Ellipse Questions in Hindi

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 36$ है। अतः $a=4$ और $b=6$ है।
माना बिंदु $P$ $(4 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ है,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{6} = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $x_0 = \frac{4}{\cos \theta}$ और $y_0 = \frac{6}{\sin \theta}$ हैं।
स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_0 y_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\cos \theta} \cdot \frac{6}{\sin \theta} = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin(2\theta)}$ है।
क्षेत्रफल $A$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\sin(2\theta)$ को अधिकतम करते हैं। $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $2\theta = \pi/2$ अर्थात $\theta = \pi/4$ पर $1$ होता है।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $S = \frac{24}{1} = 24$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 8y^2 = k$ है,जिसे $\frac{x^2}{k/3} + \frac{y^2}{k/8} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2 = k/3$ और $b^2 = k/8$ है,इसलिए $\frac{kx}{3x_1} - \frac{ky}{8y_1} = \frac{k}{3} - \frac{k}{8} = \frac{5k}{24}$।
$k$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{3x_1} - \frac{y}{8y_1} = \frac{5}{24}$,या $\frac{8x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 5$ प्राप्त होता है।
इसे $4x - 3y - 5 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{8}{x_1} = 4 \Rightarrow x_1 = 2$ और $\frac{3}{y_1} = 3 \Rightarrow y_1 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(2, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$3(2)^2 + 8(1)^2 = k \Rightarrow k = 12 + 8 = 20$।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $(-2, m)$ के लिए,$3(-2)^2 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 12 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 8m^2 = 8$ $\Rightarrow m = 1$ (चूंकि $m > 0$)।
$3x^2 + 8y^2 = 20$ के लिए $(-2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x(-2) + 8y(1) = 20$ है।
$-6x + 8y = 20 \Rightarrow 3x - 4y + 10 = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ है। यहाँ $b^2 = 25$ और $a^2 = 9$ है,इसलिए $b > a$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c)$ पर स्थित हैं,जहाँ $c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$,इसलिए $c = 4$ है। अतः नाभियाँ $S_1(0, 4)$ और $S_2(0, -4)$ हैं।
मान लीजिए कि दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + C$ है,जहाँ $C^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 25$ है।
$(0, 4)$ से $mx - y + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $p_1 = \frac{|-4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
$(0, -4)$ से $mx - y + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
लंबों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|C^2 - 16|}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 25 - 16}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 9}{m^2 + 1} = \frac{9(m^2 + 1)}{m^2 + 1} = 9$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 6$ है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु पथ उसका नियामक वृत्त (director circle) होता है,जो $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 6$ है।
अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4 + 6 = 10$ है।
चूँकि $(\alpha, \beta)$ दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह नियामक वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = 10$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^2=4, b^2=3$,अतः $a=2, b=\sqrt{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $L$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,$L$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$x_1 = 1, y_1 = \frac{3}{2}, a^2 = 4, b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3 \Rightarrow 4x - 2y = 1$।
अभिलंब दीर्घ अक्ष ($x$-अक्ष) से $P$ पर मिलता है,$y=0$ रखने पर: $4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$। अतः,$P = (\frac{1}{4}, 0)$।
अभिलंब लघु अक्ष ($y$-अक्ष) से $Q$ पर मिलता है,$x=0$ रखने पर: $-2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$। अतः,$Q = (0, -\frac{1}{2})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{1}{4} - 0)^2 + (0 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + 8 - a = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2(x-2)^2 + a(y-1)^2 = 2a$.
$2a$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2)^2}{a} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$.
चूंकि मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $2 > a$ होगा।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करने पर,$a = 2(1 - e^2) = 2(1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-2)^2}{4/3} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$ है।
$m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 2) \pm \sqrt{A^2m^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ $A^2 = 4/3$ और $B^2 = 2$ रखने पर,$y - 1 = x - 2 \pm \sqrt{\frac{4}{3} + 2} = x - 2 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$.
अतः,$x - y - 1 \pm \sqrt{\frac{10}{3}} = 0$।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ है।
यहाँ,$a^2=64 \Rightarrow a=8$ और $b^2=49 \Rightarrow b=7$ है।
किसी बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x_0 = \frac{a}{\cos \theta}$ और $y_0 = \frac{b}{\sin \theta}$ हैं।
अंतःखंडों का योग $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखते हैं: $\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta = 0$।
इससे $\tan^3 \theta = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है,अतः $\tan \theta = (b/a)^{1/3}$।
अंतःखंडों का न्यूनतम योग $a+b = 8+7 = 15$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 32$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,प्रमुख अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$m = -\frac{4}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
मान रखने पर: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$।
यह $4x + 3y = \pm 24$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $4x + 3y = 24$ के लिए:
$x$-अंतःखंड ($y=0$ रखने पर) $Q(6,0)$ है।
$y$-अंतःखंड ($x=0$ रखने पर) $P(0,8)$ है।
अतः,बिंदु $P(0,8)$ और $Q(6,0)$ हैं।

(C) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
यहाँ,$a^2=4$,$b^2=1$,और $m=4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c^2 = 4(4)^2 + 1 = 4(16) + 1 = 64 + 1 = 65$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{65}$।
'$c$' के $2$ संभावित मान हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+16y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=1$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2+1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3)+1} = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49} = \sqrt{3}x \pm 7$.
अतः,समीकरण $\sqrt{3}x-y+7=0$ या $\sqrt{3}x-y-7=0$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\sqrt{3}x-y+7=0$ सही विकल्प है।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $x^2+4y^2=4$ है। $4$ से विभाजित करने पर,हमें दीर्घवृत्त का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$।
यहाँ,$a^2=4$ और $b^2=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
$y=2x+c$ की तुलना $y=mx+c$ से करने पर,हमें $m=2$ प्राप्त होता है।
मान $a^2=4$,$b^2=1$,और $m=2$ को शर्त में रखने पर:
$c^2 = (4)(2)^2 + 1$
$c^2 = 4(4) + 1$
$c^2 = 16 + 1 = 17$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ है।
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=9$ और $b^2=5$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $L(2, \frac{5}{3})$,$M(-2, \frac{5}{3})$,$M'(-2, -\frac{5}{3})$ और $L'(2, -\frac{5}{3})$ हैं।
इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x+3y=9$,$2x-3y=9$,$-2x+3y=9$ और $-2x-3y=9$ हैं।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित समचतुर्भुज के शीर्ष $A(0, 3)$,$B(-\frac{9}{2}, 0)$,$C(0, -3)$ और $D(\frac{9}{2}, 0)$ हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण}_1 \times \text{विकर्ण}_2 = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ है।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु $Q$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x = \frac{5}{\cos \theta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (5 \sec \theta, 0)$।
चूंकि $R$,$y=x$ के सापेक्ष $Q$ का प्रतिबिंब है,निर्देशांकों को बदलने पर $R = (0, 5 \sec \theta)$ प्राप्त होता है।
$QR$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_Q)(x - x_R) + (y - y_Q)(y - y_R) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 - (5 \sec \theta)x - (5 \sec \theta)y = 0$ में सरल हो जाता है।
$\theta$ के किसी भी मान के लिए,बिंदु $(0,0)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,वृत्त हमेशा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a = 3, b = 2$ और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
द्वितीय चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $P(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{x(-\sqrt{5})}{9} + \frac{y(4/3)}{4} = 1$.
$\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}x}{9} + \frac{y}{3} = 1$.
$-9$ से गुणा करने पर: $\sqrt{5}x - 3y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$ है।
माना केंद्र $(0, 0)$ से इस स्पर्श रेखा पर लंब का पाद $(h, k)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है,इसलिए लंब रेखा की ढाल $-\frac{1}{m}$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से गुजरने वाली लंब रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m} x$ है,जिसका अर्थ है $m = -\frac{x}{y}$।
चूंकि $(h, k)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है,$k = mh + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$।
$m = -\frac{h}{k}$ को समीकरण में रखने पर: $k = -\frac{h^2}{k} + \sqrt{a^2 \frac{h^2}{k^2} + b^2}$।
$k + \frac{h^2}{k} = \sqrt{\frac{a^2 h^2 + b^2 k^2}{k^2}}$।
$\frac{k^2 + h^2}{k} = \frac{\sqrt{a^2 h^2 + b^2 k^2}}{k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(h^2 + k^2)^2 = a^2 h^2 + b^2 k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 = a^2 x^2 + b^2 y^2$ है।

(C) रेखा $y=4x+m$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=4$ की स्पर्श रेखा है। दीर्घवृत्त के समीकरण में $y=4x+m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+4(4x+m)^2=4$
$x^2+4(16x^2+8mx+m^2)=4$
$x^2+64x^2+32mx+4m^2-4=0$
$65x^2+32mx+4(m^2-1)=0$
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D=0$ होगा:
$D = (32m)^2 - 4(65)(4(m^2-1)) = 0$
$1024m^2 - 16(65)(m^2-1) = 0$
$16$ से विभाजित करने पर:
$64m^2 - 65(m^2-1) = 0$
$64m^2 - 65m^2 + 65 = 0$
$-m^2 + 65 = 0$
$m^2 = 65$
$m = \pm \sqrt{65}$

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2 + 2(y+2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4$ से भाग देने पर,$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1$ मिलता है।
बिंदु $P(\sqrt{2}+1, -1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y' = -\frac{x-1}{2(y+2)}$ है।
बिंदु $P$ पर $y' = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = \sqrt{2}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y+1 = \sqrt{2}(x - (\sqrt{2}+1))$ अर्थात $\sqrt{2}x-y=3+\sqrt{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं। अभिलंब का समीकरण $2x - y = \frac{3}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है। इस रेखा और दीर्घवृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर $\alpha = \frac{-23}{17\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$ पर एक बिंदु $P(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ है। बिंदु $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 36$ है। बिंदु $(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ रखने पर,हमें मिलता है: $\frac{4x}{2 \cos \theta} - \frac{36y}{6 \sin \theta} = 4 - 36$। सरल करने पर,$2x \sec \theta - 6y \operatorname{cosec} \theta + 32 = 0$ प्राप्त होता है। इसे $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,$\frac{a}{2 \sec \theta} = \frac{b}{-6 \operatorname{cosec} \theta} = \frac{c}{32}$ मिलता है। इससे $\cos \theta = \frac{c}{16a}$ और $\sin \theta = -\frac{3c}{16b}$ प्राप्त होता है। $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{c^2}{256a^2} + \frac{9c^2}{256b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{a^2} + \frac{9}{b^2} = \frac{256}{c^2}$ में सरल हो जाता है।

(C) माना बिंदु $P = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a\sqrt{2}} + \frac{y}{b\sqrt{2}} = 1$ है। $y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $M = (a\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{b}{a}$ है। अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{a}{b}$ है। $P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ है। $y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $N = \left(\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का आधार $MN = |a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$.
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $\frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 32$ है।
नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ रखने पर,हमें $\frac{a^2x}{ae} - \frac{b^2y}{b^2/a} = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ हो जाता है।
चूंकि यह अभिलंब लघु अक्ष के सिरे $(0, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{a(0)}{e} - a(b) = a^2 - b^2$,अर्थात $-ab = a^2 - b^2$,या $b^2 - ab - a^2 = 0$।
$a^2$ से भाग देने पर,$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $(\frac{b}{a})^2 = 1-e^2$ है।
अतः,$(1-e^2) - \sqrt{1-e^2} - 1 = 0$,जिससे $\sqrt{1-e^2} = -e^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-e^2 = e^4$,अतः $1 = e^4 + e^2$।
हमें $\frac{e^4}{1-e^2}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $1-e^2 = e^4$,व्यंजक $\frac{e^4}{e^4} = 1$ हो जाता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$
$\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$
यहाँ $a^2=18$ और $b^2=8$ है।
परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के बिंदुपथ को नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है,जिसका समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2+b^2$ होता है।
मान रखने पर:
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 18+8$
$x^2-6 x+9+y^2+4 y+4 = 26$
$x^2+y^2-6 x+4 y-13 = 0$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है।
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ $S = 3x^2 + 2y^2 - 5$,$S_1 = 6$,और $T = 3x + 4y - 5$ है।
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$.
सरल करने पर $9x^2 - 4y^2 - 24xy + 30x + 40y - 55 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a = 9$,$b = -4$,और $h = -12$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12\sqrt{5}}{5}\right)$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2+9y^2-16x+54y+61=0$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$4(x-2)^2 + 9(y+3)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त होता है।
नियामक वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
केंद्र $(2, -3)$ है,अतः $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9 + 4 = 13$।
सरल करने पर $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+4y^2-4=0$ है, जिसे $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a^2=4$ और $b^2=1$, इसलिए $a=2$ और $b=1$ है।
$A_1$ दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है, जो $A_1 = \pi ab = \pi(2)(1) = 2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2+b^2 = 4+1=5$ है।
अतः, $A_2$ निर्देशक वृत्त का क्षेत्रफल है, $A_2 = \pi(r^2) = 5\pi$।
सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2 = 4$ है।
अतः, $A_3$ सहायक वृत्त का क्षेत्रफल है, $A_3 = \pi(r^2) = 4\pi$।
अंततः, $A_2+A_3-A_1 = 5\pi+4\pi-2\pi = 7\pi$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
दिया गया है $x^2 + y^2 = 20$,अतः $a^2 + b^2 = 20$ $(i)$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 2$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a$ $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 + a - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a + 5)(a - 4) = 0$.
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
अतः $b^2 = 4$.
दीर्घवृत्त के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2c$ होती है,जहाँ $c^2 = a^2 - b^2$.
$c^2 = 16 - 4 = 12$,इसलिए $c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
अतः,नाभियों के बीच की दूरी $2c = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = a \implies 2b^2 = a^2 \dots (i)$.
निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।
त्रिज्या $\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $a^2 + b^2 = 3$ है।
$a^2 = 2b^2$ को समीकरण में रखने पर: $2b^2 + b^2 = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$ है।
अतः $a^2 = 2$,यानी $a = \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इस प्रकार,$\frac{1}{e} = \sqrt{2}$ है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{e}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
$36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
$a^2$ और $b^2$ के मान रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 9 + 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट वक्र $x^2 + y^2 = 13$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $y=2x+\sqrt{76}$ और $y=-\frac{1}{2}x+4$ हैं।
ढाल-अंतःखंड रूप $y=mx+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें ढाल $m_1=2$ और $m_2=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
दीर्घवृत्त के दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2+b^2$ है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=12$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16+12=28$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। क्षेत्रफल $A_1 = \pi ab$ है।
माना नाभि $S(ae, 0)$ है और दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$SP$ का मध्यबिंदु $M(h, k)$,$h = \frac{a \cos \theta + ae}{2}$ और $k = \frac{b \sin \theta}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{2h - ae}{a}$ और $\sin \theta = \frac{2k}{b}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{(2h - ae)^2}{a^2} + \frac{4k^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(h - ae/2)^2}{(a/2)^2} + \frac{k^2}{(b/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसकी अर्ध-अक्ष $a' = a/2$ और $b' = b/2$ हैं।
क्षेत्रफल $A_2 = \pi a' b' = \frac{\pi ab}{4}$ है।
अतः,$A_1 : A_2 = \pi ab : \frac{\pi ab}{4} = 4 : 1$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
यहाँ,$a^2=25$ और $b^2=16$,इसलिए $a=5$ और $b=4$ है। दीर्घवृत्त का केंद्र $C(0,0)$ है।
केंद्र $C(0,0)$ से बिंदु $P(x, y)$ की दूरी $CP = \sqrt{x^2+y^2}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से दीर्घवृत्त की अधिकतम दूरी दीर्घ अक्ष के शीर्षों पर होती है,जो $(\pm 5, 0)$ हैं। अतः,$CP$ का अधिकतम मान $a = 5$ है।
केंद्र से दीर्घवृत्त की न्यूनतम दूरी लघु अक्ष के शीर्षों पर होती है,जो $(0, \pm 4)$ हैं। अतः,$CP$ का न्यूनतम मान $b = 4$ है।
$CP$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $a+b = 5+4 = 9$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 8$।
चूँकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ है,जो $a^2 - b^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
$b^2 = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(a - 4)(a + 2) = 0$।
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$।
तब $b^2 = 2(4) = 8$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है,जो $x^2 + 2y^2 = 16$ में सरल हो जाता है।

(C) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$
बिंदु $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
बिंदु $A$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} \right) = -\frac{b}{a}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.
$A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (ii)$.
$A$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (iii)$.
$X$-अक्ष पर त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ और $(iii)$ में $y=0$ रखें:
स्पर्श रेखा के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. बिंदु $B = (\sqrt{2}a, 0)$.
अभिलंब के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. बिंदु $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $A$ का $y$-निर्देशांक है,जो $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
आधार $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} \right) \times \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) दिया गया वक्र $x=3 \cos \theta$ और $y=2 \sin \theta$ है।
यह एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ को दर्शाता है।
एक स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के लंबवत तब होती है जब स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित हो,जो तब होता है जब $\frac{dx}{d\theta} = 0$ और $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ हो।
अवकलन करने पर: $\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta$।
$\frac{dx}{d\theta} = 0$ रखने पर,$-3 \sin \theta = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = \pi$।
$\theta = 0$ के लिए,$x = 3 \cos(0) = 3$ और $y = 2 \sin(0) = 0$।
$\theta = \pi$ के लिए,$x = 3 \cos(\pi) = -3$ और $y = 2 \sin(\pi) = 0$।
अतः,बिंदु $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(3, 0)$ सही बिंदु है।

(D) माना नाभि $S = (2, -3)$ है और नियता $L: 2x + y - 5 = 0$ है। माना दूसरी नाभि $S' = (h, k)$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $C$,नाभि से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा पर स्थित होता है।
नियता की ढाल $m = -2$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $m' = \frac{1}{2}$ होगी।
अक्ष का समीकरण $x - 2y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z = (3.6, -2.2)$ है।
दीर्घवृत्त के लिए $CS = ae$ और $CZ = \frac{a}{e}$ होता है,जिससे $CS = e^2 CZ$ प्राप्त होता है।
यहाँ $e^2 = \frac{5}{9}$ है,गणना करने पर दूसरी नाभि $S'$ के निर्देशांक $(-4, -6)$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए,दोनों हर (denominators) धनात्मक होने चाहिए।
माना $a^2 = 12-\alpha$ और $b^2 = \alpha-10$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,हमें $12-\alpha > 0$ और $\alpha-10 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $10 < \alpha < 12$।
चूंकि सभी $\alpha \in (10, 12)$ के लिए,$12-\alpha$ और $\alpha-10$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए यह समीकरण $(10, 12)$ अंतराल के सभी मानों के लिए एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(1, -2)$ से दूरी,नियता $x+y-2=0$ से दूरी की $e$ गुना होती है।
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = e^2 \frac{(x+y-2)^2}{1^2+1^2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4) = e^2(x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y)$
$(2-e^2)x^2 - 2e^2xy + (2-e^2)y^2 + (4e^2-4)x + (8+4e^2)y + (10-4e^2) = 0$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $17x^2 - 2xy + 17y^2 - 32x + 76y + 86 = 0$ से करने पर:
$\frac{2-e^2}{17} = \frac{-2e^2}{-2} = \frac{4e^2-4}{-32}$
$\frac{2-e^2}{17} = e^2$ लेने पर:
$2 - e^2 = 17e^2$ $\Rightarrow 18e^2 = 2$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{3}$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ के लिए,$a^2 = 169$ और $b^2 = 144$,इसलिए $a = 13$ और $b = 12$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$ है।
नाभियाँ $S = (5, 0)$ और $S^{\prime} = (-5, 0)$ हैं।
बिंदु $B = (0, 12)$ है।
त्रिभुज $SBS^{\prime}$ की भुजाएँ $10, 13, 13$ हैं।
अंतःकेंद्र के सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{13(5) + 13(-5) + 10(0)}{36} = 0$ और $y = \frac{13(0) + 13(0) + 10(12)}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतःकेंद्र $(0, \frac{10}{3})$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $a^2 = 9$ $(a = 3)$ और $b < 3$ है,उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - e^2)$ होता है।
नाभि $(ae, 0)$ से नियता $x = \frac{a}{e}$ की दूरी $\frac{a}{e} - ae = \frac{b^2}{ae}$ है।
दी गई दूरी $\frac{4}{\sqrt{5}}$ है,अतः $\frac{b^2}{3e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$b^2 = 9(1 - e^2)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3(1 - e^2)}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$e^2 = t$ लेने पर,$45t^2 - 106t + 45 = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $t = e^2 = \frac{5}{9}$ मिलता है,जिससे $b^2 = 4$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} = -\frac{4(3/\sqrt{2})}{9(2/\sqrt{2})} = -\frac{2}{3}$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है,अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
नाभियाँ $S$ और $S^{\prime}$ $(\pm ae, 0)$ पर स्थित हैं,जहाँ $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,नाभियाँ $S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $SS^{\prime} = 2ae = 8$ है।
$\Delta SPS^{\prime}$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times SS^{\prime} \times |y_P|$ है।
क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $|y_P|$ अधिकतम हो,जो कि $b = 3$ है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$ वर्ग इकाई है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P_i = (a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसका परिकेंद्र $(r, s)$ इसका केंद्रक भी है।
अतः,$r = \frac{a}{3} \sum \cos \theta_i$ और $s = \frac{b}{3} \sum \sin \theta_i$ है।
इससे $\sum \cos \theta_i = \frac{3r}{a}$ और $\sum \sin \theta_i = \frac{3s}{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,$(\sum \cos \theta_i)^2 + (\sum \sin \theta_i)^2 = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$ मिलता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3 + 2(\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)) = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$।
$6$ से भाग देने पर,औसत $\frac{1}{3} \sum \cos(\theta_i-\theta_j) = \frac{1}{2} \left[ \frac{3r^2}{a^2} + \frac{3s^2}{b^2} - 1 \right]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y - 11 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36$
मानक रूप: $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है। दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ है।
नियता के समीकरण: $y - k = \pm \frac{b}{e}$
$y - 2 = \pm \frac{3}{\sqrt{5}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$
$y = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 25$,इसलिए $a = 5$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ दी गई है,इसलिए $2(5)e = 8$,जिससे $e = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S^{\prime}$ के निर्देशांक $(-ae, 0) = (-4, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, b \sin \theta)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
नाभीय दूरी $S^{\prime}P$ का मान $a + ex$ होता है।
अतः,$S^{\prime}P = 5 + 5(\frac{4}{5}) \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$.
चूँकि $S^{\prime}P = 7$ दिया गया है,इसलिए $5 + 4 \cos \theta = 7$.
$4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) केंद्र से नाभि की दूरी $ae = \sqrt{5}$ है,इसलिए $a^2e^2 = 5$।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 5$ है,जिसका अर्थ है $a^2 - b^2 = 5$,या $b^2 = a^2 - 5$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ है।
$b^2 = a^2 - 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2(a^2 - 5)}{a} = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
$6(a^2 - 5) = 8a \Rightarrow 3a^2 - 4a - 15 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $3a^2 - 9a + 5a - 15 = 0 \Rightarrow 3a(a - 3) + 5(a - 3) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$।
तब $b^2 = 3^2 - 5 = 4$,अतः $b = 2$।
अंत में,$\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} = \sqrt{3^2 + 6(3)(2) + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$।

(A) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2e^2 = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ है,जो $a^2 - b^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
$b^2 = 2a$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(a - 4)(a + 2) = 0$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
तब $b^2 = 2(4) = 8$।
अंत में,$a^2 + b^2 = 4^2 + 8 = 16 + 8 = 24$।

(C) नाभि $S=(-1, 1)$ है और नियता $2x-3y+1=0$ है,उत्केंद्रता $e=\frac{1}{2}$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $(a, b)$ दीर्घवृत्त के अक्ष पर स्थित होता है,जो नाभि से गुजरता है और नियता के लंबवत होता है।
अक्ष का समीकरण $3x+2y+1=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3a+2b+1=0 \Rightarrow 3a+2b=-1$.

(A) माना नाभि $S(-1, -1)$ है और नियता $L: x + y + 1 = 0$ है। उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $d = \frac{|-1 - 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभि और नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = d$ होती है।
मान रखने पर: $\frac{a}{1/\sqrt{2}} - a(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a\sqrt{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $2a - a = 1$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है।

(A) माना नाभियाँ $S_1 = (3,3)$ और $S_2 = (-4,4)$ हैं,और दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P = (0,0)$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से दोनों नाभियों तक की दूरियों का योग अचर होता है और यह दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
$PS_1 + PS_2 = 2a$
$\sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} + \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = 2a$
$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 2a$
$7\sqrt{2} = 2a \Rightarrow a = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = S_1S_2$ है।
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$2ae = 5\sqrt{2}$
$2 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$7\sqrt{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$e = \frac{5}{7}$.

(C) दीर्घवृत्त $E$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
दिया गया है $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$। $\triangle OBS$ में,$\angle OSB = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इससे $3b^2 = a^2e^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $a^2e^2 = a^2 - b^2$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$3b^2 = a^2 - b^2$,जो $a^2 = 4b^2$ देता है।
बिंदु $(2\sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 4b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{12}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{3}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\frac{4}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 4$ और $a^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
लंबाइयों के वर्गों का योग $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(16) + 4(4) = 64 + 16 = 80$ है।