System of circles Questions in Hindi

(D) कोएक्सियल सिस्टम का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ है।
लिमिटिंग पॉइंट्स सिस्टम के पॉइंट सर्कल के केंद्र होते हैं।
पॉइंट सर्कल तब प्राप्त होता है जब त्रिज्या $r=0$ होती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$g=\lambda$,$f=0$,और अचर पद $c$ है।
अतः,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$।
लिमिटिंग पॉइंट्स के अलग होने के लिए,त्रिज्या काल्पनिक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda^2-c < 0$,या $c > \lambda^2$।
हालाँकि,सिस्टम के पास वास्तविक और अलग लिमिटिंग पॉइंट्स होने के लिए शर्त $c > 0$ है।

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं।
सह-अक्षीय प्रणाली के सीमित बिंदु बिंदु-वृत्तों के केंद्र होते हैं।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ एक बिंदु-वृत्त है यदि $g^2+f^2-c=0$ हो।
मूल अक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ है।
प्रणाली का कोई भी वृत्त $S_1 + \lambda(4x+2y-1) = 0$ के रूप में होता है।
बिंदु-वृत्त के लिए,$(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 - (2-\lambda) = 0$ को हल करने पर,$\lambda = 0$ या $\lambda = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ के लिए केंद्र $(-1, 1)$ और $\lambda = -\frac{3}{5}$ के लिए केंद्र $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले और वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ को लंबकोणीय काटने वाले वृत्त का समीकरण है:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ c_1 & g_1 & f_1 \\ c_2 & g_2 & f_2 \end{array}\right| = 0$
यहाँ,$c_1=12, g_1=2, f_1=3$ और $c_2=9, g_2=2, f_2=-3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ 12 & 2 & 3 \\ 9 & 2 & -3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x^2+y^2)(-6-6) - x(-36-27) + y(24-18) = 0$
$-12(x^2+y^2) + 63x + 6y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{63}{12}x - \frac{6}{12}y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{21}{4}x - \frac{1}{2}y = 0$
केंद्र $(h, k) = (\frac{21}{8}, \frac{1}{4})$ है।
अतः,$k-2h = \frac{1}{4} - 2(\frac{21}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{20}{4} = -5$.

(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $S$,$C_1$ और $C_2$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए:
$2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 \implies -8g - 2f = c + 16 \quad (i)$
$2g(-2) + 2f(-2) = c - 1 \implies -4g - 4f = c - 1 \quad (ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $-4g + 2f = 17 \implies 2f = 4g + 17 \implies f = 2g + 8.5$.
$S=0$ और $C_1=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S - C_1 = 0$ है:
$(2g+8)x + (2f+2)y + (c-16) = 0$.
दी गई जीवा $2x + 13y - 15 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{2g+8}{2} = \frac{2f+2}{13} = \frac{c-16}{-15} = k$.
$2g+8 = 2k \implies g = k-4$.
$2f+2 = 13k \implies f = \frac{13k-2}{2}$.
$2f = 4g + 17$ में मान रखने पर: $13k-2 = 4(k-4) + 17 \implies 13k-2 = 4k-16+17 \implies 9k = 3 \implies k = \frac{1}{3}$.
अतः $g = \frac{1}{3} - 4 = \frac{-11}{3}$ और $f = \frac{13(1/3)-2}{2} = \frac{7/3}{2} = \frac{7}{6}$.
$S$ का केंद्र $(-g, -f) = \left(\frac{11}{3}, \frac{-7}{6}\right)$ है।

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त $P(-1, -1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$,$C_1C_2$ को $5:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies h = \frac{4}{5}$.
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies k = \frac{7}{5}$.
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{7}{5})^2 = 3^2$ होगा।
सरल करने पर: $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y=0$ रखें: $x^2-14x+33=0 \implies (x-3)(x-11)=0$.
अतः,बिंदु $A(3, 0)$ और $B(11, 0)$ हैं क्योंकि $OB > OA$ है।
$AB$ का मध्यबिंदु $C$,$(\frac{3+11}{2}, 0) = (7, 0)$ है।
रेखा $L$,$(7, 0)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $-1$ है: $y-0 = -1(x-7) \implies x+y-7=0$.
चूंकि $L$,$S$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष है,इसलिए $S^{\prime}$ का समीकरण $S + kL = 0$ है:
$x^2+y^2-14x+6y+33 + k(x+y-7) = 0$.
$x^2+y^2+(k-14)x+(k+6)y+(33-7k) = 0$.
$S^{\prime}$ का केंद्र $(-\frac{k-14}{2}, -\frac{k+6}{2})$ है।
चूंकि $L$,$S^{\prime}$ का व्यास है,इसलिए केंद्र $L$ पर स्थित होना चाहिए:
$-\frac{k-14}{2} - \frac{k+6}{2} - 7 = 0 \implies -k+14-k-6-14 = 0 \implies -2k-6=0 \implies k=-3$.
$k=-3$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2+(-3-14)x+(-3+6)y+(33-7(-3)) = 0$.
$x^2+y^2-17x+3y+54=0$.

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, \beta)$ है जो $(\alpha, \beta)$ दिया गया है,इसलिए $g=-\alpha$ और $f=-\beta$ है। वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ वृत्त $x^2+y^2-2y-3=0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है। यहाँ $g_1=g, f_1=f, c_1=c$ और $g_2=0, f_2=-1, c_2=-3$ है। अतः,$2g(0) + 2f(-1) = c-3 \implies -2f = c-3 \implies c = 3-2f = 3+2\beta$।
आगे,यह $x^2+y^2+4x+3=0$ को लंबकोणीय काटता है। यहाँ $g_3=2, f_3=0, c_3=3$ है। अतः,$2g(2) + 2f(0) = c+3 \implies 4g = c+3 \implies 4(-\alpha) = c+3 \implies c = -4\alpha-3$।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $3+2\beta = -4\alpha-3 \implies 4\alpha+2\beta = -6 \implies 2\alpha+\beta = -3$।
चूंकि केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर स्थित है,हमारे पास $2\alpha-3\beta+4=0$ है।
$2\alpha+\beta = -3$ से,हमें $2\alpha = -3-\beta$ प्राप्त होता है। इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-3-\beta)-3\beta+4=0 \implies -4\beta+1=0 \implies \beta=1/4$।
तब $2\alpha = -3-1/4 = -13/4 \implies \alpha = -13/8$।
अतः $2\alpha+\beta = -3$।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, -\beta)$ है जहाँ $\alpha = -g$ और $\beta = -f$ है।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2+2x-3y-5=0$ को लंबकोणीय काटता है,$2g-3f = c-5$ है।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2-3x+2y+1=0$ को लंबकोणीय काटता है,$-3g+2f = c+1$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $5g-5f = -6 \implies g-f = -1.2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने के कारण,$2g-2f+c = -2$ है।
समीकरणों को हल करने पर $g=1$ और $f=2.2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -1$ और $\beta = -2.2$ है।
इसलिए,$\alpha-5\beta = -1 - 5(-2.2) = 10$।

(C) वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-4y+4=0$ और रेखा $L: x+y-2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda L = 0$ है।
$x^2+y^2+(2+\lambda)x + (\lambda-4)y + (4-2\lambda) = 0$.
यह वृत्त $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के लंबकोणीय है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = \frac{2+\lambda}{2}$,$f_1 = \frac{\lambda-4}{2}$,$c_1 = 4-2\lambda$ और $g_2 = -1$,$f_2 = -2$,$c_2 = -4$ है।
मान रखने पर: $2(\frac{2+\lambda}{2})(-1) + 2(\frac{\lambda-4}{2})(-2) = 4-2\lambda - 4$.
$-(2+\lambda) - 2(\lambda-4) = -2\lambda$.
$6 - 3\lambda = -2\lambda \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ रखने पर वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+8x+2y-8=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4^2+1^2-(-8)} = \sqrt{25} = 5$।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-12y+1=0$ है। इसे $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ से तुलना करने पर,$g_1=-3, f_1=-6, c_1=1$ प्राप्त होता है।
माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ है। केंद्र $(-4, 2)$ दिया गया है,अतः $-g_2=-4 \Rightarrow g_2=4$ और $-f_2=2 \Rightarrow f_2=-2$ है।
दो वृत्त लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
मान रखने पर: $2(-3)(4) + 2(-6)(-2) = 1 + c_2$.
$-24 + 24 = 1 + c_2 \Rightarrow c_2 = -1$.
वृत्त $C$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \sqrt{4^2+(-2)^2-(-1)} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,इसलिए प्रत्येक के लिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ शर्त संतुष्ट होनी चाहिए।
$x^2+y^2-4x-4y+3=0$ के लिए: $2g(-2) + 2f(-2) = c + 3 \implies -4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(-2) = c + 3 \implies 4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x+4y+3=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(2) = c + 3 \implies 4g + 4f = c + 3$.
पहले दो समीकरणों को घटाने पर: $8g = 0 \implies g = 0$.
अंतिम दो समीकरणों को घटाने पर: $8f = 0 \implies f = 0$.
$g=0$ और $f=0$ को किसी भी समीकरण में रखने पर: $0 = c + 3 \implies c = -3$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-3=0$ अर्थात $x^2+y^2=3$ है।
अतः त्रिज्या $\sqrt{3}$ है।

(D) यह शर्त कि एक वृत्त $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ किसी अन्य वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ को उसके व्यास के सिरों पर काटता है,लंबकोणीयता की शर्त $2(gg_{i}+ff_{i})=c+c_{i}$ के समतुल्य है।
प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-5=0$ के लिए,$g_{1}=0, f_{1}=0, c_{1}=-5$. शर्त लागू करने पर: $2(g(0)+f(0))=c-5 \Rightarrow c=5$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ के लिए,$g_{2}=-4, f_{2}=-3, c_{2}=10$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-4)+f(-3))=c+10$ $\Rightarrow 2(-4g-3f)=5+10$ $\Rightarrow 4g+3f=-15/2$.
तीसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ के लिए,$g_{3}=-2, f_{3}=1, c_{3}=-2$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-2)+f(1))=c-2$ $\Rightarrow 2(-2g+f)=5-2$ $\Rightarrow -2g+f=3/2$.
समीकरणों $4g+3f=-7.5$ और $-2g+f=1.5$ को हल करने पर:
दूसरे समीकरण से,$f=2g+1.5$. पहले में प्रतिस्थापित करने पर: $4g+3(2g+1.5)=-7.5$ $\Rightarrow 10g+4.5=-7.5$ $\Rightarrow 10g=-12$ $\Rightarrow g=-1.2$.
तब $f=2(-1.2)+1.5 = -2.4+1.5 = -0.9$.
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $4f = 4(-0.9) = -3.6$ और $3g = 3(-1.2) = -3.6$. अतः,$4f=3g$ सही है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=-3, c=9$ प्राप्त होता है।
केंद्र $B = (-g, -f) = (2, 3)$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$.
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $A(1, 1)$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$.
चूंकि पहले वृत्त का व्यास दूसरे वृत्त की जीवा है,इसलिए दूसरे वृत्त की त्रिज्या $R$,केंद्रों के बीच की दूरी और पहले वृत्त की त्रिज्या द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
$R = \sqrt{AB^{2}+r^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

(B) माना वृत्तों का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ है।
चूंकि ये वृत्त $(0, a)$ और $(0, -a)$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए $a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ और $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ है।
$(2)$ और $(3)$ को हल करने पर,$f=0$ और $d=-a^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर,$x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$ इस वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-g, 0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+a^2}$ के बराबर होगी।
अतः,$\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$।
विस्तार करने पर,$g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $g_1$ और $g_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
तब मूलों का गुणनफल $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ और $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ हैं।
वृत्तों के लंबकोणीय होने के लिए,$2g_1g_2 = -2a^2$,अर्थात $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$।
$(5)$ और $(6)$ से,$-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$।
अतः,$c^2 = a^2(2+m^2)$।

(A) दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
वृत्त $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{3}{2}$.

(B) दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
पहले वृत्त $x^2+y^2-10x+16=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(5, 0)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5^2 + 0^2 - 16} = \sqrt{25-16} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r_2 = |a|$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$ है।
शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ लागू करने पर:
$|3 - |a|| < 5 < 3 + |a|$।
$5 < 3 + |a|$ से,हमें $|a| > 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a > 2$ या $a < -2$।
$|3 - |a|| < 5$ से,हमें $-5 < 3 - |a| < 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-8 < -|a| < 2$ या $-2 < |a| < 8$ हो जाता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2 < |a| < 8$ प्राप्त होता है। चूँकि $a$ एक त्रिज्या है,$a > 0$,इसलिए $2 < a < 8$।

(A) माना $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x-8=0$ और $S_{2} = x^{2}+y^{2}-6=0$.
$S_{1}$ और $S_{2}$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) + \lambda(x^{2}+y^{2}-6) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(1^{2}+1^{2}-6(1)-8) + \lambda(1^{2}+1^{2}-6) = 0$
$(1+1-6-8) + \lambda(1+1-6) = 0$
$-12 - 4\lambda = 0$
$-4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) - 3(x^{2}+y^{2}-6) = 0$
$x^{2}+y^{2}-6x-8 - 3x^{2}-3y^{2}+18 = 0$
$-2x^{2}-2y^{2}-6x+10 = 0$
$-2$ से भाग देने पर,$x^{2}+y^{2}+3x-5 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $S: x^2+y^2-6x-8y=0$ और रेखा $L: x+y-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2+y^2-6x-8y + \lambda(x+y-1) = 0$
$x^2+y^2 + (\lambda-6)x + (\lambda-8)y - \lambda = 0$.
चूंकि $AB$ एक व्यास है,इसलिए इस वृत्त का केंद्र रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda-6}{2}, -\frac{\lambda-8}{2})$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda-6}{2} - \frac{\lambda-8}{2} - 1 = 0$
$-(\lambda-6) - (\lambda-8) - 2 = 0$
$-2\lambda + 12 = 0 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2-2y-6=0$.

(C) दो दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वक्रों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1: x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20=0$ और $S_2: 2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15=0$ है।
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20) + \lambda(2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15) = 0$
$(1+2\lambda)x^{2} + (2+\lambda)y^{2} - (6+10\lambda)x - (12+6\lambda)y + (20+15\lambda) = 0$
इसके वृत्त निरूपित करने के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांक समान होने चाहिए:
$1+2\lambda = 2+\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 35 = 0$
$x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + \frac{35}{3} = 0$
वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2g = -\frac{16}{3}$ और $2f = -6$ है।
केंद्र $= \left(\frac{16/3}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(\frac{8}{3}, 3\right)$.

(D) माना दीर्घवृत्तों के समीकरण $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ और $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ हैं।
इन दोनों दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वक्र का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23) + \lambda(4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35) = 0$.
$(1+4\lambda)x^{2} + (2+2\lambda)y^{2} - (6+20\lambda)x - (12+12\lambda)y + (23+35\lambda) = 0$.
वृत्त के लिए,$x^{2}$ का गुणांक और $y^{2}$ का गुणांक समान होना चाहिए:
$1+4\lambda = 2+2\lambda$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 40.5 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + 13.5 = 0$.
केंद्र $(a, b) = (\frac{8}{3}, 3)$ है।
त्रिज्या $r^{2} = \frac{47}{18}$ प्राप्त होती है।
अतः,$ab + 18r^{2} = (\frac{8}{3} \times 3) + 18(\frac{47}{18}) = 8 + 47 = 55$.

(A) पहला वृत्त $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $O_1(-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = |r|$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है। मानक रूप में: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$,अतः केंद्र $O_2(2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = O_1O_2$ को $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$|r - 3| < \sqrt{34} < |r| + 3$.
$|r - 3| < \sqrt{34}$ से,$3 - \sqrt{34} < r < 3 + \sqrt{34}$ मिलता है।
$|r| + 3 > \sqrt{34}$ से,$|r| > \sqrt{34} - 3$ मिलता है। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r \in (\sqrt{34} - 3, \sqrt{34} + 3)$ मिलता है।
इस प्रकार,$\alpha = \sqrt{34} - 3$ और $\beta = \sqrt{34} + 3$.
$\alpha\beta = (\sqrt{34} - 3)(\sqrt{34} + 3) = 34 - 9 = 25$.