Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(A) दिया गया वक्र $x^2 + y - 7 = 4x$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 10)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रूपांतरण नियमों का उपयोग करते हैं: $x^2 \to x x_1$,$y \to \frac{y + y_1}{2}$ और $x \to \frac{x + x_1}{2}$।
समीकरण में मान रखने पर:
$x(1) + \frac{y + 10}{2} - 7 = 4 \left( \frac{x + 1}{2} \right)$
$x + \frac{y + 10}{2} - 7 = 2(x + 1)$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2x + y + 10 - 14 = 4x + 4$
$2x + y - 4 = 4x + 4$
$y = 4x - 2x + 4 + 4$
$y = 2x + 8$

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $2y^2 = x + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{4y}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -4y$ है।
अब,हम प्रत्येक दिए गए बिंदु पर अभिलंब की ढाल की गणना करते हैं:
$A. (7, 2): m_n = -4(2) = -8$ ($2$ से मेल खाता है)।
$B. (0, 1/\sqrt{2}): m_n = -4(1/\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$ ($5$ से मेल खाता है)।
$C. (1, -1): m_n = -4(-1) = 4$ ($3$ से मेल खाता है)।
$D. (3, \sqrt{2}): m_n = -4(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$ ($1$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $A-2, B-5, C-3, D-1$ है।

(D) दिया गया वक्र $x^2+y^2=16a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2yy' = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a} = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2\sqrt{2}a = -1(x - 2\sqrt{2}a)$ है,जो सरल होकर $x + y = 4\sqrt{2}a$ हो जाता है।
स्पर्श रेखा का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = 4\sqrt{2}a$ प्राप्त होता है। मान लीजिए यह बिंदु $B(4\sqrt{2}a, 0)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 2\sqrt{2}a = 1(x - 2\sqrt{2}a)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
अभिलंब मूल बिंदु $O(0,0)$ और बिंदु $A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ से होकर गुजरता है।
त्रिभुज बिंदुओं $O(0,0)$,$A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ और $B(4\sqrt{2}a, 0)$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(2\sqrt{2}a-0) + 2\sqrt{2}a(0-0) + 4\sqrt{2}a(0-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |4\sqrt{2}a(-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |-16a^2| = 8a^2$।

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x=2 \sin t$ और $y=2 \cos t$ हैं।
वर्ग करके जोड़ने पर,$x^2+y^2=4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 4$ प्राप्त होता है।
यह $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = -\frac{x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{y}{x}$ होती है।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,बिंदु $x = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ और $y = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
इस बिंदु पर अभिलंब की ढाल $m_N = \frac{0}{2} = 0$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_N(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - 0 = 0(x - 2)$,जो सरल होकर $y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ और $\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$.
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$.
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$.
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$.
यदि हम बिंदु $(a, 0)$ की जाँच करें,तो समीकरण में $x = a$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta \Rightarrow 0 = 0$.
चूंकि यह सभी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरता है।

(A) दिए गए वक्र $x^2+y^2=4$ और $y^2=3x$ हैं। पहले समीकरण में $y^2=3x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
चूंकि $y^2=3x$ के लिए $x$ का मान ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए $x=1$.
$x=1$ के लिए,$y^2=3$,अतः $y=\sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान में रखते हुए)।
अब,दोनों वक्रों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2+y^2=4$ के लिए,$2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,$m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ के लिए,$2y\frac{dy}{dx}=3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$. बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,$m_2 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left|\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + (-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{2})}\right| = \left|\frac{-\frac{2+3}{2\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{5}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $OA = 2$ है और केंद्र $O$ $(0,0)$ है।
चूँकि $MA$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle OAM = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAM$ में,कर्ण $OM = 4$ और भुजा $OA = 2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$MA = \sqrt{OM^{2} - OA^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
चतुर्भुज $MAOB$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों,$\triangle OAM$ और $\triangle OBM$ से बना है।
इसलिए,चतुर्भुज $MAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle OAM)$ है।
Area $(\triangle OAM) = \frac{1}{2} \times OA \times MA = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ है।
अतः,चतुर्भुज $MAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है,$y=[|\sin x|+|\cos x|]$ और $x^{2}+y^{2}=10$.
हम जानते हैं कि $(|\sin x|+|\cos x|) \in [1, \sqrt{2}]$.
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,इसलिए $y = 1$ होगा।
दिए गए वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=1$ को $x^{2}+y^{2}=10$ में रखने पर:
$x^{2}+1^{2}=10$ $\Rightarrow x^{2}=9$ $\Rightarrow x=\pm 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ और $(-3, 1)$ हैं।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=10$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(-3, 1)$ पर,ढाल $m_{1} = -(-3)/1 = 3$.
रेखा $y=1$ एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_{2} = 0$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{3-0}{1+3(0)}| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 9$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$3x + 4y = 0$ के समांतर कोई भी रेखा $3x + 4y = k$ के रूप की होगी।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $3x + 4y - k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 3$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु से रेखा की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|3(0) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 3$.
$\frac{|-k|}{\sqrt{9 + 16}} = 3$ $\Rightarrow \frac{|k|}{5} = 3$ $\Rightarrow |k| = 15$.
अतः,$k = 15$ या $k = -15$ है।
रेखाएं $3x + 4y = 15$ और $3x + 4y = -15$ हैं।
रेखा के प्रथम चतुर्थांश में वृत्त को स्पर्श करने के लिए,अंतःखंड रूप $\frac{x}{5} + \frac{y}{3.75} = 1$ ($k=15$ के लिए) धनात्मक अंतःखंड दिखाता है,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x + 4y = 15$ है।

(C) माना दूसरी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx$ है,जिसे $mx - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का केंद्र $C(2, -1)$ है। त्रिज्या $r$,$C$ से स्पर्श रेखा $3x + y = 0$ तक की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(2) + 1(-1)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$.
चूंकि दूसरी स्पर्श रेखा $mx - y = 0$ भी वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए $C(2, -1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(2) - 1(-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
$\frac{|2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(2m + 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$2(4m^2 + 4m + 1) = 5(m^2 + 1)$
$8m^2 + 8m + 2 = 5m^2 + 5$
$3m^2 + 8m - 3 = 0$
$(3m - 1)(m + 3) = 0$
अतः,$m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$.
दी गई स्पर्श रेखा $3x + y = 0$ है,जिसकी ढाल $m = -3$ है।
इसलिए,दूसरी स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{3}$ है।
समीकरण $y = \frac{1}{3}x$ है,जिसे सरल करने पर $x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0$ है।
केंद्र $A(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा $y=7$ है।
$D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा $3x-4y-20=0$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(16, 7)$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 15 \times 5) = 75 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C$ $(-g, -f) = (1, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,अभिलंब वह रेखा है जो केंद्र $C(1, -2)$ और दिए गए बिंदु $A(2, 1)$ से होकर गुजरती है।
$(1, -2)$ और $(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{1 - (-2)}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$ है।
बिंदु $(2, 1)$ से गुजरने वाली और $m=3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 1) = 3(x - 2)$ है।
इसे सरल करने पर,$y - 1 = 3x - 6$,अर्थात $y = 3x - 5$ प्राप्त होता है।