Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) આપેલ $A.P.$ માટે,$10$ મું પદ $T_{10} = 73$ અને $20$ મું પદ $T_{20} = 143$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{T_m - T_n}{m - n}$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = \frac{T_{20} - T_{10}}{20 - 10}$
$d = \frac{143 - 73}{10} = \frac{70}{10} = 7$
હવે,$10$ મા પદ માટે $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$T_{10} = a + 9d$
$73 = a + 9(7)$
$73 = a + 63$
$a = 10$
અંતે,$30$ મું પદ $T_{30}$ નીચે મુજબ મળે:
$T_{30} = a + 29d$
$T_{30} = 10 + 29(7)$
$T_{30} = 10 + 203 = 213$
આમ,પ્રથમ પદ $10$ છે,સામાન્ય તફાવત $7$ છે અને $30$ મું પદ $213$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 9 - 4 = 5$ છે.
ધારો કે,$A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = 224$ છે.
$n^{th}$ પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$224 = 4 + (n - 1)5$
બંને બાજુથી $4$ બાદ કરતા:
$220 = 5(n - 1)$
$5$ વડે ભાગતા:
$44 = n - 1$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$n = 45$
આમ,$A.P.$ નું $45^{th}$ પદ $224$ છે.

(C) અજયભાઈ દ્વારા માસિક હપ્તામાં ચૂકવવાની રકમ નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ હપ્તામાં ચૂકવેલ રકમ $= Rs. 100$
બીજા હપ્તામાં ચૂકવેલ રકમ $= Rs. 100 + 50 = Rs. 150$
ત્રીજા હપ્તામાં ચૂકવેલ રકમ $= Rs. 150 + 50 = Rs. 200$
આમ,અજયભાઈ દ્વારા ચૂકવવામાં આવતી રકમ ($Rs.$ માં) એક શાંત સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે: $100, 150, 200, \dots$ જે $24$ પદો સુધી છે.
આ સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a = 100$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 150 - 100 = 50$ છે.
$24$મા હપ્તામાં ચૂકવવાની રકમ શોધવા માટે,આપણે સમાંતર શ્રેણીના $n$મા પદનું સૂત્ર વાપરીશું:
$T_n = a + (n - 1)d$
$n = 24$ માટે:
$T_{24} = a + (24 - 1)d$
$T_{24} = 100 + 23(50)$
$T_{24} = 100 + 1150$
$T_{24} = 1250$
આમ,અજયભાઈ $24$મા હપ્તામાં $Rs. 1250$ ચૂકવશે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $1, 4, 9, 16, \ldots$ એ $A.P.$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત ચકાસીએ.
ધારો કે શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ છે,જ્યાં $a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, a_4 = 16$ છે.
પ્રથમ તફાવત $d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$.
બીજો તફાવત $d_2 = a_3 - a_2 = 9 - 4 = 5$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન નથી.
તેથી,શ્રેણી $1, 4, 9, 16, \ldots$ એ $A.P.$ નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $5, 11, 17, 23, \ldots$ એ $A.P.$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ ચકાસીએ.
$d_1 = 11 - 5 = 6$
$d_2 = 17 - 11 = 6$
$d_3 = 23 - 17 = 6$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 6$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$T_n = 5 + (n - 1)6$
$T_n = 5 + 6n - 6$
$T_n = 6n - 1$

(D) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ એ $A.P.$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ.
ધારો કે $a_1 = \frac{1}{2}$,$a_2 = \frac{2}{3}$,$a_3 = \frac{3}{4}$,$a_4 = \frac{4}{5}$.
સામાન્ય તફાવત $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
સામાન્ય તફાવત $d_2 = a_3 - a_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલ શ્રેણી $A.P.$ નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $A.P.$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ ચકાસીએ છીએ.
$d_1 = 2.3 - 1.4 = 0.9$
$d_2 = 3.2 - 2.3 = 0.9$
$d_3 = 4.1 - 3.2 = 0.9$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 0.9$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1.4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 0.9$ છે.
$T_n = 1.4 + (n - 1)0.9$
$T_n = 1.4 + 0.9n - 0.9$
$T_n = 0.9n + 0.5$

(A) શ્રેણી $A.P.$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત $d = a_{n} - a_{n-1}$ ચકાસીએ છીએ.
અહીં,$a_{1} = 111, a_{2} = 107, a_{3} = 103, a_{4} = 99$ છે.
$d_{1} = a_{2} - a_{1} = 107 - 111 = -4$.
$d_{2} = a_{3} - a_{2} = 103 - 107 = -4$.
$d_{3} = a_{4} - a_{3} = 99 - 103 = -4$.
સામાન્ય તફાવત અચળ $(d = -4)$ હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
$a = 111$ અને $d = -4$ મૂકતા:
$a_{n} = 111 + (n - 1)(-4) = 111 - 4n + 4 = -4n + 115$.
આમ,$n$ મું પદ $T_{n} = -4n + 115$ છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 8$ અને $d = 5$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ $(T_1)$ = $a = 8$
બીજું પદ $(T_2)$ = $a + d = 8 + 5 = 13$
ત્રીજું પદ $(T_3)$ = $a + 2d = 8 + 2(5) = 8 + 10 = 18$
ચોથું પદ $(T_4)$ = $a + 3d = 8 + 3(5) = 8 + 15 = 23$
આમ,$A.P.$ એ $8, 13, 18, 23, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = a + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = -12$ અને $d = 3$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = -12$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = -12 + 3 = -9$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = -12 + 2(3) = -12 + 6 = -6$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = -12 + 3(3) = -12 + 9 = -3$.
આમ,$A.P.$ એ $-12, -9, -6, -3, \ldots$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d = -12 + (n-1)3 = -12 + 3n - 3 = 3n - 15$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 21$ અને $d = -7$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = 21$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = 21 + (-7) = 14$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = 21 + 2(-7) = 21 - 14 = 7$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = 21 + 3(-7) = 21 - 21 = 0$.
આમ,$A.P.$ એ $21, 14, 7, 0, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = a + (n-1)d = 21 + (n-1)(-7) = 21 - 7n + 7 = -7n + 28$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = -15$ અને $d = -7$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = -15$.
બીજું પદ $a_2 = a + d = -15 + (-7) = -22$.
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = -15 + 2(-7) = -15 - 14 = -29$.
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = -15 + 3(-7) = -15 - 21 = -36$.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d = -15 + (n-1)(-7) = -15 - 7n + 7 = -7n - 8$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$A.P.$ એ $-15, -22, -29, -36, \ldots$ છે અને સામાન્ય પદ $T_n = -7n - 8$ છે.

(A) $A.P.$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે.
અહીં $a = \frac{15}{2}$ અને $d = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = \frac{15}{2} = 7.5$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = \frac{15}{2} + \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = \frac{15}{2} + 2(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2} + 3 = \frac{15+6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = \frac{15}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,$A.P.$ એ $\frac{15}{2}, 9, \frac{21}{2}, 12, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n = a + (n-1)d = \frac{15}{2} + (n-1)\frac{3}{2} = \frac{15 + 3n - 3}{2} = \frac{3n + 12}{2}$ છે.

(N/A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $27, 22, 17, 12, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 27$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 22 - 27 = -5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $T_n = 27 + (n - 1)(-5)$.
$T_n = 27 - 5n + 5$.
$T_n = -5n + 32$.

(A) આપેલ શ્રેણી $10.5, 11.7, 12.9, 14.1, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 10.5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11.7 - 10.5 = 1.2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $T_n = 10.5 + (n - 1)1.2$.
$T_n = 10.5 + 1.2n - 1.2$.
$T_n = 1.2n + 9.3$.

(A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $\frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, \frac{10}{3}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{4}{3}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n-1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $T_n = \frac{4}{3} + (n-1)\frac{2}{3}$.
$T_n = \frac{4}{3} + \frac{2n}{3} - \frac{2}{3}$.
$T_n = \frac{2n + 2}{3}$.

(A) આપેલ $A.P.$ $9, 13, 17, 21, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 9 = 4$ છે.
આપણે $12$ મું પદ $(a_{12})$ શોધવાનું છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{12} = 9 + (12 - 1) \times 4$.
$a_{12} = 9 + 11 \times 4$.
$a_{12} = 9 + 44$.
$a_{12} = 53$.
તેથી,$12$ મું પદ $53$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $50, 56, 62, 68, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 50$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 56 - 50 = 6$ છે.
આપણે $100$ મું પદ $(a_{100})$ શોધવાનું છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{100} = 50 + (100 - 1) \times 6$.
$a_{100} = 50 + 99 \times 6$.
$a_{100} = 50 + 594$.
$a_{100} = 644$.

(C) આપેલ $A.P.$ $13, 8, 3, -2, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 13$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 13 = -5$ છે.
આપણે $45$ મું પદ શોધવાનું છે,જેને $a_{45}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો $a = 13$,$n = 45$,અને $d = -5$ મૂકતા:
$a_{45} = 13 + (45 - 1)(-5)$
$a_{45} = 13 + (44)(-5)$
$a_{45} = 13 - 220$
$a_{45} = -207$.
તેથી,$45$ મું પદ $-207$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ એ $6.4, 7.6, 8.8, 10, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 6.4$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 7.6 - 6.4 = 1.2$ છે.
$A.P.$ ના $n^{th}$ પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T_n = 6.4 + (n - 1)1.2$.
$T_n = 6.4 + 1.2n - 1.2$.
$T_n = 1.2n + 5.2$.

(B) આપેલ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) $18, 16.5, 15, 13.5, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 18$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 16.5 - 18 = -1.5$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T_n = 18 + (n - 1)(-1.5)$
$T_n = 18 - 1.5n + 1.5$
$T_n = -1.5n + 19.5$.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$7^{th}$ પદ માટે: $T_7 = a + 6d = 46$ --- $(1)$
$12^{th}$ પદ માટે: $T_{12} = a + 11d = 71$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 71 - 46$
$5d = 25$
$d = 5$
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 6(5) = 46$
$a + 30 = 46$
$a = 16$
તેથી,$n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d = 16 + (n - 1)5 = 16 + 5n - 5 = 5n + 11$ થાય.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$12$ માં પદ માટે: $a + 11d = 4$ --- $(1)$
$20$ માં પદ માટે: $a + 19d = -20$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 19d) - (a + 11d) = -20 - 4$
$8d = -24$
$d = -3$
$d = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 11(-3) = 4$
$a - 33 = 4$
$a = 37$
તેથી,$n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d = 37 + (n - 1)(-3) = 37 - 3n + 3 = -3n + 40$ થાય.

(D) આપેલ $A.P.$ $7, 11, 15, \ldots, 107$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 7$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 7 = 4$ છે.
છેલ્લું પદ $a_n = 107$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $107 = 7 + (n - 1)4$.
$107 - 7 = (n - 1)4$.
$100 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 100 / 4 = 25$.
$n = 25 + 1 = 26$.
તેથી,$A.P.$ માં પદોની સંખ્યા $26$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $6, 5.5, 5, \ldots, -12$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 6$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 5.5 - 6 = -0.5$ છે.
છેલ્લું પદ $a_n = -12$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-12 = 6 + (n - 1)(-0.5)$.
$-12 - 6 = (n - 1)(-0.5)$.
$-18 = (n - 1)(-0.5)$.
$n - 1 = \frac{-18}{-0.5} = 36$.
$n = 36 + 1 = 37$.
આમ,$A.P.$ માં પદોની સંખ્યા $37$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $13, 20, 27, 34, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 13$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20 - 13 = 7$ છે.
ધારો કે $n^{th}$ પદ $a_n = 384$ છે.
$A.P.$ ના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $384 = 13 + (n - 1)7$.
$384 - 13 = (n - 1)7$.
$371 = (n - 1)7$.
$n - 1 = 371 / 7 = 53$.
$n = 53 + 1 = 54$.
તેથી,$A.P.$ નું $54^{th}$ પદ $384$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ $34, 27, 20, 13, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 34$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 27 - 34 = -7$ છે.
આપણે એવું પદ $n$ શોધવાનું છે કે જેના માટે $a_n = -519$ થાય.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-519 = 34 + (n - 1)(-7)$.
$-519 - 34 = (n - 1)(-7)$.
$-553 = (n - 1)(-7)$.
$n - 1 = \frac{-553}{-7} = 79$.
$n = 79 + 1 = 80$.
તેથી,$A.P.$ નું $80$ મું પદ $-519$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $112, 107, 102, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 112$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 107 - 112 = -5$ છે.
આપણે પ્રથમ ઋણ પદ શોધવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $n^{th}$ પદ $a_n < 0$ લઈએ છીએ.
$n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $112 + (n - 1)(-5) < 0$.
$112 - 5n + 5 < 0$
$117 - 5n < 0$
$117 < 5n$
$n > \frac{117}{5}$
$n > 23.4$
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $23.4$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $24$ છે.
તેથી,$24^{th}$ પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $83, 77, 71, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 83$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 77 - 83 = -6$ છે.
આપણે પ્રથમ ઋણ પદ શોધવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $n^{th}$ પદ $a_n < 0$ લઈએ છીએ.
$n^{th}$ પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $83 + (n - 1)(-6) < 0$.
$83 - 6n + 6 < 0$
$89 - 6n < 0$
$89 < 6n$
$n > \frac{89}{6}$
$n > 14.833...$
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $14.833$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $n = 15$ છે.
તેથી,$15^{th}$ પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $12, 21, 30, \ldots, 363$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 12$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 21 - 12 = 9$ છે.
છેલ્લું પદ $l = 363$ છે.
$A.P.$ ના અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અંતથી $n$ મું પદ $= l - (n - 1)d$.
અહીં,$n = 12$,$l = 363$,અને $d = 9$ છે.
કિંમતો મૂકતા: અંતથી $12$ મું પદ $= 363 - (12 - 1) \times 9$.
$= 363 - (11 \times 9) = 363 - 99 = 264$.
આમ,અંતથી $12$ મું પદ $264$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ $85, 80, 75, \ldots, -30$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 85$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 80 - 85 = -5$ છે.
અંતિમ પદ $l = -30$ છે.
$A.P.$ ના અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર $l - (n - 1)d$ છે.
અહીં,આપણે અંતથી $5$ મું પદ શોધવાનું છે,તેથી $n = 5$.
અંતથી $5$ મું પદ $= l - (5 - 1)d$
$= -30 - (4)(-5)$
$= -30 + 20$
$= -10$.

(D) આપેલ $A.P.$ $5, 15, 25, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 15 - 5 = 10$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$31$ મું પદ $a_{31} = a + 30d = 5 + 30(10) = 5 + 300 = 305$ થાય.
ધારો કે $n$ મું પદ $31$ માં પદ કરતાં $130$ વધારે છે.
તેથી,$a_n = a_{31} + 130$.
$a_n = 305 + 130 = 435$.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$435 = 5 + (n - 1)10$.
$430 = (n - 1)10$.
$43 = n - 1$.
$n = 44$.
આમ,$44$ મું પદ તેના $31$ માં પદ કરતાં $130$ જેટલું વધારે છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $14, 18, 22, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 14$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 18 - 14 = 4$ છે.
ધારો કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $142$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $142 = 14 + (n - 1)4$.
$142 - 14 = (n - 1)4$.
$128 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 128 / 4 = 32$.
$n = 32 + 1 = 33$.
અહીં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$142$ એ $A.P.$ નું $33$ મું પદ છે.

(N/A) આપેલ $A.P.$ $242, 236, 230, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 242$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 236 - 242 = -6$ છે.
ધારો કે $A.P.$ નું $n$-મું પદ $0$ છે.
$n$-મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 242 + (n - 1)(-6)$.
$-242 = -6(n - 1)$.
$n - 1 = \frac{242}{6} = \frac{121}{3} = 40.33$.
$n = 41.33$.
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $0$ એ આ $A.P.$ નું પદ હોઈ શકે નહીં.

(A) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_{n} = -4n + 15$ છે.
$15^{th}$ પદ $(T_{15})$ શોધવા માટે,સૂત્રમાં $n = 15$ મૂકો:
$T_{15} = -4(15) + 15 = -60 + 15 = -45$.
$T_{n} = an + b$ સ્વરૂપમાં આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $(d)$ એ $n$ નો સહગુણક છે.
અહીં,$d = -4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$T_{1} = -4(1) + 15 = 11$ અને $T_{2} = -4(2) + 15 = 7$.
$d = T_{2} - T_{1} = 7 - 11 = -4$.

(A) આપેલ $A.P.$ $9, 13, 17, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 9 = 4$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$12$ માં પદ માટે $(n = 12)$:
$T_{12} = 9 + (12 - 1) \times 4 = 9 + 11 \times 4 = 9 + 44 = 53$.
$24$ માં પદ માટે $(n = 24)$:
$T_{24} = 9 + (24 - 1) \times 4 = 9 + 23 \times 4 = 9 + 92 = 101$.
આમ,$12$ મું પદ $53$ છે અને $24$ મું પદ $101$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $9, 12, 15, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 12 - 9 = 3$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$n$ મા પદ માટે: $T_n = 9 + (n - 1)3 = 9 + 3n - 3 = 3n + 6$.
$16$ મા પદ માટે: $T_{16} = 3(16) + 6 = 48 + 6 = 54$.
આમ,$16$ મું પદ $54$ છે અને $n$ મું પદ $3n + 6$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $-1, 3, 7, 11, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $a_n = 95$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $95 = -1 + (n - 1)4$.
$95 + 1 = (n - 1)4$.
$96 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 96 / 4 = 24$.
$n = 24 + 1 = 25$.
તેથી,$A.P.$ નું $25$ મું પદ $95$ છે.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_8 = 31$,તેથી $a + 7d = 31$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $T_{15} = T_{11} + 16$,તેથી $(a + 14d) = (a + 10d) + 16$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4d = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 4$.
$d = 4$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 7(4) = 31 \implies a + 28 = 31 \implies a = 3$.
$A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \ldots$ છે,જે $3, 7, 11, 15, \ldots$ થાય છે.
$20$ મું પદ $T_{20} = a + 19d = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ $5, 10, 15, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 10 - 5 = 5$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$31$ મું પદ $a_{31} = 5 + (31 - 1)5 = 5 + 30 \times 5 = 5 + 150 = 155$ થાય.
ધારો કે $n$ મું પદ $31$ માં પદ કરતાં $130$ વધારે છે,તેથી $a_n = a_{31} + 130$.
$a_n = 155 + 130 = 285$.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$285 = 5 + (n - 1)5$.
$280 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 280 / 5 = 56$.
$n = 56 + 1 = 57$.
આમ,$57$ મું પદ તેના $31$ માં પદ કરતાં $130$ જેટલું વધારે છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$T_{10} = 52 \implies a + 9d = 52$ (સમીકરણ $1$).
વળી,$T_{17} - T_{13} = 20$.
$(a + 16d) - (a + 12d) = 20 \implies 4d = 20 \implies d = 5$.
સમીકરણ $1$ માં $d = 5$ મૂકતા: $a + 9(5) = 52 \implies a + 45 = 52 \implies a = 7$.
$A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \ldots$ છે,જે $7, 12, 17, \ldots$ છે.
$30$ મું પદ $T_{30} = a + 29d = 7 + 29(5) = 7 + 145 = 152$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $3, 7, 11, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 3 = 4$ છે.
ધારો કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $184$ છે.
$n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $184 = 3 + (n - 1)4$.
$184 - 3 = 4(n - 1)$.
$181 = 4(n - 1)$.
$n - 1 = 181 / 4 = 45.25$.
$n = 45.25 + 1 = 46.25$.
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $184$ એ આ $A.P.$ નું પદ હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ નું $n$મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{10} = 52$,તેથી $a + 9d = 52$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $T_{16} = 82$,તેથી $a + 15d = 82$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 15d) - (a + 9d) = 82 - 52$,જે $6d = 30$ આપે છે,તેથી $d = 5$.
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 9(5) = 52$,તેથી $a + 45 = 52$,જે $a = 7$ આપે છે.
$n$મું પદ $T_n = a + (n - 1)d = 7 + (n - 1)5 = 7 + 5n - 5 = 5n + 2$ છે.
$32$મું પદ $T_{32} = 5(32) + 2 = 160 + 2 = 162$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$T_7 = a + 6d = -1$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે,$T_{16} = a + 15d = 17$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 15d) - (a + 6d) = 17 - (-1)$.
$9d = 18$,જે આપણને $d = 2$ આપે છે.
$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 6(2) = -1$.
$a + 12 = -1$,તેથી $a = -13$.
સામાન્ય પદ $T_n = a + (n - 1)d = -13 + (n - 1)2$ છે.
$T_n = -13 + 2n - 2 = 2n - 15$.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$5 \times a_5 = 8 \times a_8$.
પદો માટે સૂત્ર મૂકતા: $5(a + 4d) = 8(a + 7d)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $5a + 20d = 8a + 56d$.
પદોને ગોઠવતા: $5a - 8a = 56d - 20d$.
$-3a = 36d$,જેનું સાદું રૂપ $a = -12d$ થાય છે.
આપણે $13^{th}$ પદ શોધવાનું છે,$a_{13} = a + 12d$.
$a_{13}$ ના સમીકરણમાં $a = -12d$ મૂકતા:
$a_{13} = -12d + 12d = 0$.
તેથી,$A.P.$ નું $13^{th}$ પદ $0$ છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$-મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $T_p = a + (p - 1)d = q$ --- $(1)$
આપેલ છે: $T_q = a + (q - 1)d = p$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
સામાન્ય પદ $T_n$ નીચે મુજબ મળે:
$T_n = a + (n - 1)d$
$T_n = (p + q - 1) + (n - 1)(-1)$
$T_n = p + q - 1 - n + 1$
$T_n = p + q - n$

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે છઠ્ઠું પદ $a_6 = 19$,તેથી $a + 5d = 19$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે સત્તરમું પદ $a_{17} = 41$,તેથી $a + 16d = 41$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 19$
$11d = 22$
$d = 2$.
$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 5(2) = 19$
$a + 10 = 19$
$a = 9$.
હવે,$50$ મું પદ $a_{50}$ શોધો:
$a_{50} = a + (50 - 1)d$
$a_{50} = 9 + 49(2)$
$a_{50} = 9 + 98 = 107$.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $9$ મું પદ $0$ છે,તેથી:
$a_9 = a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0$
$a = -8d$ --- $(1)$
હવે,આપણે $29$ મું પદ શોધીએ:
$a_{29} = a + (29 - 1)d = a + 28d$
$(1)$ પરથી $a = -8d$ મૂકતા:
$a_{29} = -8d + 28d = 20d$ --- $(2)$
હવે,આપણે $19$ મું પદ શોધીએ:
$a_{19} = a + (19 - 1)d = a + 18d$
$(1)$ પરથી $a = -8d$ મૂકતા:
$a_{19} = -8d + 18d = 10d$ --- $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a_{29} = 20d$ અને $2 \times a_{19} = 2 \times 10d = 20d.$
તેથી,$a_{29} = 2 \times a_{19}.$ આમ,$29$ મું પદ તેના $19$ માં પદ કરતાં બમણું છે.

(A) પ્રથમ $A.P.$ માટે: $a_1 = 9$,$d_1 = 7 - 9 = -2$. $n$ મું પદ $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 9 + (n - 1)(-2) = 9 - 2n + 2 = 11 - 2n$ છે.
બીજા $A.P.$ માટે: $a_2 = 15$,$d_2 = 12 - 15 = -3$. $n$ મું પદ $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 15 + (n - 1)(-3) = 15 - 3n + 3 = 18 - 3n$ છે.
બંને $n$ માં પદ સમાન હોવાથી: $11 - 2n = 18 - 3n$.
પદોને ગોઠવતા: $3n - 2n = 18 - 11$.
તેથી,$n = 7$.

(N/A) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$a_4 + a_8 = 24$.
$(a + 3d) + (a + 7d) = 24 \implies 2a + 10d = 24 \implies a + 5d = 12$ (સમીકરણ $1$).
તે જ રીતે,$a_6 + a_{10} = 34$.
$(a + 5d) + (a + 9d) = 34 \implies 2a + 14d = 34 \implies a + 7d = 17$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 7d) - (a + 5d) = 17 - 12 \implies 2d = 5 \implies d = 2.5$.
$d = 2.5$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 5(2.5) = 12 \implies a + 12.5 = 12 \implies a = -0.5$.
આમ,પ્રથમ પદ $a = -0.5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2.5$ છે.