Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(C) ધારો કે આપેલ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$, સામાન્ય તફાવત $d$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
આપેલ $AP$ એ $7, 10, 13, \dots$ છે.
અહીં, $a = 7$ અને $d = 10 - 7 = 3$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $T_n = 55$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $55 = 7 + (n - 1) \times 3$.
$55 - 7 = (n - 1) \times 3$.
$48 = (n - 1) \times 3$.
$n - 1 = 48 / 3 = 16$.
$n = 16 + 1 = 17$.
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી, $55$ એ આપેલ $AP$ નું $17$ મું પદ છે.

(D) આપેલ પદો $k^{2}+4k+8, 2k^{2}+3k+6$ અને $3k^{2}+4k+4$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય.
ધારો કે પદો $a_1, a_2, a_3$ છે.
તેથી,$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(2k^{2}+3k+6) - (k^{2}+4k+8) = (3k^{2}+4k+4) - (2k^{2}+3k+6)$
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$k^{2} - k - 2 = k^{2} + k - 2$
બંને બાજુથી $k^{2}$ બાદ કરતા અને $2$ ઉમેરતા:
$-k = k$
$2k = 0$
$k = 0$

(A) ધારો કે $207$ ના ત્રણ ભાગ $(a - d)$,$a$ અને $(a + d)$ છે,જે $AP$ માં છે.
આપેલ શરત મુજબ:
આ ભાગોનો સરવાળો $= 207$
$(a - d) + a + (a + d) = 207$
$3a = 207$
$a = 69$
આપેલ છે કે બે નાના ભાગોનો ગુણાકાર $4623$ છે:
$a(a - d) = 4623$
$69(69 - d) = 4623$
$69 - d = \frac{4623}{69}$
$69 - d = 67$
$d = 69 - 67 = 2$
તેથી,ત્રણ ભાગો નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ ભાગ $= a - d = 69 - 2 = 67$
બીજો ભાગ $= a = 69$
ત્રીજો ભાગ $= a + d = 69 + 2 = 71$
આમ,જરૂરી ત્રણ ભાગો $67, 69, 71$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $AP$ માં $a-d, a, a+d$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$(a-d) + a + (a+d) = 180^{\circ}$
$3a = 180^{\circ} \Rightarrow a = 60^{\circ}$.
તેથી ખૂણાઓ $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી નાના ખૂણા કરતાં બમણો છે:
$60^{\circ}+d = 2(60^{\circ}-d)$
$60^{\circ}+d = 120^{\circ}-2d$
$3d = 60^{\circ} \Rightarrow d = 20^{\circ}$.
$d = 20^{\circ}$ ની કિંમત ખૂણાઓમાં મૂકતા:
સૌથી નાનો ખૂણો: $60^{\circ}-20^{\circ} = 40^{\circ}$.
મધ્યમ ખૂણો: $60^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો: $60^{\circ}+20^{\circ} = 80^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $80^{\circ}, 60^{\circ}, 40^{\circ}$ છે.

(N/A) પ્રથમ $AP$: $9, 7, 5, \ldots$ માટે
પ્રથમ પદ $a_1 = 9$,સામાન્ય તફાવત $d_1 = 7 - 9 = -2$.
$n$મું પદ $T_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 9 + (n - 1)(-2) = 9 - 2n + 2 = 11 - 2n$ છે.
બીજા $AP$: $24, 21, 18, \ldots$ માટે
પ્રથમ પદ $a_2 = 24$,સામાન્ય તફાવત $d_2 = 21 - 24 = -3$.
$n$મું પદ $T_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 24 + (n - 1)(-3) = 24 - 3n + 3 = 27 - 3n$ છે.
આપેલ છે કે $n$મા પદ સમાન છે:
$11 - 2n = 27 - 3n$
$3n - 2n = 27 - 11$
$n = 16$.
$n = 16$ ની કિંમત $n$મા પદના કોઈપણ સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{16} = 11 - 2(16) = 11 - 32 = -21$.
આમ,$n$ ની કિંમત $16$ છે અને તે પદ $-21$ છે.

(D) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$a_{3} + a_{8} = 7$ અને $a_{7} + a_{14} = -3$
સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 2d) + (a + 7d) = 7 \Rightarrow 2a + 9d = 7$ ....$(i)$
$(a + 6d) + (a + 13d) = -3 \Rightarrow 2a + 19d = -3$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(2a + 19d) - (2a + 9d) = -3 - 7$
$10d = -10 \Rightarrow d = -1$
$d = -1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2a + 9(-1) = 7$
$2a - 9 = 7 \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$
$10^{\text{th}}$ પદ $a_{10} = a + 9d = 8 + 9(-1) = 8 - 9 = -1$ થાય.

(A) આપેલ $AP: -2, -4, -6, \ldots, -100$.
અહીં,પ્રથમ પદ $(a) = -2$,સામાન્ય તફાવત $(d) = -4 - (-2) = -2$ અને અંતિમ પદ $(l) = -100$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના અંતથી $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = l - (n - 1)d$ છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,અંતથી $12$ મું પદ:
$a_{12} = -100 - (12 - 1)(-2)$
$a_{12} = -100 - (11)(-2)$
$a_{12} = -100 + 22$
$a_{12} = -78$.
આમ,અંતથી $12$ મું પદ $-78$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ એ $53, 48, 43, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a) = 53$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = 48 - 53 = -5$ છે.
ધારો કે $A.P.$ નું $n$-મું પદ પ્રથમ ઋણ પદ છે.
તેથી,$T_n < 0$.
$A.P.$ ના $n$-માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિંમતો મૂકતા:
$53 + (n - 1)(-5) < 0$
$53 - 5n + 5 < 0$
$58 - 5n < 0$
$5n > 58$
$n > 11.6$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $11.6$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $12$ છે.
આમ,$12$-મું પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે.
ચકાસણી: $T_{12} = 53 + (12 - 1)(-5) = 53 + 11(-5) = 53 - 55 = -2$,જે $0$ કરતા નાનું છે.

(C) $10$ અને $300$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ જેમને $4$ વડે ભાગતા $3$ શેષ વધે,તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
$10$ થી મોટી પ્રથમ સંખ્યા જે આ શરતનું પાલન કરે છે તે $11$ છે (કારણ કે $11 = 4 \times 2 + 3$).
$300$ થી નાની છેલ્લી સંખ્યા જે આ શરતનું પાલન કરે છે તે $299$ છે (કારણ કે $299 = 4 \times 74 + 3$).
આમ,શ્રેણી $11, 15, 19, 23, \dots, 299$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણીમાં,પ્રથમ પદ $a = 11$,સામાન્ય તફાવત $d = 4$,અને છેલ્લું પદ $a_n = 299$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $299 = 11 + (n - 1)4$.
$299 - 11 = (n - 1)4$.
$288 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 288 / 4$.
$n - 1 = 72$.
$n = 73$.
તેથી,આવી કુલ $73$ સંખ્યાઓ છે.

(D) અહીં,પ્રથમ પદ $(a) = -\frac{4}{3}$,સામાન્ય તફાવત $(d) = -1 - (-\frac{4}{3}) = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ અને અંતિમ પદ $(l) = 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $l = a_n = a + (n - 1)d$ હોવાથી:
$\frac{13}{3} = -\frac{4}{3} + (n - 1) \frac{1}{3}$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$13 = -4 + (n - 1)$
$13 + 4 = n - 1$
$n - 1 = 17$
$n = 18$ (જે બેકી સંખ્યા છે).
$n$ બેકી હોવાથી,બે મધ્યમ પદો $(\frac{n}{2})$ મું અને $(\frac{n}{2} + 1)$ મું પદ એટલે કે $9$ મું અને $10$ મું પદ થશે.
$a_9 = a + 8d = -\frac{4}{3} + 8(\frac{1}{3}) = \frac{-4 + 8}{3} = \frac{4}{3}$.
$a_{10} = a + 9d = -\frac{4}{3} + 9(\frac{1}{3}) = \frac{-4 + 9}{3} = \frac{5}{3}$.
બે મધ્યમ પદોનો સરવાળો $= a_9 + a_{10} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ,સામાન્ય તફાવત અને પદોની સંખ્યા અનુક્રમે $a$,$d$ અને $n$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = -5$ અને અંતિમ પદ $(l) = 45$.
$AP$ ના પદોનો સરવાળો $= 120 \Rightarrow S_n = 120$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $AP$ નું અંતિમ પદ આપેલું હોય,તો $n$ પદોનો સરવાળો નીચે મુજબ મળે:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$120 = \frac{n}{2}(-5 + 45)$
$120 \times 2 = 40 \times n$
$240 = 40n \Rightarrow n = 6$.
હવે,સામાન્ય તફાવત શોધવા માટે,આપણે $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરીશું:
$l = a + (n - 1)d$
$45 = -5 + (6 - 1)d$
$45 + 5 = 5d$
$50 = 5d \Rightarrow d = 10$.
આમ,પદોની સંખ્યા $6$ છે અને સામાન્ય તફાવત $10$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2 - 1 = -3$ છે.
છેલ્લું પદ $l = a_n = -236$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$-236 = 1 + (n - 1)(-3)$
$-237 = (n - 1)(-3)$
$n - 1 = 79$
$n = 80$.
હવે,સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{80} = \frac{80}{2}(1 + (-236))$
$S_{80} = 40 \times (-235)$
$S_{80} = -9400$.

(C) આપેલ શ્રેણી $4-\frac{1}{n}, 4-\frac{2}{n}, 4-\frac{3}{n}, \ldots$ $n$ પદો સુધી છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 4 - \frac{1}{n}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = (4 - \frac{2}{n}) - (4 - \frac{1}{n}) = -\frac{2}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2} [2(4 - \frac{1}{n}) + (n-1)(-\frac{1}{n})]$
$S_n = \frac{n}{2} [8 - \frac{2}{n} - 1 + \frac{1}{n}]$
$S_n = \frac{n}{2} [7 - \frac{1}{n}]$
$S_n = \frac{n}{2} [\frac{7n-1}{n}]$
$S_n = \frac{7n-1}{2}$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A = \frac{a-b}{a+b}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $D$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$D = \frac{3a-2b}{a+b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{3a-2b-a+b}{a+b} = \frac{2a-b}{a+b}$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2A + (n-1)D]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 11$ માટે:
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ 2 \left( \frac{a-b}{a+b} \right) + (11-1) \left( \frac{2a-b}{a+b} \right) \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{2a-2b}{a+b} + \frac{10(2a-b)}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{2a-2b + 20a - 10b}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11}{2} \left[ \frac{22a - 12b}{a+b} \right]$
$S_{11} = \frac{11 \cdot 2(11a - 6b)}{2(a+b)} = \frac{11(11a - 6b)}{a+b} = \frac{121a - 66b}{a+b}$.

(D) આપેલ $AP: -2, -7, -12, \ldots$
ધારો કે $AP$ નું $n$ મું પદ $T_n = -77$ છે.
પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -7 - (-2) = -5$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-77 = -2 + (n - 1)(-5)$.
$-77 + 2 = (n - 1)(-5) \Rightarrow -75 = (n - 1)(-5)$.
$n - 1 = \frac{-75}{-5} = 15 \Rightarrow n = 16$.
તેથી,$AP$ નું $16$ મું પદ $-77$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
$S_{16} = \frac{16}{2}[-2 + (-77)] = 8[-79] = -632$.
આમ,આ $AP$ નો $-77$ પદ સુધીનો સરવાળો $-632$ છે.

(B) આપેલ છે કે શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_{n} = 3 - 4n$ છે.
$n = 1$ માટે,$a_{1} = 3 - 4(1) = 3 - 4 = -1$.
$n = 2$ માટે,$a_{2} = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5$.
$n = 3$ માટે,$a_{3} = 3 - 4(3) = 3 - 12 = -9$.
$n = 4$ માટે,$a_{4} = 3 - 4(4) = 3 - 16 = -13$.
તેથી,શ્રેણી $-1, -5, -9, -13, \ldots$ છે.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ છે:
$a_{2} - a_{1} = -5 - (-1) = -4$
$a_{3} - a_{2} = -9 - (-5) = -4$
$a_{4} - a_{3} = -13 - (-9) = -4$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = -4)$ હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$,$a = -1$,અને $d = -4$ લેતા:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(-1) + (20 - 1)(-4)]$
$S_{20} = 10[-2 + (19)(-4)]$
$S_{20} = 10[-2 - 76]$
$S_{20} = 10 \times (-78) = -780$.
આમ,$20$ પદોનો સરવાળો $-780$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ નું $n$ મું પદ $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_{n} = n(4n + 1) = 4n^{2} + n$.
હવે,$S_{n-1} = (n-1)(4(n-1) + 1) = (n-1)(4n - 4 + 1) = (n-1)(4n - 3) = 4n^{2} - 3n - 4n + 3 = 4n^{2} - 7n + 3$.
તેથી,$a_{n} = (4n^{2} + n) - (4n^{2} - 7n + 3) = 4n^{2} + n - 4n^{2} + 7n - 3 = 8n - 3$.
$AP$ શોધવા માટે,આપણે $n$ ની કિંમતો મૂકીએ:
$n = 1$ માટે,$a_{1} = 8(1) - 3 = 5$.
$n = 2$ માટે,$a_{2} = 8(2) - 3 = 16 - 3 = 13$.
$n = 3$ માટે,$a_{3} = 8(3) - 3 = 24 - 3 = 21$.
આમ,માંગેલ $AP$ એ $5, 13, 21, \ldots$ છે.

(D) $AP$ નું $n$ મું પદ $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_{n} = 3n^{2} + 5n$.
તેથી $S_{n-1} = 3(n-1)^{2} + 5(n-1) = 3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5 = 3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n^{2} - n - 2$.
હવે,$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - (3n^{2} - n - 2) = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$.
કારણ કે $a_{k} = 164$,આપણે $a_{n}$ ના સૂત્રમાં $n = k$ મૂકીએ:
$6k + 2 = 164$.
$6k = 164 - 2 = 162$.
$k = 162 / 6 = 27$.

$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ ... $(i)$
$S_{8}$ ની ગણતરી:
$S_{8} = \frac{8}{2}[2a + (8 - 1)d] = 4(2a + 7d) = 8a + 28d$
$S_{4}$ ની ગણતરી:
$S_{4} = \frac{4}{2}[2a + (4 - 1)d] = 2(2a + 3d) = 4a + 6d$
હવે,તફાવત $(S_{8} - S_{4})$ ની ગણતરી:
$S_{8} - S_{4} = (8a + 28d) - (4a + 6d) = 4a + 22d$ ... $(ii)$
$S_{12}$ ની ગણતરી:
$S_{12} = \frac{12}{2}[2a + (12 - 1)d] = 6(2a + 11d) = 12a + 66d$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $3(S_{8} - S_{4}) = 3(4a + 22d) = 12a + 66d$.
આમ,$S_{12} = 12a + 66d$ અને $3(S_{8} - S_{4}) = 12a + 66d$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે,$T_4 = -15$:
$a + 3d = -15$ --- $(i)$
આપેલ છે કે,$T_9 = -30$:
$a + 8d = -30$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 8d) - (a + 3d) = -30 - (-15)$
$5d = -15$
$d = -3$
$d = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 3(-3) = -15$
$a - 9 = -15$
$a = -6$
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 17$ માટે:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2(-6) + (17 - 1)(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 + 16(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 - 48]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-60]$
$S_{17} = 17 \times (-30) = -510$.
આમ,પ્રથમ $17$ પદોનો સરવાળો $-510$ છે.

(A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_6 = 36$:
$\frac{6}{2}[2a + (6-1)d] = 36$
$3[2a + 5d] = 36$
$2a + 5d = 12$ ....$(i)$
આપેલ છે કે $S_{16} = 256$:
$\frac{16}{2}[2a + (16-1)d] = 256$
$8[2a + 15d] = 256$
$2a + 15d = 32$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(2a + 15d) - (2a + 5d) = 32 - 12$
$10d = 20$
$d = 2$
$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2a + 5(2) = 12$
$2a + 10 = 12$
$2a = 2$
$a = 1$
હવે,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $(S_{10})$ શોધીએ:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$
$S_{10} = 5[2(1) + 9(2)]$
$S_{10} = 5[2 + 18]$
$S_{10} = 5 \times 20 = 100$.
આમ,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $100$ છે.

(B) અહીં પદોની કુલ સંખ્યા $n = 11$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યમ પદ $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ પદ થશે,એટલે કે $\left(\frac{11+1}{2}\right)^{th} = 6^{th}$ પદ.
આપેલ છે કે $6^{th}$ પદ $a_6 = 30$ છે.
$AP$ ના $n^{th}$ પદના સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a + 5d = 30$ મળે છે ... $(i)$.
$AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 11$ માટે,$S_{11} = \frac{11}{2}[2a + (11-1)d] = \frac{11}{2}[2a + 10d]$.
$2$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $S_{11} = 11(a + 5d)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$S_{11} = 11 \times 30 = 330$.

(C) છેલ્લા દસ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે આપેલ $AP$ ને ઉલટા ક્રમમાં લખી શકીએ છીએ.
આપેલ $AP$ એ $8, 10, 12, \ldots, 126$ છે.
ઉલટો $AP$ એ $126, 124, 122, \ldots, 10, 8$ થશે.
આ ઉલટા $AP$ માં,પ્રથમ પદ $(a) = 126$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = 124 - 126 = -2$ છે.
આપણે આ ઉલટા $AP$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરીને શોધવાનો છે.
$n = 10$ માટે:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(126) + (10 - 1)(-2)]$
$S_{10} = 5 [252 + 9(-2)]$
$S_{10} = 5 [252 - 18]$
$S_{10} = 5 \times 234 = 1170$.
આમ,છેલ્લા દસ પદોનો સરવાળો $1170$ છે.

(D) $2$ અને $9$ બંનેના ગુણક હોય તેવી પ્રથમ સાત સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $2$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$2$ અને $9$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો $LCM = 2 \times 9 = 18$ થાય.
$2$ અને $9$ બંનેના ગુણક હોય તેવી સંખ્યાઓ $18$ ના ગુણકો છે,જે એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $18, 36, 54, \ldots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 18$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 18$ છે.
આપણે $n = 7$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા: $S_7 = \frac{7}{2}[2(18) + (7 - 1)18]$.
$S_7 = \frac{7}{2}[36 + 6 \times 18] = \frac{7}{2}[36 + 108] = \frac{7}{2}[144]$.
$S_7 = 7 \times 72 = 504$.

(A) ધારો કે સરવાળો $-55$ મેળવવા માટે $n$ પદોની જરૂર છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $(a) = -15$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -13 - (-15) = 2$ છે.
$AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $-55 = \frac{n}{2}[2(-15) + (n-1)2]$.
$-55 = \frac{n}{2}[-30 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n - 32] = n(n - 16)$.
$n^2 - 16n + 55 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $n^2 - 11n - 5n + 55 = 0 \Rightarrow n(n - 11) - 5(n - 11) = 0$.
$(n - 5)(n - 11) = 0$,તેથી $n = 5$ અથવા $n = 11$.
બે જવાબ મળવાનું કારણ એ છે કે $6^{th}$ પદથી $11^{th}$ પદ સુધીનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. પદો આ મુજબ છે: $-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$. $6^{th}$ થી $11^{th}$ પદનો સરવાળો $(-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 = 0$ થાય છે. તેથી,પ્રથમ $5$ પદોના સરવાળામાં આ પદો ઉમેરવાથી કુલ સરવાળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(B) આપેલ છે કે,પ્રથમ $AP$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$S_n = \frac{n}{2}[2(8) + (n-1)20] = \frac{n}{2}[16 + 20n - 20] = \frac{n}{2}[20n - 4] = n(10n - 2) = 10n^2 - 2n$ .....$(i)$
બીજી $AP$ માટે,પ્રથમ પદ $a' = -30$ અને સામાન્ય તફાવત $d' = 8$ છે.
પ્રથમ $2n$ પદોનો સરવાળો $S'_{2n} = \frac{2n}{2}[2a' + (2n-1)d']$ છે.
$S'_{2n} = n[2(-30) + (2n-1)8] = n[-60 + 16n - 8] = n[16n - 68] = 16n^2 - 68n$ .....$(ii)$
પ્રશ્ન મુજબ,$S_n = S'_{2n}$ છે.
$10n^2 - 2n = 16n^2 - 68n$
$6n^2 - 66n = 0$
$6n(n - 11) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.

(C) ધારો કે તેનું પોકેટ મની $Rs.\, x$ છે.
તે તેના પિગી બેંકમાં આ મુજબ પૈસા મૂકે છે: $1, 2, 3, \dots, 31$ (કારણ કે જાન્યુઆરીમાં $31$ દિવસ હોય છે).
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય તફાવત $d = 1$,અને પદોની સંખ્યા $n = 31$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{31} = \frac{31}{2}[2(1) + (31 - 1)(1)] = \frac{31}{2}[2 + 30] = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.
તેથી,તેણે પિગી બેંકમાં $Rs.\, 496$ મૂક્યા.
તેણે $Rs.\, 204$ ખર્ચ્યા અને તેની પાસે $Rs.\, 100$ બાકી રહ્યા.
કુલ પોકેટ મની $x$ એ પિગી બેંકમાં મૂકેલા પૈસા,ખર્ચ કરેલા પૈસા અને બાકી રહેલા પૈસાનો સરવાળો છે:
$x = 496 + 204 + 100 = 800$.
તેથી,તે મહિના માટે તેનું પોકેટ મની $Rs.\, 800$ હતું.

(D) આપેલ છે કે,યાસમીનની બચત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
પ્રથમ પદ $(a) = 32$.
સામાન્ય તફાવત $(d) = 36 - 32 = 4$.
કુલ બચત $(S_n) = 2000$.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$.
કિંમતો મૂકતા: $2000 = \frac{n}{2}[2(32) + (n - 1)4]$.
$2000 = \frac{n}{2}[64 + 4n - 4]$.
$2000 = \frac{n}{2}[60 + 4n]$.
$2000 = n(30 + 2n)$.
$2000 = 30n + 2n^2$.
$2$ વડે ભાગતા: $n^2 + 15n - 1000 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $n^2 + 40n - 25n - 1000 = 0$.
$n(n + 40) - 25(n + 40) = 0$.
$(n + 40)(n - 25) = 0$.
$n$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 25$.
આમ,તે $25$ મહિનામાં $Rs.\, 2000$ ની બચત કરશે.

(2, 6, 10, 14) ધારો કે $AP$ માં ચાર ક્રમિક સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $32$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને અંતિમ પદના ગુણાકારનો મધ્યમ પદોના ગુણાકાર સાથેનો ગુણોત્તર $7:15$ છે:
$\frac{(a-3d)(a+3d)}{(a-d)(a+d)} = \frac{7}{15}$
$\frac{a^2 - 9d^2}{a^2 - d^2} = \frac{7}{15}$
$a = 8$ મૂકતા:
$\frac{64 - 9d^2}{64 - d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64 - 9d^2) = 7(64 - d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $a = 8$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8-6), (8-2), (8+2), (8+6)$ એટલે કે $2, 6, 10, 14$ મળે.
જો $a = 8$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8+6), (8+2), (8-2), (8-6)$ એટલે કે $14, 10, 6, 2$ મળે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 4, 7, 10, \ldots, x$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4 - 1 = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ $x$ છે.
$S_n = 287$ આપેલ હોવાથી,$287 = \frac{n}{2}(1 + x)$.
$x = 3n - 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$287 = \frac{n}{2}(1 + 3n - 2)$
$574 = n(3n - 1)$
$3n^2 - n - 574 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-574)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6888}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{6889}}{6} = \frac{1 \pm 83}{6}$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = \frac{84}{6} = 14$.
હવે,$x$ શોધો: $x = 3n - 2 = 3(14) - 2 = 42 - 2 = 40$.

(C) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ પાંચ પદો માટે: $S_5 = \frac{5}{2}[2a + 4d] = 5(a + 2d) = 5a + 10d$.
પ્રથમ સાત પદો માટે: $S_7 = \frac{7}{2}[2a + 6d] = 7(a + 3d) = 7a + 21d$.
આપેલ છે કે $S_5 + S_7 = 167$,તેથી $(5a + 10d) + (7a + 21d) = 167$,જેનું સાદું રૂપ $12a + 31d = 167$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $S_{10} = 235$,તેથી $\frac{10}{2}[2a + 9d] = 235$,જેનું સાદું રૂપ $5(2a + 9d) = 235$ એટલે કે $2a + 9d = 47$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $2$ ને $6$ વડે ગુણતા,$12a + 54d = 282$ (સમીકરણ $3$) મળે છે.
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(12a + 54d) - (12a + 31d) = 282 - 167$,જે $23d = 115$ આપે છે,તેથી $d = 5$.
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2a + 9(5) = 47 \Rightarrow 2a + 45 = 47 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$.
પ્રથમ વીસ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + (20-1)d] = 10[2(1) + 19(5)] = 10[2 + 95] = 10[97] = 970$ થાય.

(D) $1$ અને $500$ ની વચ્ચેના જે પૂર્ણાંકો $2$ અને $5$ બંનેના ગુણક હોય, તે $LCM(2, 5) = 10$ ના ગુણક હોવા જોઈએ.
આ પૂર્ણાંકોની શ્રેણી $10, 20, 30, \dots, 490$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 10$, સામાન્ય તફાવત $d = 10$ અને અંતિમ પદ $l = 490$ છે.
પદોની સંખ્યા $(n)$ શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$490 = 10 + (n - 1)10$
$480 = (n - 1)10$
$n - 1 = 48$
$n = 49$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S_{49} = \frac{49}{2}(10 + 490)$
$S_{49} = \frac{49}{2} \times 500$
$S_{49} = 49 \times 250 = 12250$.

(A) $1$ થી $500$ વચ્ચેના જે પૂર્ણાંકો $2$ અને $5$ બંનેના ગુણક હોય,તે $\text{lcm}(2, 5) = 10$ ના ગુણક હોય.
આ પૂર્ણાંકો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $10, 20, 30, \ldots, 500$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 10$,સામાન્ય તફાવત $d = 10$ અને અંતિમ પદ $l = 500$ છે.
$n$-માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d = l$.
$10 + (n - 1)10 = 500$.
$(n - 1)10 = 490$.
$n - 1 = 49$,તેથી $n = 50$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{50} = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.

(B) $1$ થી $500$ સુધીના $2$ અથવા $5$ ના ગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે, આપણે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરીએ છીએ:
સરવાળો $= (\text{2 ના ગુણકોનો સરવાળો}) + (\text{5 ના ગુણકોનો સરવાળો}) - (\text{LCM}(2, 5) = 10 \text{ ના ગુણકોનો સરવાળો})$.
$1$. $2$ ના ગુણકો: $2, 4, 6, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a=2, l=500, d=2$.
પદોની સંખ્યા $n_1$: $500 = 2 + (n_1 - 1)2 \Rightarrow 498 = 2(n_1 - 1) \Rightarrow n_1 - 1 = 249 \Rightarrow n_1 = 250$.
સરવાળો $S_1 = \frac{250}{2}(2 + 500) = 125 \times 502 = 62750$.
$2$. $5$ ના ગુણકો: $5, 10, 15, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=5, l=500, d=5$.
પદોની સંખ્યા $n_2$: $500 = 5 + (n_2 - 1)5 \Rightarrow 495 = 5(n_2 - 1) \Rightarrow n_2 - 1 = 99 \Rightarrow n_2 = 100$.
સરવાળો $S_2 = \frac{100}{2}(5 + 500) = 50 \times 505 = 25250$.
$3$. $10$ ના ગુણકો: $10, 20, 30, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=10, l=500, d=10$.
પદોની સંખ્યા $n_3$: $500 = 10 + (n_3 - 1)10 \Rightarrow 490 = 10(n_3 - 1) \Rightarrow n_3 - 1 = 49 \Rightarrow n_3 = 50$.
સરવાળો $S_3 = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.
કુલ સરવાળો $= S_1 + S_2 - S_3 = 62750 + 25250 - 12750 = 88000 - 12750 = 75250$.

(C) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$a_8 = \frac{1}{2} a_2$.
$a + 7d = \frac{1}{2}(a + d)$
$2a + 14d = a + d$
$a + 13d = 0$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,$a_{11} = \frac{1}{3} a_4 + 1$.
$a + 10d = \frac{1}{3}(a + 3d) + 1$
$3a + 30d = a + 3d + 3$
$2a + 27d = 3$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = -13d$. આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(-13d) + 27d = 3$
$-26d + 27d = 3$
$d = 3$
$d = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 13(3) = 0$
$a = -39$
હવે,$15$મું પદ $(a_{15})$ શોધો:
$a_{15} = a + 14d$
$a_{15} = -39 + 14(3)$
$a_{15} = -39 + 42 = 3$.

(A) આપેલ છે કે,કુલ પદોની સંખ્યા $n = 37$ છે.
મધ્યમ પદ $\left(\frac{37+1}{2}\right)$-મું પદ એટલે કે $19$-મું પદ છે.
તેથી,ત્રણ મધ્યમ પદો $18$-મું,$19$-મું અને $20$-મું પદ છે.
આપેલ શરત મુજબ,ત્રણ મધ્યમ પદોનો સરવાળો $225$ છે:
$a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$
$(a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$
$3a + 54d = 225$
$a + 18d = 75$ .....$(i)$
છેલ્લા ત્રણ પદોનો સરવાળો $429$ છે:
$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$
$(a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429$
$3a + 105d = 429$
$a + 35d = 143$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 35d) - (a + 18d) = 143 - 75$
$17d = 68$
$d = 4$
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 18(4) = 75$
$a + 72 = 75$
$a = 3$
માગેલ $AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
આમ,$AP$ એ $3, 7, 11, 15, \dots$ છે.

(A) $100$ અને $200$ ની વચ્ચે $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
$100$ થી મોટી $9$ વડે વિભાજ્ય પ્રથમ પૂર્ણાંક સંખ્યા $108$ છે $(9 \times 12 = 108)$.
$200$ થી નાની $9$ વડે વિભાજ્ય છેલ્લી પૂર્ણાંક સંખ્યા $198$ છે $(9 \times 22 = 198)$.
આમ,શ્રેણી $108, 117, 126, \ldots, 198$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 108$,સામાન્ય તફાવત $d = 9$,અને છેલ્લું પદ $l = a_n = 198$ છે.
$n$ મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$198 = 108 + (n - 1)9$.
$198 - 108 = (n - 1)9$.
$90 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 10 \implies n = 11$.
હવે,$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો $S_n$ શોધો.
$S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198)$.
$S_{11} = \frac{11}{2}(306)$.
$S_{11} = 11 \times 153 = 1683$.
તેથી,$100$ અને $200$ ની વચ્ચે $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો $1683$ છે.

(B) $100$ અને $200$ ની વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકોનો સરવાળો = ($100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો) $-$ ($100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો).
પગલું $1$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $(101, 102, \dots, 199)$.
અહીં, $a = 101$, $l = 199$, અને $d = 1$.
પદોની સંખ્યા $n = 199 - 101 + 1 = 99$.
સરવાળો $S_{99} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
પગલું $2$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
$100$ પછી $9$ નો પ્રથમ ગુણક $108$ $(9 \times 12)$ છે અને છેલ્લો $198$ $(9 \times 22)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $108, 117, \dots, 198$.
અહીં, $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$.
$198 = 108 + (n-1)9 \Rightarrow 90 = (n-1)9 \Rightarrow n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$.
સરવાળો $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
પગલું $3$: જરૂરી સરવાળો $= 14850 - 1683 = 13167$.

(C) $100$ અને $200$ ની વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકોનો સરવાળો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: ($100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો) $-$ ($100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો).
પગલું $1$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
આ પૂર્ણાંકો $101, 102, \dots, 199$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a = 101$, $l = 199$, અને $d = 1$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$: $199 = 101 + (n - 1)1 \implies n - 1 = 98 \implies n = 99$.
સરવાળો $S_{99} = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
પગલું $2$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
$100$ પછી $9$ વડે વિભાજ્ય પ્રથમ પૂર્ણાંક $108$ $(9 \times 12)$ છે અને છેલ્લો પૂર્ણાંક $198$ $(9 \times 22)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$: $198 = 108 + (n - 1)9 \implies 90 = (n - 1)9 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
સરવાળો $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
પગલું $3$: જરૂરી સરવાળો $= 14850 - 1683 = 13167$.

(A) ધારો કે $a$ અને $d$ એ $AP$ નું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
હવે,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
તેથી,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
હવે,પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
અને પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
તેથી,પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ $21$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ છે.

(A) આપેલ છે કે $AP$ એ $a, b, \dots, c$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $= a,$ અને સામાન્ય તફાવત $d = b - a$ છે.
અંતિમ પદ $l = a_n = c$ છે.
$n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d.$
કિંમતો મૂકતા: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
$(i)$ માંથી $n$ અને $l = c$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
આમ,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ આમ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $-4, -1, 2, \ldots, x$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (-1) - (-4) = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $x = a + (n - 1)d$ છે.
$x = -4 + (n - 1)3 \Rightarrow x = -4 + 3n - 3 \Rightarrow x = 3n - 7 \Rightarrow n = \frac{x + 7}{3}$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l = x$ એ અંતિમ પદ છે.
$437 = \frac{n}{2}(-4 + x)$.
$n = \frac{x + 7}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$437 = \frac{x + 7}{2 \times 3}(-4 + x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{6}$.
$437 \times 6 = x^2 + 3x - 28$.
$2622 = x^2 + 3x - 28 \Rightarrow x^2 + 3x - 2650 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2650)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 10600}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{10609}}{2}$.
$x = \frac{-3 \pm 103}{2}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $437$ થવા માટે $x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = \frac{100}{2} = 50$ લેતા.

(A) હપ્તાઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1000$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 100$ છે.
$1$. $30$ મો હપ્તો $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 30$ માટે,$a_{30} = 1000 + (30 - 1) \times 100 = 1000 + 2900 = Rs. 3900$.
$2$. $30$ હપ્તામાં ચૂકવેલ કુલ રકમ સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(1000) + (30 - 1) \times 100] = 15 [2000 + 2900] = 15 \times 4900 = Rs. 73500$.
$3$. $30$ હપ્તા પછી બાકી રહેલી લોનની રકમ = કુલ લોન - $S_{30} = 118000 - 73500 = Rs. 44500$.

(A) આપેલ છે કે,કુલ ઝંડીઓની સંખ્યા $= 27$ છે. ઝંડીઓ $2 \,m$ ના અંતરે લગાવવાની છે. સૌથી વચ્ચેની ઝંડી $14$ મી ઝંડી છે. રુચિ $14$ મી ઝંડીના સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે.
ડાબી બાજુએ ઝંડીઓ લગાવવા માટે: ડાબી બાજુ $13$ ઝંડીઓ છે. $1$ લી ઝંડી (કેન્દ્રથી $2 \,m$ પર) લગાવવા માટે,તે $2 \,m$ જાય છે અને $2 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $4 \,m$). $2$ જી ઝંડી (કેન્દ્રથી $4 \,m$ પર) લગાવવા માટે,તે $4 \,m$ જાય છે અને $4 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $8 \,m$). આ રીતે $13$ મી ઝંડી (કેન્દ્રથી $26 \,m$ પર) સુધી,જ્યાં તે $26 \,m$ જાય છે અને $26 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $52 \,m$).
ડાબી બાજુ માટે કુલ અંતર $4 + 8 + 12 + \dots + 52$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a = 4$,$d = 4$,અને $n = 13$ છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{13}{2} [2(4) + (12)(4)] = \frac{13}{2} [8 + 48] = \frac{13}{2} [56] = 13 \times 28 = 364 \,m$.
તે જ રીતે,જમણી બાજુ માટે પણ કુલ અંતર $364 \,m$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $= 364 + 364 = 728 \,m$.
ઝંડી લઈને કાપેલું મહત્તમ અંતર એ કેન્દ્રથી સૌથી દૂરની ઝંડી સુધીનું અંતર છે,જે $26 \,m$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 12$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$25$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 25$,$a = 5$,અને $d = 12$ મૂકીએ:
$T_{25} = 5 + (25 - 1) \times 12$
$T_{25} = 5 + 24 \times 12$
$T_{25} = 5 + 288$
$T_{25} = 293$
આમ,$A.P.$ નું $25$ મું પદ $293$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ માટે,$11$ મું પદ $T_{11} = 38$ અને $16$ મું પદ $T_{16} = 73$ છે.
$A.P.$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$
$m = 16$ અને $n = 11$ લેતા:
$d = \frac{T_{16} - T_{11}}{16 - 11} = \frac{73 - 38}{5} = \frac{35}{5} = 7$
હવે,$n$ માં પદના સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{11} = a + 10d$
$38 = a + 10(7)$
$38 = a + 70$
$a = 38 - 70 = -32$
છેલ્લે,$31$ મું પદ $T_{31}$ શોધીએ:
$T_{31} = a + 30d$
$T_{31} = -32 + 30(7)$
$T_{31} = -32 + 210 = 178$
આમ,$A.P.$ નું $31$ મું પદ $178$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $20, 19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}, \ldots$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ તેનું પ્રથમ ઋણ પદ છે,તેથી $T_n < 0$.
$T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$20 + (n - 1)(-\frac{3}{4}) < 0$.
$20 < (n - 1)(\frac{3}{4})$.
$20 \times \frac{4}{3} < n - 1$.
$\frac{80}{3} < n - 1$.
$26.66 + 1 < n$.
$n > 27.66$.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $27.66$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $28$ છે.
આમ,$28$ મું પદ એ આપેલ $A.P.$ નું પ્રથમ ઋણ પદ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 3 = 5$ છે.
જો $253$ એ $A.P.$ નું $n$ મું પદ હોય,તો
$253 = 3 + (n - 1)5$
$250 = 5(n - 1)$
$50 = n - 1$
$n = 51$
આમ,આપેલ શાંત $A.P.$ માં કુલ $51$ પદો છે.
અંતથી $20$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(51 - 20 + 1) = 32$ મું પદ થાય.
$T_{32} = a + (32 - 1)d$
$T_{32} = 3 + 31(5)$
$T_{32} = 3 + 155$
$T_{32} = 158$
તેથી,આપેલ $A.P.$ ના અંતથી $20$ મું પદ $158$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 7$ અને $10$ મું પદ $T_{10} = 61$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
$10$ માં પદ માટે: $T_{10} = a + 9d$.
કિંમતો મૂકતા: $61 = 7 + 9d$.
$54 = 9d$,જેથી $d = 6$ મળે છે.
હવે,$25$ મું પદ શોધવા માટે: $T_{25} = a + 24d$.
$T_{25} = 7 + 24(6) = 7 + 144 = 151$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $6$ છે અને $25$ મું પદ $151$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d = 5$ અને $15$ મું પદ $T_{15} = 72$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે.
$15$ માં પદ માટે કિંમતો મૂકતા:
$72 = a + (15 - 1) \times 5$
$72 = a + 14 \times 5$
$72 = a + 70$
$a = 72 - 70 = 2$
હવે,$50$ મું પદ $(T_{50})$ શોધવા માટે:
$T_{50} = a + (50 - 1)d$
$T_{50} = 2 + 49 \times 5$
$T_{50} = 2 + 245$
$T_{50} = 247$
આમ,આપેલ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $2$ છે અને તેનું $50$ મું પદ $247$ છે.