यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} = {r^2}$ के बिन्दु $(a, b)$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को बिन्दुओं $A$ तथा $B$ पर मिलती हो और $O$ मूल बिन्दु हो तो त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल होगा

एक बिंदु $P$ से वत्त $x ^{2}+ y ^{2}-2 x -4 y +4=0$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। इन स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ है, जहाँ $\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) \in$ $(0, \pi)$ है। यदि वत्त का केन्द्र $C$ है तथा ये स्पर्श रेखाएँ वत्त को बिंदुओं $A$ तथा $B$ पर स्पर्श करती है, तो $\triangle PAB$ तथा $\triangle CAB$ के क्षेत्रफलों का अनुपात है

उस वृत्त का समीकरण जिसकी त्रिज्या $5$ है तथा जो वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ को बिन्दु $(5, 5)$ पर बाह्यत: स्पर्श करता है, होगा

माना त्रिज्या 5 का एक वृत्त $C , x$-अक्ष के नीचे स्थित है। रेखा $L _1=4 x +3 y -2$ वृत्त $C$ के केन्द्र $P$ से गुजरती है तथा $L _2: 3 x -4 y -11=0$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। रेखा $L _2, C$ को बिन्दु $Q$ पर स्पर्श करती है। तो $P$ की रेखा $5 x -12 y +51=0$ से दूरी हैं

रेखा $lx + my + n = 0$, वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ का अभिलम्ब है, यदि

माना $\mathrm{O}$ मूलबिन्दु है तथा $\mathrm{OP}$ और $\mathrm{OQ}$ वृत्त $x^2+y^2-6 x+4 y+8=0$ के बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर स्पर्श रेखाएं हैं। यदि त्रिभुज $\mathrm{OPQ}$ का परिवृत्त, बिन्दु $\left(\alpha, \frac{1}{2}\right)$ से होकर जाती है, तो $\alpha$ का एक मान है