Hyperbola Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{12 - \lambda} + \frac{y^2}{8 - \lambda} = 1$ છે.
ધારો કે $a^2 = 12 - \lambda$ અને $b^2 = 8 - \lambda$.
કિસ્સો $1$: જો $8 < \lambda < 12$ હોય,તો $12 - \lambda > 0$ અને $8 - \lambda < 0$ થાય.
ધારો કે $12 - \lambda = a^2$ અને $8 - \lambda = -b^2$ (જ્યાં $b^2 > 0$).
સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ બને છે,જે અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
તેથી,જો $8 < \lambda < 12$ હોય,તો સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જેને $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક શિરોલંબ અતિવલય છે જેનો મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ પ્રકારના અતિવલય માટે,અર્ધ-અક્ષો $a, b$ અને ઉત્કેન્દ્રતાં $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2 = b^2(e^2 - 1)$ છે.
$e^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $e^2 - 1 = \frac{a^2}{b^2} \implies e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{b^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{b^2}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x, y)$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \lambda$
$(2)$ $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{\lambda}$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = \lambda \times \frac{1}{\lambda}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તેના અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm \frac{b}{a} x$.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = \frac{b}{a}$ અને $m_2 = -\frac{b}{a}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
જો $2\alpha$ એ અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\tan \alpha = \frac{b}{a}$ થાય,તેથી $\alpha = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$.
આમ,અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $2\alpha = 2 \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 1$ છે.
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{4}$ છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = \frac{1}{2}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}}$ મળે.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 = 6$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(2x^2 - 3y^2) = \frac{d}{dx}(6)$
$4x - 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$6y \frac{dy}{dx} = 4x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{6y} = \frac{2x}{3y}$
હવે,બિંદુ $(3, 2)$ આગળ ઢાળની કિંમત શોધીએ:
ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3, 2)} = \frac{2(3)}{3(2)} = \frac{6}{6} = 1$
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ અતિવલય $xy = 1$ ને છેદે છે,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
આ કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + (\frac{1}{x})^2 + 2gx + 2f(\frac{1}{x}) + c = 0$.
$x^2$ વડે ગુણતા,આપણને ચતુર્થ ઘાતનું સમીકરણ મળે છે: $x^4 + 2gx^3 + cx^2 + 2fx + 1 = 0$.
ધારો કે આ સમીકરણના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ અને મુખ્ય સહગુણકના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે: $x_1x_2x_3x_4 = \frac{1}{1} = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 - 16y^2 - 18x + 32y - 151 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2 - 2x) - 16(y^2 - 2y) = 151$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2 - 2x + 1) - 16(y^2 - 2y + 1) = 151 + 9 - 16$
$9(x - 1)^2 - 16(y - 1)^2 = 144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$
આ અતિવલય માટે $a^2 = 16$ $(a = 4)$ અને $b^2 = 9$ $(b = 3)$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 2(4) = 8$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{4} = 4.5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
નિયામિકાના સમીકરણો $x - 1 = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{16}{5}$ છે.
તેથી $x = 1 \pm \frac{16}{5} \implies x = \frac{21}{5}$ અથવા $x = -\frac{11}{5}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) = -44$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 4y + 4) = -44 + 64 - 4$
$16(x + 2)^2 - (y - 2)^2 = 16$
$16$ વડે ભાગતા: $\frac{(x + 2)^2}{1} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$
આ અતિવલય $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (-2, 2)$ છે.
પ્રધાનઅક્ષ $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = k$ એટલે કે $y = 2$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = h$ એટલે કે $x = -2$ અથવા $x + 2 = 0$ છે.
આમ,પ્રધાનઅક્ષ $y = 2$ અને અનુબદ્ધ અક્ષ $x + 2 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ અતિવલય $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$3hx - 2ky + 2(x + h) - 3(y + k) = 3h^2 - 2k^2 + 4h - 6k$
ઢાળ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(3h + 2)x - (2k + 3)y = 3h^2 - 2k^2 + 2h - 3k$
આ જીવાનો ઢાળ $m = \frac{3h + 2}{2k + 3}$ છે.
જીવા $y = 2x$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2$ થશે.
$\frac{3h + 2}{2k + 3} = 2$
$3h + 2 = 4k + 6$
$3h - 4k = 4$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x - 4y = 4$ મળે છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $2x + \sqrt{6}y = 2$ છે,જેને $x = \frac{2 - \sqrt{6}y}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને અતિવલયના સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$(\frac{2 - \sqrt{6}y}{2})^2 - 2y^2 = 4$
$\frac{4 + 6y^2 - 4\sqrt{6}y}{4} - 2y^2 = 4$
$4 + 6y^2 - 4\sqrt{6}y - 8y^2 = 16$
$-2y^2 - 4\sqrt{6}y - 12 = 0$
$y^2 + 2\sqrt{6}y + 6 = 0$
$(y + \sqrt{6})^2 = 0$
$y = -\sqrt{6}$.
$y = -\sqrt{6}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + \sqrt{6}(-\sqrt{6}) = 2$
$2x - 6 = 2$
$2x = 8$
$x = 4$.
આમ,સ્પર્શક બિંદુ $(4, -\sqrt{6})$ છે.

(A) ધારો કે અતિવલયનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ છે.
નાભિઓ $y=5$ રેખા પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
કેન્દ્ર એ નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $\alpha = \frac{6+(-4)}{2} = 1$ અને $\beta = 5$.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, 5)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6 - (-4) = 10$ છે.
$e = 5/4$ આપેલ હોવાથી,$2a(5/4) = 10$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 16(\frac{25}{16} - 1) = 16(\frac{9}{16}) = 9$.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(x-1)^2}{16} - \frac{(y-5)^2}{9} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $3x^2 - y^2 = 8$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{3x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{y}{3x}$ થાય.
આપેલ રેખા $x + 3y = 4$ છે,જેને $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \implies y = x$.
વક્રના સમીકરણ $(1)$ માં $y = x$ મૂકતા:
$3x^2 - (x)^2 = 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$y = x$ હોવાથી,બિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(\pm 2, \pm 2)$ છે.

(A) અહીં અતિવલયનું સમીકરણ: $16x^2 - 25y^2 = 400$ છે.
$400$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામિકા વર્તુળ (director circle) નું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,નિયામિકા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25 - 16 = 9$ મળે છે.
હવે,ચકાસો કે બિંદુ $(2\sqrt{2}, 1)$ આ વર્તુળ પર છે કે નહીં: $(2\sqrt{2})^2 + (1)^2 = 8 + 1 = 9$.
આમ,બિંદુ $(2\sqrt{2}, 1)$ એ નિયામિકા વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,આ બિંદુમાંથી અતિવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi /2$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(1)$ અને $xy = c^2$ $(2)$ છે.
$(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$. ધારો કે આ $m_1$ છે.
$(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. ધારો કે આ $m_2$ છે.
વક્રો પરસ્પર લંબછેદી હોય તો,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left( \frac{b^2x}{a^2y} \right) \left( -\frac{y}{x} \right) = -1$.
$-\frac{b^2}{a^2} = -1 \Rightarrow a^2 = b^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 \sec^2 \theta - y^2 \csc^2 \theta = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = \cos^2 \theta$ અને $b^2 = \sin^2 \theta$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$ થાય.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
$ae = \sqrt{a^2} \cdot e = \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 1$.
આમ,નાભિનું કેન્દ્રથી અંતર $ae = 1$ છે,જે $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી નાભિ અચળ રહે છે.

(A) આપેલ છે કે,નાભિલંબની લંબાઈ = $\frac{2b^2}{a} = 8$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = 4a$.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,જેનું સાદું રૂપ $b = \frac{ae}{2}$ અથવા $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$ થાય છે.
$b^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,જે $ae^2 = 16$ આપે છે (કારણ કે $a \neq 0$).
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 4a$ મૂકતા: $4a = a^2(e^2 - 1)$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$4 = a(e^2 - 1) = ae^2 - a$.
$ae^2 = 16$ મૂકતા: $4 = 16 - a$,જે $a = 12$ આપે છે.
હવે,$ae^2 = 16 \implies 12e^2 = 16$.
$e^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$e = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોવાથી,$ae = 2$,તેથી $a^{2}e^{2} = 4$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^{2} = 4 - a^{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} + b^{2} = 4$.
અતિવલય $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2}{a^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$.
$a^{2} = 4 - b^{2}$ મૂકતા,$\frac{2}{4 - b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$.
$b^{4} + b^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4)(b^{2} - 3) = 0$.
$b^{2} > 0$ હોવાથી,$b^{2} = 3$,જે $a^{2} = 1$ આપે છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ આગળનો સ્પર્શક $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$. તેથી,તે $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $PQ$ એ $T(0, 3)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવા (chord of contact) છે.
$(x_1, y_1)$ માંથી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$a^2 = 9$,અને $b^2 = 36$ મૂકતા:
$\frac{x(0)}{9} - \frac{y(3)}{36} = 1$
$\Rightarrow -\frac{y}{12} = 1$
$\Rightarrow y = -12$.
$P$ અને $Q$ ના યામ શોધવા માટે,$y = -12$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4x^2 - (-12)^2 = 36$
$4x^2 - 144 = 36$
$4x^2 = 180$
$x^2 = 45$
$x = \pm 3\sqrt{5}$.
આમ,બિંદુઓ $P(3\sqrt{5}, -12)$ અને $Q(-3\sqrt{5}, -12)$ છે.
પાયા $PQ$ ની લંબાઈ $= |3\sqrt{5} - (-3\sqrt{5})| = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PTQ$ ની ઊંચાઈ એ $T(0, 3)$ થી રેખા $y = -12$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $h = |3 - (-12)| = 15$ છે.
$\Delta PTQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 15 = 45\sqrt{5}$ ચોરસ એકમ.

(D) બિંદુ $P(x,y)$ નો બિંદુપથ $|AP - BP| = 6$ શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$A = (0,4)$ અને $B = (0,-4)$ છે.
$AP = \sqrt{x^2 + (y-4)^2}$ અને $BP = \sqrt{x^2 + (y+4)^2}$ છે.
$|\sqrt{x^2 + (y-4)^2} - \sqrt{x^2 + (y+4)^2}| = 6$.
આ અતિવલય (hyperbola) ની વ્યાખ્યા છે જેના નાભિઓ $(0,4)$ અને $(0,-4)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
અચળ તફાવત $2a = 6$ છે,તેથી $a = 3$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
સમીકરણ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$ થાય છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = \cos^2 \alpha$ અને $b^2 = \sin^2 \alpha$ છે.
અતિવલય માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ પર હોય છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \sec \alpha$ છે.
નાભિઓના અભિસિસા $\pm ae = \pm \sqrt{\cos^2 \alpha} \cdot \sec \alpha = \pm \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \pm 1$ છે.
આમ,$\pm 1$ નું મૂલ્ય $\alpha$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,નાભિઓના અભિસિસા અચળ રહે છે.

(C) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = mx + c$ હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ અને $c^2 = -a^2 + b^2m^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $a^2m^2 - b^2 = b^2m^2 - a^2$.
$(a^2 - b^2)m^2 = b^2 - a^2$.
અહીં $m^2 = 1$ લેતા,$c^2 = a^2 - b^2$ મળે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ અથવા $x - y = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 = a^2$ અને $xy = c^2$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = \frac{c^2}{x}$ મૂકતા:
$x^2 + \frac{c^4}{x^2} = a^2$
$x^4 - a^2 x^2 + c^4 = 0$
આ $x$ માં દ્વિ-વર્ગીય સમીકરણ છે. જેના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ ($x^3$ નો સહગુણક $0$ છે) અને બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = c^4$ થાય.
બંને સમીકરણો $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,સંમિતિ દ્વારા $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0$ અને $y_1 y_2 y_3 y_4 = c^4$ મળે.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(A) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ અતિવલય $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
$3xx_1 - 2yy_1 + 2(x + x_1) - 3(y + y_1) = 3x_1^2 - 2y_1^2 + 4x_1 - 6y_1$.
જીવાનો ઢાળ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(3x_1 + 2)x - (2y_1 + 3)y + (2x_1 - 3y_1 - 3x_1^2 + 2y_1^2) = 0$.
આ જીવાનો ઢાળ $m = \frac{3x_1 + 2}{2y_1 + 3}$ છે.
જીવા $y = 2x$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2$ હોવો જોઈએ.
$\frac{3x_1 + 2}{2y_1 + 3} = 2$
$3x_1 + 2 = 4y_1 + 6$
$3x_1 - 4y_1 = 4$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x - 4y = 4$ મળે છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $b^2x_1^2 - a^2y_1^2 = a^2b^2$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $p_1 = \frac{|bx_1 - ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $p_2 = \frac{|bx_1 + ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
લંબનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|b^2x_1^2 - a^2y_1^2|}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ થાય.

(B) લંબકોણીય અતિવલય એ એવું અતિવલય છે જેમાં પ્રધાન અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ સમાન હોય છે,એટલે કે $a = b$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
આ સૂત્રમાં $a = b$ મૂકતા,આપણને $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,લંબકોણીય અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{2}$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x - 4y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y}$.
સ્પર્શક રેખા $2x + \sqrt{6}y = 2$ નો ઢાળ $-\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. તેથી $\frac{x_1}{2y_1} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$,એટલે કે $3x_1 = -2\sqrt{6}y_1$,અથવા $y_1 = -\frac{\sqrt{6}x_1}{4}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$x_1^2 - 2(-\frac{\sqrt{6}x_1}{4})^2 = 4$.
$x_1^2 - 2(\frac{6x_1^2}{16}) = 4 \implies x_1^2 - \frac{3}{4}x_1^2 = 4 \implies \frac{1}{4}x_1^2 = 4 \implies x_1^2 = 16$.
તેથી $x_1 = 4$ અથવા $x_1 = -4$.
જો $x_1 = 4$ હોય,તો $y_1 = -\frac{\sqrt{6}(4)}{4} = -\sqrt{6}$.
રેખાના સમીકરણમાં ચકાસતા: $2(4) + \sqrt{6}(-\sqrt{6}) = 8 - 6 = 2$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(4, -\sqrt{6})$ છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
બિંદુ $P(ae, \frac{b^2}{a})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ મૂકતા:
$\frac{x(ae)}{a^2} - \frac{y(b^2/a)}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{xe}{a} - \frac{y}{a} = 1$
$\Rightarrow xe - y = a$
$\Rightarrow y = ex - a$.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = e$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકના ઢાળનું મૂલ્ય $e$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 12$ છે.
આ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{12}{4}} = \sqrt{4} = 2$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{12} - \frac{x^2}{4} = 1$ છે.
અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતાઓ $e_1$ અને $e_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ છે.
$e_1 = 2$ મૂકતા,$\frac{1}{4} + \frac{1}{e_2^2} = 1$.
$\frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$e_2^2 = \frac{4}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $e_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો અને કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $ab$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $a^2 \tan \lambda$ છે,તેથી $ab = a^2 \tan \lambda$.
$a^2$ વડે ભાગતા,$\frac{b}{a} = \tan \lambda$ મળે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ છે.
$\frac{b}{a} = \tan \lambda$ મૂકતા,$e^2 = 1 + \tan^2 \lambda$ મળે.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 \lambda = \sec^2 \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,$e^2 = \sec^2 \lambda$ મળે.
તેથી,$e = \sec \lambda$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{29 - p} + \frac{y^2}{4 - p} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $p < 4$ હોય,તો $29 - p > 0$ અને $4 - p > 0$. ધારો કે $a^2 = 29 - p$ અને $b^2 = 4 - p$. સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ બને છે,જે ઉપવલય દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $4 < p < 29$ હોય,તો $29 - p > 0$ અને $4 - p < 0$. ધારો કે $a^2 = 29 - p$ અને $b^2 = -(4 - p) = p - 4$. સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ બને છે,જે અતિવલય દર્શાવે છે.
કિસ્સો $3$: જો $p > 29$ હોય,તો $29 - p < 0$ અને $4 - p < 0$. $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x^2}{p - 29} + \frac{y^2}{p - 4} = -1$ મળે છે,જે કોઈ વાસ્તવિક વક્ર દર્શાવતું નથી.
આમ,જો $4 < p < 29$ હોય તો તે અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ અતિવલય $\frac{y^2}{1/16} - \frac{x^2}{1/9} = 1$ છે.
આ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું શિરોલંબ અતિવલય છે,જ્યાં $a^2 = 1/16$ છે.
અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિમાંથી દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ તેનું સહાયક વર્તુળ છે.
અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ માટે,સહાયક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.
$a^2 = 1/16$ મૂકતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 1/16$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}t$
$L_2: \sqrt{3}tx + ty = 4\sqrt{3} \implies t(\sqrt{3}x + y) = 4\sqrt{3} \implies t = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$
$t$ ની કિંમત $L_1$ માં મૂકતા:
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 16 \times 3$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનો અતિવલય છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \cos^2 \alpha} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1^2 = 1 + \frac{5 \cos^2 \alpha}{5} = 1 + \cos^2 \alpha$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{25 \cos^2 \alpha} + \frac{y^2}{25} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2^2 = 1 - \frac{25 \cos^2 \alpha}{25} = \sin^2 \alpha$ છે.
આપેલ છે કે $e_1 = \sqrt{3} e_2$,તેથી $e_1^2 = 3 e_2^2$.
$1 + \cos^2 \alpha = 3 \sin^2 \alpha$.
$1 + (1 - \sin^2 \alpha) = 3 \sin^2 \alpha \Rightarrow 2 = 4 \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y - mx)^2 = 9m^2 - 4$ મળે.
$y^2 - 2mxy + m^2x^2 = 9m^2 - 4$.
$m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $m^2(x^2 - 9) - 2mxy + (y^2 + 4) = 0$.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,$m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (-2xy)^2 - 4(x^2 - 9)(y^2 + 4) = 0$.
$4x^2y^2 - 4(x^2y^2 + 4x^2 - 9y^2 - 36) = 0$.
$-16x^2 + 36y^2 + 144 = 0$.
$-4$ વડે ભાગતા,$4x^2 - 9y^2 = 36$ મળે.

(D) અતિવલય $xy = c^2$ માટે $(h, k)$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $xh + yk = 2hk$ છે.
આ સમીકરણને $y = mx + c'$ સ્વરૂપમાં લખતા,$y = -(\frac{h}{k})x + 2h$ મળે.
અહીં જીવાનો ઢાળ $m$ આપેલ છે,તેથી $m = -\frac{h}{k}$.
આથી $h = -mk$ મળે.
તેથી,બિંદુપથ $x = -my$ એટલે કે $x + my = 0$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
$N$ એ $P$ માંથી મુખ્ય અક્ષ (x-અક્ષ) પરનો લંબપાદ હોવાથી,$N$ ના યામ $(a \sec \theta, 0)$ થાય. તેથી,$ON = a \sec \theta$.
$P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
x-અંતઃખંડ $T$ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$\frac{x \sec \theta}{a} = 1 \implies x = a \cos \theta$.
તેથી,$OT = a \cos \theta$.
આમ,$OT \cdot ON = (a \cos \theta) \cdot (a \sec \theta) = a^2 \cdot 1 = a^2$.

(D) લંબચોરસ અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ના અનંતસ્પર્શકો $y = x$ અને $y = -x$ છે.
ધારો કે $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
અનંતસ્પર્શક $x - y = 0$ પર $P$ થી દોરેલ લંબ $PN$ છે.
$PN$ ના મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ શોધતા,આપણને $x^2 - y^2 = \frac{a^2}{2}$ મળે છે,જે એક અતિવલય છે.

(C) લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ માટે,તેના પરનું કોઈપણ બિંદુ $(ct_i, c/t_i)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $\Delta PQR$ ના શિરોબિંદુઓ $P(ct_1, c/t_1)$,$Q(ct_2, c/t_2)$ અને $R(ct_3, c/t_3)$ છે.
$\Delta PQR$ નું લંબકેન્દ્ર $H$ ના યામ $\left( \frac{-c}{t_1t_2t_3}, -c(t_1t_2t_3) \right)$ થાય છે.
ચાર બિંદુઓ $P, Q, R, S$ અતિવલય પર હોવાથી,તેમના પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1t_2t_3t_4 = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2t_3 = 1/t_4$.
આ કિંમત લંબકેન્દ્રના યામમાં મૂકતા,આપણને $H = \left( \frac{-c}{1/t_4}, -c(1/t_4) \right) = (-ct_4, -c/t_4)$ મળે છે.
$S(x_4, y_4) = (ct_4, c/t_4)$ હોવાથી,લંબકેન્દ્ર $(-x_4, -y_4)$ થાય છે.

(D) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
આ રેખા પરવલય $x^2 = 4by$ ને સ્પર્શે છે,તેથી વિવેચક $D = 0$ લેતા:
ગણતરી કરતા $x_1y_1 = -2ab$ મળે છે.
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $xy = -2ab$ છે,જે એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી અનંતસ્પર્શકો સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર:
$p_1 p_2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ થાય.
અહીં $e = \sqrt{3}$ હોવાથી,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$.
તેથી,$p_1 p_2 = \frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = \frac{2a^2}{3}$.
આપેલ છે કે $p_1 p_2 = 6$,તેથી $\frac{2a^2}{3} = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(3) = 6$ થાય.

(D) અતિપરવલય $xy = c^2$ માટે બિંદુ $P(ct, c/t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{ct} + \frac{yt}{c} = 2$ છે.
$y=0$ લેતા,$x=2ct$ મળે,તેથી $T(2ct, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y=\frac{2c}{t}$ મળે,તેથી $T'(0, \frac{2c}{t})$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = t^2x - ct^3 + \frac{c}{t}$ થાય છે.
$y=0$ લેતા,$x = ct - \frac{c}{t^3}$ મળે,તેથી $N(ct - \frac{c}{t^3}, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y = \frac{c}{t} - ct^3$ મળે,તેથી $N'(0, \frac{c}{t} - ct^3)$.
ત્રિકોણ $PNT$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x_P(y_N - y_T) + x_N(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_N)| = \frac{c^2(t^4+1)}{2t^4}$ છે.
ત્રિકોણ $PN'T'$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta' = \frac{1}{2} |x_P(y_{N'} - y_{T'}) + x_{N'}(y_{T'} - y_P) + x_{T'}(y_P - y_{N'})| = \frac{c^2(1+t^4)}{2}$ છે.
આમ,$\frac{1}{\Delta} + \frac{1}{\Delta'} = \frac{2t^4}{c^2(1+t^4)} + \frac{2}{c^2(1+t^4)} = \frac{2(t^4+1)}{c^2(1+t^4)} = \frac{2}{c^2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ છે,જે $(0, 1)$ પર કેન્દ્રિત અતિવલય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2(y - 1)\frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b(b - 1) = b^2 - b$. $(1)$
$(a, b)$ અતિવલય પર હોવાથી: $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ $\Rightarrow a^2 - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow a^2 - b^2 + 2b = 2$. $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $(b^2 - b) - b^2 + 2b = 2 \Rightarrow b = 2$.
તેથી $a^2 = 2^2 - 2 = 2$,એટલે કે $a = \sqrt{2}$ (કારણ કે ઢાળ ધન છે).
અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{1^2} - \frac{(y - 1)^2}{1^2} = 1$ છે,જ્યાં $A^2 = 1$ અને $B^2 = 1$.
અતિવલય $\frac{X^2}{A^2} - \frac{Y^2}{B^2} = 1$ માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2B^2}{A}$ છે.
અહીં $A = 1$ અને $B = 1$ હોવાથી,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2(1)^2}{1} = 2$ થાય.

(D) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ છે. આ $(0, 1)$ કેન્દ્ર ધરાવતું અતિવલય છે.
સમીકરણ $\frac{X^2}{A^2} - \frac{Y^2}{B^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A^2 = 1$ અને $B^2 = 1$,તેથી તે લંબ અતિવલય છે.
લંબ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A^2 = 1$ અને $B^2 = 1$ મૂકતા,આપણને $e = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,શંકુની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $x^2 - 3y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 1$,તેથી $a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ એ અતિવલયનું શિરોબિંદુ છે.
$(\sqrt{3}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x = \sqrt{3}$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,જે $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$ થાય.
સ્પર્શક $x = \sqrt{3}$ અને અનંતસ્પર્શકો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ તથા $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$1$. $x = \sqrt{3}$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ નું છેદબિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$2$. $x = \sqrt{3}$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ નું છેદબિંદુ $(\sqrt{3}, -1)$ છે.
$3$. બંને અનંતસ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$,અને $(\sqrt{3}, -1)$ છે.
રેખા $x = \sqrt{3}$ પર ત્રિકોણનો પાયો $|1 - (-1)| = 2$ છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $x = \sqrt{3}$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ $\sqrt{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.
ત્રિકોણની બાજુઓ $2$,$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$,અને $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$ છે. બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(D) વિકલ્પ $A$ માટે: $x = \frac{a}{2}(t + \frac{1}{t})$ અને $y = \frac{b}{2}(t - \frac{1}{t})$ આપેલ છે.
બંનેનો વર્ગ કરતા,$\frac{4x^2}{a^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2$ અને $\frac{4y^2}{b^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$ મળે.
બાદબાકી કરતા: $\frac{4x^2}{a^2} - \frac{4y^2}{b^2} = 4$,જે $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં પરિણમે છે,જે અતિવલય છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2 - 6 = 2 \cos t$ અને $y^2 + 2 = 4 \cos^2 \frac{t}{2}$ આપેલ છે.
$2 \cos^2 \frac{t}{2} = 1 + \cos t$ નો ઉપયોગ કરતા,$y^2 + 2 = 2 + 2 \cos t$,તેથી $y^2 = 2 \cos t$.
$2 \cos t = x^2 - 6$ મૂકતા,$y^2 = x^2 - 6$ અથવા $x^2 - y^2 = 6$ મળે,જે અતિવલય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - y^2 = (e^t + e^{-t})^2 - (e^t - e^{-t})^2 = 4$ મળે,જે અતિવલય છે.
તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) ધારો કે અતિવલય $xy = c^2$ પરના બિંદુઓ $P(ct_1, c/t_1)$ અને $Q(ct_2, c/t_2)$ છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી $t_1t_2 = -1$ મળે છે.
વ્યાસ $PQ$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - ct_1)(x - ct_2) + (y - c/t_1)(y - c/t_2) = 0$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - c(t_1 + t_2)x + c(t_1 + t_2)y - 2c^2 = 0$ મળે.
આ સમીકરણ $(x^2 + y^2 - 2c^2) - c(t_1 + t_2)(x - y) = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
નિશ્ચિત બિંદુઓ માટે $x^2 + y^2 - 2c^2 = 0$ અને $x - y = 0$ થવું જોઈએ.
તેથી,$x = y$ અને $2x^2 = 2c^2$ એટલે કે $x = \pm c$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુઓ $(c, c)$ અને $(-c, -c)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x = Kt$ અને $y = \frac{K}{t}$ છે.
પ્રચલ $t$ નો લોપ કરતા,આપણને $t = \frac{x}{K}$ મળે,તેથી $y = \frac{K}{x/K} = \frac{K^2}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $xy = K^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = -\frac{K^2/x}{x} = -\frac{K^2}{x^2}$ મળે.
ચૂક $K^2 > 0$ અને $x^2 > 0$ હોવાથી,દરેક $x \neq 0$ માટે ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{K^2}{x^2} < 0$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ આપેલ છે,જેને $y = -\frac{b}{a}x + b$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
વક્રનો ઢાળ હંમેશા ઋણ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ પણ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $-\frac{b}{a} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} > 0$.
આ શરત $\frac{b}{a} > 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $b$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.
તેથી,કાં તો $a > 0, b > 0$ અથવા $a < 0, b < 0$ થાય.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
આ બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોનું સમીકરણ $\pm \frac{ex}{a} \mp \frac{ay}{b^2} = 1$ થાય છે.
આ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{2a^2}{e^2-1} \times e^2$ થાય છે.
આપેલ શરત મુજબ,ક્ષેત્રફળ $= (ae)^2 = a^2e^2$.
તેથી,$e^3 = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy - 7x - 5y = 0$ છે.
બંને બાજુ $35$ ઉમેરતા,આપણને $(x - 5)(y - 7) = 35$ મળે છે.
આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે જેનું સ્વરૂપ $(x - h)(y - k) = c^2$ છે,જ્યાં $c^2 = 35$ છે.
લંબચોરસ અતિવલય $(x - h)(y - k) = c^2$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $2\sqrt{2c^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$c^2 = 35$ મૂકતા,આપણને $LR = 2\sqrt{2 \times 35} = 2\sqrt{70} = \sqrt{280}$ મળે છે.