एक स्थिर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से खींची गई रेखा,वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ को $A$ और $B$ पर काटती है,तो $PA \cdot PB = \dots$

यदि वृत्तों $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $x^2+y^2+30x-2y+1=0$ पर खींची गई अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के युग्म और सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के युग्म के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः $T$ और $D$ हैं,तो $TD$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र क्या होगा?

$5$ इकाई त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को $(1,2)$ पर स्पर्श करते हैं और $4x+3y=10$ उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। दिए गए दो वृत्तों में से उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसका कुछ भाग प्रत्येक चतुर्थांश में स्थित है।

यदि वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=5r^2$ पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $16$ इकाई है, तो दोनों वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में क्या होगा ($\pi$ में)?

तीन वृत्त एक समतल पर इस प्रकार स्थित हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। उनमें से दो की त्रिज्या $3$ है और तीसरे की त्रिज्या $1$ है। यदि $A, B$ और $C$ वृत्तों के स्पर्श बिंदु हैं,तो त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।