Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) આપેલ $A.P.$ $3, 8, 13, \ldots, 248$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 3 = 5$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $a_n = 248$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $248 = 3 + (n - 1)5$.
$248 - 3 = (n - 1)5$.
$245 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 245 / 5 = 49$.
$n = 49 + 1 = 50$.
તેથી,$A.P.$ નું $50$ મું પદ $248$ છે.

(B) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$6^{th}$ પદ $a_6 = 19$,તેથી $a + 5d = 19$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે,$17^{th}$ પદ $a_{17} = 41$,તેથી $a + 16d = 41$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 19$
$11d = 22$
$d = 2$
$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 5(2) = 19$
$a + 10 = 19$
$a = 9$
હવે,$40^{th}$ પદ $a_{40}$ શોધો:
$a_{40} = a + (40 - 1)d$
$a_{40} = 9 + 39(2)$
$a_{40} = 9 + 78$
$a_{40} = 87$.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$10 \times a_{10} = 15 \times a_{15}$.
પદો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $10(a + 9d) = 15(a + 14d)$.
બંને બાજુને $5$ વડે ભાગતા: $2(a + 9d) = 3(a + 14d)$.
કૌંસ ખોલતા: $2a + 18d = 3a + 42d$.
પદોને ગોઠવતા: $2a - 3a = 42d - 18d$.
$-a = 24d$,જેનો અર્થ છે કે $a = -24d$.
હવે,આપણે $25$ મું પદ શોધવાનું છે,$a_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$.
$a = -24d$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a_{25} = -24d + 24d = 0$.
આમ,$A.P.$ નું $25$ મું પદ $0$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એક $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 3 = 2$ છે.
ધારો કે આ $A.P.$ માં કુલ $n$ પદો છે. અંતિમ પદ $l = 201$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$201 = 3 + (n - 1)2$
$198 = (n - 1)2$
$n - 1 = 99$
$n = 100$.
અંતથી $k$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર શરૂઆતથી $(n - k + 1)$ મું પદ છે.
અહીં,$k = 12$ અને $n = 100$ છે.
તેથી,અંતથી $12$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(100 - 12 + 1) = 89$ મું પદ છે.
$a_{89} = a + (89 - 1)d$
$a_{89} = 3 + 88 \times 2$
$a_{89} = 3 + 176 = 179$.

(A) આપેલ $A.P.$ $1, 4, 7, \ldots, 118$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4 - 1 = 3$ છે.
અંતિમ પદ $l = 118$ છે.
$A.P.$ ના અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a_n (\text{અંતથી}) = l - (n - 1)d$.
અહીં,$n = 15$,$l = 118$,અને $d = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{15} = 118 - (15 - 1) \times 3$.
$a_{15} = 118 - (14 \times 3)$.
$a_{15} = 118 - 42$.
$a_{15} = 76$.
તેથી,અંતથી $15$ મું પદ $76$ છે.

(A) પ્રથમ $A.P.$ માટે: $a_1 = 63$,$d_1 = 65 - 63 = 2$. $n$ મું પદ $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ છે.
બીજા $A.P.$ માટે: $a_2 = 3$,$d_2 = 10 - 3 = 7$. $n$ મું પદ $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ છે.
બંને $n$ માં પદને સરખાવતા: $61 + 2n = 7n - 4$.
$61 + 4 = 7n - 2n$.
$65 = 5n$.
$n = 13$.
આમ,બંને શ્રેણીનું $13$ મું પદ સમાન છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$, $a$, અને $(a+d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, તેમનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = -3$ છે.
$3a = -3$, તેથી $a = -1$ મળે છે.
સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 8$ છે.
$a = -1$ મૂકતા, આપણને $(-1-d)(-1)(-1+d) = 8$ મળે છે.
$-1(1-d^2) = 8$, જેનું સાદું રૂપ $d^2 - 1 = 8$ થાય છે.
$d^2 = 9$, તેથી $d = \pm 3$ મળે છે.
જો $d = 3$ હોય, તો સંખ્યાઓ $(-1-3), -1, (-1+3)$ એટલે કે $-4, -1, 2$ થાય છે.
જો $d = -3$ હોય, તો સંખ્યાઓ $(-1-(-3)), -1, (-1+(-3))$ એટલે કે $2, -1, -4$ થાય છે.
આમ, તે સંખ્યાઓ $-4, -1, 2$ અથવા $2, -1, -4$ છે.

(2, 6, 10, 14) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $32$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32 \implies a = 8$.
તેથી સંખ્યાઓ $(8-3d), (8-d), (8+d), (8+3d)$ છે.
અંતિમ પદોનો ગુણાકાર $(8-3d)(8+3d) = 64 - 9d^2$ છે.
મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર $(8-d)(8+d) = 64 - d^2$ છે.
અંતિમ પદોના ગુણાકાર અને મધ્યમ પદોના ગુણાકારનો ગુણોત્તર $7:15$ છે:
$\frac{64-9d^2}{64-d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64-9d^2) = 7(64-d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4 \implies d = 2$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ચડતા ક્રમમાં છે,તેથી $d > 0$).
$a=8$ અને $d=2$ મૂકતા:
$8-3(2) = 2$
$8-2 = 6$
$8+2 = 10$
$8+3(2) = 14$
તેથી સંખ્યાઓ $2, 6, 10, 14$ છે.

(A) ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો તેની શરત $2b = a + c$ છે.
અહીં,$a = x+1$,$b = 3x$,અને $c = 4x+2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(3x) = (x+1) + (4x+2)$
$6x = 5x + 3$
$6x - 5x = 3$
$x = 3$
તેથી,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(N/A) આપેલ પદો $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ અને $(a+b)^{2}$ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે.
ધારો કે પદો $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,અને $T_3 = (a+b)^2$ છે.
પ્રથમ,બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_1)$ શોધો:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
હવે,ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_2)$ શોધો:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
અહીં $d_1 = d_2 = 2ab$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે.
તેથી,આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$S_1 = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_2 = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_3 = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]$
હવે,પદ $3(S_2 - S_1)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$S_2 - S_1 = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d]$
$= \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$
$3$ વડે ગુણતા:
$3(S_2 - S_1) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_3$.
આમ,$S_3 = 3(S_2 - S_1)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓના પ્રથમ પદો $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમના સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સરવાળાનો ગુણોત્તર આપેલ છે: $\frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{5n - 3}{7n + 2}$.
આથી,$\frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} = \frac{5n - 3}{7n + 2}$.
આપણે $m$ માં પદોનો ગુણોત્તર શોધવો છે: $\frac{a_m1}{a_m2} = \frac{a_1 + (m - 1)d_1}{a_2 + (m - 1)d_2}$.
જરૂરી ગુણોત્તરના અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા: $\frac{2a_1 + 2(m - 1)d_1}{2a_2 + 2(m - 1)d_2}$.
સરવાળાના ગુણોત્તર સાથે સરખાવતા,$n - 1 = 2(m - 1)$ લેતા,$n = 2m - 1$ મળે છે.
હવે $n = 2m - 1$ ને ગુણોત્તર $\frac{5n - 3}{7n + 2}$ માં મૂકતા:
ગુણોત્તર $= \frac{5(2m - 1) - 3}{7(2m - 1) + 2} = \frac{10m - 5 - 3}{14m - 7 + 2} = \frac{10m - 8}{14m - 5}$.
આમ,$m$ માં પદોનો ગુણોત્તર $(10m - 8) : (14m - 5)$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $6, 2, -2, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2 - 6 = -4$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(6) + (n - 1)(-4)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [12 - 4n + 4]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [16 - 4n]$
$S_{n} = n(8 - 2n) = 8n - 2n^{2} = -2n^{2} + 8n$.

(B) આપેલ $A.P.$ $9, 17, 25, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 17 - 9 = 8$ છે.
ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 636$ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $636 = \frac{n}{2} [2(9) + (n - 1)8]$.
$636 = \frac{n}{2} [18 + 8n - 8]$.
$636 = \frac{n}{2} [10 + 8n]$.
$636 = n(5 + 4n)$.
$4n^2 + 5n - 636 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(4)(-636)}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 10176}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{10201}}{8} = \frac{-5 \pm 101}{8}$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = \frac{96}{8} = 12$.
આમ,$12$ પદોનો સરવાળો $636$ થાય છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = -5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (-8) - (-5) = -3$ છે.
છેલ્લું પદ $l$ અથવા $a_n = -230$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$-230 = -5 + (n - 1)(-3)$.
$-230 + 5 = (n - 1)(-3)$.
$-225 = (n - 1)(-3)$.
$n - 1 = \frac{-225}{-3} = 75$.
$n = 76$.
હવે,સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230))$.
$S_{76} = 38 \times (-235)$.
$S_{76} = -8930$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 7 - 3n$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ શોધવા માટે,$n = 1$ મૂકતા:
$a = T_{1} = 7 - 3(1) = 4$.
$25$ મું પદ $(T_{25})$ શોધવા માટે,$n = 25$ મૂકતા:
$T_{25} = 7 - 3(25) = 7 - 75 = -68$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}(a + T_{n})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 25$ માટે:
$S_{25} = \frac{25}{2}(4 + (-68))$
$S_{25} = \frac{25}{2}(-64)$
$S_{25} = 25 \times (-32) = -800$.
આમ,પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો $-800$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$,અને $n$ મું પદ $T_n = 50$.
પગલું $1$: $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $n$ શોધો.
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
પગલું $2$: $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ શોધો.
$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
આમ,$n = 16$ અને $S_n = 440$ છે.

(A) આપેલ છે: $T_{n} = a + (n - 1)d = 4$ અને $S_{n} = \frac{n}{2}[a + T_{n}] = -14$.
સરવાળાના સૂત્રમાં $T_{n} = 4$ મૂકતા: $\frac{n}{2}[a + 4] = -14 \implies n(a + 4) = -28$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $a = 4 - (n - 1)d = 4 - 2n + 2 = 6 - 2n$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $n(6 - 2n + 4) = -28 \implies n(10 - 2n) = -28$.
$10n - 2n^{2} = -28 \implies 2n^{2} - 10n - 28 = 0 \implies n^{2} - 5n - 14 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 7)(n + 2) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8$.
આમ,$n = 7$ અને $a = -8$.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 3$,$n = 8$ અને $S_n = 192$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$192 = \frac{8}{2} [2(3) + (8-1)d]$
$192 = 4 [6 + 7d]$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$48 = 6 + 7d$
$48 - 6 = 7d$
$42 = 7d$
$d = \frac{42}{7} = 6$
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ ની કિંમત $6$ છે.

(D) $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}(a + T_{n})$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $T_{n}$ એ $n$ મું પદ છે.
આપેલ કિંમતો $S_{n} = 144$,$T_{n} = 28$ અને $n = 9$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$144 = \frac{9}{2}(a + 28)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા અને $9$ વડે ભાગતા:
$144 \times \frac{2}{9} = a + 28$
$16 \times 2 = a + 28$
$32 = a + 28$
$a = 32 - 28$
$a = 4$
તેથી,પ્રથમ પદ $a$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ વર્ષની બચત $a$ છે.
બચતમાં દર વર્ષે $Rs. 100$ નો વધારો થતો હોવાથી,આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં સામાન્ય તફાવત $d = 100$ છે.
વર્ષોની સંખ્યા $n = 10$ છે અને કુલ બચત $S_{10} = 16,500$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16,500 = \frac{10}{2} [2a + (10 - 1) \times 100]$.
$16,500 = 5 [2a + 900]$.
$3,300 = 2a + 900$.
$2a = 3,300 - 900 = 2,400$.
$a = 1,200$.
આમ,પ્રથમ વર્ષની બચત $Rs. 1,200$ છે.

(B) $14$ તકતીઓની ત્રિજ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $1, 2, 3, \dots, 14$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીનો પરિઘ $C = 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધી $14$ તકતીઓના પરિઘનો સરવાળો $S = 2\pi(1) + 2\pi(2) + 2\pi(3) + \dots + 2\pi(14)$ છે.
$S = 2\pi(1 + 2 + 3 + \dots + 14)$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$, જ્યાં $n = 14$:
$S = 2\pi \times \frac{14(14+1)}{2} = 2\pi \times \frac{14 \times 15}{2} = 2\pi \times 105 = 210\pi$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$S = 210 \times \frac{22}{7} = 30 \times 22 = 660\, cm$.

(C) ધારો કે માંગેલ સંખ્યા $x$ છે. $x$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $1$ થી $x-1$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સરવાળો $S_1 = \frac{(x-1)x}{2}$ છે.
$x$ થી મોટી અને $288$ સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો એ $x+1$ થી $288$ સુધીની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સરવાળો $S_2 = \sum_{i=1}^{288} i - \sum_{i=1}^{x} i = \frac{288 \times 289}{2} - \frac{x(x+1)}{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_1 = S_2.$
$\frac{x^2 - x}{2} = \frac{288 \times 289}{2} - \frac{x^2 + x}{2}.$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^2 - x = 288 \times 289 - x^2 - x.$
$2x^2 = 288 \times 289.$
$x^2 = 144 \times 289.$
$x = \sqrt{144 \times 289} = 12 \times 17 = 204.$
આમ,માંગેલ સંખ્યા $204$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$
હવે,પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર બીજી સંખ્યા કરતા $6$ જેટલો વધારે છે:
$(a - d)(a + d) = a + 6$
$a^2 - d^2 = a + 6$
સમીકરણમાં $a = 7$ મૂકતા:
$7^2 - d^2 = 7 + 6$
$49 - d^2 = 13$
$d^2 = 36$
$d = \pm 6$
કિસ્સો $1$: જો $d = 6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - 6), 7, (7 + 6)$ એટલે કે $1, 7, 13$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $d = -6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - (-6)), 7, (7 + (-6))$ એટલે કે $13, 7, 1$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $1, 7, 13$ અથવા $13, 7, 1$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $50$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 50$
$4a = 50 \implies a = 12.5$.
સૌથી નાની સંખ્યા $(a-3d)$ છે અને સૌથી મોટી સંખ્યા $(a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટી સંખ્યા એ સૌથી નાની સંખ્યા કરતા ચાર ગણી છે:
$(a+3d) = 4(a-3d)$
$12.5 + 3d = 4(12.5 - 3d)$
$12.5 + 3d = 50 - 12d$
$15d = 37.5 \implies d = 2.5$.
તેથી સંખ્યાઓ છે:
$12.5 - 3(2.5) = 12.5 - 7.5 = 5$
$12.5 - 2.5 = 10$
$12.5 + 2.5 = 15$
$12.5 + 3(2.5) = 12.5 + 7.5 = 20$.
આમ,સંખ્યાઓ $5, 10, 15, 20$ અથવા ઉલટા ક્રમમાં $20, 15, 10, 5$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $108, 103, 98, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 108$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 103 - 108 = -5$ છે.
આપણે પ્રથમ ઋણ પદ શોધવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $n^{th}$ પદ $a_n < 0$ લઈએ.
$n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $108 + (n - 1)(-5) < 0$.
$108 - 5n + 5 < 0$.
$113 - 5n < 0$.
$113 < 5n$.
$n > \frac{113}{5} = 22.6$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $22.6$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $23$ છે.
તેથી,$23^{rd}$ પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ $-1, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}, \ldots, \frac{10}{3}$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{5}{6} - (-1) = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6}$ છે.
અંતિમ પદ $a_n = \frac{10}{3}$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{3} = -1 + (n - 1)\frac{1}{6}$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $\frac{10}{3} + 1 = (n - 1)\frac{1}{6}$.
$\frac{13}{3} = (n - 1)\frac{1}{6}$.
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા: $13 \times 2 = n - 1$.
$26 = n - 1$.
$n = 27$.
આમ,પદોની કુલ સંખ્યા $27$ છે.

(D) આપેલ છે: પદોની સંખ્યા $n = 60$,પ્રથમ પદ $a = 7$ અને અંતિમ પદ $a_{60} = 125$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a_n = a + (n - 1)d$.
$60$ માં પદ માટે: $125 = 7 + (60 - 1)d$.
$125 - 7 = 59d$.
$118 = 59d$.
$d = 118 / 59 = 2$.
હવે,$32$ મું પદ $(a_{32})$ શોધો:
$a_{32} = a + (32 - 1)d$.
$a_{32} = 7 + 31(2)$.
$a_{32} = 7 + 62 = 69$.
તેથી,$32$ મું પદ $69$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $5.5, 11, 16.5, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5.5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 5.5 = 5.5$ છે.
આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $n$ મું પદ $a_n = 550$ થાય.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $550 = 5.5 + (n - 1)5.5$.
$550 - 5.5 = (n - 1)5.5$.
$544.5 = (n - 1)5.5$.
$n - 1 = \frac{544.5}{5.5} = 99$.
$n = 99 + 1 = 100$.
તેથી,$A.P.$ નું $100$ મું પદ $550$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $5, 9, 13, \ldots, 101$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 9 - 5 = 4$ છે.
અંતિમ પદ $l = 101$ છે.
અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર $l - (n - 1)d$ છે.
અહીં,$n = 9$,$l = 101$,અને $d = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $101 - (9 - 1) \times 4 = 101 - 8 \times 4 = 101 - 32 = 69$.
તેથી,અંતથી $9$ મું પદ $69$ છે.

(C) $A.P.$ ના અંતથી $n$મું પદ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીને ઉલટાવી શકીએ છીએ અથવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $l - (n - 1)d$,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે,$n$ એ અંતથી સ્થાન છે,અને $d$ એ મૂળ શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ $A.P.$ $40, 35, 30, \ldots, -200$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 40$,સામાન્ય તફાવત $d = 35 - 40 = -5$,અને અંતિમ પદ $l = -200$ છે.
આપણે અંતથી $10$મું પદ શોધવાનું છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n (\text{અંતથી}) = l - (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $a_{10} = -200 - (10 - 1)(-5)$.
$a_{10} = -200 - (9)(-5)$.
$a_{10} = -200 + 45$.
$a_{10} = -155$.
આમ,અંતથી $10$મું પદ $-155$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$,$a$,અને $(a+d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = 12$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3a = 12$ મળે,તેથી $a = 4$.
તેથી સંખ્યાઓ $(4-d)$,$4$,અને $(4+d)$ છે.
તેમના ઘનનો સરવાળો $(4-d)^3 + 4^3 + (4+d)^3 = 288$ છે.
ઘનનું વિસ્તરણ કરતા: $(64 - 48d + 12d^2 - d^3) + 64 + (64 + 48d + 12d^2 + d^3) = 288$.
પદોને ભેગા કરતા: $192 + 24d^2 = 288$.
$24d^2 = 96$,જે આપે છે $d^2 = 4$,તેથી $d = \pm 2$.
જો $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(4-2), 4, (4+2)$ એટલે કે $2, 4, 6$ મળે.
જો $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(4-(-2)), 4, (4+(-2))$ એટલે કે $6, 4, 2$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $2, 4, 6$ અથવા $6, 4, 2$ છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર ખૂણાઓ $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે.
અહીં,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $2d = 10^{\circ}$ છે,તેથી $d = 5^{\circ}$.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$.
$4a = 360^{\circ} \implies a = 90^{\circ}$.
ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
$a-d = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ}$.
$a+d = 90^{\circ} + 5^{\circ} = 95^{\circ}$.
$a+3d = 90^{\circ} + 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ}, 105^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 10$,$n^{th}$ પદ $a_n = 40$,અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 150$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $150 = \frac{n}{2}(10 + 40)$.
$150 = \frac{n}{2}(50)$.
$150 = 25n$.
$n = \frac{150}{25} = 6$.
હવે,$n^{th}$ પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 10 + (6 - 1)d$.
$40 - 10 = 5d$.
$30 = 5d$.
$d = \frac{30}{5} = 6$.
આમ,$n = 6$ અને $d = 6$.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $-2, -4, -6, \ldots$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધવા માટે બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરવામાં આવે છે: $d = a_2 - a_1$.
અહીં,$a_1 = -2$ અને $a_2 = -4$ છે.
તેથી,$d = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ ની કિંમત $-2$ છે.

(D) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = 3n - 1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીના પ્રથમ બે પદોની ગણતરી કરીએ.
$n = 1$ માટે,$T_1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$n = 2$ માટે,$T_2 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_2 - T_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 5 - 2 = 3$.
વૈકલ્પિક રીતે,$T_n = an + b$ સ્વરૂપના $A.P.$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d$ એ $n$ નો સહગુણક હોય છે,જે $3$ છે.

(A) $A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$,અને પદની સંખ્યા $n = 15$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 3$
$a_{15} = 5 + 14 \times 3$
$a_{15} = 5 + 42$
$a_{15} = 47$.
તેથી,$A.P.$ નું $15$ મું પદ $47$ છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $1, 11, 21, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 1 = 10$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$20$ મું પદ શોધવા માટે $(n = 20)$:
$a_{20} = 1 + (20 - 1) \times 10$
$a_{20} = 1 + 19 \times 10$
$a_{20} = 1 + 190$
$a_{20} = 191$.
આમ,$20$ મું પદ $191$ છે.

(C) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = 5n - 2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$12^{th}$ પદ શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદાવલિમાં $n = 12$ મૂકીશું.
$T_{12} = 5(12) - 2$
$T_{12} = 60 - 2$
$T_{12} = 58$
તેથી,$A.P.$ નું $12^{th}$ પદ $58$ છે.

(D) $A.P.$ નું $n$મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$a_7 = 34$,તેથી $a + 6d = 34$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે,$a_{13} = 64$,તેથી $a + 12d = 64$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 12d) - (a + 6d) = 64 - 34$
$6d = 30$
$d = 5$.
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 6(5) = 34$
$a + 30 = 34$
$a = 4$.
હવે,$18$મું પદ $(a_{18})$ શોધવા માટે:
$a_{18} = a + 17d$
$a_{18} = 4 + 17(5)$
$a_{18} = 4 + 85$
$a_{18} = 89$.

(A) $A.P.$ નું $n$ મું પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર $T_n = S_n - S_{n-1}$ છે,જ્યાં $S_n$ એ પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે $S_n = 3n^2 + 5n$.
તેથી,$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 5(n-1)$.
$S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 3n^2 - n - 2$.
હવે,$T_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2)$.
$T_n = 3n^2 + 5n - 3n^2 + n + 2$.
$T_n = 6n + 2$.

(A) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = 2n^{2} + 5n$ છે.
$n$ મું પદ $(T_{n})$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $S_{n} = 2n^{2} + 5n$.
તેથી,$S_{n-1} = 2(n-1)^{2} + 5(n-1)$.
$S_{n-1} = 2(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 2n^{2} - 4n + 2 + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 2n^{2} + n - 3$.
હવે,$T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = (2n^{2} + 5n) - (2n^{2} + n - 3)$.
$T_{n} = 2n^{2} + 5n - 2n^{2} - n + 3$.
$T_{n} = 4n + 3$.

(C) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 2$,$d = 4$ અને $n = 40$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2} [2(2) + (40-1)4]$
$S_{40} = 20 [4 + (39 \times 4)]$
$S_{40} = 20 [4 + 156]$
$S_{40} = 20 [160]$
$S_{40} = 3200$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ $71, 68, 65, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 71$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 68 - 71 = -3$ છે.
આપણે પ્રથમ ઋણ પદ શોધવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $n$-મું પદ $a_n < 0$ લઈએ.
$n$-મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $71 + (n - 1)(-3) < 0$.
$71 - 3n + 3 < 0$.
$74 - 3n < 0$.
$74 < 3n$.
$n > \frac{74}{3} \approx 24.66$.
કારણ કે $n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,$24.66$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $25$ છે.
તેથી,$25$-મું પદ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે.

(A) $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
$T_{25}$ માટે,$T_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$.
$T_{20}$ માટે,$T_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા: $T_{25} - T_{20} = (a + 24d) - (a + 19d)$.
$T_{25} - T_{20} = a + 24d - a - 19d = 5d$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ શ્રેણી $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$.
$S_n = n^2$.
તેથી,પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ થાય છે.

(C) પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(n + 1)$.
$S_n = n(n + 1)$.

(D) આપેલ છે કે એક $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 10$ અને $10$ મું પદ $a_{10} = 100$ છે.
આપણે પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો,જેને $S_{10}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે શોધવાનો છે.
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ જાણીતા હોય ત્યારે $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$
અહીં,$n = 10$,$a = 10$,અને $a_{10} = 100$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{10} = \frac{10}{2} (10 + 100)$
$S_{10} = 5 \times 110$
$S_{10} = 550$
આમ,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $550$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $1, 21, 41, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 21 - 1 = 20$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 20$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(1) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10 [2 + (19 \times 20)]$.
$S_{20} = 10 [2 + 380]$.
$S_{20} = 10 [382]$.
$S_{20} = 3820$.
તેથી,પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $3820$ થાય છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ છે.
આ શ્રેણીમાં,દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે:
$1 + 1 = 2$
$1 + 2 = 3$
$2 + 3 = 5$
$3 + 5 = 8$
$5 + 8 = 13$,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
આ ભાત ફિબોનાકી શ્રેણી દર્શાવે છે,જ્યાં $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n > 2$ માટે),જેમાં $F_1 = 1$ અને $F_2 = 1$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.