Hyperbola Questions in Gujarati

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $36x^2 - 25y^2 = 3600$ છે. $3600$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{144} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 100$ અને $b^2 = 144$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $m = 2$ અને $c = \lambda$ આપેલ છે,તેથી $\lambda^2 = (100)(2^2) - 144$.
$\lambda^2 = 400 - 144 = 256$.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{256} = \pm 16$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 5$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
અતિવલય $x^2 - 4y^2 = 5$ માટે $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xh - 4yk = 5$ થાય.
આપેલ સ્પર્શકના સમીકરણ $3x - 4y = 5$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{h}{3} = \frac{-4k}{-4} = \frac{5}{5}$
$\frac{h}{3} = 1 \implies h = 3$
$k = 1$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(3, 1)$ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a \sec \theta, b \tan \theta)$ મૂકતા:
$\frac{x(a \sec \theta)}{a^2} - \frac{y(b \tan \theta)}{b^2} = 1$
સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{a} \sec \theta - \frac{y}{b} \tan \theta = 1$.

(A) આપેલ અતિવલય $3x^2 - y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ છે.
રેખા $x + 3y = 2$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{3}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_1 = -1$ નું પાલન કરશે,તેથી $m = 3$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = 3$,$a^2 = 1$,અને $b^2 = 3$ મૂકતા:
$y = 3x \pm \sqrt{1(3)^2 - 3} = 3x \pm \sqrt{9 - 3} = 3x \pm \sqrt{6}$.

(C) આપેલ અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ છે.
રેખા $y = 3x + 4$ નો ઢાળ $m = 3$ છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = 3x \pm \sqrt{3(3^2) - 2}$.
$y = 3x \pm \sqrt{27 - 2}$.
$y = 3x \pm \sqrt{25}$.
$y = 3x \pm 5$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $y = 3x + 5$ અને $y = 3x - 5$ છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અતિવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ હશે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2} - b^2}$ થશે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા,આપણને $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ મળે છે.

(B) આપેલ અતિવલય $3x^2 - 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
સ્પર્શક અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \pm 1$ થાય.
$m = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = x \pm \sqrt{4(1)^2 - 3} = x \pm 1$ છે,જે $y - x = \pm 1$ આપે છે.
$m = -1$ માટે,સ્પર્શક $y = -x \pm \sqrt{4(-1)^2 - 3} = -x \pm 1$ છે,જે $y + x = \pm 1$ આપે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચું સમીકરણ $y - x = \pm 1$ છે.

(D) બિંદુ $(6, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 6)$ છે,જે $y = mx + (2 - 6m)$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો સ્પર્શકતાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ નું પાલન થવું જોઈએ,જ્યાં $c = 2 - 6m$,$a^2 = 25$,અને $b^2 = 16$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2 - 6m)^2 = 25m^2 - 16$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $4 + 36m^2 - 24m = 25m^2 - 16$.
પદોને ગોઠવતા: $11m^2 - 24m + 20 = 0$.
અહીં ${m_1}$ અને ${m_2}$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: ${m_1} + {m_2} = -(\frac{-24}{11}) = \frac{24}{11}$.
બીજનો ગુણાકાર: ${m_1}{m_2} = \frac{20}{11}$.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $xx_1 - 4yy_1 = 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
બિંદુ $(1, 0)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(1) - 4y(0) = 1$
$x - 0 = 1$
$x = 1$.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $c = 6$,$a^2 = 100$,અને $b^2 = 49$ આપેલ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$6^2 = 100m^2 - 49$
$36 = 100m^2 - 49$
$100m^2 = 85$
$m^2 = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$
$m = \sqrt{\frac{17}{20}}$.

(C) વક્ર $f(x, y) = x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 - yy_1 - 4(x + x_1) + 1(y + y_1) + 11 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x_1, y_1) = (2, 1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
તેથી,સમીકરણ $x - 2 = 0$ છે.

(A) રેખા અને અતિવલયના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y = x - 1$ ..... $(i)$
$3x^2 - 4y^2 = 12$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$3x^2 - 4(x - 1)^2 = 12$
$3x^2 - 4(x^2 - 2x + 1) = 12$
$3x^2 - 4x^2 + 8x - 4 = 12$
$-x^2 + 8x - 16 = 0$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x - 4)^2 = 0$
$x = 4$
$x = 4$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 4 - 1 = 3$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(4, 3)$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
આને $y = -(\cot \alpha) x + p \csc \alpha$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2 m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$m = -\cot \alpha$ અને $c = p \csc \alpha$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(p \csc \alpha)^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 - b^2$
$p^2 \csc^2 \alpha = a^2 \cot^2 \alpha - b^2$
બંને બાજુ $\sin^2 \alpha$ વડે ગુણતા:
$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha - b^2 \sin^2 \alpha$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x, y) = (2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ છે.
$x = 2 \sec \phi$ નું $\phi$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dx}{d\phi} = 2 \sec \phi \tan \phi$ મળે.
$y = 3 \tan \phi$ નું $\phi$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{d\phi} = 3 \sec^2 \phi$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\phi}{dx/d\phi} = \frac{3 \sec^2 \phi}{2 \sec \phi \tan \phi} = \frac{3}{2 \sin \phi} = \frac{3}{2} \csc \phi$ થાય.
આપેલ રેખા $3x - y + 4 = 0$ છે,જે $y = 3x + 4$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $3$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય: $\frac{3}{2} \csc \phi = 3$.
આથી $\csc \phi = 2$,એટલે કે $\sin \phi = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\phi = 30^\circ$ મળે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r^2 = a^2 - b^2$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^2 - b^2}$ થાય.

(B) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.

(D) આપેલ અતિવલય $4x^2 - 9y^2 = 36$ છે. $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
રેખા $x + y = \sqrt{2}p$ છે,જેને $y = -x + \sqrt{2}p$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -1$ અને $c = \sqrt{2}p$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\sqrt{2}p)^2 = 9(-1)^2 - 4$ મળે છે.
$2p^2 = 9 - 4$.
$2p^2 = 5$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
અહીં આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$x^2 + y^2 = 16 - 4$ મળે.
તેથી,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 12$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
તેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ મળે.
$y - x + 5 = 0$ (એટલે કે $y = x - 5$,ઢાળ $m = 1$) ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = 1, a^2 = 3, b^2 = 2$ મૂકતા:
$y = 1 \cdot x \pm \sqrt{3(1)^2 - 2}$
$y = x \pm \sqrt{3 - 2}$
$y = x \pm 1$
આથી બે સમીકરણો મળે: $x - y + 1 = 0$ અને $x - y - 1 = 0$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x - y - 1 = 0$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ વક્ર $b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$ મળે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - b \tan \theta = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta} (x - a \sec \theta)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ મળે છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અતિવલય પરના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળનો અભિલંબ $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેખા $lx + my = n$ ને $\frac{lx}{n} + \frac{my}{n} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અભિલંબના સમીકરણ $\frac{ax}{(a^2+b^2)\sec \theta} + \frac{by}{(a^2+b^2)\tan \theta} = 1$ ને $\frac{lx}{n} + \frac{my}{n} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\sec \theta = \frac{an}{l(a^2+b^2)}$ અને $\tan \theta = \frac{bn}{m(a^2+b^2)}$
નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2n^2}{l^2(a^2+b^2)^2} - \frac{b^2n^2}{m^2(a^2+b^2)^2} = 1$
તેથી,$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2+b^2)^2}{n^2}$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
$a^2 = 16$,$b^2 = 9$,$x_1 = 8$,અને $y_1 = 3\sqrt{3}$ મૂકતા:
$\frac{16x}{8} + \frac{9y}{3\sqrt{3}} = 16 + 9$
$2x + \frac{3y}{\sqrt{3}} = 25$
$2x + \sqrt{3}y = 25$.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 3$ છે. $3$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{48} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 27$ અને $b^2 = 48$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2(x - x_1)}{x_1} + \frac{b^2(y - y_1)}{y_1} = 0$ છે.
$(x_1, y_1) = (6, 4)$,$a^2 = 27$,અને $b^2 = 48$ મૂકતા:
$\frac{27(x - 6)}{6} + \frac{48(y - 4)}{4} = 0$
$\frac{9(x - 6)}{2} + 12(y - 4) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$9(x - 6) + 24(y - 4) = 0$
$9x - 54 + 24y - 96 = 0$
$9x + 24y = 150$
$3$ વડે ભાગતા:
$3x + 8y = 50$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $S \equiv 25x^2 - 16y^2 - 400 = 0$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = 25xx_1 - 16yy_1 - 400$ અને $S_1 = 25x_1^2 - 16y_1^2 - 400$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (5, 3)$ માટે:
$S_1 = 25(5)^2 - 16(3)^2 - 400 = 625 - 144 - 400 = 81$.
હવે,$T$ ની ગણતરી કરીએ:
$T = 25x(5) - 16y(3) - 400 = 125x - 48y - 400$.
$T = S_1$ ને સરખાવતા:
$125x - 48y - 400 = 81$
$125x - 48y = 481$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = -\frac{a}{b} \sin \theta x + \frac{a^2 + b^2}{b \tan \theta}$ છે.
અહીં $a = 4, b = 3$ છે.
સરખામણી કરતા,$\frac{a^2 + b^2}{b \tan \theta} = \frac{25}{3 \tan \theta} = \frac{25\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પરંતુ જો આપણે $\tan \theta = \sqrt{3}$ લઈએ તો $m = -\frac{4}{3} \sin 60^\circ = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{16} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{16y}$.
બિંદુ $(-4, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ સ્પર્શક).
બિંદુ $(-4, 0)$ આગળ સ્પર્શક શિરોલંબ રેખા $(x = -4)$ હોવાથી,તે બિંદુએ અભિલંબ આડી રેખા (ક્ષિતિજ સમાંતર) હશે જે $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-4, 0)$ માંથી પસાર થતી આડી રેખાનું સમીકરણ $y = 0$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય ${x^2} - 3{y^2} = 1$ છે,જેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ માં લખી શકાય.
અહીં,${a^2} = 1$ અને ${b^2} = \frac{1}{3}$ છે.
સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ શોધવાનું સૂત્ર $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e' = \sqrt{1 + \frac{1}{1/3}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(A) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ છે.
તેનું અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ $(ii)$ છે.
અતિવલય $(i)$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$.
તેથી,$\frac{1}{e^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$ $(iii)$.
અનુબદ્ધ અતિવલય $(ii)$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ એ $a^2 = b^2(e'^2 - 1)$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$.
તેથી,$\frac{1}{e'^2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$ $(iv)$.
$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e'^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$ મળે છે.

(B) નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે,તેથી અતિવલય આડો છે અને $ae = 5$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
અતિવલય માટે,$a$,$b$,અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ છે,જ્યાં $c = ae = 5$.
આમ,$5^2 = a^2 + 4^2$,જે $25 = a^2 + 16$ આપે છે.
$a^2 = 25 - 16 = 9$,તેથી $a = 3$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
$144$ વડે ગુણતા,આપણને $16x^2 - 9y^2 = 144$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_e$ માટે $b^2 = a^2(1 - e_e^2)$,તેથી $9 = 25(1 - e_e^2)$,જે $1 - e_e^2 = \frac{9}{25}$ આપે છે,તેથી $e_e^2 = \frac{16}{25}$,એટલે કે $e_e = \frac{4}{5}$.
ઉપવલયના નાભિ $(\pm ae_e, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,નાભિ $(\pm 4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$. આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ હોવાથી,$a(2) = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,એટલે કે $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.

(B) લંબકોણીય અતિવલયનું સમીકરણ $xy = c^2$ છે.
આને $45^\circ$ ના ખૂણે અક્ષોને ફેરવીને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^2 - Y^2 = a^2$ માં ફેરવી શકાય છે,જ્યાં $a^2 = 2c^2$,તેથી $a = c\sqrt{2}$.
લંબકોણીય અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે.
મૂળ યામ પદ્ધતિમાં પાછા ફરતા,નાભિઓ $(\pm c\sqrt{2}, \pm c\sqrt{2})$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 = 1$ છે,જે લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 1$ છે.
લંબચોરસ અતિવલય માટે,$a = b$ થાય છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + b^2/a^2}$ છે.
$a^2 = 1$ અને $b^2 = 1$ મૂકતા,આપણને $e = \sqrt{1 + 1/1} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ છે:
$(x + y)t = a$ --- $(1)$
$x - y = at$ --- $(2)$
બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે પ્રાચલ $t$ નો લોપ કરીશું.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$t = \frac{x - y}{a}$.
$t$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(x + y) \left( \frac{x - y}{a} \right) = a$
$(x + y)(x - y) = a^2$
$x^2 - y^2 = a^2$
આ સમબાજુ અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(B) અતિવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e = \sqrt{2}$,તેથી $2a(\sqrt{2}) = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
આમ,$b = 4\sqrt{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 32$ અને $b^2 = 32$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
આને $\frac{x}{a \cos \theta} - \frac{y}{b \cot \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x_0 = a \cos \theta$ અને $y_0 = -b \cot \theta$ છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોની લંબાઈ એકમ છે,તેથી $|a \cos \theta| = 1$ અને $|-b \cot \theta| = 1$.
આમ,$a = |\sec \theta|$ અને $b = |\tan \theta|$.
વર્ગ કરીને બાદબાકી કરતા,$a^2 - b^2 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.
તેથી,બિંદુ $(a, b)$ એ લંબકોણીય અતિવલય $x^2 - y^2 = 1$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $xy = c^2$ છે.
આ એક અતિવલય દર્શાવે છે જેના અનંતસ્પર્શકો યામ અક્ષો છે.
આવા અતિવલયને લંબકોણીય અતિવલય કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેના અનંતસ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) લંબકોણીય અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત $\frac{1}{e} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{\sqrt{1999}}{3}(x^2 - y^2) = 1$ છે.
આને $x^2 - y^2 = \frac{3}{\sqrt{1999}}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $\frac{3}{\sqrt{1999}}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{\frac{3}{\sqrt{1999}}} - \frac{y^2}{\frac{3}{\sqrt{1999}}} = 1$ મળે છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^2 = b^2 = \frac{3}{\sqrt{1999}}$ છે.
અહીં $a = b$ હોવાથી,આ એક લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
લંબકોણીય અતિવલય માટે,$a = b$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અથવા $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $5x^2 + \lambda y^2 = 20$ ને $\frac{x^2}{4} + \frac{\lambda y^2}{20} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
લંબકોણીય અતિવલય માટે,સમીકરણ $Ax^2 + By^2 = C$ સ્વરૂપમાં હોય ત્યારે $A + B = 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = 5$ અને $B = \lambda$ છે.
તેથી,$5 + \lambda = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -5$.

(B) અતિવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$2a(\sqrt{2}) = 16$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ મળે.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
અહીં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 32$ હોવાથી,આ લંબ અતિવલય છે જેનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = a^2$ એટલે કે $x^2 - y^2 = 32$ થાય.

(D) લંબચોરસ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 10$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2a}{\sqrt{2}} = 10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 10\sqrt{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2ae = (10\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 10 \times 2 = 20$ એકમ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 = a^2$ એ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a^2 = a^2$ અને $b^2 = a^2$ છે.
તેથી,$e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(C) લંબચોરસ અતિવલય એવું અતિવલય છે જેમાં મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ સમાન હોય છે,એટલે કે $a = b$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a = b$ મૂકતા,આપણને $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,લંબચોરસ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ ${x^2} - 3{y^2} = 2x + 8$ છે.
પદોને ગોઠવતા,${x^2} - 2x - 3{y^2} = 8$.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,${(x - 1)^2} - 3{y^2} = 9$.
$9$ વડે ભાગતા,$\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$.
તેનો અનુબદ્ધ અતિવલય $-\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{{{y^2}}}{3} - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} = 1$.
અહીં $A^2 = 3$ અને $B^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{3}} = \sqrt{1 + 3} = 2$.

(B) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં આપેલી રેખા $y = \alpha x + \beta$ માટે,$m = \alpha$ અને $c = \beta$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા,આપણને $\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$ મળે છે.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ મળે છે,જેને $a^2x^2 - y^2 = b^2$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e^2 = 1 + \frac{25}{16}$.
$e^2 = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$.
તેથી,$e = \sqrt{\frac{41}{16}} = \frac{\sqrt{41}}{4}$.

(B) આપેલ છે: ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 2$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર = $2ae = 8$.
$2ae = 8$ અને $e = 2$ હોવાથી,$2a(2) = 8$,જેનો અર્થ છે $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
આમ,$a^2 = 4$.
અતિવલય માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $b^2 = 4(2^2 - 1) = 4(4 - 1) = 4(3) = 12$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 4$ અને $b^2 = 12$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ મળે છે.

(C) હાયપરબોલાનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ = $\frac{2b^2}{a} = 9$,તેથી $2b^2 = 9a$ ... $(i)$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{5}{4}$. આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$e = \frac{5}{4}$ મૂકતા,$b^2 = a^2(\frac{25}{16} - 1) = a^2(\frac{9}{16}) = \frac{9a^2}{16}$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(\frac{9a^2}{16}) = 9a$.
$\frac{9a^2}{8} = 9a \implies a = 8$.
હવે,$b^2 = \frac{9(8^2)}{16} = 36$.
આમ,સમીકરણ $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$ છે.

(A) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ મળે છે.
સ્પર્શક અક્ષો સાથે સમાન નમેલો હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = -1$ થાય.
$m = 1$ લેતા,અતિવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ મુજબ:
$y = 1 \cdot x \pm \sqrt{3(1)^2 - 2}$
$y = x \pm \sqrt{3 - 2}$
$y = x \pm 1$.
આમ,શક્ય સમીકરણો $y = x + 1$ અથવા $y = x - 1$ છે. વિકલ્પો મુજબ,$y = x + 1$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ છે.
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{8}{r} = 1 + 3 \cos \theta$ મળે છે.
આ શંકુછેદનું પ્રમાણિત ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\frac{l}{r} = 1 + e \cos \theta$ છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
સરખામણી કરતા,$e = 3$ મળે છે.
અહીં $e = 3 > 1$ હોવાથી,આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.