જો $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અતિવલય જે $(k, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{13}}{3}$ હોય,તો $k^2$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $P (3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $Q (3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે. તો $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો $y$-યામ (ordinate) શોધો.

ધારો કે પરવલય $y^2 = 24x$ પર બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક રેખા $2x + 2y = 5$ ને લંબ છે. તો અતિવલય $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ ના બિંદુ $(\alpha + 4, \beta + 4)$ આગળનો અભિલંબ નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થતો $\text{નથી}$?

લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ની $y = x$ રેખાને સમાંતર જીવાઓને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળો દોરવામાં આવે છે. આવા તમામ વર્તુળો બે નિશ્ચિત બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,જેના યામ છે:

જો $(\alpha, -1)$ એ વક્ર $4x^2 - 3y^2 = 1$ નું અંદરનું બિંદુ હોય,તો $\alpha$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે $\lambda x - 2y = \mu$ એ અતિવલય $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2} - \left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ ની કિંમત શોધો.