરોલંબ રેખા $x=1$ છે.
શિરોબિંદુ $A(1,1)$ અને નાભિ $S(1,-1)$ વચ્ચેનું અંતર $a = \sqrt{(1-1)^2 + (1 - (-1))^2} = 2$ છે.
શિરોબિંદુ નાભિની ઉપર હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે. નિયામિકા એ શિરોબિંદુ $A(1,1)$ થી $a=2$ અંતરે ઉપર આવેલી આડી રેખા છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = 1 + 2 = 3$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x,y)$ માટે,નાભિથી અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું હોય છે: $PS^2 = PM^2$.
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (y-3)^2$.
$(x-1)^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$.
$(x-1)^2 = -8y + 8 = 8(1-y)$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ માટે,$(3-1)^2 = 2^2 = 4$ અને $8(1 - \frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2}) = 4$.
આમ $4=4$ હોવાથી,બિંદુ $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $t_1$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને બિંદુ $t_2 = (at_2^2, 2at_2)$ પર મળે છે,તેથી આ બિંદુ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = at_2^2$ અને $y = 2at_2$ મૂકતા:
$2at_2 + t_1(at_2^2) = 2at_1 + at_1^3$.
$a$ વડે ભાગતા:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
પદોને ગોઠવતા:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_1t_2 + t_1^2 + 2 = 0$.
તેથી,$t_1t_2 = -2 - t_1^2$.

(D) પરવલય $x^2=4ay$ માટે,અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $x^2=a(y-3a)$ છે.
અહીં $4a=8$ હોવાથી $a=2$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $x^2=2(y-3(2)) = 2(y-6) = 2y-12$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
બિંદુ $(-2, -1)$ પરવલયની બહાર આવેલું છે કારણ કે $(-1)^2 - 4(-2) = 9 > 0$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$a = 1$ અને બિંદુ $(-2, -1)$ મુકતા,$-1 = -2m + \frac{1}{m}$ મળે.
$m$ વડે ગુણતા,$-m = -2m^2 + 1$,એટલે કે $2m^2 - m - 1 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(2m + 1)(m - 1) = 0$,તેથી ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1/2$ મળે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)}| = 3$.
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3)}{1 - 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ માટે, $a = 1$ છે। બિંદુ $P(-1, 2)$ છે।
સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે।
$x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ મૂકતા, $2y = 2(x - 1)$, એટલે કે $y = x - 1$ અથવા $x - y - 1 = 0$ મળે.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $L = \frac{\sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)^3}}{2a} = \frac{\sqrt{(2^2 - 4(1)(-1))^3}}{2(1)} = \frac{\sqrt{8^3}}{2} = 8\sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $(-1, 2)$ થી જીવા $x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{h^3}{2a} = \frac{(2\sqrt{2})^3}{2} = 8\sqrt{2}$ થાય.

(A) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ માટે,$4a=12$,તેથી $a=3$. ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલો (parameters) અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ છે. કોટિઓ $y_1=2at_1$ અને $y_2=2at_2$ છે. $y_1:y_2=1:2$ આપેલ હોવાથી,$t_1:t_2=1:2$ મળે,તેથી $t_2=2t_1$. ધારો કે $t_1=t$,તો $t_2=2t$.
$t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુ $(x, y)$ ના યામ:
$x = 2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2) = 6 + 21t^2$
$y = -at_1t_2(t_1+t_2) = -18t^3$
$x=6+21t^2$ પરથી,$t^2 = \frac{x-6}{21}$ મળે,તેથી $t = \left(\frac{x-6}{21}\right)^{1/2}$.
$y=-18t^3$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા,$y = -18 \left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}$,એટલે કે $y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે. નાભિ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે $Q(3t^2, 6t)$ એ પરવલય પરનું બિંદુ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ એ $(3, 0)$ અને $(3t^2, 6t)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(x, y) = \left(\frac{1(3t^2) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(6t) + 2(0)}{1+2}\right) = \left(\frac{3t^2+6}{3}, \frac{6t}{3}\right) = (t^2+2, 2t)$.
આમ,$x = t^2+2$ અને $y = 2t$.
$y = 2t$ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $x = (\frac{y}{2})^2 + 2 = \frac{y^2}{4} + 2$.
$x - 2 = \frac{y^2}{4} \Rightarrow y^2 = 4(x-2)$.

(A) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4a, 4a)$ મળે છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ આ બંને બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
$(0, 0)$ માટે: $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
$(4a, 4a)$ માટે: $2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0$.
$d = 0$ હોવાથી,$8ab + 12ac = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $4a(2b + 3c) = 0$.
$a \neq 0$ ધારતા,$2b + 3c = 0$ મળે.
આમ,$d = 0$ અને $2b + 3c = 0$ પરથી $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4(x+4)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ લો.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતરનો વર્ગ $d^2 = x^2 + y^2 = (t^2-4)^2 + (2t)^2$ છે.
$d^2 = t^4 - 8t^2 + 16 + 4t^2 = t^4 - 4t^2 + 16$.
વર્તુળ $x^2+y^2=k^2$ પરવલયની અંદર રહે તે માટે,તમામ $t$ માટે $k^2 \leq d^2$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $u = t^2$,જ્યાં $u \geq 0$. તો $f(u) = u^2 - 4u + 16$.
$f(u)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $u = 2$ પર મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(2) = 2^2 - 4(2) + 16 = 12$ છે.
આમ,$k^2 \leq 12$,જેનો અર્થ છે કે $k \leq 2\sqrt{3}$.
$k$ ની મહત્તમ કિંમત $2\sqrt{3}$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (1, 0)$ છે.
પરવલય પર બિંદુ $P = (4, 4)$ હોવાથી,આપણે $x = at_1^2$ અને $y = 2at_1$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P$ માટે પ્રાચલ $t_1$ શોધી શકીએ છીએ. તેથી,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલો $t_1$ અને $t_2$ એ $t_1 t_2 = -1$ નું પાલન કરે છે. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પર પ્રાચલ $t$ વાળા બિંદુનું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાચલ $t_2 = -\frac{1}{2}$ વાળા બિંદુ $Q$ માટે,નાભિ અંતર $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $L = 4a \csc^2 \theta$ છે.
અહીં $4a = 16$,તેથી $a = 4$. લંબાઈ $L = 25$ છે.
તેથી,$25 = 16 \csc^2 \theta \implies \csc^2 \theta = \frac{25}{16} \implies \sin^2 \theta = \frac{16}{25} \implies \sin \theta = \pm \frac{4}{5}$.
બે નાભિસ્થ જીવાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. $\sin \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ થાય.
તેથી $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times L_1 \times L_2 \times \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \times 25 \times 25 \times \frac{24}{25} = 300$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 15x$ છે,તેથી $4a = 15$,જે $a = \frac{15}{4}$ આપે છે.
બિંદુ $P = \left(\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}}\right)$ છે. ધારો કે $P = (at^2, 2at)$.
$at^2 = \frac{15}{2} \implies \frac{15}{4}t^2 = \frac{15}{2} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$.
$t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ પર મળે છે.
શિરોબિંદુ $V(0,0)$ છે. જીવા $PQ$ દ્વારા શિરોબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ એ સદિશો $\vec{VP}$ અને $\vec{VQ}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$P = (\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}})$ અને $Q = (30, -15\sqrt{2})$.
ઢાળ $m_1 = \sqrt{2}$ અને $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = \infty$,તેથી $\theta = 90^\circ$.
$\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) - \sec(120^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-2) = 3$.

(C) ધારો કે $P(t, -1/t)$ એ $xy = -1$ વક્ર પરનું બિંદુ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(-1/t) + y(t) = -2$ છે,જે $y = x/t^2 + 2/t$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા પરવલય $y^2 = 8x$ (જ્યાં $a = 2$) નો સ્પર્શક હોય,તો શરત $c = a/m$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$m = 1/t^2$ અને $c = 2/t$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $2/t = 2 / (1/t^2) \implies 2/t = 2t^2 \implies t^3 = 1 \implies t = 1$.
$t = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $y = x/t^2 + 2/t$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 2$ મળે છે.

(A) પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ એ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,રેખા $y = x$ તેમના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
$y^2 = 4ax$ અને $y = x$ ને ઉકેલતા:
$x^2 = 4ax \Rightarrow x(x - 4a) = 0 \Rightarrow x = 0$ અથવા $x = 4a$.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 0$. જ્યારે $x = 4a$ હોય,ત્યારે $y = 4a$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4a, 4a)$ છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ એ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
તે $(4a, 4a)$ માંથી પણ પસાર થાય છે:
$2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0 \Rightarrow 8ab + 12ac + 4d = 0$.
$d = 0$ અને $a \neq 0$ હોવાથી,$8ab + 12ac = 0 \Rightarrow 4a(2b + 3c) = 0 \Rightarrow 2b + 3c = 0$.
તેથી,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્ર $y^2 = 4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
આમ,$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{2a}{y_1}$ છે.
વક્ર $xy = c^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $x \frac{dy}{dx} + y = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
આમ,$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
વક્રો લંબછેદી હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2a}{y_1} \times (-\frac{y_1}{x_1}) = -1 \Rightarrow \frac{2a}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 2a$.
$(x_1, y_1)$ એ $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$y_1^2 = 4a(2a) = 8a^2$.
$(x_1, y_1)$ એ $xy = c^2$ પર હોવાથી,$x_1 y_1 = c^2$,તેથી $(x_1 y_1)^2 = c^4$.
$x_1 = 2a$ અને $y_1^2 = 8a^2$ મુકતા,આપણને મળે $c^4 = x_1^2 y_1^2 = (2a)^2 (8a^2) = 4a^2 \times 8a^2 = 32a^4$.

(B) આપેલ વક્રો $x^2=4y$ $(i)$ અને $y^2=4x$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
તેથી,$x=0$ અથવા $x=4$. $x=4$ માટે,$y = \frac{16}{4} = 4$. આમ,ઉગમબિંદુ સિવાયનું છેદબિંદુ $(4,4)$ છે.
હવે,$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
બિંદુ $(4,4)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{4}{2} = 2$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
બિંદુ $(4,4)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$,એટલે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
આપેલ સ્પર્શક રેખા $5x - 2y + k = 0$ ને $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ પર,પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $\frac{3}{y} = \frac{5}{2}$.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = \frac{6}{5}$ મળે છે.
$y = \frac{6}{5}$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 6x$ માં મૂકતા:
$(\frac{6}{5})^2 = 6x$
$\frac{36}{25} = 6x$
$x = \frac{36}{25 \times 6} = \frac{6}{25}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(\frac{6}{25}, \frac{6}{5})$ છે.