જો $x = 9$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 9$ ની સ્પર્શકની જીવા (chord of contact) હોય,તો અનુરૂપ સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું એક નાભિ $(\sqrt{10}, 0)$ પર છે અને તેની અનુરૂપ નિયામિકા $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ છે. જો $e$ અને $l$ એ અનુક્રમે $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ હોય,તો $9(e^2 + l)$ ની કિંમત શોધો:

અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ અક્ષ (transverse axis) $x$-અક્ષ પર છે અને તેની લંબાઈ $2a$ છે. અતિવલયનું શિરોબિંદુ (vertex),કેન્દ્ર અને નાભિ (focus) ને જોડતા રેખાખંડને દુભાગે છે. તો અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને તેના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો રેખા $\frac{x}{2 e_1}+\frac{y}{2 e_2}=1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને સ્પર્શે છે. તો તેની ત્રિજ્યા શોધો.

લંબકોણીય અતિવલય $xy = c^2$ ના નાભિઓના યામ શું છે?