Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $a$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = \frac{3}{2}$.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ પદને તેના પછીના પદમાંથી બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે,એટલે કે $d = a_2 - a_1$.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -1$ છે.

(A) અહીં આપણી પાસે છે:
$a_{2}-a_{1} = 10-4 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 16-10 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 22-16 = 6$
તફાવત $a_{k+1}-a_{k}$ દરેક વખતે સમાન હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
આ શ્રેણીના પછીના બે પદ નીચે મુજબ છે:
$22 + 6 = 28$
$28 + 6 = 34$.

(A) શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો માટે સામાન્ય તફાવત $d = a_{k+1} - a_k$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = -1 - 1 = -2$
$a_3 - a_2 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$
$a_4 - a_3 = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = -2$ સમાન હોવાથી,આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના બે પદ શોધવા માટે છેલ્લા પદમાં સામાન્ય તફાવત $d = -2$ ઉમેરતા:
પછીનું પદ $1 = -5 + (-2) = -7$
પછીનું પદ $2 = -7 + (-2) = -9$
આમ,પછીના બે પદ $-7$ અને $-9$ છે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધીએ છીએ.
પ્રથમ,બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$a_{2} - a_{1} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
ત્યારબાદ,ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$a_{3} - a_{2} = -2 - 2 = -4$
અહીં $a_{2} - a_{1} \neq a_{3} - a_{2}$ (એટલે કે $4 \neq -4$) હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલ સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.

(NO) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots = 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = 1 - 1 = 0$
$d_2 = a_3 - a_2 = 1 - 1 = 0$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - 1 = 1$
અહીં $d_1 = d_2 \neq d_3$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવતી નથી.

(A) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
પ્રથમ $1 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $15$
પ્રથમ $2 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $15 + 8 = 23$
પ્રથમ $3 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $23 + 8 = 31$
પ્રથમ $4 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $31 + 8 = 39$
સ્પષ્ટપણે,શ્રેણી $15, 23, 31, 39, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે કારણ કે કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ છે,એટલે કે $d = 8$.

(B) ધારો કે નળાકારમાં હવાનું પ્રારંભિક કદ $V$ લિટર છે.
દરેક સ્ટ્રોકમાં,વેક્યુમ પંપ નળાકારમાં બાકી રહેલી હવાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બહાર કાઢે છે.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક સ્ટ્રોક પછી,બાકી રહેલી હવા અગાઉના જથ્થાના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ભાગ જેટલી હોય છે.
તેથી,દરેક સ્ટ્રોક પછી કદની શ્રેણી $V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2 V, \left(\frac{3}{4}\right)^3 V, \dots$ થશે.
આ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$d_1 = \frac{3}{4}V - V = -\frac{1}{4}V$
$d_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 V - \frac{3}{4}V = \frac{9}{16}V - \frac{12}{16}V = -\frac{3}{16}V$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવતી નથી.

(A) પ્રથમ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= ₹ 150$.
પ્રથમ $2$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 150 + 50 = ₹ 200$.
પ્રથમ $3$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 200 + 50 = ₹ 250$.
પ્રથમ $4$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 250 + 50 = ₹ 300$.
સ્પષ્ટપણે, શ્રેણી $150, 200, 250, 300, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે કારણ કે કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે, એટલે કે $d = 50$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો મુદ્દલ $P$ ને $r \%$ ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે $n$ વર્ષ માટે જમા કરવામાં આવે,તો $n$ વર્ષ પછીની રકમ $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ પ્રશ્ન માટે,$P = 10000$ અને $r = 8$ છે.
દરેક વર્ષ પછી ખાતામાં રહેલી રકમ:
વર્ષ $1$: $10000(1 + \frac{8}{100})^1 = 10800$
વર્ષ $2$: $10000(1 + \frac{8}{100})^2 = 11664$
વર્ષ $3$: $10000(1 + \frac{8}{100})^3 = 12597.12$
રકમની શ્રેણી $10800, 11664, 12597.12, \dots$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત શોધીએ:
$d_1 = 11664 - 10800 = 864$
$d_2 = 12597.12 - 11664 = 933.12$
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. તેથી,આ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 10$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 10.$
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = a = 10.$
બીજું પદ $a_2 = a + d = 10 + 10 = 20.$
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = 10 + 2(10) = 10 + 20 = 30.$
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = 10 + 3(10) = 10 + 30 = 40.$
આમ,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $10, 20, 30,$ અને $40$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 0.$
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = a = -2.$
બીજું પદ $a_2 = a + d = -2 + 0 = -2.$
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = -2 + 2(0) = -2.$
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = -2 + 3(0) = -2.$
તેથી,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $-2, -2, -2, -2$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -3.$
સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = a = 4.$
બીજું પદ $a_2 = a + d = 4 + (-3) = 4 - 3 = 1.$
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 - 6 = -2.$
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = 4 + 3(-3) = 4 - 9 = -5.$
તેથી,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $4, 1, -2, -5$ છે.

(A) આપેલ છે: $a = -1$ અને $d = \frac{1}{2}$.
સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ છે,જ્યાં $a_n = a + (n-1)d$.
$a_1 = a = -1$
$a_2 = a + d = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$a_3 = a + 2d = -1 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$
$a_4 = a + 3d = -1 + 3(\frac{1}{2}) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
આમ,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -1.25$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -0.25.$
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના પદો $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
પ્રથમ પદ: $a_1 = a = -1.25$
બીજું પદ: $a_2 = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50$
ત્રીજું પદ: $a_3 = a + 2d = -1.25 + 2(-0.25) = -1.25 - 0.50 = -1.75$
ચોથું પદ: $a_4 = a + 3d = -1.25 + 3(-0.25) = -1.25 - 0.75 = -2.00$
આમ,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદો $-1.25, -1.50, -1.75$ અને $-2.00$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 1, -1, -3, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = 3$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1 - 3$
$d = -2$
આમ,પ્રથમ પદ $3$ છે અને સામાન્ય તફાવત $-2$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $-5, -1, 3, 7, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = -5$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = (-1) - (-5)$
$d = -1 + 5$
$d = 4$.
આમ,પ્રથમ પદ $-5$ છે અને સામાન્ય તફાવત $4$ છે.

(N/A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = \frac{1}{3}$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ શોધવા માટે બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરવામાં આવે છે:
$d = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
આમ,પ્રથમ પદ $\frac{1}{3}$ છે અને સામાન્ય તફાવત $\frac{4}{3}$ છે.

(A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = 0.6$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1.7 - 0.6$
$d = 1.1$
આમ,પ્રથમ પદ $0.6$ છે અને સામાન્ય તફાવત $1.1$ છે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી: $2, 4, 8, 16, \ldots$
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
$a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$
$a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8$
અહીં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $(a_{k+1} - a_k)$ સમાન નથી,તેથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવતી નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી: $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$a_{3} - a_{2} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$
$a_{4} - a_{3} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{2}$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$
$a_{6} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{7} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5$

(D) આપેલ શ્રેણી: $-10, -6, -2, 2, \ldots$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = (-6) - (-10) = -6 + 10 = 4$
$a_{3} - a_{2} = (-2) - (-6) = -2 + 6 = 4$
$a_{4} - a_{3} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન $(d = 4)$ હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ:
$a_{5} = a_{4} + d = 2 + 4 = 6$
$a_{6} = a_{5} + d = 6 + 4 = 10$
$a_{7} = a_{6} + d = 10 + 4 = 14$
આમ,સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે અને પછીના ત્રણ પદ $6, 10, 14$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ સમાન રહે છે,તેથી આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{2}$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = a_4 + d = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2}$
$a_6 = a_5 + d = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2}$
$a_7 = a_6 + d = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$

(B) આપેલ શ્રેણી: $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \ldots$
શ્રેણી $AP$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 0.22 - 0.2 = 0.02$
$a_{3} - a_{2} = 0.222 - 0.22 = 0.002$
$a_{4} - a_{3} = 0.2222 - 0.222 = 0.0002$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન નથી,તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી: $0, -4, -8, -12, \ldots$
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = (-4) - 0 = -4$
$a_{3} - a_{2} = (-8) - (-4) = -4$
$a_{4} - a_{3} = (-12) - (-8) = -4$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન રહે છે,તેથી આ શ્રેણી $AP$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = -4$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = a_{4} + d = -12 + (-4) = -16$
$a_{6} = a_{5} + d = -16 + (-4) = -20$
$a_{7} = a_{6} + d = -20 + (-4) = -24$
આમ,સામાન્ય તફાવત $-4$ છે અને પછીના ત્રણ પદ $-16, -20, -24$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી: $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \ldots$
તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_3 - a_2 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_4 - a_3 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ દરેક વખતે સમાન $(0)$ રહે છે,તેથી આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે અને સામાન્ય તફાવત $d = 0$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_5 = a_4 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_6 = a_5 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_7 = a_6 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$

(NONE) આપેલ શ્રેણી: $1, 3, 9, 27, \ldots$
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$
$a_{3} - a_{2} = 9 - 3 = 6$
$a_{4} - a_{3} = 27 - 9 = 18$
અહીં સામાન્ય તફાવત $(a_{k+1} - a_{k})$ સમાન નથી (એટલે કે,$2 \neq 6 \neq 18$),તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = 2a - a = a$
$a_3 - a_2 = 3a - 2a = a$
$a_4 - a_3 = 4a - 3a = a$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ સમાન $(d = a)$ હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = 4a + a = 5a$
$a_6 = 5a + a = 6a$
$a_7 = 6a + a = 7a$

(NONE) આપેલ શ્રેણી $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = a^{2} - a = a(a - 1)$
$a_{3} - a_{2} = a^{3} - a^{2} = a^{2}(a - 1)$
$a_{4} - a_{3} = a^{4} - a^{3} = a^{3}(a - 1)$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન રહેતો નથી (એટલે કે,$a(a-1) \neq a^{2}(a-1)$ જ્યારે $a \neq 0, 1$),તેથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$a_1 = \sqrt{2} = 1\sqrt{2}$
$a_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$a_4 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત $d = a_{k+1} - a_k$ શોધીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$
તફાવત $d = \sqrt{2}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ માં છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = a_4 + d = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$
$a_6 = a_5 + d = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}$
$a_7 = a_6 + d = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$

(N/A) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
$a_{3} - a_{2} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$a_{4} - a_{3} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$
અહીં,તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ દરેક વખતે સમાન રહેતો નથી,તેથી આપેલ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં નથી.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots$ છે.
આને $1, 9, 25, 49, \ldots$ તરીકે લખી શકાય છે.
શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 9 - 1 = 8$
$a_{3} - a_{2} = 25 - 9 = 16$
$a_{4} - a_{3} = 49 - 25 = 24$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન નથી (એટલે કે,$8 \neq 16 \neq 24$),તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \ldots$ છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા,આપણને $1, 25, 49, 73, \ldots$ મળે છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 25 - 1 = 24$
$a_{3} - a_{2} = 49 - 25 = 24$
$a_{4} - a_{3} = 73 - 49 = 24$
તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન $(d = 24)$ હોવાથી,આપેલ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 24$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = 73 + 24 = 97$
$a_{6} = 97 + 24 = 121$
$a_{7} = 121 + 24 = 145$

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $2, 7, 12, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 2 = 5$ છે.
આપણે $10$ મું પદ શોધવાનું છે,તેથી $n = 10$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 5$.
$a_{10} = 2 + 9 \times 5$.
$a_{10} = 2 + 45 = 47$.
તેથી,આપેલ $AP$ નું $10$ મું પદ $47$ છે.

(N/A) આપેલ $AP$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 21$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 18 - 21 = -3$ છે.
$n$-મું પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d$.
કયું પદ $-81$ છે તે શોધવા માટે,આપણે $a_n = -81$ લઈએ:
$-81 = 21 + (n - 1)(-3)$
$-81 = 21 - 3n + 3$
$-81 = 24 - 3n$
$3n = 24 + 81$
$3n = 105$
$n = 35$.
આમ,$AP$ નું $35$મું પદ $-81$ છે.
કોઈ પદ $0$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $a_n = 0$ લઈએ:
$0 = 21 + (n - 1)(-3)$
$0 = 21 - 3n + 3$
$3n = 24$
$n = 8$.
અહીં $n = 8$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$AP$ નું $8$મું પદ $0$ છે.

(A) $AP$ નું સામાન્ય પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $3^{rd}$ પદ $5$ છે,તેથી:
$a_3 = a + 2d = 5$ $...(1)$
આપેલ છે કે $7^{th}$ પદ $9$ છે,તેથી:
$a_7 = a + 6d = 9$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 9 - 5$
$4d = 4$
$d = 1$
$d = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 2(1) = 5$
$a = 3$
$AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3, 3+1, 3+2, 3+3, \dots$ મળે છે,જે $3, 4, 5, 6, \dots$ છે.

(B) આપણી પાસે શ્રેણી $5, 11, 17, 23, \ldots$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે કે નહીં:
$a_{2}-a_{1} = 11-5 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 17-11 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 23-17 = 6$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 6$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
ધારો કે $301$ એ આ $AP$ નું $n$મું પદ છે. $n$મા પદનું સૂત્ર:
$a_{n} = a + (n-1)d$
કિંમતો મૂકતા:
$301 = 5 + (n-1)6$
$301 = 5 + 6n - 6$
$301 = 6n - 1$
$302 = 6n$
$n = \frac{302}{6} = \frac{151}{3} = 50.33$
સમાંતર શ્રેણીમાં $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,અને $50.33$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $301$ એ આપેલી સંખ્યાઓની યાદીનું પદ નથી.

(A) $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓની યાદી $12, 15, 18, \ldots, 99$ છે.
આ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 12$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને અંતિમ પદ $a_n = 99$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $99 = 12 + (n - 1) \times 3$.
બંને બાજુથી $12$ બાદ કરતા: $87 = (n - 1) \times 3$.
$3$ વડે ભાગતા: $n - 1 = 29$.
તેથી,$n = 29 + 1 = 30$.
આમ,$3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની કુલ $30$ સંખ્યાઓ છે.

(B) આપેલ $AP$ એ $10, 7, 4, \ldots, -62$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 10$,સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 10 = -3$ અને છેલ્લું પદ $l = -62$ છે.
છેલ્લા પદથી $n$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: છેલ્લા પદથી $n$ મું પદ $= l - (n - 1)d$.
અહીં,$n = 11$,$l = -62$,અને $d = -3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
છેલ્લા પદથી $11$ મું પદ $= -62 - (11 - 1)(-3)$
$= -62 - (10)(-3)$
$= -62 + 30$
$= -32$.
આમ,છેલ્લા પદથી $11$ મું પદ $-32$ છે.

(C) સાદા વ્યાજની ગણતરી માટેનું સૂત્ર $\text{સાદું વ્યાજ} = \frac{P \times R \times T}{100}$ છે.
$1$લા વર્ષના અંતે વ્યાજ $= \frac{1000 \times 8 \times 1}{100} = ₹ 80$.
$2$જા વર્ષના અંતે વ્યાજ $= \frac{1000 \times 8 \times 2}{100} = ₹ 160$.
$3$જા વર્ષના અંતે વ્યાજ $= \frac{1000 \times 8 \times 3}{100} = ₹ 240$.
વ્યાજની શ્રેણી $80, 160, 240, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = 80)$ હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 80$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 80$ છે.
$30$ વર્ષના અંતે વ્યાજ શોધવા માટે,આપણે $30$મું પદ $(a_{30})$ શોધીશું:
$a_{30} = a + (30 - 1)d = 80 + 29 \times 80 = 80 + 2320 = 2400$.
આમ,$30$ વર્ષના અંતે મળતું વ્યાજ ₹ $2400$ થશે.

(D) ફૂલના ક્યારામાં $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}, \dots$ હારમાં રહેલા ગુલાબના છોડની સંખ્યા $23, 21, 19, \dots, 5$ છે.
આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે કારણ કે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 23$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 21 - 23 = -2$ છે.
છેલ્લું પદ ($n^{th}$ પદ) $a_n = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 23 + (n - 1)(-2)$.
બંને બાજુથી $23$ બાદ કરતા: $5 - 23 = (n - 1)(-2) \implies -18 = (n - 1)(-2)$.
$-2$ વડે ભાગતા: $9 = n - 1$.
તેથી,$n = 10$.
આમ,ફૂલના ક્યારામાં કુલ $10$ હાર છે.

(N/A) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર: $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
$(i)$ આપેલ છે: $a = 7, d = 3, n = 8$.
$a_{8} = 7 + (8 - 1)3 = 7 + (7)(3) = 7 + 21 = 28$.
$(ii)$ આપેલ છે: $a = -18, n = 10, a_{n} = 0$.
$0 = -18 + (10 - 1)d \rightarrow 18 = 9d \rightarrow d = 2$.
$(iii)$ આપેલ છે: $d = -3, n = 18, a_{n} = -5$.
$-5 = a + (18 - 1)(-3) \rightarrow -5 = a + (17)(-3) \rightarrow -5 = a - 51 \rightarrow a = 46$.
$(iv)$ આપેલ છે: $a = -18.9, d = 2.5, a_{n} = 3.6$.
$3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 \rightarrow 3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5 \rightarrow 22.5 = (n - 1)2.5 \rightarrow n - 1 = 9 \rightarrow n = 10$.
$(v)$ આપેલ છે: $a = 3.5, d = 0, n = 105$.
$a_{105} = 3.5 + (105 - 1)0 = 3.5 + 0 = 3.5$.

(B) આપેલ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) $10, 7, 4, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ,$a = 10$.
સામાન્ય તફાવત,$d = a_2 - a_1 = 7 - 10 = -3$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$30$ મું પદ શોધવા માટે $(n = 30)$:
$a_{30} = 10 + (30 - 1)(-3)$
$a_{30} = 10 + (29)(-3)$
$a_{30} = 10 - 87$
$a_{30} = -77$
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) આપેલ $AP: -3, -\frac{1}{2}, 2, \ldots$
પ્રથમ પદ $a = -3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = -\frac{1}{2} - (-3) = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$11$ મું પદ શોધવા માટે $(n = 11)$:
$a_{11} = -3 + (11 - 1) \left( \frac{5}{2} \right)$
$a_{11} = -3 + 10 \left( \frac{5}{2} \right)$
$a_{11} = -3 + 25$
$a_{11} = 22$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ શ્રેણી $2, \square, 26$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને ત્રીજું પદ $a_3 = 26$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
ત્રીજા પદ માટે $(n = 3)$:
$a_3 = a + (3 - 1)d$
$26 = 2 + 2d$
$24 = 2d$
$d = 12$.
હવે,ખૂટતું બીજું પદ $(a_2)$ શોધવા માટે:
$a_2 = a + (2 - 1)d$
$a_2 = 2 + 12 = 14$.
તેથી,ખૂટતું પદ $14$ છે.

(18, 8) આપેલ શ્રેણી $\square, 13, \square, 3$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી માટે,બીજું પદ $a_2 = 13$ અને ચોથું પદ $a_4 = 3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
$a_2 = 13$ માટે:
$a + (2 - 1)d = 13 \implies a + d = 13$ $...(i)$
$a_4 = 3$ માટે:
$a + (4 - 1)d = 3 \implies a + 3d = 3$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતાં:
$(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13$
$2d = -10$
$d = -5$
$d = -5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતાં:
$a + (-5) = 13$
$a = 13 + 5 = 18$
હવે,પ્રથમ પદ $a = 18$ છે અને ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d$ છે:
$a_3 = 18 + 2(-5) = 18 - 10 = 8$.
તેથી,ખૂટતાં પદો અનુક્રમે $18$ અને $8$ છે.

(N/A) આપેલ $A.P.$ શ્રેણી $5, \square, \square, 9 \frac{1}{2}$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
ચોથું પદ $a_4 = 9 \frac{1}{2} = \frac{19}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$n = 4$ માટે,$a_4 = a + 3d$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{19}{2} = 5 + 3d$.
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $\frac{19}{2} - 5 = 3d \implies \frac{19 - 10}{2} = 3d \implies \frac{9}{2} = 3d$.
$3$ વડે ભાગતા,સામાન્ય તફાવત $d = \frac{3}{2}$ મળે છે.
હવે,ખૂટતા પદો શોધીએ:
બીજું પદ $a_2 = a + d = 5 + \frac{3}{2} = \frac{10 + 3}{2} = \frac{13}{2}$.
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = 5 + 2(\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$.
આમ,ખૂટતા પદો $\frac{13}{2}$ અને $8$ છે.

(N/A) આ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = -4$ અને છઠ્ઠું પદ $a_{6} = 6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
છઠ્ઠા પદ માટે કિંમતો મૂકતા:
$a_{6} = a + (6 - 1)d$
$6 = -4 + 5d$
$10 = 5d$
$d = 2$
હવે,આપણે ખૂટતા પદો શોધીએ:
$a_{2} = a + d = -4 + 2 = -2$
$a_{3} = a + 2d = -4 + 2(2) = 0$
$a_{4} = a + 3d = -4 + 3(2) = 2$
$a_{5} = a + 4d = -4 + 4(2) = 4$
તેથી,ખૂટતા પદો અનુક્રમે $-2, 0, 2,$ અને $4$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ છે.
આપેલ છે: $a_2 = 38$ અને $a_6 = -22.$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક પદ: $a_n = a + (n-1)d$ છે.
$n=2$ માટે: $a + d = 38$ $...(1)$
$n=6$ માટે: $a + 5d = -22$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 5d) - (a + d) = -22 - 38$
$4d = -60$
$d = -15$
$d = -15$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (-15) = 38$
$a = 38 + 15 = 53$
હવે,ખૂટતા પદો શોધીએ:
$a_1 = a = 53$
$a_3 = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 - 30 = 23$
$a_4 = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 - 45 = 8$
$a_5 = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 - 60 = -7$
આમ,ખૂટતા પદો અનુક્રમે $53, 23, 8,$ અને $-7$ છે.

(B) આપેલ $AP$ (સમાંતર શ્રેણી) $3, 8, 13, 18, \ldots$ છે.
આ $AP$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$ છે.
ધારો કે આ $AP$ નું $n$ મું પદ $78$ છે.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$78 = 3 + (n - 1)5$ મળે છે.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,$75 = (n - 1)5$ મળે છે.
$5$ વડે ભાગતા,$n - 1 = 15$ મળે છે.
તેથી,$n = 16$ થાય છે.
આમ,આ $AP$ નું $16$ મું પદ $78$ છે.

(B) આપેલ $AP$ માટે: $7, 13, 19, \ldots, 205$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 7$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6$ છે.
ધારો કે $AP$ માં પદોની સંખ્યા $n$ છે.
છેલ્લું પદ $a_n = 205$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $205 = 7 + (n - 1)6$.
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા: $198 = (n - 1)6$.
$6$ વડે ભાગતા: $33 = n - 1$.
તેથી,$n = 34$.
આમ,આપેલ $AP$ માં પદોની સંખ્યા $34$ છે.