Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
શ્રેણી $2, 5, 8, 11, \ldots$ માટે:
$T_2 - T_1 = 5 - 2 = 3$
$T_3 - T_2 = 8 - 5 = 3$
$T_4 - T_3 = 11 - 8 = 3$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અચળ હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.
અન્ય વિકલ્પો માટે:
$A$: $4-2=2$,$8-4=4$ (અચળ નથી)
$B$: $0-3=-3$,$3-0=3$ (અચળ નથી)
$D$: $4-0=4$,$-4-4=-8$ (અચળ નથી)
તેથી,$2, 5, 8, 11, \ldots$ એ સાચી સમાંતર શ્રેણી છે.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,જ્યારે $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$. અહીં $-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $B$: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$,$0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$,અને $-\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$. અહીં સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{1}{2}$ સમાન હોવાથી,આ $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$: $6 - (-3) = 9$,જ્યારે $-6 - 6 = -12$. અહીં $9 \neq -12$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $D$: $\frac{1}{5} - 5 = -\frac{24}{5}$,જ્યારે $3 - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$. અહીં $-\frac{24}{5} \neq \frac{14}{5}$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ અચળ તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $-3 - (-1) = -2$,$-5 - (-3) = -2$,$-7 - (-5) = -2$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $15 - 20 = -5$,$10 - 15 = -5$,$5 - 10 = -5$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $-2 - 2 = -4$,$-6 - (-2) = -4$,$-10 - (-6) = -4$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$,જ્યારે $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3-4}{12} = -\frac{1}{12}$. અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ નથી.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,શ્રેણીને $a, a+d, a+2d, \dots$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,પ્રથમ પદને $a$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $0 - 1 = -1$,$-1 - 0 = -1$,$-2 - (-1) = -1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = -1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $6 - 7 = -1$,$5 - 6 = -1$,$4 - 5 = -1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = -1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $0 - 1 = -1$,પરંતુ $1 - 0 = 1$. અહીં તફાવત સમાન નથી $(-1 \neq 1)$,તેથી તે $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $-9 - (-10) = 1$,$-8 - (-9) = 1$,$-7 - (-8) = 1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = 1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
તેથી,શ્રેણી $1, 0, 1, 0, \ldots$ એ $A.P.$ નથી.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી હોય છે કે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે.
આ અચળ તફાવતને $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય તફાવતને $d$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવાની પ્રમાણિત ગાણિતિક પદ્ધતિ છે.
તેથી,બે ક્રમિક પદો $(a_{n} - a_{n-1})$ વચ્ચેના તફાવતને $d$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,$n$ માં પદને સામાન્ય રીતે $a_n$ અથવા $T_n$ સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$a$ એ પ્રથમ પદ છે,$d$ એ સામાન્ય તફાવત છે,અને $n$ એ શ્રેણીમાં પદનું સ્થાન દર્શાવે છે.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો સંકેત $T_n$ છે.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $-2, -4, -6, -8, \ldots$ છે.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ શોધવા માટે,આપણે બીજા પદ $(T_2)$ માંથી પ્રથમ પદ $(T_1)$ બાદ કરીશું.
$d = T_2 - T_1$
$d = -4 - (-2)$
$d = -4 + 2$
$d = -2$
તેથી,સામાન્ય તફાવત $-2$ છે.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 0$ અને બીજું પદ $T_2 = \frac{1}{2}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = T_2 - T_1$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $0.1, 0.4, 0.7, 1, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = 0.1$,બીજું પદ $a_2 = 0.4$ અને ત્રીજું પદ $a_3 = 0.7$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$d = a_2 - a_1 = 0.4 - 0.1 = 0.3$
વૈકલ્પિક રીતે,$d = a_3 - a_2 = 0.7 - 0.4 = 0.3$
આમ,સામાન્ય તફાવત $0.3$ છે.

(C) $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત દ્વારા મળે છે,$d = a_{n} - a_{n-1}$.
અહીં આપેલ $A.P.$ $\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, \frac{11}{2}, \frac{15}{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{3}{2}$ અને બીજું પદ $a_2 = \frac{7}{2}$ છે.
તેથી,$d = a_2 - a_1 = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$.
$d = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $2$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,પ્રથમ પદ '$a$' અને સામાન્ય તફાવત '$d$' લો.
$A.P.$ નું $n^{th}$ પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં '$n$' એ શ્રેણીમાં પદનું સ્થાન દર્શાવે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે.

(B) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = 3n - 1$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીના પ્રથમ બે પદોની ગણતરી કરીએ છીએ.
$n = 1$ માટે,$T_{1} = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$n = 2$ માટે,$T_{2} = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
સામાન્ય તફાવત $d$ ની વ્યાખ્યા $d = T_{2} - T_{1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 5 - 2 = 3$.
આમ,$A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $3$ છે.

(D) $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = 6n - 5$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10^{th}$ પદ શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદમાં $n = 10$ મૂકીશું.
$T_{10} = 6(10) - 5$
$T_{10} = 60 - 5$
$T_{10} = 55$
આમ,$A.P.$ નું $10^{th}$ પદ $55$ છે.

(D) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$15$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 15$,$a = 5$ અને $d = 3$ મૂકીએ:
$T_{15} = 5 + (15 - 1) \times 3$
$T_{15} = 5 + (14) \times 3$
$T_{15} = 5 + 42$
$T_{15} = 47$.
તેથી,$A.P.$ નું $15$ મું પદ $47$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = -4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -5$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$12$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 12$,$a = -4$ અને $d = -5$ મૂકીએ:
$T_{12} = -4 + (12 - 1)(-5)$
$T_{12} = -4 + (11)(-5)$
$T_{12} = -4 - 55$
$T_{12} = -59$.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
આપેલ $A.P.$ માં: $100, 98, 96, 94, \ldots$
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદને '$a$' વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
શ્રેણીનું અવલોકન કરતા,પ્રથમ પદ $100$ છે.
તેથી,$a = 100$.

(C) $4$ ના ધન ગુણકો $4, 8, 12, 16, \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 4$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ એ $4$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
અહીં,$a = -3$ અને $d = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ = $-3$
બીજું પદ = $a + d = -3 + 4 = 1$
ત્રીજું પદ = $a + 2d = -3 + 2(4) = -3 + 8 = 5$
ચોથું પદ = $a + 3d = -3 + 3(4) = -3 + 12 = 9$
આમ,માંગેલ $A.P.$ એ $-3, 1, 5, 9, \ldots$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$) $2, 2, 2, 2, \ldots$: અહીં,$d = 2 - 2 = 0$. સામાન્ય તફાવત સમાન $(0)$ હોવાથી,આ એક $A.P.$ છે.
$B$) $0, 1, 0, 1, \ldots$: અહીં,$1 - 0 = 1$ અને $0 - 1 = -1$. $1 \neq -1$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
$C$) $-3, -2, -1, 0, \ldots$: અહીં,$d = -2 - (-3) = 1$ અને $-1 - (-2) = 1$. સામાન્ય તફાવત સમાન $(1)$ હોવાથી,આ પણ એક $A.P.$ છે.
નોંધ: વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સમાંતર શ્રેણી છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે $C$ ને વધુ યોગ્ય ગણવામાં આવે છે.

(B) $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે,$T_{20} = 40$ અને $d = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = a + (20-1)2$.
$40 = a + 19 \times 2$.
$40 = a + 38$.
$a = 40 - 38 = 2$.
હવે,બીજું પદ $T_2 = a + d$.
$T_2 = 2 + 2 = 4$.
તેથી,બીજું પદ $4$ છે.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
$18$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 18$ મૂકીશું:
$T_{18} = a + (18 - 1)d$
$T_{18} = a + 17d$.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માટે: $5, 10, 15, 20, \ldots$
પ્રથમ પદ $(a)$ $5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ ની ગણતરી $d = 10 - 5 = 5$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
સૂત્રમાં $a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T_n = 5 + (n - 1)5$
$T_n = 5 + 5n - 5$
$T_n = 5n$
તેથી,$n$ મું પદ $5n$ છે.

(A) અહીં સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $200, 196, 192, \ldots$ છે.
અહીં પ્રથમ પદ $a = 200$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 196 - 200 = -4$ છે.
આપણે એવું પદ $n$ શોધવાનું છે કે જેના માટે $n$ મું પદ $T_n = 0$ થાય.
$A.P.$ ના $n$ મા પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$0 = 200 + (n - 1)(-4)$ મળે.
$200 = 4(n - 1)$.
$50 = n - 1$.
$n = 51$.
આમ,આ સમાંતર શ્રેણીનું $51$ મું પદ $0$ છે.

(C) અહીં $A.P.$ $8, 11, 14, 17, \ldots$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a = 8$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 8 = 3$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $T_n = 272$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$272 = 8 + (n - 1)3$
$272 - 8 = (n - 1)3$
$264 = (n - 1)3$
$n - 1 = 264 / 3$
$n - 1 = 88$
$n = 89$.
આમ,$A.P.$ નું $89$ મું પદ $272$ છે.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,$n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $T_{n} = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
$m$ માં પદ માટે: $T_{m} = a + (m - 1)d$.
$n$ માં પદ માટે: $T_{n} = a + (n - 1)d$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$T_{m} - T_{n} = [a + (m - 1)d] - [a + (n - 1)d]$
$T_{m} - T_{n} = (m - 1 - n + 1)d$
$T_{m} - T_{n} = (m - n)d$
તેથી,સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$.

(B) $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે $T_7 = 108$ અને $T_{11} = 212$.
સામાન્ય તફાવત $d$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે: $d = \frac{T_{11} - T_7}{11 - 7} = \frac{212 - 108}{4} = \frac{104}{4} = 26$.
હવે,$T_n = T_7 + (n - 7)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = 108 + (n - 7) \times 26$.
$T_n = 108 + 26n - 182$.
$T_n = 26n - 74$.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોય છે,જેને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
જો $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d \neq 0$ હોય,તો શ્રેણીનું દરેક પદ ભિન્ન હોય છે.
જો $A.P.$ ના બે પદો સમાન હોય,ધારો કે $n \neq m$ માટે $a_n = a_m$,તો $a + (n-1)d = a + (m-1)d$ થાય.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $(n-1)d = (m-1)d$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(n-m)d = 0$.
અહીં $n \neq m$ હોવાથી,$d = 0$ હોવું જોઈએ.
જોકે,પ્રશ્નમાં '$A.P.$ ના ભિન્ન પદો' નો ઉલ્લેખ છે,જેનો અર્થ છે કે પદો એકબીજાથી અલગ હોવા જોઈએ.
તેથી,$A.P.$ ના બે ભિન્ન પદો ક્યારેય સમાન હોઈ શકે નહીં.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $a = -3$
બીજું પદ: $a + d = -3 + (-2) = -5$
ત્રીજું પદ: $a + 2d = -3 + 2(-2) = -3 - 4 = -7$
ચોથું પદ: $a + 3d = -3 + 3(-2) = -3 - 6 = -9$
આમ,સમાંતર શ્રેણી $-3, -5, -7, -9, \ldots$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ અચળ તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $3, 3, 3, 3, \ldots$. અહીં,$d = 3 - 3 = 0$. તફાવત સમાન હોવાથી,આ એક $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$: $2, 22, 222, 2222, \ldots$. અહીં,$22 - 2 = 20$ અને $222 - 22 = 200$. $20 \neq 200$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $C$: $5, 15, 25, 35, \ldots$. અહીં,$15 - 5 = 10$ અને $25 - 15 = 10$. આ પણ $d = 10$ સાથેની એક $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $D$: $4, -4, 4, -4, \ldots$. અહીં,$-4 - 4 = -8$ અને $4 - (-4) = 8$. $-8 \neq 8$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
નોંધ: ગાણિતિક રીતે $A$ અને $C$ બંને સમાંતર શ્રેણી છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકોમાં $C$ ને વધુ યોગ્ય ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(D) આપેલ $A.P.$ $2, 7, 12, 17, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 2 = 5$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદ માટેનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T_n = 2 + (n - 1)5$ મળે છે.
$T_n = 2 + 5n - 5$.
$T_n = 5n - 3$.

(C) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_{n} = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_{7} = 12$ અને $T_{12} = 72$ આપેલ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = \frac{T_{n} - T_{m}}{n - m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{T_{12} - T_{7}}{12 - 7}$.
$d = \frac{72 - 12}{5}$.
$d = \frac{60}{5} = 12$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ ની કિંમત $12$ છે.

(B) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1} + T_{n}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,પ્રથમ $(n-1)$ પદોનો સરવાળો $S_{n-1} = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,આપણને મળે છે:
$S_{n} - S_{n-1} = (T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1} + T_{n}) - (T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1})$
$S_{n} - S_{n-1} = T_{n}$.
આમ,$n > 1$ માટે,$n$ મું પદ $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણી $1, 2, 3, \dots, n$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
આ સૂત્રમાં $a = 1$ અને $d = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
આમ, પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે.

(A) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે: $1, 3, 5, 7, \dots, (2n-1)$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3 - 1 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $a = 1$ અને $d = 2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$
$S_n = n^2$.
તેથી,પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ થાય છે.

(A) પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય તફાવત $d = 2$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} \times 2(n + 1)$.
$S_n = n(n + 1) = n^2 + n$.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો,જ્યાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે,તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
આને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$S_{n} = \frac{1}{2} n[2a + (n - 1)d]$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચું સૂત્ર છે.

(A) $n$ પદો ધરાવતી શાંત સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માટે,ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $l$ એ અંતિમ પદ (જેને $a_{n}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે) છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
કારણ કે અંતિમ પદ $l = a + (n-1)d$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$S_{n} = \frac{n}{2} [a + a + (n-1)d]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [a + l]$
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{2} n(a+l)$ છે.

(A) અહીં $A.P.$ $5, 11, 17, 23, \ldots$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 11 - 5 = 6$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 20$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(5) + (20 - 1)6]$.
$S_{20} = 10 [10 + (19 \times 6)]$.
$S_{20} = 10 [10 + 114]$.
$S_{20} = 10 [124] = 1240$.

(C) આપેલ $A.P.$ $-2, 1, 4, 7, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -2$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(-2) + (n-1)3]$
$S_n = \frac{n}{2}[-4 + 3n - 3]$
$S_n = \frac{n(3n - 7)}{2}$.

(D) $6$ ના પ્રથમ $30$ ધન ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$30$ મું પદ (અંતિમ પદ) $l = 6 \times 30 = 180$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
અહીં $n = 30$,$a = 6$ અને $l = 180$ કિંમતો મૂકતા:
$S_{30} = \frac{30}{2}(6 + 180)$
$S_{30} = 15 \times 186$
$S_{30} = 2790$.

(A) આપેલ $A.P.$ $2, -2, -6, -10, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = -2 - 2 = -4$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$20$ મું પદ શોધવા માટે $(n = 20)$:
$a_{20} = 2 + (20 - 1)(-4)$
$a_{20} = 2 + (19)(-4)$
$a_{20} = 2 - 76$
$a_{20} = -74$.
તેથી,$20$ મું પદ $-74$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $-10, -12, -14, -16, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -10$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -12 - (-10) = -12 + 10 = -2$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 15$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{15} = \frac{15}{2} [2(-10) + (15 - 1)(-2)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-20 + (14)(-2)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-20 - 28]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-48]$.
$S_{15} = 15 \times (-24) = -360$.
તેથી,પ્રથમ $15$ પદોનો સરવાળો $-360$ થાય છે.

(A) અહીં $A.P.$ $1, 1.5, 2, \ldots$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a = 1$.
સામાન્ય તફાવત $d = 1.5 - 1 = 0.5$.
પદોની સંખ્યા $n = 16$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16 - 1)0.5]$.
$S_{16} = 8[2 + 15 \times 0.5]$.
$S_{16} = 8[2 + 7.5]$.
$S_{16} = 8 \times 9.5 = 76$.

(B) આપેલ શ્રેણી $3+6+9+\ldots+300$ છે.
આપણે શ્રેણીમાંથી $3$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$3(1+2+3+\ldots+100)$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
અહીં,$n = 100$ છે,તેથી $1+2+3+\ldots+100$ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$ થાય.
આને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $3 \times 5050 = 15,150$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $7, 12, 17, \ldots, 102$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 7$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 12 - 7 = 5$ છે.
અંતિમ પદ $l = a_n = 102$ છે.
$n$-માં પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $102 = 7 + (n - 1)5$.
$102 - 7 = (n - 1)5 \implies 95 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 19 \implies n = 20$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{20} = \frac{20}{2}(7 + 102) = 10 \times 109 = 1090$.

(B) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય તફાવત $d = 2$,અને પદોની સંખ્યા $n = 10$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(1) + (10 - 1)2]$
$S_{10} = 5 [2 + (9 \times 2)]$
$S_{10} = 5 [2 + 18]$
$S_{10} = 5 \times 20 = 100$.
તેથી,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $100$ થાય છે.

(D) અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ આપેલ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $n = 30$,$a = 2$,અને $d = 3$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(2) + (30 - 1)3]$
$S_{30} = 15 [4 + (29 \times 3)]$
$S_{30} = 15 [4 + 87]$
$S_{30} = 15 \times 91$
$S_{30} = 1365$.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
અહીં $S_{20} = 100$,$n = 20$ અને $d = -2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$100 = \frac{20}{2} [2a + (20 - 1)(-2)]$
$100 = 10 [2a + (19)(-2)]$
$100 = 10 [2a - 38]$
બંને બાજુ $10$ વડે ભાગતા:
$10 = 2a - 38$
$2a = 10 + 38$
$2a = 48$
$a = 24$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
અહીં $S_{10} = 50$,$n = 10$,અને $a = 0.5$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$50 = \frac{10}{2} [2(0.5) + (10 - 1)d]$
$50 = 5 [1 + 9d]$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$10 = 1 + 9d$
$9 = 9d$
$d = 1$.