Ellipse Questions in Hindi

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S_1(ae, 0)$ और $S_2(-ae, 0)$ हैं। दीर्घ अक्ष के सिरे $A(a, 0)$ और $A'(-a, 0)$ हैं। लघु अक्ष के सिरे $B(0, b)$ और $B'(0, -b)$ हैं।
नाभि $S_1$ से दीर्घ अक्ष के सिरे $A$ तक की दूरी $a - ae = 4 - \sqrt{7}$ है।
नाभि $S_1$ से लघु अक्ष के सिरे $B$ तक की दूरी $\sqrt{(ae)^2 + b^2} = 4$ है। चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $\sqrt{(ae)^2 + a^2 - a^2e^2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
$a = 4$ को $a(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ में रखने पर,$4(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ प्राप्त होता है,इसलिए $1 - e = 1 - \frac{\sqrt{7}}{4}$,जिससे $e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ मिलता है।
तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{7}{16}) = 16(\frac{9}{16}) = 9$,इसलिए $b = 3$।
दूरी $S_1S_2 = 2ae = 2(4)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 2\sqrt{7}$ है।
$\triangle BS_1S_2$ में,$BS_1 = BS_2 = 4$ और $S_1S_2 = 2\sqrt{7}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{BS_1^2 + BS_2^2 - S_1S_2^2}{2(BS_1)(BS_2)} = \frac{4^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2(4)(4)} = \frac{16 + 16 - 28}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(2,2)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(i)$ हो जाता है।
चूंकि यह $(3,1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(ii)$ है।
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,हमें $\frac{8}{a^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 = \frac{32}{3}$,जिसका अर्थ है $3a^2 = 32$।
$a^2$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$\frac{9}{32/3} + \frac{1}{b^2} = 1$,इसलिए $\frac{27}{32} + \frac{1}{b^2} = 1$।
इससे $\frac{1}{b^2} = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = \frac{32}{5}$,जिसका अर्थ है $5b^2 = 32$।
इसलिए,$3a^2 + 5b^2 = 32 + 32 = 64$।

(B) नाभियाँ $F_1(-3, 0)$ और $F_2(9, 0)$ दी गई हैं।
केंद्र $(h, k)$ नाभियों का मध्यबिंदु है: $h = \frac{-3+9}{2} = 3$ और $k = 0$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 12$,इसलिए $ae = 6$.
उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{3}$ है,अतः $a(\frac{1}{3}) = 6$,जिससे $a = 18$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 18^2(1 - \frac{1}{9}) = 288$,इसलिए $b = 12\sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = h + a \cos \theta$ और $y = k + b \sin \theta$ के अनुसार,$x = 3 + 18 \cos \theta$ और $y = 12\sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = 1$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$e^2 = \frac{3}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$b^2 = a^2(1 - \frac{3}{4}) = \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$ या $b^2 = \frac{a^2}{4}$।
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर: $\frac{2(a^2/4)}{a} = 1$।
यह सरल होकर $\frac{a}{2} = 1$ देता है,इसलिए $a = 2$।
तब $b^2 = \frac{2^2}{4} = 1$,इसलिए $b = 1$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(2) = 4$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(1) = 2$ है।
दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों का योग $4 + 2 = 6$ है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ $S^{\prime}$ पर स्थित हैं।
$Q$ को सरल करने पर,$Q \equiv (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$,$S^{\prime}$ पर स्थित है:
$\frac{a^2 \cos^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \sin^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(i)$
चूंकि $Q$,$S^{\prime}$ पर स्थित है:
$\frac{a^2 \sin^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \cos^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$\frac{a^2}{\alpha^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{b^2}{\beta^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2$
$\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{b^2}{\beta^2} = 2$
$\frac{a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2}{\alpha^2 \beta^2} = 2$
अतः,$\frac{1}{2}(a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2) = \alpha^2 \beta^2$.

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है जिसका केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $x+y-10=0$ में दीर्घवृत्त का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम केंद्र $(0,0)$ का प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।
माना प्रतिबिंब $(h,k)$ है। $(0,0)$ और $(h,k)$ को जोड़ने वाली रेखा $x+y-10=0$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $1$ है। अतः,$\frac{k-0}{h-0} = 1 \implies k=h$.
मध्यबिंदु $(\frac{h}{2}, \frac{k}{2})$ रेखा $x+y-10=0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{h}{2}+\frac{k}{2}=10 \implies h+k=20$.
$k=h$ प्रतिस्थापित करने पर,$2h=20 \implies h=10, k=10$.
केंद्र का प्रतिबिंब $(10,10)$ है।
दीर्घवृत्त का आकार और माप नहीं बदलते हैं,इसलिए नया समीकरण $\frac{(x-10)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{16}=1$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{(x-10)^2}{16}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$ के साथ तुलना करने पर,हर (denominators) आपस में बदल गए हैं।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ वक्र के प्रतिबिंब की मानक परिभाषा है,जो सत्य है।
इसलिए,$(A)$ असत्य है लेकिन $(R)$ सत्य है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + by^2 = 15$ है,जिसे $\frac{x^2}{15/a} + \frac{y^2}{15/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $a'^2 = \frac{15}{a}$ और $b'^2 = \frac{15}{b}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2a'e = 2 \Rightarrow a'e = 1$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a'}{e} = 5 \Rightarrow \frac{a'}{e} = \frac{5}{2}$ है।
इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(a'e) \times (a'/e) = 1 \times \frac{5}{2} \Rightarrow a'^2 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a'^2 = \frac{15}{a}$,इसलिए $\frac{15}{a} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = 6$ है।
$a'e = 1$ का उपयोग करने पर,$e^2 = \frac{1}{a'^2} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$b'^2 = a'^2(1 - e^2) = \frac{5}{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $b'^2 = \frac{15}{b}$,इसलिए $\frac{15}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow b = 10$ है।
अतः,$a + b = 6 + 10 = 16$ है।

(A) कथन $I$ के लिए: समीकरण $4x^2+y^2-8x-4y+4=0$ को $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $b > a$ है,इसलिए उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
नियता $y = 2 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ है,अर्थात $3y = 6 \pm 4\sqrt{3}$। अतः कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: समीकरण $x^2+4y^2-4x-8y+4=0$ को $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ नाभिलंब $x = 2 \pm \sqrt{3}$ है। अतः कथन $II$ असत्य है।

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 3a$।
नाभि $(ae, 0)$ और निकटतम शीर्ष $(a, 0)$ के बीच की दूरी $a - ae = a(1 - e) = \frac{5}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।
$b^2 = 3a$ प्रतिस्थापित करने पर,$3a = a^2(1 - e^2)$,अतः $3 = a(1 - e^2) = a(1 - e)(1 + e)$।
चूँकि $a(1 - e) = \frac{5}{3}$,इसलिए $3 = \frac{5}{3}(1 + e)$।
इससे $1 + e = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है,अतः $e = \frac{4}{5}$।
अब,हम जाँचते हैं कि $e = \frac{4}{5}$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $A$ के लिए: $25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$।
अतः,$e$ समीकरण $25e^2 - 40e + 16 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $25x^2+16y^2-150x-64y-111=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$25(x-3)^2 + 16(y-2)^2 = 400$
$400$ से भाग देने पर:
$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 25$,इसलिए $a = 4$ और $b = 5$ है।
नाभिलंब की लंबाई $m = \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $n = 2b = 2 \times 5 = 10$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(m, n) = \left(\frac{32}{5}, 10\right)$ है।

(D) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(0, 0)$ से दूरी,नियता $x = 4$ से दूरी की $e$ गुना होती है।
$SP^2 = e^2 \times (\text{नियता से दूरी})^2$
$x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु $3$ से गुणा करने पर:
$9x^2 + 24x + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 - 16 + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 + 12y^2 = 64$

(A) दिया गया समीकरण $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ है।
$25$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2y+1)^2}{25/4} + \frac{(2x+y+2)^2}{25/9} = 1$।
माना $X = \frac{x-2y+1}{\sqrt{5}}$ और $Y = \frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}$।
समीकरण $\frac{X^2}{5/4} + \frac{Y^2}{5/9} = 1$ हो जाता है।
यहाँ $a^2 = 5/4$ और $b^2 = 5/9$,इसलिए $a = \sqrt{5}/2$ और $b = \sqrt{5}/3$।
दीर्घ अक्ष $X=0$ अर्थात $x-2y+1=0$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5}/3$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = \sqrt{5}$ है।
केंद्र $(-4/5, -2/5)$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,अंतर्निहित आयत के शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a \cos \theta, \pm b \sin \theta)$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2a \cos \theta)(2b \sin \theta) = 2ab \sin 2\theta$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$।
दी गई लंबाई $L = 2a \cos \theta = 2a \cos(\frac{\pi}{4}) = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$,इसलिए $a = 8$।
दी गई चौड़ाई $B = 2b \sin \theta = 2b \sin(\frac{\pi}{4}) = b\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $b = 4$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b > a$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2a$ है।
दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई लघु अक्ष की लंबाई की $\frac{2}{3}$ गुनी है:
$\frac{2a^2}{b} = \frac{2}{3}(2a)$
$\frac{a^2}{b} = \frac{2a}{3}$
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{9}$
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(A) दिया गया है,दीर्घवृत्त का समीकरण $16 x^2+25 y^2=400$ $\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=5$ और $b=4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
माना $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है।
नाभीय दूरियाँ $P F_1 = 5 - 3 \cos \theta$ और $P F_2 = 5 + 3 \cos \theta$ हैं।
अब,गुणनफल $P F_1 \cdot P F_2 = (5 - 3 \cos \theta)(5 + 3 \cos \theta) = 25 - 9 \cos^2 \theta$ है।
चूँकि $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$25 - 9(1) \leq 25 - 9 \cos^2 \theta \leq 25 - 9(0)$
$16 \leq P F_1 \cdot P F_2 \leq 25$.
अतः,मान $[16, 25]$ अंतराल में स्थित है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2+4y^2=36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (चूंकि $9 > 4$) से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 3$ और $b = 2$ मिलता है।
दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए,उसकी नाभीय दूरियों का योग $PF_1 + PF_2$ दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
यहाँ,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है क्योंकि $a > b$ है।
अतः,नाभीय दूरियों का योग $2a = 2 \times 3 = 6$ है।

(C) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 8$।
संबंध $a^2e^2 = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$a^2 - b^2 = 8$।
$b^2 = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,$a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $(a - 4)(a + 2) = 0$ को हल करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है (क्योंकि $a > 0$)।
अतः $b^2 = 2(4) = 8$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$16$ से गुणा करने पर,$x^2 + 2y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यह $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{b^2} = 1$ $(i)$।
नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$ अर्थात $a^2 e^2 = 16$।
संबंध $b^2 = a^2 - a^2 e^2$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2 - 16$।
समीकरण $(i)$ में $b^2$ का मान रखने पर: $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{a^2 - 16} = 1$।
सरल करने पर $a^4 - 44a^2 + 288 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(a^2 - 36)(a^2 - 8) = 0$।
$b^2 > 0$ होने के कारण $a^2 = 36$।
अतः,$e^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$,अर्थात $e = \frac{2}{3}$।

(A) चूंकि दिए गए दीर्घवृत्त की नाभियाँ $Y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है।
माना अभीष्ट समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 > b^2$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c) = (0, \pm 1)$ हैं,जिसका अर्थ है $c = 1$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = \sqrt{5}$ है,इसलिए $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ और $a^2 = \frac{5}{4}$ है।
संबंध $c^2 = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$1 = \frac{5}{4} - b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$।
$a^2$ और $b^2$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{5/4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $4x^2 + \frac{4y^2}{5} = 1$ या $20x^2 + 4y^2 = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $(x, y)$ से नाभि की दूरी,बिंदु से नियता की दूरी की $e$ गुना होती है: $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = \frac{1}{2} \frac{|3x+4y-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{1}{4} \frac{(3x+4y-5)^2}{25}$.
$100(x^2-2x+1+y^2-4y+4) = (3x+4y-5)^2$.
$100(x^2+y^2-2x-4y+5) = 9x^2+16y^2+25+24xy-30x-40y$.
$100x^2+100y^2-200x-400y+500 = 9x^2+16y^2+24xy-30x-40y+25$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $91x^2+84y^2-24xy-170x-360y+475=0$.

(D) माना कि अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,केंद्र से प्रत्येक नाभि की दूरी $ae$ है,इसलिए दूरियों का योग $2ae = 8\sqrt{6} \Rightarrow ae = 4\sqrt{6}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 96$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $a^2 - b^2 = 96 \quad (i)$ प्राप्त होता है।
वह सबसे छोटा आयत जिसमें दीर्घवृत्त स्थित है,उसकी भुजाएँ $2a$ और $2b$ हैं। अतः $4ab = 80$ $\Rightarrow ab = 20$ $\Rightarrow a^2b^2 = 400 \quad (ii)$ है।
सर्वसमिका $(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2$ का उपयोग करने पर,$(a^2+b^2)^2 = (96)^2 + 4(400) = 10816$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$a^2+b^2 = 104 \quad (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2a^2 = 200 \Rightarrow a^2 = 100$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से $(i)$ को घटाने पर,$2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $A(-ae, 0)$ और $B(ae, 0)$ हैं और अर्ध-लघु अक्ष का अंतिम बिंदु $T(0, b)$ है।
$AT$ की ढाल $m_1 = \frac{b}{ae}$ है और $BT$ की ढाल $m_2 = -\frac{b}{ae}$ है।
चूँकि $\angle ATB = 90^{\circ}$ है,इसलिए ढालों का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2 e^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2 = a^2 e^2$ को समीकरण में रखने पर:
$a^2 e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2
$ $\Rightarrow 2e^2 = 1
$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}
$ $\Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) माना आयत $ABCD$ की विमाएँ $2a$ और $2b$ हैं। दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ है।
विकर्णों के बीच का कोण $2\theta$ है। आयत की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{b}{a}$ है।
विकर्णों के बीच का कोण $\tan(2\theta) = 4\sqrt{3}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$4\sqrt{3} = \frac{2(b/a)}{1-(b/a)^2}$
$2\sqrt{3} = \frac{b/a}{1-(b/a)^2}$
माना $k = b/a$ है। तब $2\sqrt{3}k^2 + k - 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - k^2}$ है।
$e = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) दिया गया है,उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$,केंद्र $(0, 0)$ और नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = 4$ है।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\frac{a}{1/2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 2$ है।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ है।
मूल बिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त $S$ है $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$। इसके शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं। माना $A = (0, 3)$।
दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए,दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है,$a^2=9, b^2=4$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।
माना $F = (\sqrt{5}, 0)$। बिंदु $P$,$\overline{OF}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$P = \left(\frac{2(\sqrt{5})+1(0)}{2+1}, 0\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$।
$A(0, 3)$ और $P\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = \frac{0-3}{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}(x-0)$ है,जो सरल होकर $y = -\frac{9}{2\sqrt{5}}x + 3$ हो जाता है।
$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x$ को $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{(3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2}{4} + \frac{9(1 - \frac{3}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ $\Rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}x + \frac{9}{20}x^2 = 1$।
$\frac{5x^2 + 9x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow \frac{14x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow x = 0$ या $x = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{20}{14} = \frac{30}{7\sqrt{5}}$।
$x = \frac{30}{7\sqrt{5}}$ के लिए,$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}(\frac{30}{7\sqrt{5}}) = 3 - \frac{270}{70} = 3 - \frac{27}{7} = -\frac{6}{7}$।
जीवा की लंबाई $\sqrt{(\frac{30}{7\sqrt{5}} - 0)^2 + (-\frac{6}{7} - 3)^2} = \sqrt{\frac{900}{49 \times 5} + (-\frac{27}{7})^2} = \sqrt{\frac{180}{49} + \frac{729}{49}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{7}$।
अतः,$k=7$।

(A) दिया गया है कि दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $X$-अक्ष पर है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 > b^2$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $(i)$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है,इसलिए $e^2 = \frac{2}{5}$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2(1 - \frac{2}{5}) = a^2(\frac{3}{5})$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{3a^2}{5}$ (ii).
(ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{9}{a^2} + \frac{5}{3a^2} = 1$.
$3a^2$ से गुणा करने पर: $27 + 5 = 3a^2$,इसलिए $3a^2 = 32$,जिससे $a^2 = \frac{32}{3}$ प्राप्त होता है।
तब $b^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ है,जो सरल होकर $3x^2 + 5y^2 = 32$ बनता है।

(D) दिया गया समीकरण: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$
मानक रूप: $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$
यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 4$ है,अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be) = (1, -1 \pm \sqrt{3})$ हैं।
नियता का समीकरण $y = k \pm \frac{b}{e} = -1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,नाभि $(1, -1-\sqrt{3})$ के लिए नियता $\sqrt{3}y + \sqrt{3} + 4 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $25x^2 + 100x + 4y^2 - 4y + 100 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $25(x + 2)^2 + 4(y - 1/2)^2 = 1$
मानक रूप: $\frac{(x + 2)^2}{(1/5)^2} + \frac{(y - 1/2)^2}{(1/2)^2} = 1$
यहाँ $a^2 = 1/25$ और $b^2 = 1/4$ है। चूँकि $b > a$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर $(x = -2)$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be)$ होती हैं,जहाँ $(h, k) = (-2, 1/2)$ है।
नाभियाँ $= (-2, 1/2 \pm \sqrt{21}/10) = (-2, \frac{5 \pm \sqrt{21}}{10})$।

(A) नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
चूंकि $\triangle SBS^{\prime}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है,इसलिए $SB = S^{\prime}B$ और $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$ होगा।
$SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$SS^{\prime} = 2ae$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$.
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$.
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$.
$b^2 = a^2e^2$.
चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $a^2(1-e^2) = a^2e^2$.
$1-e^2 = e^2$.
$2e^2 = 1$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
यहाँ,$a^2=25 \implies a=5$ और $b^2=16 \implies b=4$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग $PS+PS^{\prime} = 2a$ होता है।
अतः,$PS+PS^{\prime} = 2 \times 5 = 10$.
दिया गया है $SP=8$,इसलिए $8+PS^{\prime} = 10 \implies PS^{\prime} = 2$.
नाभियों के बीच की दूरी $SS^{\prime} = 2ae = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$4+S^{\prime}P = 4+2 = 6$.
इसलिए,$SS^{\prime} = 4+S^{\prime}P$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$h=3, k=2, a^2=25, b^2=16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$(i)$ दीर्घ अक्ष का समीकरण $y = k$ है,अतः $y = 2$। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ नियता (directrix) के समीकरण $x = h \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
$x = 3 \pm \frac{5}{3/5} = 3 \pm \frac{25}{3}$।
$x = 3 + \frac{25}{3} = \frac{34}{3} \Rightarrow 3x = 34$।
$x = 3 - \frac{25}{3} = -\frac{16}{3} \Rightarrow 3x = -16$।
अतः,$3x = 34$ विकल्प $(p)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ नाभिलंब (latus rectum) के समीकरण $x = h \pm ae$ होते हैं।
$x = 3 \pm (5 \times \frac{3}{5}) = 3 \pm 3$।
$x = 3 + 3 = 6$ या $x = 3 - 3 = 0$।
अतः,$x = 6$ विकल्प $(s)$ से मेल खाता है।
इसलिए,सही मिलान $(i) \rightarrow (q)$,$(ii) \rightarrow (p)$,$(iii) \rightarrow (s)$ है।

(P-6, Q-1, R-3) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ,$a^2=25 \Rightarrow a=5$ और $b^2=16 \Rightarrow b=4$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$(P)$ नाभि $(-ae, 0) = (-3, 0)$ के संगत नियता $x = -\frac{a}{e} = -\frac{5}{3/5} = -\frac{25}{3}$ है,जो $3x + 25 = 0$ देता है। यह $(6)$ से मेल खाता है।
$(Q)$ शीर्ष $(0, 4)$ पर स्पर्श रेखा $y = 4$ है। यह $(1)$ से मेल खाता है।
$(R)$ नाभि $(ae, 0) = (3, 0)$ से गुजरने वाला नाभिलंब $x = ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ है। यह $(3)$ से मेल खाता है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम वर्गों के भीतर के रैखिक व्यंजकों को शून्य के बराबर रखते हैं:
$x+y-3=0 \quad (i)$
$x-y+1=0 \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x+y-3) + (x-y+1) = 0 + 0$
$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x=1$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1+y-3=0 \Rightarrow y=2$
अतः,दीर्घवृत्त का केंद्र $(1,2)$ है।

(B) नाभियों का $y$-निर्देशांक $0$ है,अतः मुख्य अक्ष $X$-अक्ष पर है। \\
दिया है $ae = 4$। \\
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। \\
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2 = a^2 - 16$,बिंदु $(4\sqrt{2}, 2\sqrt{6})$ को प्रतिस्थापित करने पर: \\
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$ \\
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$ \\
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$ \\
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$ \\
चूँकि $a > ae$,इसलिए $a^2 > 16$,अतः $a^2 = 64$ और $a = 8$। \\
$ae = 4$ का उपयोग करने पर,$8e = 4$,जिससे $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा $2x + 5y = 12$ है और दीर्घवृत्त $4x^2 + 5y^2 = 20$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $x = \frac{12 - 5y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4\left(\frac{12 - 5y}{2}\right)^2 + 5y^2 = 20$
$(12 - 5y)^2 + 5y^2 = 20$
$144 - 120y + 25y^2 + 5y^2 = 20$
$30y^2 - 120y + 124 = 0$
$15y^2 - 60y + 62 = 0$
विविक्तकर $D = (-60)^2 - 4(15)(62) = 3600 - 3720 = -120$.
चूंकि $D < 0$,रेखा दीर्घवृत्त को किसी भी वास्तविक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त पूरी नहीं होती है,और उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$
$4$ से भाग देने पर:
$\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$
मानक रूप $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केन्द्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है।
$1 = 4(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) यहाँ,नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,इसलिए $ae = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,इसलिए $b = 4$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$।
$b = 4$ और $ae = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $16 = a^2 - (3)^2$।
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$।
अतः,उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(A) दिया गया समीकरण $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ प्राप्त होता है।
यह $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ में सरल हो जाता है।
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$ प्राप्त होता है।
यह $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$ में सरल हो जाता है।
$45$ से विभाजित करने पर,मानक रूप $\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$।
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$।