Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) दी गई $AP$ (समांतर श्रेणी) $5, 8, 11, 14, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 8 - 5 = 3$ है।
हमें $10$ वाँ पद $(a_{10})$ ज्ञात करना है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान $a = 5$,$n = 10$,और $d = 3$ रखने पर:
$a_{10} = 5 + (10 - 1) \times 3$
$a_{10} = 5 + 9 \times 3$
$a_{10} = 5 + 27$
$a_{10} = 32$.
अतः,$10$ वाँ पद $32$ है।

(B) $AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
दिए गए मान $a = -7.2$,$d = 3.6$ और $a_{n} = 7.2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$7.2 = -7.2 + (n - 1)(3.6)$
दोनों पक्षों में $7.2$ जोड़ने पर:
$7.2 + 7.2 = (n - 1)(3.6)$
$14.4 = (n - 1)(3.6)$
दोनों पक्षों को $3.6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{14.4}{3.6} = n - 1$
$4 = n - 1$
$n = 4 + 1$
$n = 5$

(C) $AP$ में,$n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ होता है।
दिए गए मान $d = -4$,$n = 7$,और $a_{n} = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = a + (7 - 1)(-4)$
$4 = a + (6)(-4)$
$4 = a - 24$
$a = 4 + 24$
$a = 28$.

(D) समांतर श्रेणी $(AP)$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ होता है।
यहाँ दिए गए मान $a = 3.5$,$d = 0$ और $n = 101$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a_{101} = 3.5 + (101 - 1) \times 0$
$a_{101} = 3.5 + 100 \times 0$
$a_{101} = 3.5 + 0$
$a_{101} = 3.5$
अतः,$AP$ का $101$ वां पद $3.5$ है।

(A) दी गई अनुक्रम $-10, -6, -2, 2, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = -10$,दूसरा पद $a_2 = -6$,तीसरा पद $a_3 = -2$ और चौथा पद $a_4 = 2$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर $d$ की गणना करते हैं:
$d_1 = a_2 - a_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$
$d_2 = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान $(d = 4)$ है,इसलिए संख्याओं की दी गई सूची $d = 4$ सार्व अंतर के साथ एक $AP$ बनाती है।

(B) दिया गया $AP: -5, \frac{-5}{2}, 0, \frac{5}{2}, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -5$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{-5}{2} - (-5) = \frac{-5}{2} + 5 = \frac{-5 + 10}{2} = \frac{5}{2}$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$11$ वाँ पद $(n = 11)$ ज्ञात करने के लिए:
$a_{11} = -5 + (11 - 1) \times \frac{5}{2}$
$a_{11} = -5 + 10 \times \frac{5}{2}$
$a_{11} = -5 + 5 \times 5$
$a_{11} = -5 + 25$
$a_{11} = 20$.

(C) $AP$ का व्यापक रूप $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
इन मानों को व्यापक रूप में रखने पर:
प्रथम पद: $a = -2$
द्वितीय पद: $a + d = -2 + (-2) = -4$
तृतीय पद: $a + 2d = -2 + 2(-2) = -2 - 4 = -6$
चतुर्थ पद: $a + 3d = -2 + 3(-2) = -2 - 6 = -8$
अतः,प्रथम चार पद $-2, -4, -6, -8$ हैं।

(A) दिया गया है कि प्रथम पद $a = -3$ है।
दूसरा पद $a + d = 4$ है।
दूसरे पद के समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $-3 + d = 4$.
अतः,सार्व अंतर $d = 4 + 3 = 7$ प्राप्त होता है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$21$ वें पद के लिए $(n = 21)$:
$a_{21} = -3 + (21 - 1) \times 7$.
$a_{21} = -3 + 20 \times 7$.
$a_{21} = -3 + 140$.
$a_{21} = 137$.

(A) दिया गया है,$2^{\text{nd}}$ पद $a_2 = 13$ और $5^{\text{th}}$ पद $a_5 = 25$ है।
$AP$ के $n^{\text{th}}$ पद के सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + d = 13$ .....$(i)$
$a + 4d = 25$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 4d) - (a + d) = 25 - 13$
$3d = 12$
$d = 4$
$d = 4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 4 = 13$
$a = 9$
अब,$7^{\text{th}}$ पद $a_7$ ज्ञात करने पर:
$a_7 = a + (7 - 1)d$
$a_7 = 9 + 6(4)$
$a_7 = 9 + 24 = 33$
अतः,$7^{\text{th}}$ पद $33$ है।

(B) माना कि दी गई $AP$ का $n$ वाँ पद $210$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 21$ है।
सार्व अंतर $d = 42 - 21 = 21$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $210 = 21 + (n - 1)21$.
$210 = 21 + 21n - 21$.
$210 = 21n$.
$n = 210 / 21 = 10$.
अतः,$AP$ का $10$ वाँ पद $210$ है।

(C) दिया गया है कि $AP$ का सार्व अंतर $d = 5$ है।
$AP$ का $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
अब,हमें $a_{18} - a_{13}$ ज्ञात करना है।
$a_{18} = a + (18 - 1)d = a + 17d$
$a_{13} = a + (13 - 1)d = a + 12d$
दोनों पदों को घटाने पर:
$a_{18} - a_{13} = (a + 17d) - (a + 12d)$
$a_{18} - a_{13} = 17d - 12d = 5d$
$d = 5$ का मान रखने पर:
$a_{18} - a_{13} = 5 \times 5 = 25$.

(D) दिया गया है,$a_{18}-a_{14}=32$।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + (18-1)d - [a + (14-1)d] = 32$
$a + 17d - a - 13d = 32$
$4d = 32$
$d = 32 / 4 = 8$
अतः,$AP$ का सार्व अंतर $d = 8$ है।

(A) माना कि पहले $AP$ का प्रथम पद $a_1 = -1$ है और दूसरे $AP$ का प्रथम पद $a_2 = -8$ है।
माना कि दोनों $AP$ के लिए सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $AP$ का $4$ था पद $T_4 = a_1 + (4 - 1)d = -1 + 3d$ होगा।
दूसरे $AP$ का $4$ था पद $T'_4 = a_2 + (4 - 1)d = -8 + 3d$ होगा।
उनके $4$ थे पदों के बीच का अंतर $(a_1 + 3d) - (a_2 + 3d) = a_1 - a_2$ है।
मान रखने पर,$(-1) - (-8) = -1 + 8 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके $4$ थे पदों के बीच का अंतर $7$ है।

(B) दिया गया है कि $AP$ के $7$ वें पद का $7$ गुना उसके $11$ वें पद के $11$ गुने के बराबर है।
$7 a_{7} = 11 a_{11}$
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$7[a + (7 - 1)d] = 11[a + (11 - 1)d]$
$7(a + 6d) = 11(a + 10d)$
$7a + 42d = 11a + 110d$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$11a - 7a + 110d - 42d = 0$
$4a + 68d = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$a + 17d = 0$
हमें $18$ वां पद $(a_{18})$ ज्ञात करना है:
$a_{18} = a + (18 - 1)d = a + 17d$
चूंकि $a + 17d = 0$,इसलिए $a_{18} = 0$.

(C) समांतर श्रेणी $(AP)$ के अंत से $n$ वें पद का सूत्र है:
$a_n = l - (n - 1)d$
जहाँ $l$ अंतिम पद है,$n$ अंत से पद की संख्या है और $d$ सार्व अंतर है।
दी गई $AP: -11, -8, -5, \dots, 49$ में,अंतिम पद $l = 49$ है।
सार्व अंतर $d = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$ है।
हमें अंत से $4$ था पद ज्ञात करना है,इसलिए $n = 4$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a_4 = 49 - (4 - 1) \times 3$
$a_4 = 49 - (3 \times 3)$
$a_4 = 49 - 9 = 40$.
अतः,अंत से $4$ था पद $40$ है।

(D) प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने से जुड़े प्रसिद्ध गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस हैं।
एक किस्से के अनुसार,जब वे एक युवा छात्र थे,तो उन्होंने प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं $(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$ का योग संख्याओं की जोड़ियाँ बनाकर बहुत तेज़ी से निकाला था: $(1 + 100) + (2 + 99) + \dots + (50 + 51) = 101 \times 50 = 5050$।

(A) दिया गया है,प्रथम पद $a = -5$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
हमें प्रथम $n = 6$ पदों का योग ज्ञात करना है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में $n = 6$,$a = -5$,और $d = 2$ का मान रखने पर:
$S_{6} = \frac{6}{2} [2(-5) + (6 - 1)(2)]$
$S_{6} = 3 [-10 + 5(2)]$
$S_{6} = 3 [-10 + 10]$
$S_{6} = 3(0) = 0$.
अतः,प्रथम $6$ पदों का योग $0$ है।

(B) दिया गया $AP$ है: $10, 6, 2, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 10$ और सार्व अंतर $d = 6 - 10 = -4$ है।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$n = 16$ के लिए:
$S_{16} = \frac{16}{2}[2(10) + (16 - 1)(-4)]$
$S_{16} = 8[20 + 15(-4)]$
$S_{16} = 8[20 - 60]$
$S_{16} = 8(-40) = -320$.

(C) $AP$ के $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + a_{n})$।
यहाँ $a = 1$,$a_{n} = 20$ और $S_{n} = 399$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$399 = \frac{n}{2}(1 + 20)$
$399 = \frac{n}{2}(21)$
$399 = 10.5n$
$n = \frac{399}{10.5}$
$n = 38$।
अतः,$n$ का मान $38$ है।

(D) $3$ के प्रथम पाँच गुणज $3, 6, 9, 12$ और $15$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 3$ और पदों की संख्या $n = 5$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर:
$S_5 = \frac{5}{2} [2(3) + (5 - 1)3]$
$S_5 = \frac{5}{2} [6 + 4(3)]$
$S_5 = \frac{5}{2} [6 + 12]$
$S_5 = \frac{5}{2} [18]$
$S_5 = 5 \times 9 = 45$.

(B) $AP$ का सार्व अंतर $d$,$d = a_{n} - a_{n-1}$ के रूप में ज्ञात किया जाता है।
दी गई $AP: 10, 5, 0, -5, \ldots$ के लिए:
$a_{2} - a_{1} = 5 - 10 = -5$
$a_{3} - a_{2} = 0 - 5 = -5$
$a_{4} - a_{3} = -5 - 0 = -5$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $d = -5$ के साथ एक $AP$ बनाती है।
अतः,यह कथन कि सार्व अंतर $d = 5$ है,असत्य है।

(B) चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि $A$ का सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ है,जहाँ $P = 1000$,$r = 10$,और $n$ वर्षों की संख्या है।
पहले वर्ष के अंत में राशि: $A_1 = 1000(1 + 10/100)^1 = 1000(1.1) = 1100$.
दूसरे वर्ष के अंत में राशि: $A_2 = 1000(1 + 10/100)^2 = 1000(1.21) = 1210$.
तीसरे वर्ष के अंत में राशि: $A_3 = 1000(1 + 10/100)^3 = 1000(1.331) = 1331$.
राशियों की श्रृंखला $1100, 1210, 1331, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम सार्व अंतर की गणना करते हैं:
$A_2 - A_1 = 1210 - 1100 = 110$.
$A_3 - A_2 = 1331 - 1210 = 121$.
चूँकि $A_2 - A_1 \neq A_3 - A_2$,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,यह श्रृंखला $AP$ नहीं बनाती है।

(A) $(i)$ यहाँ,$t_{1} = -1, t_{2} = -1, t_{3} = -1$ और $t_{4} = -1$ है।
$t_{2} - t_{1} = -1 - (-1) = 0$
$t_{3} - t_{2} = -1 - (-1) = 0$
$t_{4} - t_{3} = -1 - (-1) = 0$
चूँकि सार्व अंतर $d = 0$ समान है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ बनाती है।
$(ii)$ यहाँ,$t_{1} = 0, t_{2} = 2, t_{3} = 0$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 2 - 0 = 2$
$t_{3} - t_{2} = 0 - 2 = -2$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।
$(iii)$ यहाँ,$t_{1} = 1, t_{2} = 1, t_{3} = 2$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 1 - 1 = 0$
$t_{3} - t_{2} = 2 - 1 = 1$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।

(I, IV) $(i)$ यहाँ,$t_1 = 11, t_2 = 22, t_3 = 33$ है।
$t_2 - t_1 = 22 - 11 = 11$.
$t_3 - t_2 = 33 - 22 = 11$.
चूँकि सार्व अंतर $d = 11$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।
$(ii)$ यहाँ,$t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{3}, t_3 = \frac{1}{4}$ है।
$t_2 - t_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
$t_3 - t_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ अनुक्रम $2, 4, 8, 16, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$.
$t_3 - t_2 = 8 - 4 = 4$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iv)$ अनुक्रम $\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_3 - t_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_4 - t_3 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
चूँकि सार्व अंतर $d = \sqrt{3}$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।

(B) असत्य।
यहाँ,$a_{1} = -1, a_{2} = -\frac{3}{2}, a_{3} = -2$ और $a_{4} = \frac{5}{2}$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = -\frac{3}{2} - (-1) = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$।
$a_{3} - a_{2} = -2 - (-\frac{3}{2}) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$।
$a_{4} - a_{3} = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$।
किसी अनुक्रम के $AP$ होने के लिए,किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होना चाहिए।
यद्यपि $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = -\frac{1}{2}$ है,लेकिन $a_{4} - a_{3} = \frac{9}{2}$ है।
चूंकि सार्व अंतर पूरी श्रृंखला में समान नहीं है,इसलिए यह एक $AP$ नहीं बनाती है।

(A) हाँ,इस मान को सीधे ज्ञात करना संभव है।
$AP$ का $n$-वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,$a_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$ और $a_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$ होगा।
दोनों पदों को घटाने पर: $a_{30} - a_{20} = (a + 29d) - (a + 19d) = 10d$ प्राप्त होता है।
दिए गए $AP$ से,सार्व अंतर $d = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4$ है।
$d$ का मान व्यंजक में रखने पर: $a_{30} - a_{20} = 10(-4) = -40$।

(N/A) माना कि दोनों $APs$ का सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि पहली $AP$ का प्रथम पद $a_1 = 2$ है और दूसरी $AP$ का प्रथम पद $b_1 = 7$ है।
$AP$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहली $AP$ के लिए,$n$ वाँ पद $a_n = 2 + (n-1)d$ है।
दूसरी $AP$ के लिए,$n$ वाँ पद $b_n = 7 + (n-1)d$ है।
उनके $n$ वें पदों के बीच का अंतर $b_n - a_n = [7 + (n-1)d] - [2 + (n-1)d] = 7 - 2 = 5$ है।
चूंकि अंतर $n$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए किन्हीं भी दो संगत पदों के बीच का अंतर हमेशा $5$ रहता है।
अतः,$10$ वें पदों के बीच का अंतर $5$ है और $21$ वें पदों के बीच का अंतर भी $5$ है।

(N/A) माना कि $0$ दी गई $AP$ का $n$ वाँ पद है,अर्थात $a_n = 0$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 31$ और सार्व अंतर $d = 28 - 31 = -3$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र है:
$a_n = a + (n - 1)d$
मान रखने पर:
$0 = 31 + (n - 1)(-3)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3(n - 1) = 31$
$n - 1 = \frac{31}{3}$
$n = \frac{31}{3} + 1 = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए (जो पद की स्थिति को दर्शाता है),और $11 \frac{1}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $0$ दी गई $AP$ का कोई पद नहीं है।

(B) नहीं,यह कथन असत्य है। प्रत्येक $km$ के बाद कुल किराया ($Rs.$ में) इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$1$ $km$ के लिए: $15$
$2$ $km$ के लिए: $15 + 8 = 23$
$3$ $km$ के लिए: $15 + 2 \times 8 = 31$
$4$ $km$ के लिए: $15 + 3 \times 8 = 39$
अतः,कुल किराए का अनुक्रम $15, 23, 31, 39, \ldots$ है।
माना $t_1 = 15, t_2 = 23, t_3 = 31, t_4 = 39$ है।
अब,सार्व अंतर की गणना करने पर:
$t_2 - t_1 = 23 - 15 = 8$
$t_3 - t_2 = 31 - 23 = 8$
$t_4 - t_3 = 39 - 31 = 8$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है (सार्व अंतर $d = 8$),इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।

(A) $(i)$ एक छात्र से हर महीने ली जाने वाली फीस $400, 400, 400, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 400 - 400 = 0$ स्थिर है।
$(ii)$ कक्षा $I$ से $XII$ के लिए ली जाने वाली फीस $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ अर्थात $250, 300, 350, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 300 - 250 = 50$ स्थिर है।
$(iii)$ एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ है। हर साल के अंत में खाते में राशि $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ अर्थात $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 1100 - 1000 = 100$ स्थिर है।
$(iv)$ मान लीजिए बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या $x$ है। चूंकि वे हर सेकंड में दोगुने हो जाते हैं,इसलिए अनुक्रम $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ है। यहाँ,$t_2 - t_1 = x$ और $t_3 - t_2 = 2x$ है। चूंकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाती है।

(N/A) $(i)$ हाँ,यहाँ $a_{n}=2n-3$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=2(1)-3=-1$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=2(2)-3=1$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=2(3)-3=3$ है।
$n=4$ रखने पर,$a_{4}=2(4)-3=5$ है।
संख्याओं की सूची $-1, 1, 3, 5, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=1-(-1)=2$,$a_{3}-a_{2}=3-1=2$,और $a_{4}-a_{3}=5-3=2$ है।
चूँकि सार्व अंतर $d=2$ समान है,इसलिए $2n-3$ एक $AP$ का $n$ वाँ पद है।
$(ii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=3n^{2}+5$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=3(1)^{2}+5=8$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=3(2)^{2}+5=17$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=3(3)^{2}+5=32$ है।
संख्याओं की सूची $8, 17, 32, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=17-8=9$ और $a_{3}-a_{2}=32-17=15$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=1+n+n^{2}$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=1+1+(1)^{2}=3$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=1+2+(2)^{2}=7$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=1+3+(3)^{2}=13$ है।
संख्याओं की सूची $3, 7, 13, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=7-3=4$ और $a_{3}-a_{2}=13-7=6$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।

(D) यदि तीन पद $a, b, c$ एक $AP$ में हैं,तो $b - a = c - b$ होता है,जिसका अर्थ है $2b = a + c$।
दिए गए पद $n-2, 4n-1, 5n+2$ हैं।
प्रतिबंध $2(4n-1) = (n-2) + (5n+2)$ लागू करने पर।
$8n - 2 = 6n$।
$8n - 6n = 2$।
$2n = 2$।
अतः,$n = 1$।

(A) दिया गया $AP: -11, -7, -3, \ldots, 49$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -11$ और सार्व अंतर $d = -7 - (-11) = 4$ है।
अंतिम पद $a_n = 49$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$49 = -11 + (n - 1) \times 4$
$60 = (n - 1) \times 4$
$n - 1 = 15 \implies n = 16$.
चूंकि $n = 16$ एक सम संख्या है,इसलिए दो मध्य पद होंगे: $(\frac{n}{2})$ वां पद और $(\frac{n}{2} + 1)$ वां पद।
अर्थात $8$ वां पद और $9$ वां पद मध्य पद हैं।
$a_8 = a + 7d = -11 + 7(4) = -11 + 28 = 17$.
$a_9 = a + 8d = -11 + 8(4) = -11 + 32 = 21$.
अतः,मध्य पद $17$ और $21$ हैं।

(A) माना कि $AP$ के तीन पद $a-d, a, a+d$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन पदों का योग $33$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
साथ ही,प्रथम और तृतीय पद का गुणनफल दूसरे पद से $29$ अधिक है:
$(a-d)(a+d) = a + 29$
$a^2 - d^2 = a + 29$
$a = 11$ रखने पर:
$11^2 - d^2 = 11 + 29$
$121 - d^2 = 40$
$d^2 = 121 - 40 = 81$
$d = \pm 9$
स्थिति $1$: यदि $d = 9$ है,तो पद $11-9, 11, 11+9$ अर्थात $2, 11, 20$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $d = -9$ है,तो पद $11-(-9), 11, 11+(-9)$ अर्थात $20, 11, 2$ हैं।
अतः,$AP$ $2, 11, 20, \dots$ या $20, 11, 2, \dots$ है।

(A-B) $A_{1}: 2, -2, -6, -10, \ldots$
यहाँ,सार्व अंतर $d = a_{2} - a_{1} = -2 - 2 = -4$ है। अतः,$(A_{1}) \rightarrow (B_{4})$।
$A_{2}: a = -18, n = 10, a_{n} = 0$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$0 = -18 + (10 - 1)d \Rightarrow 18 = 9d \Rightarrow d = 2$। अतः,$(A_{2}) \rightarrow (B_{5})$।
$A_{3}: a = 0, a_{10} = 6$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$a_{10} = a + 9d \Rightarrow 6 = 0 + 9d \Rightarrow d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$। अतः,$(A_{3}) \rightarrow (B_{1})$।
$A_{4}: a_{2} = 13, a_{4} = 3$। सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + d = 13$ $(i)$
$a + 3d = 3$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13 \Rightarrow 2d = -10 \Rightarrow d = -5$। अतः,$(A_{4}) \rightarrow (B_{2})$।
अंतिम सुमेलन: $(A_{1}) \rightarrow (B_{4}), (A_{2}) \rightarrow (B_{5}), (A_{3}) \rightarrow (B_{1}), (A_{4}) \rightarrow (B_{2})$।

(N/A) यहाँ,$a_{1}=0, a_{2}=\frac{1}{4}, a_{3}=\frac{1}{2}$ और $a_{4}=\frac{3}{4}$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$a_{2}-a_{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$a_{4}-a_{3} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान $(d = \frac{1}{4})$ है,इसलिए दी गई श्रृंखला एक $AP$ बनाती है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$a_{6} = a_{5} + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(A) दी गई अनुक्रम: $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots$
यहाँ,$a_{1}=5, a_{2}=\frac{14}{3}, a_{3}=\frac{13}{3}$ और $a_{4}=4$ है।
सार्व अंतर की गणना करें:
$a_{2}-a_{1} = \frac{14}{3} - 5 = \frac{14-15}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{13}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{4}-a_{3} = 4 - \frac{13}{3} = \frac{12-13}{3} = -\frac{1}{3}$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है $(d = -\frac{1}{3})$,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = 4 + (-\frac{1}{3}) = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}$
$a_{6} = a_{5} + d = \frac{11}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} = 3$
अतः,अगले तीन पद $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3$ हैं।

(N/A) यहाँ,$a_{1}=\sqrt{3}, a_{2}=2 \sqrt{3}$ और $a_{3}=3 \sqrt{3}$ है।
सार्व अंतर की गणना करें:
$a_{2}-a_{1}=2 \sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$a_{3}-a_{2}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$
चूँकि $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{3}$,जो कि सार्व अंतर $(d)$ है,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ बनाती है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{4}=a_{3}+d=3 \sqrt{3}+\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$
$a_{5}=a_{4}+d=4 \sqrt{3}+\sqrt{3}=5 \sqrt{3}$
$a_{6}=a_{5}+d=5 \sqrt{3}+\sqrt{3}=6 \sqrt{3}$

(N/A) दी गई अनुक्रम: $a_1 = a+b, a_2 = a+1+b, a_3 = a+1+b+1$.
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$d_1 = a_2 - a_1 = (a+1+b) - (a+b) = 1$.
$d_2 = a_3 - a_2 = (a+1+b+1) - (a+1+b) = 1$.
चूंकि $d_1 = d_2 = 1$,सार्व अंतर समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_4 = a_3 + d = (a+1+b+1) + 1 = a+b+3 = (a+2)+(b+1)$.
$a_5 = a_4 + d = (a+b+3) + 1 = a+b+4 = (a+2)+(b+2)$.
$a_6 = a_5 + d = (a+b+4) + 1 = a+b+5 = (a+3)+(b+2)$.

(A) दी गई श्रेणी: $a_1 = a, a_2 = 2a+1, a_3 = 3a+2, a_4 = 4a+3$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$d_1 = a_2 - a_1 = (2a+1) - a = a+1$
$d_2 = a_3 - a_2 = (3a+2) - (2a+1) = a+1$
$d_3 = a_4 - a_3 = (4a+3) - (3a+2) = a+1$
चूंकि $d_1 = d_2 = d_3 = a+1$ है,इसलिए सार्व अंतर समान है। अतः,यह श्रेणी एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_5 = a_4 + d = (4a+3) + (a+1) = 5a+4$
$a_6 = a_5 + d = (5a+4) + (a+1) = 6a+5$
$a_7 = a_6 + d = (6a+5) + (a+1) = 7a+6$

दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \frac{1}{2}$ और सार्व अंतर $(d) = -\frac{1}{6}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = \frac{1}{2}$।
द्वितीय पद $(T_2) = a + d = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
तृतीय पद $(T_3) = a + 2d = \frac{1}{2} + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$।
अतः,अभीष्ट तीन पद $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ हैं।

(A) दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = -5$ और सार्व अंतर $(d) = -3$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = -5$ है।
द्वितीय पद $(T_2) = a + d = -5 + (-3) = -8$ है।
तृतीय पद $(T_3) = a + 2d = -5 + 2(-3) = -5 - 6 = -11$ है।
अतः,$AP$ के प्रथम तीन पद $-5, -8, -11$ हैं।

(A) दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \sqrt{2}$ और सार्व अंतर $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_{1}) = a = \sqrt{2}$ है।
द्वितीय पद $(T_{2}) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
तृतीय पद $(T_{3}) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अभीष्ट तीन पद $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) यहाँ दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \sqrt{2}$ और सार्व अंतर $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = \sqrt{2}$.
दूसरा पद $(T_2) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2+1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
तीसरा पद $(T_3) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 2}{\sqrt{2}} = \frac{2+2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
अतः,प्रथम तीन पद $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) चूंकि $a, 7, b, 23, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए सार्व अंतर $d$ समान होगा।
$d = 7 - a = b - 7 = 23 - b = c - 23$।
$b - 7 = 23 - b$ लेने पर,$2b = 30$ प्राप्त होता है,अतः $b = 15$।
$7 - a = b - 7$ में $b = 15$ रखने पर:
$7 - a = 15 - 7 = 8$,जिससे $a = 7 - 8 = -1$ प्राप्त होता है।
$c - 23 = 23 - b$ में $b = 15$ रखने पर:
$c - 23 = 23 - 15 = 8$,जिससे $c = 8 + 23 = 31$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -1, b = 15, c = 31$।

(N/A) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है,$a_{5} = 19$ और $a_{13} - a_{8} = 20$.
सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हुए:
पाँचवें पद के लिए: $a + 4d = 19$ ........$(i)$
तेरहवें और आठवें पद के अंतर के लिए: $(a + 12d) - (a + 7d) = 20$
$5d = 20$
$d = 4$
समीकरण $(i)$ में $d = 4$ रखने पर:
$a + 4(4) = 19$
$a + 16 = 19$
$a = 3$
$AP$ का रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
मान रखने पर: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
अतः,अभीष्ट $AP$ $3, 7, 11, 15, \dots$ है।

(C) माना कि प्रथम पद $a$,सार्व अंतर $d$ और पदों की संख्या $n$ है।
$AP$ का $n$ वां पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $26$ वां पद $0$ है:
$a + 25d = 0$ .... $(i)$
दिया गया है कि $11$ वां पद $3$ है:
$a + 10d = 3$ .... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(a + 25d) - (a + 10d) = 0 - 3$
$15d = -3$
$d = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$
$d = -\frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 25(-\frac{1}{5}) = 0$
$a - 5 = 0$
$a = 5$
दिया गया है कि अंतिम पद $l = -\frac{1}{5}$ है:
$l = a + (n-1)d$
$-\frac{1}{5} = 5 + (n-1)(-\frac{1}{5})$
पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर:
$-1 = 25 - (n-1)$
$-1 = 25 - n + 1$
$-1 = 26 - n$
$n = 27$
अतः,सार्व अंतर $-\frac{1}{5}$ है और पदों की संख्या $27$ है।

(D) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$a_5 + a_7 = 52$ और $a_{10} = 46$ है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$(a + 4d) + (a + 6d) = 52$
$2a + 10d = 52$
$a + 5d = 26$ ..... $(i)$
साथ ही,$a_{10} = 46$:
$a + 9d = 46$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 46 - 26$
$4d = 20$
$d = 5$
समीकरण $(i)$ में $d = 5$ रखने पर:
$a + 5(5) = 26$
$a + 25 = 26$
$a = 1$
$AP$ का रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
मान रखने पर: $1, 1+5, 1+10, 1+15, \ldots$
अतः,$AP$ $1, 6, 11, 16, \ldots$ है।

(A) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि प्रथम पद $a = 12$ है।
प्रश्न के अनुसार,$7$ वाँ पद $(T_7)$,$11$ वें पद $(T_{11})$ से $24$ कम है।
अतः,$T_7 = T_{11} - 24$.
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + 6d = (a + 10d) - 24$.
दोनों पक्षों से $a$ घटाने पर,हमें $6d = 10d - 24$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4d = 24$,जिससे $d = 6$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $20$ वाँ पद $(T_{20})$ ज्ञात करना है:
$T_{20} = a + (20-1)d = a + 19d$.
$a = 12$ और $d = 6$ का मान रखने पर:
$T_{20} = 12 + 19(6) = 12 + 114 = 126$.
अतः,$AP$ का $20$ वाँ पद $126$ है।

(N/A) माना कि $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
दिया गया है कि $9$ वाँ पद शून्य है,अतः $T_9 = 0$ है।
$a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0$
$a = -8d$ ....$(i)$
अब,$19$ वाँ पद $(T_{19})$ ज्ञात करते हैं:
$T_{19} = a + (19 - 1)d$
$T_{19} = a + 18d$
समीकरण $(i)$ से $a = -8d$ रखने पर:
$T_{19} = -8d + 18d = 10d$ ....$(ii)$
अब,$29$ वाँ पद $(T_{29})$ ज्ञात करते हैं:
$T_{29} = a + (29 - 1)d$
$T_{29} = a + 28d$
समीकरण $(i)$ से $a = -8d$ रखने पर:
$T_{29} = -8d + 28d = 20d$ ....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से:
$T_{29} = 20d = 2 \times (10d) = 2 \times T_{19}$ है।
अतः,$29$ वाँ पद उसके $19$ वें पद का दोगुना है।