જો અતિવલયની પ્રધાન અક્ષ (transverse axis) અને અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) ની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલયના કોઈપણ બિંદુના તેની નાભિઓથી અંતરનો તફાવત શોધો.

અતિવલય $H : x^2-y^2=1$ અને કેન્દ્ર $N(x_2, 0)$ વાળું વર્તુળ $S$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $H$ અને $S$ એકબીજાને બિંદુ $P(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શે છે જ્યાં $x_1 > 1$ અને $y_1 > 0$ છે. $P$ આગળ $H$ અને $S$ નો સામાન્ય સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $M$ પર છેદે છે. જો $(l, m)$ એ ત્રિકોણ $\triangle PMN$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે?
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ જ્યાં $y_1 > 0$

જો $2x - y + 1 = 0$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો નીચેનામાંથી કઈ બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $\text{ન હોઈ શકે}$?

ધારો કે $x$ એ એક અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે જેની મુખ્ય અક્ષ તેની અનુબદ્ધ અક્ષ કરતાં બમણી છે. ધારો કે $y$ એ બીજા અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે જેના માટે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં $3$ ગણું છે. તો $y^2-x^2=$

$3x - 4y + 7 = 0$ અને $4x + 3y + 1 = 0$ અનંતસ્પર્શકો ધરાવતા અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?