રેખાઓ $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ અને $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $k$ ના ભિન્ન મૂલ્યો માટે શોધો.

જો અતિવલયની પ્રધાન અક્ષ (transverse axis) અને અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) ની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલયના કોઈપણ બિંદુના તેની નાભિઓથી અંતરનો તફાવત શોધો.

જો $\theta$ એ અતિવલયના કેન્દ્ર પર નાભિલંબ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો હોય,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ છે,તો $\sin \theta = $

લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી છે?

ધારો કે $L(ae, b^2/a)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબનું પ્રથમ ચરણમાં આવેલું અંત્યબિંદુ છે અને $S(ae, 0)$ એ આપેલ અતિવલયની નાભિ છે. જો $L$ એ $(x_1, 4)$ હોય અને $S$ એ $(8, y_1)$ હોય,તો તેની પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.

અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.