Ellipse Questions in Hindi

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=5$ है ($y$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष)। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है। नाभियाँ $(0, \pm ae) = (0, \pm 2)$ हैं।
चतुर्भुज के शीर्ष $(2, 0), (0, 2), (-2, 0),$ और $(0, -2)$ हैं।
यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $d_1 = 4$ और $d_2 = 4$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $E: 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ और वृत्त $C: x^2 + y^2 - 9 = 0$ है।
बिंदु $A(1, 2)$ के लिए:
$E(1, 2) = 4(1)^2 + 9(2)^2 - 36 = 4 + 36 - 36 = 4 > 0$,अतः $A, E$ के बाहर है।
$C(1, 2) = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,अतः $A, C$ के अंदर है।
बिंदु $B(2, 1)$ के लिए:
$E(2, 1) = 4(2)^2 + 9(1)^2 - 36 = 16 + 9 - 36 = -11 < 0$,अतः $B, E$ के अंदर है।
$C(2, 1) = (2)^2 + (1)^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,अतः $B, C$ के अंदर है।
अतः,$A, C$ के अंदर है लेकिन $E$ के बाहर है,यह कथन सही है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=64$ है,जिसे $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a^2=64$ $(a=8)$ और $b^2=16$ $(b=4)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत का एक शीर्ष $(x, y) = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ मानिए।
आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 4xy = 4(8 \cos \theta)(4 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम तब होता है जब $\sin(2\theta) = 1$,अर्थात $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$ हो।
$\theta = 45^\circ$ रखने पर,हमें $x = 8 \cos 45^\circ = 4\sqrt{2}$ और $y = 4 \sin 45^\circ = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
आयत की भुजाएँ $2x = 8\sqrt{2}$ और $2y = 4\sqrt{2}$ हैं।

(B) नाभियाँ $(-2,0)$ और $(8,0)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8 - (-2) = 10$ है।
$\Rightarrow ae = 5$.
दिया गया है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $a \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}$।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = (5\sqrt{2})^2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 50 \left(\frac{1}{2}\right) = 25$।
अतः,$b = 5$।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु है: $\left(\frac{-2+8}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0)$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{(x-3)^2}{50} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ होते हैं,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
मान रखने पर,हमें $(3 + 5\sqrt{2} \cos \theta, 5 \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(B) माना जीवा का मध्यबिंदु $M(h, k)$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए मध्यबिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 4$ है,अतः समीकरण $xh + \frac{yk}{4} = h^2 + \frac{k^2}{4}$ है।
यह जीवा रेखा $y = x + 1$ अर्थात $x - y = -1$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\frac{h}{1} = \frac{k/4}{-1} = \frac{h^2 + k^2/4}{-1}$ प्राप्त होता है।
इससे $k = -4h$ और $-h = h^2 + 4h^2 = 5h^2$ मिलता है।
हल करने पर $h = -1/5$ और $k = 4/5$ प्राप्त होता है।
अतः मध्यबिंदु $(-\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए नाभि $S(ae, 0)$ से गुजरने वाली जीवा के लिए,$\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{e-1}{e+1}$ संबंध होता है।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = -(2\sqrt{2}+3)$.
अतः,$\frac{e-1}{e+1} = -(2\sqrt{2}+3)$.
हल करने पर,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $b > a$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इससे $b^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $2x^2 + y^2 = 2a^2$ और $y^2 = 4ax$ को हल करने पर $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः दीर्घवृत्त पर बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}})$ है।

(B) दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 2 \sqrt{3}$ है और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 8$ प्राप्त होता है।
रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ है।
यहाँ $p = 2 \sqrt{3}$,इसलिए $p^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 12$ है।
मान रखने पर: $12 = 16 \cos^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$।
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$12 = 16(1 - \sin^2 \alpha) + 8 \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
$12 = 16 - 16 \sin^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$।
$8 \sin^2 \alpha = 4$।
$\sin^2 \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\alpha$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(C) रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $m=4$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $a^2=4$ और $b^2=1$ है।
एक रेखा $y=mx+c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करती है यदि $c^2=a^2m^2+b^2$ हो।
मान $a^2=4$,$b^2=1$,और $m=4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c^2 = 4(4)^2 + 1$
$c^2 = 4(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
अतः,$c = \pm \sqrt{65}$।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=12$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः $12=16(1-e^2)$,जिससे $1-e^2=\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $e^2=\frac{1}{4}$ और $e=\frac{1}{2}$ है।
नाभीय जीवा के लिए उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ होने पर,शर्त $\tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{e-1}{e+1}$ होती है।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{6}$ है।
$\tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1/2 - 1}{1/2 + 1} = \frac{-1/2}{3/2} = -\frac{1}{3}$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{1}{3}$,जिससे $\tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\theta}{2} = -\frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $\theta = -\frac{\pi}{3}$।
इसलिए,$\tan \theta = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+3y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=3$ और $b^2=1$ है।
$lx+my+n=0$ के $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $\frac{a^2}{l^2}+\frac{b^2}{m^2}=\frac{(a^2-b^2)^2}{n^2}$ है।
$l=1, m=1, a^2=3, b^2=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1^2}=\frac{(3-1)^2}{n^2} \Rightarrow 4=\frac{4}{n^2} \Rightarrow n^2=1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n > 0$,$n=1$ है। अभिलंब $x+y+1=0$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+5y^2=5$ है,या $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ है।
$lx+my+n=0$ के $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $n^2=a^2l^2+b^2m^2$ है।
$l=1, n=3, a^2=5, b^2=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3^2=5(1)^2+1(m)^2 \Rightarrow 9=5+m^2 \Rightarrow m^2=4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m<0$,$m=-2$ है। स्पर्श रेखा $x-2y+3=0$ है।
$x+y+1=0$ और $x-2y+3=0$ को हल करने पर: समीकरणों को घटाने पर $3y-2=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
तब $x=-1-y=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$ है।
विकल्पों में बिंदु $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$ की जाँच करने पर: $x-5y+5=0$ के लिए,हमें $-\frac{5}{3}-5(\frac{2}{3})+5 = \frac{-5-10+15}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $x-5y+5=0$ को संतुष्ट करता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(a, b)$ है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ के लिए $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{ax}{18} + \frac{by}{8} = 1$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ है,जिसे $\frac{8x}{36} + \frac{3\sqrt{2}y}{36} = 1$ अर्थात $\frac{2x}{9} + \frac{\sqrt{2}y}{12} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{18} = \frac{2}{9} \implies a = \frac{18 \times 2}{9} = 4$.
$\frac{b}{8} = \frac{\sqrt{2}}{12} \implies b = \frac{8\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अब,$a + \sqrt{2}b = 4 + \sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.

(A) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
दिया गया है $4x+y+p=0$,जिससे $y=-4x-p$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=3$ यानी $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$ के लिए,$a^2=3, b^2=1, m=-4, c=-p$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(-p)^2 = 3(-4)^2 + 1 \Rightarrow p^2 = 49$।
चूंकि $p>0$,इसलिए $p=7$।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2=\frac{m^2(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2m^2}$ है।
दिया गया है $16x+qy+14=0$,जिससे $y=-\frac{16}{q}x-\frac{14}{q}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $x^2+8y^2=33$ यानी $\frac{x^2}{33}+\frac{y^2}{33/8}=1$ के लिए,$a^2=33, b^2=\frac{33}{8}, m=-\frac{16}{q}, c=-\frac{14}{q}$ है।
गणना करने पर $q^2=1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q>0$,इसलिए $q=1$।
अतः,$p+q = 7+1 = 8$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 2y) = 23$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$।
$36$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a < b$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभिलंब के समीकरण $y - k = \pm be$ होते हैं,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ है।
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{5}$।
अतः,$y = 1 \pm \sqrt{5}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
बिंदु $(-8, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{x(-8)}{100} + \frac{y(3)}{25} = 1$।
समीकरण को सरल करने पर: $-\frac{2x}{25} + \frac{3y}{25} = 1$,जो $-2x + 3y = 25$ देता है।
वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ कण $Y$-अक्ष को पार करता है,हम $x = 0$ रखते हैं।
स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $3y = 25$,जिससे $y = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $\left(0, \frac{25}{3}\right)$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
दिया गया है $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$,अतः $a^2=9, b^2=5$.
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
नाभिलंब के सिरे $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $P(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ है।
यह रेखा अक्षों को $A(\frac{9}{2}, 0)$ और $C(0, 3)$ पर काटती है।
प्रथम चतुर्थांश में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
चूँकि नाभिलंब के चारों सिरों पर स्पर्श रेखाओं द्वारा ऐसे चार सममित त्रिभुज बनते हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{27}{4} = 27$ वर्ग इकाई है।

(D) दीर्घवृत्त की दो नाभियों से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंब की लंबाइयों का गुणनफल अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग के बराबर होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $b = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,लंब की लंबाइयों का गुणनफल $b^2 = 3^2 = 9$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a=\sqrt{2}$ और $b=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $(A)$ के लिए,$y=0$ रखें: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. अतः,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए,$x=0$ रखें: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. अतः,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
माना $M(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ है।
यहाँ,वृत्त का केंद्र $(1,0)$ है और त्रिज्या $r$ है।
दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=4$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त दीर्घवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,इसलिए स्पर्श बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब वृत्त के केंद्र $(1,0)$ से होकर गुजरेगा।
माना स्पर्श बिंदु $P(4\cos\theta, 2\sin\theta)$ है।
दीर्घवृत्त के अभिलंब का समीकरण $ax\sec\theta - by\operatorname{cosec}\theta = a^2-b^2$ है।
$a=4, b=2$ और $a^2-b^2 = 12$ रखने पर,$4x\sec\theta - 2y\operatorname{cosec}\theta = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अभिलंब $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4(1)\sec\theta - 2(0)\operatorname{cosec}\theta = 12$,जिसका अर्थ है $4\sec\theta = 12$,अतः $\sec\theta = 3$।
इस प्रकार,$\cos\theta = \frac{1}{3}$ और $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
बिंदु $P$ का मान $\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,0)$ और बिंदु $P\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ के बीच की दूरी है।
$r^2 = \left(\frac{4}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{32}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$।
अतः,$r = \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
माना $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को बिंदु $A(5 \sec \theta, 0)$ पर काटती है।
रेखा $y=x$ के सापेक्ष $A(5 \sec \theta, 0)$ का प्रतिबिंब $A^{\prime} = (0, 5 \sec \theta)$ है।
$AA^{\prime}$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 5 \sec \theta (x + y) = 0$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त सदैव बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की किसी भी स्पर्श रेखा पर नाभियों से खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $b^2$ होता है।
दिया गया है कि गुणनफल $9$ है,इसलिए $b^2 = 9$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \frac{-3}{4}x + 3\sqrt{2}$ है।
इसे मानक समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ से तुलना करने पर,जहाँ $m = \frac{-3}{4}$,हमें $3\sqrt{2} = \sqrt{a^2(\frac{-3}{4})^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$18 = a^2(\frac{9}{16}) + 9$।
दोनों पक्षों से $9$ घटाने पर,$9 = \frac{9a^2}{16}$,जिससे $a^2 = 16$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2+y^2=2$,जिसे $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=2$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $x+2y+k=0$ है,जिसका अर्थ है $y=-\frac{1}{2}x-\frac{k}{2}$।
इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,$m=-\frac{1}{2}$ और $c=-\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
मान रखने पर: $(-\frac{k}{2})^2 = (1)(-\frac{1}{2})^2 + 2$।
$\frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$।
$k^2=9$,इसलिए $k=\pm 3$। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=3$ है।
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{3}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1}-\frac{b^2y}{y_1}=a^2-b^2$ होता है।
$a^2=1, b^2=2, x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, y_1=1$ रखने पर:
$\frac{1 \cdot x}{1/\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot y}{1} = 1-2$।
$\sqrt{2}x - 2y = -1$,जो सरल होकर $\sqrt{2}x-2y+1=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ है। यहाँ $a^2=16$ और $b^2=12$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{12}{16}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 2, \pm 3)$ हैं।
$(2, 3)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1$ है,जो $\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ में सरल हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $(8, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर काटती है।
समरूपता के कारण,चार स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके शीर्ष $(\pm 8, 0)$ और $(0, \pm 4)$ हैं।
इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times (\frac{1}{2} \times 8 \times 4) = 64$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए अंतःखंड $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ हैं।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ और $k = \frac{1}{2\sin\theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin\theta = \frac{1}{2k}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(3 \sqrt{3} \cos \theta)}{27} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ है,जो $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ में सरल हो जाता है।
$x$-अंतःखंड $a = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ है और $y$-अंतःखंड $b = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अंतःखंडों का योग $L(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dL}{d\theta} = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^3 \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,अतः $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
$P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है। यह मुख्य अक्ष $(y=0)$ को $Q(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ पर काटती है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है। यह मुख्य अक्ष को $R(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0)$ पर काटता है।
दूरी $QR = \left| \frac{a}{\cos \theta} - \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a} \right| = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$a=4, b=3, \theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$QR = \frac{57}{8}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ भी सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ है।
दीर्घवृत्त पर एक प्राचलिक बिंदु $P(8 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ मानिए।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{8}+\frac{y \sin \theta}{2}=1$ है।
इसे $\frac{x}{8/\cos \theta} + \frac{y}{2/\sin \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों के बीच बने अंतःखंड की लंबाई $l = \sqrt{(\frac{8}{\cos \theta})^2 + (\frac{2}{\sin \theta})^2} = \sqrt{64 \sec^2 \theta + 4 \operatorname{cosec}^2 \theta}$ है।
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$l = \sqrt{68 + 64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{64 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta} = 32$ है।
अतः,$l$ का न्यूनतम मान $\sqrt{68 + 32} = 10$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है,जहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$,अतः $a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 3, \pm \frac{16}{5})$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
बिंदु $(3, \frac{16}{5})$ के लिए,स्पर्श रेखा $\frac{3x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $P(\frac{25}{3}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $Q(0, 5)$ पर काटती है।
प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 5 = \frac{125}{6}$ है।
सममिति द्वारा,चारों स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{125}{6} = \frac{250}{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) वक्र का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है। $144$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है। यह एक दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है,अतः $a = 4$ और $b = 3$ है। दीर्घवृत्त का केंद्र $(0, 0)$ है। दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है। मान रखने पर,$\frac{16x}{x_1} - \frac{9y}{y_1} = 7$ प्राप्त होता है। मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की दूरी $d = \frac{7}{\sqrt{\frac{256}{x_1^2} + \frac{81}{y_1^2}}}$ है। $x_1 = 4\cos\theta$ और $y_1 = 3\sin\theta$ रखने पर,$d = \frac{7}{\sqrt{16\sec^2\theta + 9\csc^2\theta}}$ प्राप्त होता है। हर का न्यूनतम मान ज्ञात करने पर,अधिकतम दूरी $1$ प्राप्त होती है।

(C) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ के लिए,$a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $(ae, \frac{b^2}{a}) = (3, 3.2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{25x}{3} - \frac{16y}{3.2} = 9 \implies 25x - 15y = 27$.
यहाँ $l=25, m=-15$ है,इसलिए $l+m=10$।
चूँकि $e=0.6$,इसलिए $\frac{6}{e} = \frac{6}{0.6} = 10$।
अतः,$l+m = \frac{6}{e}$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx \pm \frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ है।
दिए गए अभिलंब समीकरण $6x - 5y - 20 = 0$ को $y = \frac{6}{5}x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m = \frac{6}{5}$ और अचर पद $-4$ है।
दीर्घवृत्त $x^2 + 3y^2 = k$ के लिए,$\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k/3} = 1$,इसलिए $a^2 = k$ और $b^2 = \frac{k}{3}$ है।
अभिलंब समीकरण में मान रखने पर: $\frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}} = 4$.
$\frac{\frac{6}{5}(k - \frac{k}{3})}{\sqrt{k + \frac{k}{3} \cdot (\frac{6}{5})^2}} = 4$.
$\frac{\frac{4k}{5}}{\sqrt{k(1 + \frac{12}{25})}} = 4 \Rightarrow \frac{4\sqrt{k}}{\sqrt{37}} = 4$.
अतः,$\sqrt{k} = \sqrt{37} \Rightarrow k = 37$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
$(x_1, y_1) = (2, -1)$,$a^2 = 8$ और $b^2 = 2$ रखने पर:
$\frac{8x}{2} - \frac{2y}{-1} = 8 - 2
$ $\Rightarrow 4x + 2y = 6
$ $\Rightarrow y = 3 - 2x$.
$y = 3 - 2x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $x^2 + 4y^2 = 8$ में रखने पर:
$x^2 + 4(3 - 2x)^2 = 8
\Rightarrow 17x^2 - 48x + 28 = 0$.
चूंकि $(2, -1)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है,$x = 2$ इस द्विघात समीकरण का एक मूल है।
माना दूसरा मूल $a$ है। मूलों के गुणनफल के सूत्र $x_1 x_2 = \frac{c}{A}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times a = \frac{28}{17}
$ $\Rightarrow a = \frac{14}{17}
$ $\Rightarrow 17a = 14$.

(D) रेखा का समीकरण $4x + 2y + n = 0$ है,जिसे $y = -2x - \frac{n}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -2$ और $c = -\frac{n}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 36$ और $b^2 = 16$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2 = \frac{(a^2 - b^2)^2 m^2}{a^2 + b^2 m^2}$ है।
मान रखने पर: $(-\frac{n}{2})^2 = \frac{(36 - 16)^2 (-2)^2}{36 + 16(-2)^2}$।
$\frac{n^2}{4} = \frac{(20)^2 \times 4}{36 + 64} = \frac{1600}{100} = 16$।
$n^2 = 64$,अतः $n = \pm 8$।

(C) दिए गए समीकरण $x = 1 + 2 \cos \theta$ और $y = 2 + \sin \theta$ हैं।
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(1, 2)$ है और $a = 2, b = 1$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$ है।
$\theta = \pi/4$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1 + \sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2})$ हैं।
अभिलंब का समीकरण $2\sqrt{2}(x-1) - \sqrt{2}(y-2) = 3$ प्राप्त होता है।
मुख्य अक्ष $y = 2$ है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $y = 2$ रखने पर,$x = 1 + \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई स्पर्शरेखा $x+\sqrt{3} y=3$ ... $(i)$ और दीर्घवृत्त $2 x^2+3 y^2=k$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $2 x x_1+3 y y_1=k$ ... (ii) है।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,$\frac{2 x_1}{1} = \frac{3 y_1}{\sqrt{3}} = \frac{k}{3}$.
अतः,$x_1 = \frac{k}{6}$ और $y_1 = \frac{k}{3 \sqrt{3}}$.
चूंकि $P(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$2(\frac{k}{6})^2 + 3(\frac{k}{3 \sqrt{3}})^2 = k$.
$\frac{k^2}{18} + \frac{k^2}{9} = k$ $\Rightarrow \frac{k^2}{6} = k$ $\Rightarrow k = 6$.
अतः,$x_1 = 1$ और $y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ है।
$P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(x - 1)$ है।
$\sqrt{3} y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - \sqrt{3} y = 1$.

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण: $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$.
चूंकि $P(1, k)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$x=1$ रखने पर:
$9(1)^2+4k^2-18(1)+16k-11=0$
$4k^2+16k-20=0$
$k^2+4k-5=0$
$(k+5)(k-1)=0$.
$k>0$ होने के कारण,$k=1$ है। अतः $P(1, 1)$ है।
दीर्घवृत्त का मानक रूप:
$9(x-1)^2+4(y+2)^2 = 36$
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$.
यहाँ $a^2=4$ और $b^2=9$,अतः $b>a$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
नियताएँ: $y+2 = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$.
$P(1, 1)$ से नियताओं की दूरी:
$d_1 = |1 - (-2 + \frac{9}{\sqrt{5}})| = |3 - \frac{9}{\sqrt{5}}| = \frac{9}{\sqrt{5}} - 3$.
$d_2 = |3 + \frac{9}{\sqrt{5}}|$.
न्यूनतम दूरी $\frac{9}{\sqrt{5}} - 3$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 7$ है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{9x}{3/\sqrt{2}} - \frac{7y}{\sqrt{7/2}} = 2$।
यह $3\sqrt{2}x - \sqrt{14}y = 2$ में सरल हो जाता है।
मुख्य अक्ष ($x$-अक्ष) पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें:
$3\sqrt{2}x = 2 \implies x = \sqrt{\frac{2}{9}}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\sqrt{\frac{2}{9}}, 0\right)$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(ae, \frac{b^2}{a})$ पर अभिलंब का समीकरण: $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
यह अभिलंब $(0, -b)$ से गुजरता है,अतः $ab = a^2 - b^2$।
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $a^2 - b^2 = a^2 e^2$।
अतः $ab = a^2 e^2 \Rightarrow b = ae^2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 = a^2 e^4$।
$a^2(1 - e^2) = a^2 e^4$ $\Rightarrow 1 - e^2 = e^4$ $\Rightarrow e^4 + e^2 = 1$।

(C) दिया गया वक्र $2x^2+y^2=2x$ है।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने पर,$2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) है।
बिंदु $P(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta, \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)$ और $Q(a, 0)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने पर,अधिकतम दूरी $\sqrt{1-2a+2a^2}$ प्राप्त होती है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का नियामक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ है।
अतः,दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ दीर्घवृत्त का नियामक वृत्त है।
परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त होता है।
इसलिए,नियामक वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
दी गई रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ से $y = \frac{2x + 4}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $25x^2 + 9(\frac{2x + 4}{3})^2 = 225$.
$25x^2 + (2x + 4)^2 = 225 \Rightarrow 29x^2 + 16x - 209 = 0$.
$x$-निर्देशांक का मध्यबिंदु $\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-16/29}{2} = -\frac{8}{29}$.
इसी प्रकार,$y$-निर्देशांक के लिए $x = \frac{3y - 4}{2}$ रखने पर: $261y^2 - 600y - 500 = 0$.
$y$-निर्देशांक का मध्यबिंदु $\beta = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{600/261}{2} = \frac{100}{87}$.
अब,$3\beta - 2\alpha = 3(\frac{100}{87}) - 2(-\frac{8}{29}) = \frac{100}{29} + \frac{16}{29} = \frac{116}{29} = 4$.