વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$ ના વ્યાસનું સમીકરણ જે $2x - y + 3 = 0$ રેખા પરના જીવાઓને દુભાગે છે તે શોધો.

ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ બે વર્તુળો છે જે બિંદુ $A$ પર બહારથી એકબીજાને સ્પર્શે છે. ધારો કે $AB$ એ વર્તુળ $C_1$ નો વ્યાસ છે. વર્તુળ $C_2$ માટે એક છેદિકા $BA_3$ દોરો,જે વર્તુળ $C_1$ ને બિંદુ $A_1$ (જ્યાં $A_1 \neq A$) પર અને વર્તુળ $C_2$ ને બિંદુઓ $A_2$ અને $A_3$ પર છેદે છે. જો $BA_1 = 2$,$BA_2 = 3$ અને $BA_3 = 4$ હોય,તો વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે કેટલી હશે?

એક વર્તુળની જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $P$ પર કાટખૂણે છેદે છે. જો $AP$,$PB$,$CP$,અને $PD$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $2$,$6$,$3$,અને $4$ એકમ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો:

એક બિંદુ $P$ ને $\Delta ABC$ ની બહાર લેવામાં આવે છે જ્યાં $B(1, \sqrt{3})$,$A(0, 0)$,અને $C(2, 0)$ છે,પરંતુ લઘુકોણ $BAC$ ની અંદર,જેથી $\angle APC = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle BPA = \frac{\pi}{12}$ થાય. રેખા $BP$ નો ઢાળ શોધો.

ધારો કે $L_1$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે અને $L_2$ એ સીધી રેખા $x+y=1$ છે. જો વર્તુળ $x^2+y^2-x+3y=0$ દ્વારા $L_1$ અને $L_2$ પર બનાવેલા અંતઃખંડો સમાન હોય,તો નીચેનામાંથી કયા સમીકરણો $L_1$ દર્શાવે છે?

જો સીધી રેખા $y=mx$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-20y+90=0$ ની બહાર આવેલી હોય,તો $m$ ની કિંમત શું સંતોષશે?