Hyperbola Questions in Gujarati

(C) આપેલ અનંતસ્પર્શકો $L_1=0$ અને $L_2=0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 \times L_2 + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ અનંતસ્પર્શકો $(4x+3y-7)=0$ અને $(x-2y-1)=0$ છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ ...$(i)$ છે.
અતિવલય બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ અને $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ થાય છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ કિંમતો મૂકતા:
ગુણાકાર $= \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.

(C) આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$x^2+y^2=a^2$ $\dots(i)$
$xy=b^2$ $\dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$x = \frac{b^2}{y}$ મળે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{b^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{b^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$y^2$ વડે ગુણતા:
$b^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + b^4 = 0$
આ $y$ માં ચતુર્થ ઘાતનું સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1, y_2, y_3, y_4$ છે.
બહુપદી સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $y_1 y_2 y_3 y_4$ એ અચળ પદ અને મુખ્ય સહગુણકના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
તેથી,$y_1 y_2 y_3 y_4 = \frac{b^4}{1} = b^4$.

(D) આપેલ વક્રો અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે.
અતિવલય માટે,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$.
અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=16$ (જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\frac{|\pm \sqrt{16m^2 - 9}|}{\sqrt{m^2+1}} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{16m^2 - 9}{m^2+1} = 16$.
$16m^2 - 9 = 16m^2 + 16$.
$-9 = 16$,જે અશક્ય છે.
આ સૂચવે છે કે $m$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે અતિવલયનો સ્પર્શક વર્તુળનો પણ સ્પર્શક હોય.
જોકે,આપણે શિરોલંબ સ્પર્શકો તપાસવા જોઈએ. અતિવલયના શિરોલંબ સ્પર્શકો $x = \pm 4$ પર છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ના પણ શિરોલંબ સ્પર્શકો $x = \pm 4$ પર છે.
આમ,રેખાઓ $x=4$ અને $x=-4$ બંને વક્રો માટે સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
તેથી,કુલ $2$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$L_1: \sqrt{3} x - y = 4 \sqrt{3} \alpha$ $(1)$
$L_2: \alpha(\sqrt{3} x + y) = 4 \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} x + y = \frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\sqrt{3} x - y)(\sqrt{3} x + y) = (4 \sqrt{3} \alpha) \times \left(\frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}\right)$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,તે $2$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું અતિવલય છે.

(D) શંકુ $S: x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 \to xx_1$,$y^2 \to yy_1$,$x \to \frac{x+x_1}{2}$,અને $y \to \frac{y+y_1}{2}$ મૂકતા:
$xx_1 - yy_1 - 8\left(\frac{x+x_1}{2}\right) + 2\left(\frac{y+y_1}{2}\right) + 11 = 0$
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ મૂકતા:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2 = 0$ છે.

(D) અતિવલય અને રેખાના સમીકરણો $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y=x$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}=1$ $\Rightarrow 16x^{2}=225$ $\Rightarrow x=\pm \frac{15}{4}$.
તેથી છેદબિંદુઓ $P\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{4}\right)$ અને $Q\left(-\frac{15}{4}, -\frac{15}{4}\right)$ મળે.
મુખ્ય અક્ષ $PQ$ ની લંબાઈ $2a = \sqrt{(\frac{15}{2})^{2} + (\frac{15}{2})^{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}}$.
તેથી $a = \frac{15}{2\sqrt{2}}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = \frac{5}{\sqrt{2}}$ હોવાથી $b = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{15})^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A, B, C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x^{2}-2x)-3(y^{2}+4y)=44$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$16(x-1)^{2}-16-3(y+2)^{2}+12=44$ મળે.
$16(x-1)^{2}-3(y+2)^{2}=48$.
$48$ વડે ભાગતા,$\frac{(x-1)^{2}}{3}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=3 \Rightarrow a=\sqrt{3}$ અને $b^{2}=16 \Rightarrow b=4$ મળે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 2\sqrt{3}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે)
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે)
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે)
નિયામિકાનું સમીકરણ: $x-h = \pm \frac{a}{e}$ $\Rightarrow x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19/3}} = \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે. $PQ$ એ બેવડી કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ થશે.
આપેલ છે કે $\triangle OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle POD = 30^{\circ}$,જ્યાં $D$ એ બિંદુ $(a \sec \theta, 0)$ છે.
$\triangle OPD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{OD} = \frac{b \tan \theta}{a \sec \theta}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \sin \theta \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} \sin \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta}$.
$0 < \sin^2 \theta < 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sin^2 \theta} > 1$.
તેથી,$e^2 = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
આમ,$e > \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે. $PQ$ એ દ્વિ-કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(x_1, -y_1)$ થશે.
$\Delta OPQ$ સમબાજુ હોવાથી અને $M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$\angle POM = 30^{\circ}$ થાય.
$\Delta OMP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{y_1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $x_1 = \sqrt{3} y_1$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{3y_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
આથી $y_1^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$. $y_1^2 > 0$ હોવાથી,$3b^2 > a^2$ એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,એટલે કે $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = \cos^{2} \alpha$ અને $b^{2} = \sin^{2} \alpha$ મળે છે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ae = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$ae = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1} = 1$.
આમ,નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે,જે $\alpha$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$\alpha$ બદલાય તેમ નાભિઓ નિશ્ચિત રહે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-3y^{2}-18x+12y+2=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $3(x-3)^{2} - 3(y-2)^{2} = 13$.
જેને $\frac{(x-3)^{2}}{13/3} - \frac{(y-2)^{2}}{13/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = 13/3$ અને $b^{2} = 13/3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{2}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h \pm \frac{a}{e}$ મુજબ $x = 3 \pm \sqrt{\frac{13}{6}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ છે કે અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કરતા વધારે છે,તેથી $2b > 2a$,જેનો અર્થ છે કે $b > a$.
અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
જેহেতু $b > a$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} > 1$ થાય.
તેથી,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $e > \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+9y^{2}=9$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=1$,તેથી $a=3$ અને $b=1$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{e} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{h}$ એ $e_{e}$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $e_{h} = \frac{3}{\sqrt{8}}$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{h} = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$e_{h}^{2} = 1+\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}$.
આમ,$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}-1 = \frac{1}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $a^{2}:b^{2} = 8:1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2 a_{1} = 2 \sin \theta$ છે,તેથી $a_{1} = \sin \theta$.
ઉપવલય $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ માટે,$12$ વડે ભાગતા $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ મળે.
અહીં,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,તેથી $3 = 4(1 - e^{2})$,જે $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ આપે છે,એટલે કે $e = \frac{1}{2}$.
ઉપવલયનું નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 2 \times \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય ઉપવલય સાથે સહકેન્દ્રી હોવાથી,તેનું નાભિ $(\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$a_{1} e_{1} = 1$. $a_{1} = \sin \theta$ મૂકતા,$e_{1} = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ મળે.
હવે,$b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} \theta = \cos^{2} \theta$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ છે,જે $\frac{x^{2}}{\sin^{2} \theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} \theta} = 1$ બને છે.
આથી $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} \theta - y^{2} \sec^{2} \theta = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $M$ ના યામ $(h, k)$ છે. ધારો કે $\angle MAB = \theta$,તો $\angle MBA = 2\theta$ થાય.
$A(-1, 0)$ અને $B(2, 0)$ ના યામ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\tan \theta = \frac{k}{h - (-1)} = \frac{k}{h+1}$
$\tan(\pi - 2\theta) = \frac{k}{h-2} \implies -\tan 2\theta = \frac{k}{h-2} \implies \tan 2\theta = \frac{k}{2-h}$
નિત્યસમ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{k}{2-h} = \frac{2(\frac{k}{h+1})}{1 - (\frac{k}{h+1})^2}$
$\frac{k}{2-h} = \frac{2k(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
ધારો કે $k \neq 0$,તો $k$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2-h} = \frac{2(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
$(h+1)^2 - k^2 = 2(h+1)(2-h)$
$h^2 + 2h + 1 - k^2 = 2(2h - h^2 + 2 - h) = 2(-h^2 + h + 2) = -2h^2 + 2h + 4$
$3h^2 - k^2 = 3$
આ એક અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
આપેલ છે કે નાભિ $(\pm 8, 0) = (\pm ae, 0)$ છે,તેથી $ae = 8$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 24$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 12a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$.
$ae = 8$ અને $b^{2} = 12a$ મૂકતા,આપણને મળે છે $12a = 8^{2} - a^{2}$.
$a^{2} + 12a - 64 = 0$.
$(a + 16)(a - 4) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે છે.
તેથી $b^{2} = 12(4) = 48$.
$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 48$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$.
$48$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^{2} - y^{2} = 48$ મળે છે.

(D) ધારો કે $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$,શિરોબિંદુ $(a, 0)$ અને નાભિ $(ae, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(a, 0)$ એ કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને નાભિ $(ae, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$a = \frac{ae + 0}{2}$ $\Rightarrow 2a = ae$ $\Rightarrow e = 2$.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1)$.
$e = 2$ મૂકતા,$b^{2} = a^{2}(2^{2} - 1) = 3a^{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
$b^{2} = 3a^{2}$ મૂકતા,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1$.
$3a^{2}$ વડે ગુણતા,$3x^{2} - y^{2} = 3a^{2}$ મળે છે.

(D) અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તે એક એવા બિંદુનો બિંદુપથ છે જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી તેના અંતરનો તફાવત અચળ રહે છે.
અહીં નિશ્ચિત બિંદુઓ $(8,0)$ અને $(-8,0)$ એ અતિવલયના નાભિ છે.
અચળ તફાવત $2a = 4$ આપેલ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો તફાવત અચળ હોવાથી,આ બિંદુપથ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ: $4x^2 - 9y^2 = 36$.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 2$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{\frac{9 + 4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2}-y^{2}+1=0$ છે,જેને $y^{2}-x^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=1$ મળે,તેથી $a=1$ અને $b=1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1+\frac{1}{1}} = \sqrt{2}$.
નાભિઓ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{2})$ છે.
આ નાભિઓને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{0+0}{2}, \frac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}) = (0,0)$.
વ્યાસની લંબાઈ $(0, \sqrt{2})$ અને $(0, -\sqrt{2})$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2\sqrt{2}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ એટલે કે $x^{2}+y^{2}=2$ થાય.

(A) નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ વાળા અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $ae = 2$ અને $b^2 = 4 - a^2$ છે.
બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ મૂકતા,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ મળે છે.
ઉકેલતા $a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ મળે છે.
તેથી સમીકરણ $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\sqrt{2}}{1} - \frac{y\sqrt{3}}{3} = 1$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$ છે.

(A, C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-y^{2}=5$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{5}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=5$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ છે,જે $y=mx \pm \sqrt{m^{2}-5}$ બને છે.
સ્પર્શક $(2, 8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$8=2m \pm \sqrt{m^{2}-5}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $8-2m = \pm \sqrt{m^{2}-5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(8-2m)^{2} = m^{2}-5$.
$64+4m^{2}-32m = m^{2}-5$.
$3m^{2}-32m+69=0$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $(3m-23)(m-3)=0$,તેથી $m=3$ અથવા $m=\frac{23}{3}$.
$m=3$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-8=3(x-2) \Rightarrow 3x-y+2=0$ છે.
$m=\frac{23}{3}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-8=\frac{23}{3}(x-2) \Rightarrow 23x-3y-22=0$ છે.
આમ,$3x-y+2=0$ અને $23x-3y-22=0$ બંને માન્ય સ્પર્શકો છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે.
રેખા $bx-ay=0$ છે. નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી રેખા $bx-ay=0$ પરના લંબ $SP$ ની લંબાઈ:
$SP = \left| \frac{b(ae) - a(0)}{\sqrt{b^{2}+(-a)^{2}}} \right| = \frac{abe}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}$.
$b^{2} = a^{2}(e^{2}-1)$ હોવાથી,$a^{2}+b^{2} = a^{2}e^{2}$,તેથી $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = ae$.
આમ,$SP = \frac{abe}{ae} = b$.
અંતર $CS = ae$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta SPC$ માં,$CP^{2} = CS^{2} - SP^{2}$.
$CP^{2} = (ae)^{2} - b^{2} = a^{2}e^{2} - b^{2} = a^{2}(1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) - b^{2} = a^{2} + b^{2} - b^{2} = a^{2}$.
તેથી,$CP = a$.
$SP$ અને $CP$ બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $SP \times CP = b \times a = ab$ થાય.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે અને $\Delta OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$P$ અને $Q$ ના યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ છે.
$\Delta OPQ$ માં,$OP = PQ$.
તેથી $OP^2 = PQ^2$.
$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 (1 + \tan^2 \theta) = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 = (3b^2 - a^2) \tan^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{a^2}{3b^2 - a^2}$.
$\tan^2 \theta > 0$ હોવાથી,$3b^2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
અહીં $a=2$ અને $b=3$ છે,તેથી $a^2+b^2 = 4+9 = 13$.
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ આગળનો અભિલંબ: $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ --- $(1)$
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ હોવાથી,$\sec \phi = \csc \theta$ અને $\tan \phi = \cot \theta$ થાય.
$B(2 \csc \theta, 3 \cot \theta)$ આગળનો અભિલંબ: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ --- $(2)$
છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $\sin \theta$ વડે અને $(2)$ ને $\cos \theta$ વડે ગુણીને $x$ નો લોપ કરતા:
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \cos \theta = 13 \sin \theta$
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \sin \theta = 13 \cos \theta$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$.
$\theta \neq \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$(\cos \theta - \sin \theta)$ વડે ભાગતા:
$3y = -13 \implies y = -\frac{13}{3}$.
આમ,$\beta = -\frac{13}{3}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ ... $(1)$.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ હોવાથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
તેથી,$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ ... $(2)$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$y = -\frac{13}{2}$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
બિંદુ $P(4,3)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{16}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_1} + \frac{b^{2}y}{y_1} = a^{2} + b^{2}$ છે.
$(x_1, y_1) = (4,3)$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{4} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ મળે.
અભિલંબ $(16,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=16$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{a^{2}(16)}{4} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 4a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = b^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{16}{a^{2}} - \frac{9}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^{2}} - \frac{3}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{13}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow a^{2} = 13$.
તેથી $b^{2} = 3(13) = 39$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{39}{13}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $(a-1)x - by + 4 = 0$ છે.
તેનો ઢાળ $m = \frac{a-1}{b}$ છે.
અતિવલય $xy = 1$ છે,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $x_0^2$ છે,જે હંમેશા ધન $(x_0^2 > 0)$ હોય છે.
આમ,$\frac{a-1}{b} > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જો $(a-1 > 0 \text{ અને } b > 0)$ અથવા $(a-1 < 0 \text{ અને } b < 0)$ હોય.
આથી,$(a > 1, b > 0)$ અથવા $(a < 1, b < 0)$ મળે.
તેથી,શરતો $a > 1, b < 0$ અને $a < 1, b > 0$ સાચી નથી.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
સમાંતર જીવાઓનો ઢાળ $m = 2$ છે.
અતિવલયના વ્યાસનું સમીકરણ $y = \frac{b^2}{a^2 m} x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{9}{4 \times 2} x = \frac{9}{8} x$.
તેથી,$8y = 9x$ અથવા $9x - 8y = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x-2y=t$ $(i)$
$x+2y=\frac{1}{t}$ $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(x-2y)(x+2y) = t \times \frac{1}{t}$
$x^2 - 4y^2 = 1$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/4} = 1$
આ એક અતિવલય દર્શાવે છે જ્યાં $a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{4}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ છે અને નાભિઓ $(\pm ae, 0) = \left(\pm 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) = \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right)$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ છે. અહીં $a^{2}=144$ અને $b^{2}=169$. $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,નાભિ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલય માટે,$e_{E} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$.
નાભિ $(0, \pm 5)$ છે.
અતિવલય $\frac{y^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ છે. અહીં $a^{2} = \lambda^{2}$ અને $b^{2} = 16$.
નાભિ $(0, \pm \sqrt{\lambda^{2} + 16})$ છે.
સરખાવતા,$\sqrt{\lambda^{2} + 16} = 5$ $\Rightarrow \lambda^{2} = 9$ $\Rightarrow \lambda = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2(16)}{3} = \frac{32}{3}$.
તેથી,$24(e+L) = 24(\frac{5}{3} + \frac{32}{3}) = 296$.

(D) $P (10, 2 \sqrt{15})$ એ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર આવેલું છે.
$\frac{100}{a^2} - \frac{60}{b^2} = 1 \dots (1)$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 8$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2b^2}{a} = 8 \Rightarrow b^2 = 4a \dots (2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{100}{a^2} - \frac{60}{4a} = 1 \Rightarrow \frac{100}{a^2} - \frac{15}{a} = 1$.
$100 - 15a = a^2 \Rightarrow a^2 + 15a - 100 = 0$.
$(a + 20)(a - 5) = 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 5$.
તેથી $b^2 = 4(5) = 20$.
અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 25, b^2 = 20$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{20}{25}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS' = 2ae = 2(5)(\frac{3\sqrt{5}}{5}) = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{15} = 30\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $= (30\sqrt{3})^2 = 2700$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
તેથી,અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
ધારો કે $P = (x_0, y_0)$. $PQ$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી અને $OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle POM = 30^{\circ}$ થાય,જ્યાં $M$ એ $P$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબપાદ છે.
$\triangle OMP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.
$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
ત્રિકોણ $OPQ$ ની ઊંચાઈ $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

(D) વિધેય $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે જરૂર છે:
$\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 0 \implies \log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 1 \implies 9x - x^{2} - 13 > 7$
$x^{2} - 9x + 20 < 0 \implies (x - 4)(x - 5) < 0 \implies x \in (4, 5)$.
આમ,$m = 4$ અને $n = 5$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{n}{3} = \frac{5}{3}$.
$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ હોવાથી,$\frac{25}{9} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} \implies \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{16}{9} \implies \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \implies b = \frac{4a}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{8m}{3} = \frac{32}{3}$ છે.
$b = \frac{4a}{3}$ મૂકતા,$\frac{2(16a^{2}/9)}{a} = \frac{32}{3} \implies \frac{32a}{9} = \frac{32}{3} \implies a = 3$.
તેથી $b = \frac{4(3)}{3} = 4$.
તેથી,$b^{2} - a^{2} = 16 - 9 = 7$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1-\alpha x}{2}$ છે.
આ કિંમતને અતિવલયના સમીકરણ $x^2 - 9y^2 = 9$ માં મૂકતા:
$x^2 - 9\left(\frac{1-\alpha x}{2}\right)^2 = 9$
$(4 - 9\alpha^2)x^2 + 18\alpha x - 45 = 0$
રેખા અતિવલયને છેદતી નથી,તેથી વિવેચક $D < 0$:
$D = (18\alpha)^2 - 4(4 - 9\alpha^2)(-45) < 0$
$-1296\alpha^2 + 720 < 0$
$\alpha^2 > \frac{5}{9}$
$|\alpha| > \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.745$ થી મોટી કિંમત $0.8$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ માટે,$a^2=36$ અને $b^2=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{16}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
નાભિઓ $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$Ae = 2\sqrt{5}$ અને $e=5$ હોવાથી $A = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ મળે.
સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$25 = 1 + \frac{B^2}{4/5} \Rightarrow B^2 = \frac{96}{5}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2B^2}{A} = \frac{2(96/5)}{2/\sqrt{5}} = \frac{96}{\sqrt{5}}$ થાય.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6e^2 - 11e + 3 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(2e - 3)(3e - 1) = 0$ મળે છે.
આથી $e = 3/2$ અથવા $e = 1/3$ મળે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $e = 3/2$ લઈશું.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9$ છે.
$e = 3/2$ મૂકતા,$2a(3/2) = 9$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3a = 9$ થાય,તેથી $a = 3$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 3^2((3/2)^2 - 1) = 9(9/4 - 1) = 9(5/4) = 45/4$.
નાભિલંબની લંબાઈ $LR = \frac{2b^2}{a}$ દ્વારા મળે છે.
$LR = \frac{2(45/4)}{3} = \frac{45/2}{3} = 15/2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $15(e^2 + 1) = 34e$ ને $15e^2 - 34e + 15 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$.
અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,આપણે $e = 5/3$ લઈશું.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
$e = 5/3$ મૂકતા,આપણને $b^2 = a^2((5/3)^2 - 1) = a^2(25/9 - 1) = 16a^2/9$ મળે છે.
અતિવલય $(6, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{6^2}{a^2} - \frac{(4\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{b^2} = 1$ થાય છે.
$b^2 = 16a^2/9$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{16a^2/9} = 1 \implies \frac{36}{a^2} - \frac{27}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9$.
તેથી $b^2 = 16(9)/9 = 16$.
હવે બીજા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ ને ધ્યાનમાં લો. અહીં $a^2 = 9$ અને $b'^2 = 2(9 + 1) = 20$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b'^2}{a} = \frac{2(20)}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$ થાય છે.

(A) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,તેથી $ae = 3$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$a^2 = 3 \times \frac{4}{3} = 4$,તેથી $a = 2$.
હવે $e^2 = \frac{ae}{a/e} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$,તેથી $e = \frac{3}{2}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4(\frac{9}{4} - 1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
રેખા $x = k$ માટે,છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $(k, y_1)$ અને $(k, -y_1)$ છે,જ્યાં $\frac{k^2}{4} - \frac{y_1^2}{5} = 1$,તેથી $y_1^2 = 5(\frac{k^2}{4} - 1)$.
ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2y_1) \times k = k y_1 = 4\sqrt{15}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 y_1^2 = 16 \times 15 = 240$.
$y_1^2$ ની કિંમત મુકતા,$k^2 \times 5(\frac{k^2}{4} - 1) = 240 \implies k^2(\frac{k^2 - 4}{4}) = 48 \implies k^4 - 4k^2 - 192 = 0$.
$u = k^2$ લેતા,$u^2 - 4u - 192 = 0 \implies (u - 16)(u + 12) = 0$.
$k^2 > 0$ હોવાથી,$k^2 = 16$,તેથી $k = 4$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં $a^2$ માંગેલ છે જે $4$ છે.

(C) ધારો કે $P = (x_1, y_1)$ અને $Q = (x_2, y_2)$ એ અતિવલય $xy = 12$ પરના બિંદુઓ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
આથી $x_1+x_2 = 1$ અને $y_1+y_2 = -1$ મળે.
$y_i = \frac{12}{x_i}$ હોવાથી,$\frac{12}{x_1} + \frac{12}{x_2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $12(x_1+x_2) = -x_1x_2$.
$x_1+x_2 = 1$ મૂકતા,$12(1) = -x_1x_2$,તેથી $x_1x_2 = -12$.
શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$P(x_1, y_1)$,અને $Q(x_2, y_2)$ ધરાવતા $\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ છે.
$y_i = \frac{12}{x_i}$ મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(\frac{12}{x_2}) - x_2(\frac{12}{x_1})| = 6 |\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2}| = 6 |\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = (1)^2 - 4(-12) = 1 + 48 = 49$,તેથી $|x_1-x_2| = 7$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $6 |\frac{7 \times 1}{-12}| = 6 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{2}$ થાય.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
રેખાના સમીકરણ $8x - 3y = 24$ પરથી,$y = \frac{8x - 24}{3}$ મળે છે.
$y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $16x^2 - 9(\frac{8x-24}{3})^2 = 144 \implies 16x^2 - (8x-24)^2 = 144 \implies 16x^2 - (64x^2 - 384x + 576) = 144 \implies -48x^2 + 384x - 720 = 0 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$(x-3)(x-5) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 3$ અને $x = 5$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{3}^{5} (\frac{8x-24}{3} - \sqrt{\frac{16}{9}(x^2-9)}) dx = \int_{3}^{5} (\frac{8}{3}(x-3) - \frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}) dx$.
સંકલન કરતા: $[\frac{4}{3}(x-3)^2 - \frac{4}{3}(\frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|)]_{3}^{5}$.
$x=5$ માટે: $\frac{4}{3}(4) - \frac{4}{3}(\frac{5}{2}(4) - \frac{9}{2}\ln(5+4)) = \frac{16}{3} - \frac{40}{3} + 6\ln(9) = -8 + 12\ln(3)$.
$x=3$ માટે: $\frac{4}{3}(0) - \frac{4}{3}(0 - \frac{9}{2}\ln(3)) = 6\ln(3)$.
$A = (-8 + 12\ln(3)) - (6\ln(3)) = 6\ln(3) - 8$.
આમ,$3(A + 6\ln(3)) = 3(6\ln(3) - 8 + 6\ln(3)) = 3(12\ln(3) - 8) = 36\ln(3) - 24$. પ્રશ્નમાં અચળ પદ $-24$ છે.