Ellipse Questions in Hindi

(A) केंद्र $(0, 0)$ और $X$-अक्ष पर मुख्य अक्ष वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(-3, 1)$ और $(2, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(-3, 1)$ के लिए: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(i)$
$(2, -2)$ के लिए: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$
समीकरण $(ii)$ में $a^2$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ अर्थात $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।

(C) दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2$ दी गई है,इसलिए $ae = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{15}{2}$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{15a}{4}$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करते हुए,$ae = 1$ और $b^2 = \frac{15a}{4}$ रखने पर:
$\frac{15a}{4} = a^2 - 1$
$4a^2 - 15a - 4 = 0$
$(4a + 1)(a - 4) = 0$
चूँकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,$a = 4$ है।
तब $b^2 = \frac{15(4)}{4} = 15$ है।
$a^2 = 16$ और $b^2 = 15$ को मानक समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{15} = 1$
$15x^2 + 16y^2 = 240$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 13 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$2(x - 1)^2 + 3(y - 2)^2 = 1$.
मानक रूप: $\frac{(x - 1)^2}{1/2} + \frac{(y - 2)^2}{1/3} = 1$.
यहाँ $a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1/3$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{1/3}{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
नाभियों की दूरी $ae = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
केंद्र $(1, 2)$ है,अतः नाभियाँ $\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 2\right)$ होंगी।

(B) मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त के समीकरण का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिए गए शीर्ष $(5,0)$ और $(0,-4)$ हैं,जो अक्षों पर अंतःखंडों को दर्शाते हैं।
$x$-अंतःखंड $\pm a = \pm 5$ है,इसलिए $a^2 = 25$ है।
$y$-अंतःखंड $\pm b = \pm 4$ है,इसलिए $b^2 = 16$ है।
इन मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,नाभि $S = (6, 2)$,केंद्र $C = (1, 2) = (h, k)$,और दीर्घवृत्त बिंदु $P = (4, 6)$ से होकर गुजरता है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है।
केंद्र $(1, 2)$ रखने पर,हमें $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
चूंकि दीर्घवृत्त $P(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(4-1)^2}{a^2} + \frac{(6-2)^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{9}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$ हो जाता है ... (ii)।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = 6 - 1 = 5$ है,इसलिए $a^2e^2 = 25$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2 - 25$,या $a^2 = b^2 + 25$ प्राप्त होता है ... (iii)।
$a^2$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{9}{b^2+25} + \frac{16}{b^2} = 1$।
$9b^2 + 16(b^2 + 25) = b^2(b^2 + 25) \implies 25b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 \implies b^4 = 400 \implies b^2 = 20$।
(iii) से,$a^2 = 20 + 25 = 45$।
अतः,समीकरण $\frac{(x-1)^2}{45} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1$ है।

(D) दिया है: केंद्र $(0,0)$,उत्केंद्रता $e = 1/2$,और नियता $x = 4$ है।
मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त के लिए नियता का समीकरण $x = a/e$ होता है,इसलिए $a/e = 4$ है।
$e = 1/2$ रखने पर,$a = 4 \times (1/2) = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
प्रश्न के अनुसार,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$ ... $(i)$।
शीर्ष $(a, 0)$ और निकटतम नाभि $(ae, 0)$ के बीच की दूरी $a - ae = 3/2$ है,जिसका अर्थ है $a(1 - e) = 3/2$ ... $(ii)$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है। इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2a^2(1 - e^2)}{a} = 4$ $\Rightarrow 2a(1 - e^2) = 4$ $\Rightarrow a(1 - e^2) = 2$।
चूंकि $a(1 - e) = 3/2$ है,हम $a(1 - e)(1 + e) = 2$ लिख सकते हैं।
$a(1 - e) = 3/2$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$\frac{3}{2}(1 + e) = 2$ $\Rightarrow 1 + e = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow e = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।
अतः,उत्केंद्रता $1/3$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 25y^2 = 100$ है।
दोनों पक्षों को $100$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $P = (-ae, 0)$ और $Q = (ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का सिरा $R = (0, b)$ है।
चूँकि $\triangle PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $PQ = PR = QR$ है।
$PQ = 2ae$ है।
$PR = \sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
$PQ^2 = PR^2$ रखने पर,$(2ae)^2 = a^2e^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$4a^2e^2 = a^2e^2 + b^2 \implies 3a^2e^2 = b^2$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$3a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$3e^2 = 1 - e^2 \implies 4e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$e = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
ऊपरी शीर्ष $V(0, b)$ है।
नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड $SS'$,$V(0, b)$ पर $2\alpha$ का कोण बनाता है।
इसका अर्थ है $\angle SVS' = 2\alpha$,अतः $\angle SVO = \alpha$,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle SVO$ में,$\tan \alpha = \frac{SO}{VO} = \frac{ae}{b}$ है।
अतः,$ae = b \tan \alpha$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2 - a^2e^2$ है।
$ae = b \tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^2 = a^2 - (b \tan \alpha)^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = b^2 + b^2 \tan^2 \alpha = b^2(1 + \tan^2 \alpha) = b^2 \sec^2 \alpha$ है।
अतः,$a = b \sec \alpha$ है।
अब,उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{b \tan \alpha}{b \sec \alpha} = \sin \alpha$ है।

(C) समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं। शीर्षों के निर्देशांक $i=1, 2, 3$ के लिए $(a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ हैं।
अतः,$(l, m) = \left(\frac{a(\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)}{3}, \frac{b(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)}{3}\right)$.
इससे $\frac{3l}{a} = \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$ और $\frac{3m}{b} = \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = (\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)^2 + (\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_3 \cos \theta_1 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_2 \sin \theta_3 + \sin \theta_3 \sin \theta_1)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
$3$ से भाग देने पर:
$\frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} = 1 + \frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
अतः,$\frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)] = \frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} - 1$.

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ है। प्रथम चतुर्थांश में आयत का एक शीर्ष $(x, y) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ मानिए।
आयत की लंबाई $l = 2x = 16 \cos \theta$ और चौड़ाई $b = 2y = 8 \sin \theta$ है।
क्षेत्रफल $A = l \times b = (16 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin 2 \theta$.
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin 2 \theta = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$l = 16 \cos \frac{\pi}{4} = 16 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$.
$b = 8 \sin \frac{\pi}{4} = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
अतः,$(l, b) = (8 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$.

(B) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(x-1)^2 + 4(y-1)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर:
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$.
यहाँ $a^2=4$ और $b^2=9$ है। अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be)$ द्वारा प्राप्त होती हैं,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ है।
नाभियाँ $= (1, 1 \pm \sqrt{5})$ हैं।
अतः नाभिलंब के समीकरण $y = 1 \pm \sqrt{5}$ हैं।

(B) दिया गया है,शीर्ष $V = (6, 1)$ और नाभि $S = (4, 1)$ है। चूँकि $y$-निर्देशांक समान हैं,दीर्घ अक्ष क्षैतिज है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a - ae = |6 - 4| = 2$ है।
$e = \frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए $a(1 - e) = 2$ $\Rightarrow a(1 - \frac{3}{5}) = 2$ $\Rightarrow a(\frac{2}{5}) = 2$ $\Rightarrow a = 5$।
केंद्र $(h, k)$ रेखा $y = 1$ पर स्थित है। केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = 5$ है। चूँकि शीर्ष $(6, 1)$ पर है और नाभि $(4, 1)$ पर है,केंद्र $(6 - 5, 1) = (1, 1)$ होगा।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16$।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
माना $LL^{\prime}$ नाभिलंब है,तो $L$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।
चूंकि $LL^{\prime}$ केंद्र $C(0,0)$ पर समकोण $(\pi/2)$ अंतरित करता है,इसलिए $\angle LCS = \pi/4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle LCS$ में,$\tan(\angle LCS) = \frac{LS}{CS}$ है।
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{b^2/a}{ae}$
$1 = \frac{b^2}{a^2e}$
$a^2e = b^2$
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $a^2e = a^2(1 - e^2)$ है।
$e = 1 - e^2$
$e^2 + e - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त की नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं। लघु अक्ष के सिरे $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि $\triangle SBS^{\prime}$,$B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $SB^2 + S^{\prime}B^2 = (SS^{\prime})^2$ होगा।
दूरी $SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
इसी प्रकार,$S^{\prime}B = \sqrt{(-ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
साथ ही,$SS^{\prime} = 2ae$ है।
पाइथागोरस प्रमेय में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$
$a^2e^2 + b^2 = 2a^2e^2$
$b^2 = a^2e^2$
$\frac{b^2}{a^2} = e^2$
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$ है।
$\frac{b^2}{a^2}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(1, -1)$ से दूरी,$P$ की नियता $x+y+2=0$ से दूरी की $e$ गुनी होती है।
$SP^2 = e^2 \times (\text{लंबवत दूरी})^2$
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{(x+y+2)^2}{2}$
सरल करने पर,$7x^2 + 7y^2 - 4xy - 26x - 26y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{2-r} + \frac{y^2}{r-5} = -1$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x^2}{r-2} + \frac{y^2}{5-r} = 1$ प्राप्त होता है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए,हर (denominators) धनात्मक होने चाहिए,अर्थात $r-2 > 0$ और $5-r > 0$।
इसका अर्थ है $r > 2$ और $r < 5$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2 < r < 5$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = 3 \cos \theta$ और $y = 4 \sin \theta$.
अतः,$\frac{x}{3} = \cos \theta$ और $\frac{y}{4} = \sin \theta$.
इनका वर्ग करके जोड़ने पर:
$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2 \sqrt{b^2 - a^2} = 2 \sqrt{16 - 9} = 2 \sqrt{7}$ होगी।

(B) दिया गया समीकरण: $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 2y) = 164$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25$
$9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 = 225$
$225$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभिलंब के समीकरण $x - h = \pm ae$ होते हैं।
$x - 2 = \pm 5 \times \frac{4}{5} = \pm 4$
$x = 2 + 4 = 6$ और $x = 2 - 4 = -2$
अतः,समीकरण $x - 6 = 0$ और $x + 2 = 0$ हैं।

(A) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु की उसकी दो नाभियों से दूरियों का योग मुख्य अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
दिया गया है $SP_1 + SP_2 = 2a$,जहाँ $SP_1 = \frac{7}{2}$ और $SP_2 = \frac{13}{2}$ है।
$2a = \frac{7}{2} + \frac{13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \Rightarrow a = 5$।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5e, 0)$ पर हैं।
माना $S = (5e, 0)$ और $P = \left(\frac{5}{2}, 2\sqrt{3}\right)$ है।
दूरी $SP = \frac{7}{2}$ है।
$SP^2 = \left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$।
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + 12 = \frac{49}{4}$।
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 12 = \frac{1}{4}$।
$5e - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $5e = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow e = \frac{3}{5}$।
अतः,उत्केंद्रता $3/5$ है।

(D) चूंकि $(\alpha, -\alpha)$ दीर्घवृत्त $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ के अंदर स्थित है,इसलिए:
$4(\alpha)^2 + 5(-\alpha)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 + 5\alpha^2 - 1 < 0$
$9\alpha^2 < 1$
$\alpha^2 < \frac{1}{9}$
$-\frac{1}{3} < \alpha < \frac{1}{3}$
अतः,$\alpha$ के लिए अंतराल $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ है।
इस अंतराल की लंबाई $\beta = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\beta = \frac{2}{3}$ को व्यंजक में रखने पर:
$(6\beta - 4)^{201} + 201 = (6 \times \frac{2}{3} - 4)^{201} + 201$
$= (4 - 4)^{201} + 201$
$= 0^{201} + 201 = 201$.

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2+9y^2-16x-54y+61=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$4(x-2)^2+9(y-3)^2=36$
$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(2,3)$ है और दीर्घ अक्ष रेखा $y=3$ पर स्थित है।
बिंदु $(1,3)$ समीकरण $y=3$ को संतुष्ट करता है,जो दीर्घ अक्ष का समीकरण है।
अतः,बिंदु $(1,3)$ दीर्घ अक्ष पर स्थित है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $F_1(ae, 0)$ और $F_2(-ae, 0)$ हैं।
त्रिभुज $P F_1 F_2$ का आधार नाभियों के बीच की दूरी $F_1 F_2 = 2ae$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $P$ के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $h = |b \sin \theta|$ है।
त्रिभुज $P F_1 F_2$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = aeb |\sin \theta|$ है।
$A$ के अधिकतम मान के लिए,$|\sin \theta|$ का अधिकतम मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$A_{\text{max}} = aeb$ है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत का शीर्ष $(x, y) = (8\cos\theta, 2\sin\theta)$ मानिए।
आयत की भुजाएँ $2x = 16\cos\theta$ और $2y = 4\sin\theta$ हैं।
क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 64\sin\theta\cos\theta = 32\sin(2\theta)$।
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$\sin(2\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 45^\circ$।
अतः,भुजाएँ $16\cos(45^\circ) = 8\sqrt{2}$ और $4\sin(45^\circ) = 2\sqrt{2}$ हैं।

(D) चूंकि मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के अनुदिश है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b > a$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है,इसलिए $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{5}$।
$\frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \implies b^2 = \frac{5a^2}{3}$।
दीर्घवृत्त $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(-3)^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$।
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$।
$b^2 = \frac{5a^2}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{9}{a^2} + \frac{3}{5a^2} = 1$।
$\frac{45 + 3}{5a^2} = 1 \implies 5a^2 = 48 \implies a^2 = \frac{48}{5}$।
अतः $b^2 = \frac{5}{3} \times \frac{48}{5} = 16$।
समीकरण $\frac{x^2}{48/5} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
$\frac{5x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1 \implies 5x^2 + 3y^2 = 48$।

(B) दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों $(-1, 0)$ और $(7, 0)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 7 - (-1) = 8$ है,इसलिए $ae = 4$।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमारे पास $a(\frac{1}{2}) = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 8$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2 = 8^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 64(1 - \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$।
केंद्र $(h, k)$ वाले दीर्घवृत्त पर एक बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $(3 + 8 \cos \theta, 0 + 4 \sqrt{3} \sin \theta) = (3 + 8 \cos \theta, 4 \sqrt{3} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
मध्यबिंदु $(1,1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$(x_1, y_1) = (1, 1)$,$a^2=4$,और $b^2=9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x(1)}{4}+\frac{y(1)}{9}-1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{9}-1$
$\frac{x}{4}+\frac{y}{9} = \frac{13}{36}$
$4$ से गुणा करने पर:
$x+\frac{4}{9}y = \frac{13}{9}$
इसे $x+\alpha y=\beta$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{4}{9}$ और $\beta = \frac{13}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+1 = \frac{4}{9}+1 = \frac{13}{9} = \beta$।
इस प्रकार,$\alpha+1=\beta$।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। निर्देशांक $A(a, 0)$,$B(0, b)$,और $B^{\prime}(0, -b)$ हैं।
दिया गया है कि $\angle BAB^{\prime} = 60^{\circ}$,इसलिए रेखा $AB$ दीर्घ अक्ष $AA^{\prime}$ के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$\triangle OAB$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OB}{OA} = \frac{b}{a}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt{3}b$।
केंद्र $O$ से नाभि $S$ की दूरी $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3b^2 - b^2} = \sqrt{2}b$ है।
मान लीजिए $\angle SBS^{\prime} = 2\theta$,जहाँ $\theta = \angle OBS$ है। $\triangle OBS$ में,$\tan \theta = \frac{OS}{OB} = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}b}{b} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$\angle SBS^{\prime} = 2\theta = 2 \tan^{-1}(\sqrt{2})$।

(B) माना दीर्घवृत्त पर दो बिंदु $A(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ और $B(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ हैं।
दीर्घवृत्त का केंद्र $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O$ पर समकोण अंतरित करने के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = -1$ होना चाहिए।
$m_1 \times m_2 = \left(\frac{b}{a} \tan \theta_1\right) \times \left(\frac{b}{a} \tan \theta_2\right) = \frac{b^2}{a^2} (\tan \theta_1 \tan \theta_2)$.
दिया गया है कि $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,इसलिए:
$m_1 \times m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$.
अतः,जीवा $AB$ केंद्र पर समकोण अंतरित करती है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $A(\alpha)$ और $B(\beta)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a=5$ और $b=3$ है। नाभि $(ae, 0) = (4, 0)$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(4, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=4$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{4}{5} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
विस्तार करने पर:
$4(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}) = 5(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2})$.
दोनों पक्षों को $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$ से विभाजित करने पर:
$4(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 1) = 5(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 1)$.
$4 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 4 = 5 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 5$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = -9$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ के लिए,$a^2=36$ और $b^2=27$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं।
चूँकि $e^2 = 1 - \frac{27}{36} = \frac{1}{4}$,इसलिए $e = \frac{1}{2}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त का एक प्रसिद्ध गुण यह है कि नाभियों से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंबवत दूरियों का गुणनफल हमेशा अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग $(b^2)$ के बराबर होता है।
यहाँ,$b^2 = 27$ है।
अतः,नाभियों $(3,0)$ और $(-3,0)$ से स्पर्श रेखा पर लंबवत दूरियों का गुणनफल $27$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 4y^2 = 4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 1$,इसलिए $a = 2$ और $b = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ वाली नाभीय जीवा के सिरों के निर्देशांक $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ हैं।
जीवा के नाभीय होने की शर्त $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = e \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ है।
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,यदि $\alpha$ और $\beta$ नाभीय जीवा के सिरों के उत्केंद्र कोण हैं,तो $\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{e-1}{e+1}$ होता है।
यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5$ है।
अतः,$\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{4/5 - 1}{4/5 + 1} = -1/9$ है।
इसलिए,$\frac{\cot(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{1}{\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2)} = -9$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + y^2 = 1$ है। जीवा का समीकरण $x - y + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = x + 1$.
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y = x + 1$ रखने पर: $2x^2 + (x + 1)^2 = 1$.
$2x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1 \implies 3x^2 + 2x = 0$.
$x(3x + 2) = 0$,अतः $x_1 = 0$ और $x_2 = -\frac{2}{3}$.
संगत $y$ मान: $y_1 = 0 + 1 = 1$ और $y_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,बिंदु $A(0, 1)$ और $B(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
$OA$ और $OB$ की ढाल $m_1 = \infty$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$.

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा होने के लिए $c^2=a^2m^2+b^2$ होता है।
ढाल $m=2$ दी गई है,अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ है,जिसे $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ (त्रिज्या $r=2$,केंद्र $(0,0)$) को स्पर्श करती है,मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी:
$\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$.
$\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$.
$\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$.
अतः,$ab$ का अधिकतम मान $5$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $2x - y + 3 = 0$ और $4x + ky + 3 = 0$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,दो रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ संयुग्मी होती हैं यदि $a^2a_1a_2 + b^2b_1b_2 = c_1c_2$ हो।
दीर्घवृत्त समीकरण $5x^2 + 6y^2 = 15$ को $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2.5} = 1$ के रूप में लिखने पर,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 3$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $3(2)(4) + (2.5)(-1)(k) = (3)(3)$।
$24 - 2.5k = 9$।
$2.5k = 15$।
$k = \frac{15}{2.5} = 6$।

(A) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2+5y^2=15$ है,जिसे $15$ से विभाजित करने पर मानक रूप $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2=5$,$b^2=3$,$m=2$,और $c=k$ है।
इन मानों को शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ में रखने पर:
$k^2 = (5)(2^2) + 3$
$k^2 = 5 \times 4 + 3$
$k^2 = 20 + 3 = 23$
$k = \pm \sqrt{23}$.

(B) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=64$ है,जिसे $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत के शीर्ष $P$ को $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$ मानिए।
आयत के चारों शीर्ष $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, -4\sin\theta)$ और $(8\cos\theta, -4\sin\theta)$ हैं।
आयत की भुजाओं की लंबाई $L = 2(8\cos\theta) = 16\cos\theta$ और $W = 2(4\sin\theta) = 8\sin\theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = L \times W = (16\cos\theta)(8\sin\theta) = 128\sin\theta\cos\theta = 64\sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin(2\theta) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}$ या $\theta = \frac{\pi}{4}$।
भुजाओं के व्यंजकों में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$L = 16\cos(\frac{\pi}{4}) = 16(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 8\sqrt{2}$।
$W = 8\sin(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}$।
अतः,भुजाओं की लंबाई $8\sqrt{2}$ और $4\sqrt{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + y^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $x = m^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9(m^2)^2 + y^2 = 9$ प्राप्त होता है।
यह $9m^4 + y^2 = 9$ में सरल हो जाता है,जिससे $y^2 = 9 - 9m^4 = 9(1 - m^4)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,$y^2 > 0$ होना चाहिए।
अतः,$9(1 - m^4) > 0$,जिसका अर्थ है $1 - m^4 > 0$ या $m^4 < 1$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,हमें $|m| < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई रेखा $4x - y + c = 0$ है। दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है।
स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ का उपयोग करने पर,$c^2 = 17$ प्राप्त होता है।
अतः $c = \pm \sqrt{17}$।
समीकरण $x^3 - x^2 - 17x + 17 = 0$ के गुणनखंड करने पर $(x-1)(x^2-17) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके मूल $1, \sqrt{17}, -\sqrt{17}$ हैं।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$।
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9$।
$12m^2 + 12m = 0$,जिससे $m = 0$ या $m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 3$ है।
$m = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $x + y = 5$ है।

(C) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान लीजिए $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q = (a \cos \phi, b \sin \phi)$ है।
चूंकि $\angle PCQ = 90^{\circ}$ है,$CP$ और $CQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
अतः,$\frac{b^2}{a^2} \tan \theta \tan \phi = -1$,जिसका अर्थ है $\tan \theta \tan \phi = -\frac{a^2}{b^2}$।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h, k)$ है,जहाँ $h = a \frac{\cos(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ और $k = b \frac{\sin(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ है।
इससे $R$ का बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ मान लीजिए। स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ और $B = (0, \frac{1}{y_0})$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ अंतःखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2y_0}$,जिसका अर्थ है $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2k}$।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$।
यह सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त के नियामक वृत्त (director circle) का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
अतः,$x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ है।
बिंदु $(-3, 2)$ के लिए,$(-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$ होता है।
चूंकि बिंदु $(-3, 2)$ नियामक वृत्त पर स्थित है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $9x^2 + 4y^2 = 72$ है। $72$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{9(2)x}{72} + \frac{4(3)y}{72} = 1$ है,जो $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ में सरल होता है। $X$-अंतःखंड $x = 4$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{2}{3}$ है।
बिंदु $(2, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$ है,जो $2x - 3y = -5$ में सरल होता है।
$y = 0$ रखने पर,अभिलंब का $X$-अंतःखंड $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार: $|4 - (-\frac{5}{2})| = \frac{13}{2}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{4}$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
$m = \frac{1}{3}$ रखने पर,स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ है,जो $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ के रूप में है।
यह रेखा वृत्त $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ का अभिलंब है,जिसका केंद्र $(-1, -1)$ है।
अभिलंब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए $(-1, -1)$ को समीकरण में रखने पर: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.
अतः $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.
चूंकि $a > b > 0$,$b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2 < 4$ और $a^2 > b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.
अतः $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$।