Hyperbola Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ બે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
અતિવલય માટે સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને વિસ્તૃત કરતા અને $x^2$ તથા $y^2$ ના સહગુણકોનો ઉપયોગ કરીને,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{A}{B}$ મળે છે.
આથી,$\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = c^2$ મળે છે.
તેથી,માંગેલ વક્ર $y^2 + b^2 = c^2(x^2 - a^2)$ છે.

(B) બિંદુ $(h, k)$ માટે અતિવલય $S: x^2 - y^2 - 9 = 0$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $xh - yk - 9 = 0$ છે.
આપેલ જીવા $x = 9$ (અથવા $x - 9 = 0$) સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 1$ અને $k = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(h, k)$ માંથી અતિવલય પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં,$S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = (1)^2 - (0)^2 - 9 = -8$,અને $T = x - 9$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$.
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$.
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ છે.
અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.
નિશ્ચાયકની શરત મુજબ,$\lambda = 2$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y + 2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ છે.
લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રાચલિત યામ $(ct, c/t)$ છે.
આને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ct)^2 + (c/t)^2 + 2g(ct) + 2f(c/t) + k = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $t^2$ વડે ગુણતા:
$c^2t^4 + 2gct^3 + kt^2 + 2fct + c^2 = 0$
આ $t$ માં એક દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ છે જેના બીજ $t_1, t_2, t_3,$ અને $t_4$ છે.
બહુપદી સમીકરણ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ ના બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો ગુણાકાર $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $t_1t_2t_3t_4 = (-1)^4 \frac{c^2}{c^2} = 1$ છે.

(B) આપેલ અતિવલય $xy = a^2$ છે,જેને $y = \frac{a^2}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $(x_0, y_0)$ છે. વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2}$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{a^2}{x_0^2}$ છે.
$y_0 = \frac{a^2}{x_0}$ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_0 = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0)$ થાય.
$y_0 = \frac{a^2}{x_0}$ મૂકતા,આપણને $y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{a^2}{x_0}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $y = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{2a^2}{x_0}$ અથવા $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 2$ થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ $2x_0$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $2y_0$ છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |2x_0| \times |2y_0| = 2|x_0 y_0|$ છે.
$x_0 y_0 = a^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2|a^2| = 2a^2$ થાય છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} - \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 2)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
નાભીઓ $(h \pm ae, k)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(0 \pm 4 \times \frac{5}{4}, 2) = (\pm 5, 2)$ મળે.
આમ,નાભીઓ $(5, 2)$ અને $(-5, 2)$ છે.

(B) શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(10, 0)$ છે. અતિવલયનું કેન્દ્ર શિરોબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{0+10}{2}, 0) = (5, 0)$.
શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $2a = 10$ છે,તેથી $a = 5$.
કેન્દ્ર $(5, 0)$ થી નાભિ $(18, 0)$ સુધીનું અંતર $ae = 18 - 5 = 13$ છે.
$a = 5$ હોવાથી,$5e = 13$,એટલે કે $e = \frac{13}{5}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$,તેથી $b = 12$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (5, 0)$ વાળા અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(x - 5)^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1$ મળે છે.

(A) અતિવલયની પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
અતિવલયની અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 3$.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના તેની બે નાભિઓથી અંતરનો તફાવત એ પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,અંતરનો તફાવત $2a = 8$ થાય.

(C) આપેલ અતિવલય $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ છે,જેને $9x^2 - y^2 - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $S(x, y) = 9x^2 - y^2 - 1$.
બિંદુ $(5, -4)$ માટે,$S(5, -4) = 9(5)^2 - (-4)^2 - 1 = 225 - 16 - 1 = 208$.
અહીં $S(5, -4) > 0$ હોવાથી,બિંદુ અતિવલયની અંદરના ભાગમાં છે.
પ્રમાણિત અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,બિંદુ $(x_1, y_1)$ અંદર હોવાની શરત $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 > 0$ છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ માં આપેલી શરત ખોટી છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{b^2 (a \sec \theta)}{a^2 (b \tan \theta)} = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - b \tan \theta = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta} (x - a \sec \theta)$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $b \sec \theta (y - b \tan \theta) = -a \tan \theta (x - a \sec \theta)$.
$by \sec \theta - ab \sec \theta \tan \theta = -ax \tan \theta + a^2 \sec \theta \tan \theta$.
$ax \tan \theta + by \sec \theta = (a^2 + b^2) \sec \theta \tan \theta$.
બંને બાજુ $\sec \theta \tan \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ મળે છે.

(C) અહીં કેન્દ્ર $(0, 0)$,શિરોબિંદુ $(4, 0)$ અને નાભિકેન્દ્ર $(6, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં $a = 4$ અને $ae = 6$ છે.
$a = 4$ મૂકતા,$4e = 6$,તેથી $e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 16 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 1 \right) = 16 \left( \frac{9}{4} - 1 \right) = 16 \left( \frac{5}{4} \right) = 20$.
$a^2 = 16$ અને $b^2 = 20$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$ મળે.
બંને બાજુ $80$ વડે ગુણતા,$5x^2 - 4y^2 = 80$ મળે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે ઢાળ $m$ વાળા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y = mx - \frac{m(a^2 + b^2)}{\sqrt{a^2 - b^2m^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - mx)^2 (a^2 - b^2m^2) = m^2(a^2 + b^2)^2$
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થાય,તો:
$(y_1 - mx_1)^2 (a^2 - b^2m^2) = m^2(a^2 + b^2)^2$
આ સમીકરણ $m$ માં $4$ ઘાતનું બહુપદી સમીકરણ છે.
તેથી,$m$ ના મહત્તમ $4$ મૂલ્યો મળે છે.
આમ,બહારના બિંદુમાંથી અતિવલય પર દોરી શકાતા અભિલંબની સંખ્યા $4$ છે.

(B) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં અતિવલય $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{49} = 1$ માટે $a^2 = 100$ અને $b^2 = 49$ છે.
રેખા $y = mx + 6$ હોવાથી $c = 6$ મળે.
આ કિંમતોને શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ માં મૂકતા:
$6^2 = 100m^2 - 49$
$36 = 100m^2 - 49$
$100m^2 = 36 + 49$
$100m^2 = 85$
$m^2 = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$
$m = \sqrt{\frac{17}{20}}$.

(B) આપેલ અતિવલય $x^2 - 4y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 36$ અને $b^2 = 9$ છે.
રેખા $x - y + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times 1 = -1$ શરતનું પાલન કરે,તેથી $m = -1$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = (-1)x \pm \sqrt{36(-1)^2 - 9}$.
$y = -x \pm \sqrt{36 - 9}$.
$y = -x \pm \sqrt{27}$.
$y = -x \pm 3\sqrt{3}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y \pm 3\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
રકમ મુજબ,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,તેથી $b = \frac{ae}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$.
$b^2$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,તેથી $16a = a^2e^2$,જે આપણને $a = \frac{16}{e^2}$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 4a$ અને $a = \frac{16}{e^2}$ મૂકતા: $4(\frac{16}{e^2}) = (\frac{16}{e^2})^2(e^2 - 1)$.
$\frac{64}{e^2} = \frac{256}{e^4}(e^2 - 1)$.
$1 = \frac{4}{e^2}(e^2 - 1) = 4 - \frac{4}{e^2}$.
$\frac{4}{e^2} = 3$,તેથી $e^2 = \frac{4}{3}$,જે આપણને $e = \frac{2}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) અતિવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,તેથી $b^2 = 4a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{\sqrt{5}}$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ થાય.
$e^2 = \frac{9}{5}$ મૂકતા,$\frac{9}{5} = 1 + \frac{4a}{a^2} = 1 + \frac{4}{a}$.
તેથી,$\frac{4}{5} = \frac{4}{a}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 5$.
હવે $b^2 = 4(5) = 20$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$.
$100$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 5y^2 = 100$ મળે છે.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક ત્યારે જ હોય જો $c^2 = a^2m^2 - b^2$ થાય.
આપેલ રેખા $ℓx + my + n = 0$ માટે,તેને $y = -(\frac{ℓ}{m})x - (\frac{n}{m})$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
અહીં,ઢાળ $M = -\frac{ℓ}{m}$ અને અંતઃખંડ $C = -\frac{n}{m}$ છે.
આ કિંમતોને $C^2 = a^2M^2 - b^2$ માં મૂકતા:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(-\frac{ℓ}{m})^2 - b^2$
$\frac{n^2}{m^2} = \frac{a^2ℓ^2}{m^2} - b^2$
બંને બાજુ $m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $n^2 = a^2ℓ^2 - b^2m^2$ મળે છે,જેને $a^2ℓ^2 - b^2m^2 = n^2$ તરીકે લખી શકાય.

(A) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર મુજબ:
$\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow e^2 = \frac{3}{2}$.
અતિવલય માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
તેથી,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$.
$e^2 = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $a : b = \sqrt{2} : 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x = 8 \sec \theta$ અને $y = 8 \tan \theta$ છે.
વર્ગ કરીને બાદબાકી કરતા, $x^2 - y^2 = 64 \sec^2 \theta - 64 \tan^2 \theta = 64(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) = 64$ મળે.
આ $x^2 - y^2 = a^2$ સ્વરૂપનું સમચતુષ્કોણીય અતિવલય છે, જ્યાં $a = 8$.
સમચતુષ્કોણીય અતિવલય માટે, ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ થાય.
અતિવલયની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, અંતર $= \frac{2(8)}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$ થાય.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ માટે,$a^2 = 25, b^2 = 16$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિકેન્દ્રો $(\pm ae_1, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ માટે,$e_1 \times e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે. તે $(\pm 3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $A^2 = 9$.
અતિવલય માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2} \Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{B^2}{9} \Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{B^2}{9} \Rightarrow \frac{B^2}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow B^2 = 16$.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે.

(B) બિંદુ $(h, k)$ આગળની સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $xh - yk = 9$ છે.
$x = 9$ સાથે સરખાવતા,$h = 1$ અને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $(1, 0)$ આગળ સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં $S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = -8$ અને $T = x - 9$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$.
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$.
પદોને ગોઠવતા,$9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$ મળે છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $y = -(\cot \alpha) x + p \csc \alpha$ છે.
આને સ્પર્શકના સ્વરૂપ $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $m = -\cot \alpha$ અને $c = p \csc \alpha$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$c^2 = a^2 m^2 - b^2$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$(p \csc \alpha)^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 - b^2$.
$p^2 \csc^2 \alpha = a^2 \cot^2 \alpha - b^2$.
$\sin^2 \alpha$ વડે ગુણતા,$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha - b^2 \sin^2 \alpha$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ હોવાથી $ae_h = 4$ થાય. અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = 2$ આપેલ છે,તેથી $a = \frac{4}{2} = 2$ મળે.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$ થાય.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $x^2 - 3y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1$ અને $b^2 = 1/3$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલયનું સમીકરણ $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $-x^2 + 3y^2 = 1$ અથવા $\frac{y^2}{1/3} - \frac{x^2}{1} = 1$ થાય.
$\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ પ્રકારના અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{A^2}{B^2}}$ છે.
અહીં,$A^2 = 1$ અને $B^2 = 1/3$ છે.
તેથી,$e = \sqrt{1 + \frac{1}{1/3}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ થાય.
અતિવલય માટે નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ હોવાથી $ae = 4$ થાય. આપેલ છે કે $e = 2$,તેથી $a = 2$.
અતિવલય માટે $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$ થાય.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.

(D) $(1, 2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2} = m(x - 1)$ છે,જેને $y = mx + (2\sqrt{2} - m)$ તરીકે લખી શકાય.
આ અતિવલય $16x^{2} - 25y^{2} = 400$ નો સ્પર્શક હોવાથી,તેને $400$ વડે ભાગતા $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં $a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 16$ છે.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે,જ્યાં $c = 2\sqrt{2} - m$.
કિંમતો મૂકતા: $(2\sqrt{2} - m)^{2} = 25m^{2} - 16$.
$8 + m^{2} - 4\sqrt{2}m = 25m^{2} - 16$.
$24m^{2} + 4\sqrt{2}m - 24 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $6m^{2} + \sqrt{2}m - 6 = 0$.
ધારો કે બીજ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે. ઢાળનો ગુણાકાર $m_{1}m_{2} = \frac{-6}{6} = -1$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 2$ છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sin \theta + by = (a^2 + b^2) \tan \theta$ છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sin \phi + by = (a^2 + b^2) \tan \phi$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\sin \theta - \sin \phi) = (a^2 + b^2)(\tan \theta - \tan \phi)$.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ લેતા,$\sin \phi = \cos \theta$ અને $\tan \phi = \cot \theta$ મળે.
આ કિંમતો મૂકીને છેદબિંદુ $(h, k)$ માટે ઉકેલતા,$y$-યામ $k = -\frac{a^2 + b^2}{b}$ મળે છે.

(A) અતિવલય $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ ના બિંદુ $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \sec \theta - y \tan \theta = a$ છે ......$(i)$
આપેલ રેખાઓ $x - y = 0$ ......(ii) અને $x + y = 0$ ......(iii) છે.
આ રેખાઓને જોડમાં ઉકેલતા,આપણને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta}, \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right)$,
$B = \left( \frac{a}{\sec \theta + \tan \theta}, -\frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right)$,
અને $C = (0, 0)$.
એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \left| \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right) \left( -\frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right) - \left( \frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right) \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right) \right|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{a^{2}}{2} \left| \frac{-1}{\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta} - \frac{1}{\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta} \right|$
$\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{a^{2}}{2} |-1 - 1| = \frac{a^{2}}{2} |-2| = a^{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} - 4y) = 44$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} - 4y + 4) = 44 + 16 - 12$.
$16(x - 1)^{2} - 3(y - 2)^{2} = 48$.
$48$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y - 2)^{2}}{16} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 3$ અને $b^{2} = 16$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$.
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તે માટે,$y = mx + c$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$
$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$
$a^2b^2m^2 + a^2c^2 - a^4 = 0$
$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0$,તેથી $c^2 = a^2 - b^2m^2$.
$c^2$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$
$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$
$m^2 = 1 \implies m = \pm 1$.
$m^2 = 1$ ને $c^2 = a^2m^2 - b^2$ માં મૂકતા:
$c^2 = a^2 - b^2$,તેથી $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોનું સમીકરણ $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 16$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને સ્પર્શે જો $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ હોય.
$y = 2x + \gamma$ ને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = 2$ અને $c = \gamma$ મળે છે.
શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $\gamma^{2} = (9)(2^{2}) - 16$.
$\gamma^{2} = (9)(4) - 16 = 36 - 16 = 20$.
તેથી,$\gamma = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - y^{2} - 4x + 4y + 16 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^{2} - 4x) - (y^{2} - 4y) = -16$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^{2} - 4x + 4) - (y^{2} - 4y + 4) = -16 + 4 - 4$
$(x - 2)^{2} - (y - 2)^{2} = -16$
$-16$ વડે ભાગતા: $\frac{(y - 2)^{2}}{16} - \frac{(x - 2)^{2}}{16} = 1$
આ $\frac{Y^{2}}{a^{2}} - \frac{X^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું સમચતુષ્કોણીય અતિવલય છે,જ્યાં $a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 16$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
સમચતુષ્કોણીય અતિવલય માટે $a = b$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(B) શંકુ $S = 0$ ની જીવાનું સમીકરણ જેનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોય તે $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અતિવલય $S: 25x^{2} - 16y^{2} - 400 = 0$ આપેલ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (5, 3)$ માટે:
$S_1 = 25(5)^{2} - 16(3)^{2} - 400 = 25(25) - 16(9) - 400 = 625 - 144 - 400 = 81$.
$T = 25x(x_1) - 16y(y_1) - 400 = 25x(5) - 16y(3) - 400 = 125x - 48y - 400$.
$T = S_1$ લેતા,આપણને મળે છે:
$125x - 48y - 400 = 81$.
$125x - 48y = 481$.

(A) આપેલ ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેના નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a_h = 2 \sin \theta$ છે,તેથી $a_h = \sin \theta$.
અતિવલય ઉપવલય સાથે સમનાભિ હોવાથી,તેના નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે,તેથી $a_h e_h = 1$.
આમ,$e_h = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta$.
અતિવલય માટે,$b_h^2 = a_h^2(e_h^2 - 1) = \sin^2 \theta (\csc^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ છે.
જેને $x^2 \csc^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ તરીકે લખી શકાય.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ અતિવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે. નાભિકેન્દ્ર $S(1, 1)$ અને નિયામિકા $2x + y - 1 = 0$ છે.
શંકુછેદની વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$,જ્યાં $PM$ એ બિંદુ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3 \cdot \left( \frac{2x + y - 1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \right)^2$
$(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2) = 3(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 2y - 4x)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 10 = 12x^2 + 3y^2 + 3 + 12xy - 6y - 12x$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$7x^2 + 12xy - 2y^2 - 2x + 4y - 7 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2y^2 - 2\sqrt{2}x - 4\sqrt{2}y - 6 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - 2(y^2 + 2\sqrt{2}y + 2) = 6 + 2 - 4$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{(x - \sqrt{2})^2}{4} - \frac{(y + \sqrt{2})^2}{2} = 1$ થાય છે.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$,તેથી $a = 2$ અને $b = \sqrt{2}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
શિરોબિંદુ $A = (2 + \sqrt{2}, -\sqrt{2})$.
નાભિ $C = (\sqrt{2} + \sqrt{6}, -\sqrt{2})$.
અંતર $AC = ae - a = \sqrt{6} - 2$.
અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ $BC = \frac{b^2}{a} = \frac{2}{2} = 1$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} - 2) \times 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1$.

(C) નિયામિકા $x$-અક્ષને $(\pm a/e, 0)$ આગળ છેદે છે.
નજીકની નિયામિકા માટે,રેખા $2x + y = 1$ એ $(a/e, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2(a/e) + 0 = 1$ મુકતા,આપણને $2a = e$ મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$y = -2x + 1$,તેથી $m = -2$ અને $c = 1$.
આમ,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,જે $1 = 4a^2 - b^2$ અથવા $b^2 = 4a^2 - 1$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$e = 2a$ મુકતા,$b^2 = a^2((2a)^2 - 1) = a^2(4a^2 - 1) = 4a^4 - a^2$ મળે છે.
$b^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4a^4 - a^2 = 4a^2 - 1$.
$4a^4 - 5a^2 + 1 = 0$.
$(4a^2 - 1)(a^2 - 1) = 0$.
$2a = e$ અને $e > 1$ હોવાથી,$a > 1/2$. જો $a^2 = 1/4$ હોય,તો $e = 2(1/2) = 1$,જે અતિવલય માટે શક્ય નથી.
તેથી,$a^2 = 1$,જે $a = 1$ આપે છે.
આમ,$e = 2a = 2(1) = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ $(i)$
$k(\sqrt{3}x + y) = 4\sqrt{3}$ $(ii)$
છેદબિંદુનો બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરીને $k$ નો લોપ કરીએ:
$(\sqrt{3}x - y) \times k(\sqrt{3}x + y) = (4\sqrt{3}k) \times (4\sqrt{3})$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 16 \times 3$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંત સ્પર્શકો $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,અનંત સ્પર્શકો $x - \sqrt{2}y = 0$ અને $x + \sqrt{2}y = 0$ મળે છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $x_1^2 - 2y_1^2 = 2$.
$P(x_1, y_1)$ થી અનંત સ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈ $p_1 = \frac{|x_1 - \sqrt{2}y_1|}{\sqrt{3}}$ અને $p_2 = \frac{|x_1 + \sqrt{2}y_1|}{\sqrt{3}}$ છે.
લંબાઈનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|x_1^2 - 2y_1^2|}{3}$ થાય.
$x_1^2 - 2y_1^2 = 2$ હોવાથી,ગુણાકાર $\frac{2}{3}$ મળે છે.

(C) નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ આપેલ છે.
તેથી,$ae = 2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ આપેલ હોવાથી,$a(2) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અતિવલય માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 1^2(2^2 - 1) = 1(4 - 1) = 3$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - y^2 = 3$ મળે છે.

(C) ઉપવલય માટે,$0 < e < 1$,તેથી $0 < e^2 < 1$.
પરવલય માટે,$e = 1$,તેથી $e^2 = 1$.
અતિવલય માટે,$e > 1$,તેથી $e^2 > 1$.
આપેલ છે કે $e^2 + e'^2 = 3$.
જો $S$ અને $S'$ ઉપવલયો હોય,તો $e^2 < 1$ અને $e'^2 < 1$,તેથી $e^2 + e'^2 < 2$,જે આપેલ સરવાળા $3$ થી વિરોધાભાસી છે.
જો $S$ અને $S'$ પરવલયો હોય,તો $e^2 = 1$ અને $e'^2 = 1$,તેથી $e^2 + e'^2 = 2$,જે આપેલ સરવાળા $3$ થી વિરોધાભાસી છે.
જો $S$ અને $S'$ અતિવલયો હોય,તો $e^2 > 1$ અને $e'^2 > 1$.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $e^2 = 1.5$ અને $e'^2 = 1.5$,તો $e^2 + e'^2 = 3$,જ્યાં $e = \sqrt{1.5} > 1$ અને $e' = \sqrt{1.5} > 1$ બંને શક્ય છે.
આમ,$S$ અને $S'$ બંને અતિવલયો હોવા જોઈએ.

(D) $x$-અક્ષ પર નાભિઓ ધરાવતા અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે,તેથી $ae = 2$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 3/2$.
$ae = 2$ માં $e$ ની કિંમત મૂકતા,$a(3/2) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4/3$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = (4/3)^2 ((3/2)^2 - 1) = (16/9) (9/4 - 1) = (16/9) (5/4) = 20/9$.
$a^2 = 16/9$ અને $b^2 = 20/9$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{16/9} - \frac{y^2}{20/9} = 1 \implies \frac{9x^2}{16} - \frac{9y^2}{20} = 1$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ છે,જેને $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક શિરોલંબ અતિવલય છે જેનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ સ્વરૂપના અતિવલય માટે,નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2a^2}{b}$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ થાય.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 = 36$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{4x^2}{36} - \frac{9y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 2$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ નીચે મુજબ મળે: $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\pm 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3}, 0) = (\pm \sqrt{13}, 0)$ મળે છે.

(D) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિના યામ $(ae, 0)$ છે અને અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{b^2}{a}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને બિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ છે.
નાભિલંબ કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી બંને બાજુના ઢાળ $1$ અને $-1$ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{b^2}{a^2e} = 1$,જેનો અર્થ છે $b^2 = a^2e$.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^2(e^2 - 1) = a^2e$ મળે છે.
$e^2 - 1 = e \implies e^2 - e - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $e = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$e > 1$ હોવાથી $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$,તેથી $a = 3$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{\sqrt{13}}{3})^2 = 1 + \frac{b^2}{9} \implies \frac{13}{9} = 1 + \frac{b^2}{9}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $\frac{4}{9} = \frac{b^2}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4$.
તેથી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ થાય.
અતિવલય $(k, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = k$ અને $y = 2$ મૂકતા: $\frac{k^2}{9} - \frac{2^2}{4} = 1$.
$\frac{k^2}{9} - 1 = 1 \implies \frac{k^2}{9} = 2$.
આમ,$k^2 = 18$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = 3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{x_1}{y_1}$ છે.
આપેલ રેખા $2x + y + 8 = 0$ છે,જેને $y = -2x - 8$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $-2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{x_1}{y_1} = -2$,તેથી $x_1 = -2y_1$.
આ કિંમતને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-2y_1)^2 - y_1^2 = 3$.
$4y_1^2 - y_1^2 = 3$,જે $3y_1^2 = 3$ આપે છે,તેથી $y_1^2 = 1$,એટલે કે $y_1 = \pm 1$.
જો $y_1 = 1$ હોય,તો $x_1 = -2(1) = -2$. બિંદુ $(-2, 1)$ છે.
જો $y_1 = -1$ હોય,તો $x_1 = -2(-1) = 2$. બિંદુ $(2, -1)$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(2, -1)$ હાજર છે.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2 m^2 - b^2$ છે.
બિંદુ $P(m, c)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે $m$ ને $x$ અને $c$ ને $y$ વડે બદલીએ છીએ.
આમ,બિંદુપથ $y^2 = a^2 x^2 - b^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a^2 x^2 - y^2 = b^2$ અથવા $\frac{x^2}{(b/a)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{16x^2}{144} - \frac{9y^2}{144} = 1$
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 4$.
અતિવલયના નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
લંબાઈ $= \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$.