Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(C) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 5 = 8$ અને $n = 20$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\therefore S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)8]$
$\quad = 10[10 + 152]$
$\quad = 10[162] = 1620$.
આમ,$A.P.$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $1620$ છે.
હવે,ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 6440$ છે.
$\therefore 6440 = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)8]$
$\therefore 12880 = n[10 + 8n - 8]$
$\therefore 12880 = 8n^2 + 2n$
$\therefore 8n^2 + 2n - 12880 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,$4n^2 + n - 6440 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $4n^2 + 161n - 160n - 6440 = 0$
$\therefore n(4n + 161) - 40(4n + 161) = 0$
$\therefore (4n + 161)(n - 40) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 40$ (કારણ કે $n = -\frac{161}{4}$ શક્ય નથી).
આમ,$A.P.$ ના $40$ પદોનો સરવાળો $6440$ થાય છે.

(10N-8) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો: $S_{n} = 5n^{2} - 3n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ મું પદ $T_{n}$ એ $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ (જ્યાં $n > 1$) દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$S_{n-1}$ શોધો:
$S_{n-1} = 5(n-1)^{2} - 3(n-1)$
$S_{n-1} = 5(n^{2} - 2n + 1) - 3n + 3$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 10n + 5 - 3n + 3$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 13n + 8$.
હવે,$T_{n}$ ની ગણતરી કરો:
$T_{n} = (5n^{2} - 3n) - (5n^{2} - 13n + 8)$
$T_{n} = 5n^{2} - 3n - 5n^{2} + 13n - 8$
$T_{n} = 10n - 8$.
$n = 1$ માટે,$T_{1} = S_{1} = 5(1)^{2} - 3(1) = 2$.
સૂત્ર $T_{n} = 10n - 8$ માં $n = 1$ મૂકતા,$T_{1} = 10(1) - 8 = 2$.
બંને કિંમતો સમાન હોવાથી,$n$ મું પદ $T_{n} = 10n - 8$ છે.

(A) $250$ અને $1000$ ની વચ્ચે આવતા $3$ ના ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.
$250$ પછીનો $3$ નો પ્રથમ ગુણક $252$ છે અને $1000$ પહેલાનો $3$ નો છેલ્લો ગુણક $999$ છે.
તેથી,સમાંતર શ્રેણી $252, 255, 258, ..., 999$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a = 252$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને અંતિમ પદ $l = 999$ છે.
$n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$999 = 252 + (n - 1)3$
$999 - 252 = (n - 1)3$
$747 = (n - 1)3$
$n - 1 = 249$
$n = 250$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{250} = \frac{250}{2}(252 + 999)$
$S_{250} = 125 \times 1251$
$S_{250} = 1,56,375$.
આમ,$250$ અને $1000$ ની વચ્ચે આવતા $3$ ના ગુણકોનો સરવાળો $1,56,375$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$,$a$ અને $(a+d)$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ:
$(a-d) + a + (a+d) = 48$
$3a = 48$
$a = 16$
બીજી શરત મુજબ:
$(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 800$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 800$
$3a^2 + 2d^2 = 800$
$a = 16$ મુકતા:
$3(16)^2 + 2d^2 = 800$
$3(256) + 2d^2 = 800$
$768 + 2d^2 = 800$
$2d^2 = 32$
$d^2 = 16$
$d = \pm 4$
કિસ્સો $1$: જો $a = 16$ અને $d = 4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(16-4), 16, (16+4)$ એટલે કે $12, 16, 20$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 16$ અને $d = -4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(16-(-4)), 16, (16+(-4))$ એટલે કે $20, 16, 12$ મળે.
આમ,માંગેલી સંખ્યાઓ $12, 16, 20$ અથવા $20, 16, 12$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 5 = 3$ અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 670$ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $670 = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)3]$.
$1340 = n [10 + 3n - 3]$.
$1340 = n [3n + 7]$.
$3n^2 + 7n - 1340 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3n^2 + 67n - 60n - 1340 = 0$.
$n(3n + 67) - 20(3n + 67) = 0$.
$(3n + 67)(n - 20) = 0$.
આમ,$n = -\frac{67}{3}$ અથવા $n = 20$.
પદોની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ $(n \in N)$,તેથી $n = 20$ એ જ શક્ય ઉકેલ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 4n + 7$ છે.
પ્રથમ પદ $a$ શોધવા માટે,$n = 1$ મૂકતા:
$a = T_{1} = 4(1) + 7 = 11$.
બીજું પદ શોધવા માટે,$n = 2$ મૂકતા:
$T_{2} = 4(2) + 7 = 15$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_{2} - T_{1} = 15 - 11 = 4$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$a = 11$ અને $d = 4$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2(11) + (n - 1)4]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[22 + 4n - 4]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[4n + 18]$
$S_{n} = n[2n + 9]$
$S_{n} = 2n^{2} + 9n$.
આમ,$n$ પદોનો સરવાળો $2n^{2} + 9n$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $36$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 36$
$4a = 36$
$a = 9$
બીજી શરત મુજબ,મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર અંતિમ પદોના ગુણાકાર કરતા $32$ વધારે છે:
$(a-d)(a+d) = (a-3d)(a+3d) + 32$
$a^2 - d^2 = a^2 - 9d^2 + 32$
$8d^2 = 32$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
કિસ્સો $1$: જો $a = 9$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(9-6, 9-2, 9+2, 9+6) = (3, 7, 11, 15)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 9$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(9+6, 9+2, 9-2, 9-6) = (15, 11, 7, 3)$ મળે.
આમ,જરૂરી ચાર સંખ્યાઓ $3, 7, 11, 15$ અથવા $15, 11, 7, 3$ છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ માં જરૂરી પાંચ સંખ્યાઓ $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,
$(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 30$
$5a = 30$
$a = 6$
બીજી શરત મુજબ,
$(a-2d)^2 + (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 = 220$
$(a^2 - 4ad + 4d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 220$
$5a^2 + 10d^2 = 220$
$a^2 + 2d^2 = 44$
$a = 6$ મૂકતા:
$6^2 + 2d^2 = 44$
$36 + 2d^2 = 44$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $a = 6$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $6-4, 6-2, 6, 6+2, 6+4$ એટલે કે $2, 4, 6, 8, 10$ મળે.
જો $a = 6$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $6+4, 6+2, 6, 6-2, 6-4$ એટલે કે $10, 8, 6, 4, 2$ મળે.
આમ,જરૂરી પાંચ સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10$ અથવા $10, 8, 6, 4, 2$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ $15, 20, 25, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 15$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20 - 15 = 5$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 30$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{30} = \frac{30}{2} [2(15) + (30 - 1)5]$.
$S_{30} = 15 [30 + (29 \times 5)]$.
$S_{30} = 15 [30 + 145]$.
$S_{30} = 15 \times 175$.
$S_{30} = 2625$.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $30, 26, 22, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 30$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 26 - 30 = -4$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 25$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{25} = \frac{25}{2} [2(30) + (25 - 1)(-4)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [60 + (24)(-4)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [60 - 96]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [-36]$.
$S_{25} = 25 \times (-18) = -450$.
આમ,પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો $-450$ છે.

(A) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 11$,$d = 7$ અને $n = 40$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2} [2(11) + (40 - 1)7]$
$S_{40} = 20 [22 + (39 \times 7)]$
$S_{40} = 20 [22 + 273]$
$S_{40} = 20 [295]$
$S_{40} = 5900$.
તેથી,પ્રથમ $40$ પદોનો સરવાળો $5900$ છે.

(B) $6$ વડે વિભાજ્ય બે અંકની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $12, 18, 24, \dots, 96$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 12$,સામાન્ય તફાવત $d = 6$ અને અંતિમ પદ $l = 96$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે,આપણે $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$96 = 12 + (n - 1)6$
$84 = (n - 1)6$
$14 = n - 1$
$n = 15$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{15} = \frac{15}{2}(12 + 96)$
$S_{15} = \frac{15}{2}(108)$
$S_{15} = 15 \times 54 = 810$.

(C) આપેલ $A.P.$ $8, 15, 22, \ldots$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 15 - 8 = 7$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $S_n = 1490$ આપેલ છે,તેથી $1490 = \frac{n}{2} [2(8) + (n - 1)7]$.
$2980 = n [16 + 7n - 7] = n [7n + 9]$.
$7n^2 + 9n - 2980 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(7)(-2980)}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 83440}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{83521}}{14}$.
અહીં $\sqrt{83521} = 289$ હોવાથી,$n = \frac{-9 + 289}{14} = \frac{280}{14} = 20$.
આમ,$20$ પદોની જરૂર પડશે.

(D) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 3 = 4$ છે.
અંતિમ પદ $l$ (અથવા $a_n$) $119$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $119 = 3 + (n - 1)4$.
$116 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 29$,તેથી $n = 30$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{30} = \frac{30}{2}(3 + 119) = 15 \times 122 = 1830$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_5 = 20$,તેથી $a + 4d = 20$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $a_{10} = 35$,તેથી $a + 9d = 35$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 9d) - (a + 4d) = 35 - 20$,જે $5d = 15$ આપે છે,તેથી $d = 3$.
$d = 3$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 4(3) = 20$,તેથી $a + 12 = 20$,જે $a = 8$ આપે છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(8) + (20-1)3]$.
$S_{20} = 10 [16 + 19 \times 3] = 10 [16 + 57] = 10 [73] = 730$.

(B) આપેલ $A.P.$ $31, 36, 41, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 31$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 36 - 31 = 5$ છે.
ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 535$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $535 = \frac{n}{2} [2(31) + (n - 1)5]$.
$1070 = n [62 + 5n - 5]$.
$1070 = n [57 + 5n]$.
$5n^2 + 57n - 1070 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{57^2 - 4(5)(-1070)}}{2(5)}$.
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{3249 + 21400}}{10}$.
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{24649}}{10}$.
$n = \frac{-57 \pm 157}{10}$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = \frac{100}{10} = 10$.
આમ,$10$ પદોનો સરવાળો $535$ થાય છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $85, 78, 71, \ldots$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 85$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 78 - 85 = -7$ છે.
$n^{th}$ પદ પ્રથમ ઋણ પદ હોય તે માટે,આપણે $a_{n} < 0$ લઈએ છીએ.
$n^{th}$ પદ માટેનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
તેથી,$85 + (n - 1)(-7) < 0$.
$85 - 7n + 7 < 0$.
$92 - 7n < 0$.
$7n > 92$.
$n > 13.14$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી પ્રથમ ઋણ પદ $14^{th}$ પદ $(n = 14)$ છે.
$S_{14}$ શોધવા માટે,આપણે સરવાળાના સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_{14} = \frac{14}{2}[2(85) + (14 - 1)(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 + 13(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 - 91]$.
$S_{14} = 7[79] = 553$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_5 = 30$,તેથી $a + 4d = 30$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $a_{12} = 65$,તેથી $a + 11d = 65$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 11d) - (a + 4d) = 65 - 30$.
$7d = 35$,જે આપણને $d = 5$ આપે છે.
$d = 5$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 4(5) = 30 \implies a + 20 = 30 \implies a = 10$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
$n = 30$ માટે: $S_{30} = \frac{30}{2} [2(10) + (30-1)5]$.
$S_{30} = 15 [20 + 29 \times 5] = 15 [20 + 145] = 15 \times 165 = 2475$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_{12} = -13$,તેથી $a + 11d = -13$ --- (સમીકરણ $1$).
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $S_4 = 24$,તેથી $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,જેનું સાદું રૂપ $2(2a + 3d) = 24$ અથવા $2a + 3d = 12$ થાય છે --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2a + 22d = -26$ --- (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$,જે $19d = -38$ આપે છે,તેથી $d = -2$.
$d = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2a + 3(-2) = 12$,તેથી $2a - 6 = 12$,$2a = 18$,$a = 9$.
હવે,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10-1)(-2)]$.
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)] = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$.

(A) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $n > 1$ માટે $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $S_{n} = 7n^{2} - 3n$ આપેલ છે.
તેથી $S_{n-1} = 7(n-1)^{2} - 3(n-1) = 7(n^{2} - 2n + 1) - 3n + 3 = 7n^{2} - 14n + 7 - 3n + 3 = 7n^{2} - 17n + 10$.
હવે,$T_{n} = (7n^{2} - 3n) - (7n^{2} - 17n + 10) = 7n^{2} - 3n - 7n^{2} + 17n - 10 = 14n - 10$.
$n = 1$ માટે,$T_{1} = S_{1} = 7(1)^{2} - 3(1) = 7 - 3 = 4$.
સૂત્ર $14n - 10$ માં $n = 1$ મૂકતા,આપણને $14(1) - 10 = 4$ મળે છે,જે $T_{1}$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,$n$ મું પદ $T_{n} = 14n - 10$ છે,જ્યાં $n \geq 1$.

(N/A) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $n > 1$ માટે $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_{n} = 3n^{2} + 5n$.
તેથી $S_{n-1} = 3(n-1)^{2} + 5(n-1) = 3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5 = 3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n^{2} - n - 2$.
હવે,$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - (3n^{2} - n - 2) = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$.
$n = 1$ માટે,$a_{1} = S_{1} = 3(1)^{2} + 5(1) = 8$.
આમ,$n$ મું પદ $a_{n} = 6n + 2$ છે,જ્યાં $n \geq 1$.

(A) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 8n + 3$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $(S_{n})$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [a + l]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $l$ એ $n$ મું પદ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ = $T_{1} = 8(1) + 3 = 11$.
$n$ મું પદ $(l)$ = $T_{n} = 8n + 3$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{n} = \frac{n}{2} [11 + (8n + 3)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [8n + 14]$
$S_{n} = n [4n + 7]$
$S_{n} = 4n^{2} + 7n$.

(A) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 10 - 6n$ છે.
પ્રથમ પદ $a$ શોધવા માટે,$n = 1$ મૂકતા:
$a = T_{1} = 10 - 6(1) = 4$.
બીજું પદ $T_{2}$ શોધવા માટે,$n = 2$ મૂકતા:
$T_{2} = 10 - 6(2) = 10 - 12 = -2$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_{2} - T_{1} = -2 - 4 = -6$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(4) + (n - 1)(-6)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [8 - 6n + 6]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [14 - 6n]$
$S_{n} = n(7 - 3n) = 7n - 3n^{2}$.
આમ,$S_{n} = -3n^{2} + 7n$.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$2^{nd}$ પદ $a_2 = a + d = 2$ --- $(1)$.
$7^{th}$ પદ $a_7 = a + 6d = 22$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + d) = 22 - 2$
$5d = 20$
$d = 4$.
સમીકરણ $(1)$ માં $d = 4$ મૂકતા:
$a + 4 = 2$
$a = -2$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 30$ માટે:
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(-2) + (30 - 1)4]$
$S_{30} = 15 [-4 + 29 \times 4]$
$S_{30} = 15 [-4 + 116]$
$S_{30} = 15 \times 112 = 1680$.
આમ,પ્રથમ $30$ પદોનો સરવાળો $1680$ છે.

(C) $A.P.$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $S_{n} = \frac{3n^{2}}{2} + \frac{5n}{2}$.
$25$ મું પદ $(a_{25})$ શોધવા માટે,આપણે $a_{25} = S_{25} - S_{24}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$S_{25} = \frac{3(25)^{2}}{2} + \frac{5(25)}{2} = \frac{3(625) + 125}{2} = \frac{1875 + 125}{2} = \frac{2000}{2} = 1000$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$S_{24} = \frac{3(24)^{2}}{2} + \frac{5(24)}{2} = \frac{3(576) + 120}{2} = \frac{1728 + 120}{2} = \frac{1848}{2} = 924$ મેળવો.
તેથી,$a_{25} = 1000 - 924 = 76$ થાય.

(N/A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d] = 2an + 2n^2d - nd$.
અને $S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3an + \frac{3n(3n-1)d}{2}$.
હવે,પદ $3(S_{2n} - S_n)$ ધ્યાનમાં લો:
$S_{2n} - S_n = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$.
આને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $3(S_{2n} - S_n) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_{3n}$ મળે છે.
આમ,$S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$ સાબિત થાય છે.

(D) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓનું પ્રથમ પદ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d_1$ અને $d_2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{\frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2} [2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
આથી,$\frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
આપણે $m$ માં પદોનો ગુણોત્તર શોધવો છે: $\frac{a_m}{a'_m} = \frac{a_1 + (m - 1)d_1}{a_2 + (m - 1)d_2}$.
જરૂરી ગુણોત્તરના અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા: $\frac{2a_1 + 2(m - 1)d_1}{2a_2 + 2(m - 1)d_2}$.
આપેલ સરવાળાના ગુણોત્તર સાથે સરખાવતા,$n - 1 = 2(m - 1)$ લેતા,$n = 2m - 1$ મળે છે.
હવે $n = 2m - 1$ ને $\frac{7n + 1}{4n + 27}$ માં મૂકતા:
ગુણોત્તર $= \frac{7(2m - 1) + 1}{4(2m - 1) + 27} = \frac{14m - 7 + 1}{8m - 4 + 27} = \frac{14m - 6}{8m + 23}$.
આમ,$m$ માં પદોનો ગુણોત્તર $(14m - 6) : (8m + 23)$ છે.

(A) ધારો કે ચાર ઇનામો સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
પ્રથમ ઇનામ $a$ છે.
દરેક ક્રમિક ઇનામમાં $Rs. 20$ નો ઘટાડો થતો હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $d = -20$ છે.
ઇનામોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઇનામોનો સરવાળો $S_n = 280$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $280 = \frac{4}{2} [2a + (4 - 1)(-20)]$.
$280 = 2 [2a + 3(-20)]$.
$140 = 2a - 60$.
$2a = 200$,તેથી $a = 100$.
ચાર ઇનામો $a, a+d, a+2d, a+3d$ છે.
$a = 100$ અને $d = -20$ મૂકતા: $100, 100-20, 100-40, 100-60$.
આમ,ઇનામની રકમ $Rs. 100, Rs. 80, Rs. 60, Rs. 40$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $50, 46, 42, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 50$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 46 - 50 = -4$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 20$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(50) + (20 - 1)(-4)]$.
$S_{20} = 10 [100 + 19(-4)]$.
$S_{20} = 10 [100 - 76]$.
$S_{20} = 10 [24] = 240$.
તેથી,પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $240$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ $3, \frac{9}{2}, 6, \frac{15}{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{9}{2} - 3 = \frac{9-6}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 25$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{25} = \frac{25}{2} [2(3) + (25-1)(\frac{3}{2})]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 24(\frac{3}{2})]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 12(3)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 36] = \frac{25}{2} [42]$.
$S_{25} = 25 \times 21 = 525$.

(A) આપેલ $A.P.$ $5, 2, -1, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 2 - 5 = -3$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)(-3)]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 - 3n + 3]$
$S_n = \frac{n}{2}[13 - 3n]$
$S_n = \frac{13n}{2} - \frac{3n^2}{2}$
આમ,$S_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{13}{2}n$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 5 - 6n$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ શોધવા માટે,$n = 1$ મૂકતા:
$a = T_{1} = 5 - 6(1) = -1$.
બીજું પદ $(T_{2})$ શોધવા માટે,$n = 2$ મૂકતા:
$T_{2} = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ એ $T_{2} - T_{1} = -7 - (-1) = -6$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $(S_{n})$ શોધવાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
$a = -1$ અને $d = -6$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(-1) + (n - 1)(-6)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [-2 - 6n + 6]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [4 - 6n]$
$S_{n} = n(2 - 3n) = -3n^{2} + 2n$.

(N/A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 17$,અંતિમ પદ $l = a_n = 350$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 9$.
$n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $350 = 17 + (n - 1)9$.
$350 - 17 = (n - 1)9$.
$333 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 333 / 9 = 37$.
$n = 37 + 1 = 38$.
હવે,$S_n = (n/2)(a + l)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો $S_n$ શોધતા:
$S_{38} = (38 / 2)(17 + 350)$.
$S_{38} = 19 \times 367$.
$S_{38} = 6973$.
આમ,પદોની સંખ્યા $38$ છે અને સરવાળો $6973$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 2$,અંતિમ પદ $l = 50$,અને સરવાળો $S_n = 442$.
$A.P.$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $442 = \frac{n}{2}(2 + 50)$.
$442 = \frac{n}{2}(52) \implies 442 = 26n$.
$n = \frac{442}{26} = 17$.
હવે,$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરો: $a_n = a + (n - 1)d$.
$50 = 2 + (17 - 1)d$.
$50 - 2 = 16d$.
$48 = 16d$.
$d = \frac{48}{16} = 3$.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.

(A) $84$ અને $719$ ની વચ્ચેના $5$ ના ગુણકો સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
$84$ પછીનો $5$ નો પ્રથમ ગુણક $a = 85$ છે.
$719$ પહેલાનો $5$ નો છેલ્લો ગુણક $l = 715$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
$n$ મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$715 = 85 + (n - 1)5$.
$630 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 126$.
$n = 127$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{127} = \frac{127}{2}(85 + 715)$.
$S_{127} = \frac{127}{2}(800)$.
$S_{127} = 127 \times 400 = 50,800$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$મા પદ માટે: $a + 4d = 30$ --- $(1)$
$12$મા પદ માટે: $a + 11d = 100$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 11d) - (a + 4d) = 100 - 30$
$7d = 70$
$d = 10$
સમીકરણ $(1)$ માં $d = 10$ મૂકતા:
$a + 4(10) = 30$
$a + 40 = 30$
$a = -10$
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 20$ માટે:
$S_{20} = \frac{20}{2} [2(-10) + (20 - 1)10]$
$S_{20} = 10 [-20 + 190]$
$S_{20} = 10 [170]$
$S_{20} = 1700$.

(C) આપેલ શ્રેણી $7, 10.5, 14, \ldots, 84$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 7$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 10.5 - 7 = 3.5 = \frac{7}{2}$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $84 = 7 + (n - 1) \times \frac{7}{2}$.
$84 - 7 = (n - 1) \times \frac{7}{2} \implies 77 = (n - 1) \times \frac{7}{2}$.
$(n - 1) = 77 \times \frac{2}{7} = 11 \times 2 = 22$.
$n = 22 + 1 = 23$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$ છે.
$S_{23} = \frac{23}{2} (7 + 84) = \frac{23}{2} \times 91 = \frac{2093}{2} = 1046.5 = 1046 \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = 4n + 3$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ શોધવા માટે: $n = 1$ મૂકતા,$a = T_1 = 4(1) + 3 = 7$.
$60$ મું પદ $(l)$ શોધવા માટે: $n = 60$ મૂકતા,$l = T_{60} = 4(60) + 3 = 240 + 3 = 243$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 60$ માટે,$S_{60} = \frac{60}{2}(7 + 243)$.
$S_{60} = 30(250) = 7500$.
આમ,પ્રથમ $60$ પદોનો સરવાળો $7500$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ સંખ્યાના સોના સ્થાન,દશકના સ્થાન અને એકમના સ્થાનના અંકો અનુક્રમે $a-d$,$a$ અને $a+d$ છે.
$\therefore$ મૂળ સંખ્યા $= 100(a-d) + 10(a) + (a+d) = 111a - 99d$.
આપેલ છે કે અંકોનો સરવાળો $15$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા:
$100(a+d) + 10(a) + (a-d) = 111a + 99d$.
આપેલ છે કે નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $594$ વધારે છે:
$(111a + 99d) - (111a - 99d) = 594$
$198d = 594$
$d = 3$.
તેથી,અંકો નીચે મુજબ છે:
સોનું સ્થાન: $a-d = 5-3 = 2$
દશકનું સ્થાન: $a = 5$
એકમનું સ્થાન: $a+d = 5+3 = 8$
આમ,મૂળ સંખ્યા $258$ છે.

(B) ધારો કે જરૂરી રોલ નંબર $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n$ થી નાના તમામ રોલ નંબરનો સરવાળો એ $n$ થી મોટા તમામ રોલ નંબરના સરવાળા જેટલો છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1) = (n + 1) + (n + 2) + \ldots + 49$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{k(k+1)}{2}$ થાય છે.
ડાબી બાજુનો સરવાળો: $\frac{(n-1)n}{2}$.
જમણી બાજુનો સરવાળો: $\sum_{i=1}^{49} i - \sum_{i=1}^{n} i = \frac{49 \times 50}{2} - \frac{n(n+1)}{2}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{n^2 - n}{2} = \frac{2450}{2} - \frac{n^2 + n}{2}$.
$n^2 - n = 2450 - n^2 - n$.
$2n^2 = 2450$.
$n^2 = 1225$.
$n = \sqrt{1225} = 35$.
તેથી,જરૂરી રોલ નંબર $35$ છે.

(C) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓનું પ્રથમ પદ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમનો સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સરવાળાનો ગુણોત્તર:
$\frac{S_{n,1}}{S_{n,2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{4n+3}{5n-7}$
$\frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{4n+3}{5n-7}$
આપણે $15$ મા પદોનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{a_1 + 14d_1}{a_2 + 14d_2}$ થાય.
અંશ અને છેદમાં $14d$ મેળવવા માટે,$\frac{n-1}{2} = 14$ લેતા,$n-1 = 28$ એટલે કે $n = 29$ મળે.
$n = 29$ મુકતા:
$\frac{2a_1 + 28d_1}{2a_2 + 28d_2} = \frac{4(29)+3}{5(29)-7}$
$\frac{2(a_1 + 14d_1)}{2(a_2 + 14d_2)} = \frac{116+3}{145-7}$
$\frac{a_1 + 14d_1}{a_2 + 14d_2} = \frac{119}{138}$
આમ,$15$ મા પદોનો ગુણોત્તર $\frac{119}{138}$ છે.

(D) આપેલ પદો $2x$,$x+10$ અને $3x+2$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત સમાન હોય.
તેથી,$(x+10) - 2x = (3x+2) - (x+10)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$-x + 10 = 2x - 8$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$10 + 8 = 2x + x$.
$18 = 3x$.
$x = \frac{18}{3} = 6$.
આમ,$x$ ની કિંમત $6$ છે.

(A) $A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 54$,સામાન્ય તફાવત $d = 51 - 54 = -3$ અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = 513$ છે.
સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$513 = \frac{n}{2}[2(54) + (n - 1)(-3)]$
$1026 = n[108 - 3n + 3]$
$1026 = n[111 - 3n]$
$1026 = 111n - 3n^{2}$
$3n^{2} - 111n + 1026 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$n^{2} - 37n + 342 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
આમ,$n = 18$ અથવા $n = 19$.
બે જવાબ મળવાનું કારણ: આ $A.P.$ નું $19$ મું પદ $T_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ છે. $19$ મું પદ $0$ હોવાથી,પ્રથમ $18$ પદોના સરવાળામાં $0$ ઉમેરવાથી સરવાળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,$S_{18}$ અને $S_{19}$ બંને $513$ થાય છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$T_n = a + (n - 1)d$
આપેલ છે કે $T_3 = 7$,તેથી $a + 2d = 7$ --- $(1)$
આપેલ છે કે $T_7 = 3(T_3) + 2$,તેથી $a + 6d = 3(7) + 2 = 23$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 23 - 7$
$4d = 16$
$d = 4$
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 2(4) = 7$
$a + 8 = 7$
$a = -1$
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(-1) + (20 - 1)4]$
$S_{20} = 10[-2 + 19(4)]$
$S_{20} = 10[-2 + 76]$
$S_{20} = 10[74] = 740$.
આમ,પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $740$ છે.

(N/A) ફેક્ટરીનું ઉત્પાદન દર વર્ષે સમાન રીતે વધતું હોવાથી,વાર્ષિક ઉત્પાદન સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
આ $A.P.$ માટે,$3^{rd}$ પદ $T_{3} = 600$ અને $7^{th}$ પદ $T_{7} = 700$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ માટેનું સૂત્ર $d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$ છે.
$m = 7$ અને $n = 3$ લેતા:
$d = \frac{700 - 600}{7 - 3} = \frac{100}{4} = 25$.
$T_{n} = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $T_{3}$ માટે:
$600 = a + (3 - 1)(25) \implies 600 = a + 50 \implies a = 550$.
આમ,$1^{st}$ વર્ષમાં ઉત્પાદન $550 \, TV$ છે.
$10^{th}$ વર્ષ માટે:
$T_{10} = a + 9d = 550 + 9(25) = 550 + 225 = 775 \, TV$.
$7$ વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદન $(S_{7})$ માટે:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
$S_{7} = \frac{7}{2} [2(550) + (7 - 1)(25)] = \frac{7}{2} [1100 + 150] = \frac{7}{2} [1250] = 7 \times 625 = 4375 \, TV$.

(D) માસિક હપ્તામાં ચૂકવવામાં આવતી રકમ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.
પ્રથમ પદ $a = 20$.
સામાન્ય તફાવત $d = 15$.
કુલ દેવું $S_n = 3250$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $3250 = \frac{n}{2}[2(20) + (n-1)15]$.
$6500 = n[40 + 15n - 15]$.
$6500 = n[25 + 15n]$.
$15n^2 + 25n - 6500 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા: $3n^2 + 5n - 1300 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3n^2 + 65n - 60n - 1300 = 0$.
$n(3n + 65) - 20(3n + 65) = 0$.
$(n - 20)(3n + 65) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 20$.
આમ,દેવું ચૂકવવામાં $20$ મહિના લાગશે.

(B) $A.P.$ $40, 36, 32, \ldots$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 40$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 36 - 40 = -4$ છે.
કયું પદ $0$ છે તે શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$a_n = 0$ લેતા,આપણને મળે $0 = 40 + (n - 1)(-4)$.
$4(n - 1) = 40 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
આમ,$11$ મું પદ $0$ છે.
કેટલા પદોનો સરવાળો $0$ થાય તે શોધવા માટે,આપણે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_n = 0$ લેતા,આપણને મળે $0 = \frac{n}{2}[2(40) + (n - 1)(-4)]$.
$0 = 80 - 4n + 4 \implies 4n = 84 \implies n = 21$.
આમ,$21$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $53, 48, 43, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 53$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 48 - 53 = -5$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે,તેથી $a_n < 0$.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $53 + (n - 1)(-5) < 0$.
$53 - 5n + 5 < 0$.
$58 - 5n < 0$.
$58 < 5n$.
$n > 11.6$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $11.6$ થી મોટી પ્રથમ પૂર્ણાંક સંખ્યા $n = 12$ છે.
હવે,$12$ મું પદ શોધો: $a_{12} = 53 + (12 - 1)(-5) = 53 + 11(-5) = 53 - 55 = -2$.
આમ,$12$ મું પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે,જે $-2$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ $\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$10$ માં પદ માટે $(n = 10)$:
$a_{10} = \sqrt{2} + (10 - 1)(2 \sqrt{2})$
$a_{10} = \sqrt{2} + 9(2 \sqrt{2})$
$a_{10} = \sqrt{2} + 18 \sqrt{2}$
$a_{10} = 19 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ $A.P.$ $-40, -15, 10, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -40$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = -15 - (-40) = -15 + 40 = 25$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$20$ મું પદ $(n = 20)$ શોધવા માટે:
$a_{20} = -40 + (20 - 1) \times 25$
$a_{20} = -40 + 19 \times 25$
$a_{20} = -40 + 475$
$a_{20} = 435$.
તેથી,$20$ મું પદ $435$ છે.