Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) આપેલ $AP$ (સમાંતર શ્રેણી) $5, 8, 11, 14, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 5 = 3$ છે.
આપણે $10$ મું પદ $(a_{10})$ શોધવાનું છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો $a = 5$,$n = 10$,અને $d = 3$ મૂકતા:
$a_{10} = 5 + (10 - 1) \times 3$
$a_{10} = 5 + 9 \times 3$
$a_{10} = 5 + 27$
$a_{10} = 32$.
તેથી,$10$ મું પદ $32$ છે.

(B) $AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ કિંમતો $a = -7.2$,$d = 3.6$ અને $a_{n} = 7.2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$7.2 = -7.2 + (n - 1)(3.6)$
બંને બાજુ $7.2$ ઉમેરતા:
$7.2 + 7.2 = (n - 1)(3.6)$
$14.4 = (n - 1)(3.6)$
બંને બાજુ $3.6$ વડે ભાગતા:
$\frac{14.4}{3.6} = n - 1$
$4 = n - 1$
$n = 4 + 1$
$n = 5$

(C) $AP$ માં,$n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ કિંમતો $d = -4$,$n = 7$,અને $a_{n} = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = a + (7 - 1)(-4)$
$4 = a + (6)(-4)$
$4 = a - 24$
$a = 4 + 24$
$a = 28$.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 3.5$,$d = 0$ અને $n = 101$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{101} = 3.5 + (101 - 1) \times 0$
$a_{101} = 3.5 + 100 \times 0$
$a_{101} = 3.5 + 0$
$a_{101} = 3.5$
તેથી,$AP$ નું $101$ મું પદ $3.5$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $-10, -6, -2, 2, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = -10$,બીજું પદ $a_2 = -6$,ત્રીજું પદ $a_3 = -2$ અને ચોથું પદ $a_4 = 2$ છે.
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધીએ છીએ:
$d_1 = a_2 - a_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$
$d_2 = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = 4)$ હોવાથી,આપેલ સંખ્યાઓની યાદી $d = 4$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $AP$ બનાવે છે.

(B) આપેલ $AP: -5, \frac{-5}{2}, 0, \frac{5}{2}, \dots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{-5}{2} - (-5) = \frac{-5}{2} + 5 = \frac{-5 + 10}{2} = \frac{5}{2}$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$11$ મું પદ $(n = 11)$ શોધવા માટે:
$a_{11} = -5 + (11 - 1) \times \frac{5}{2}$
$a_{11} = -5 + 10 \times \frac{5}{2}$
$a_{11} = -5 + 5 \times 5$
$a_{11} = -5 + 25$
$a_{11} = 20$.

(C) $AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
આ કિંમતોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $a = -2$
બીજું પદ: $a + d = -2 + (-2) = -4$
ત્રીજું પદ: $a + 2d = -2 + 2(-2) = -2 - 4 = -6$
ચોથું પદ: $a + 3d = -2 + 3(-2) = -2 - 6 = -8$
આમ,પ્રથમ ચાર પદો $-2, -4, -6, -8$ છે.

(A) આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $a = -3$ છે.
બીજું પદ $a + d = 4$ છે.
બીજા પદના સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $-3 + d = 4$.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $d = 4 + 3 = 7$ મળે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$21$ માં પદ માટે $(n = 21)$:
$a_{21} = -3 + (21 - 1) \times 7$.
$a_{21} = -3 + 20 \times 7$.
$a_{21} = -3 + 140$.
$a_{21} = 137$.

(A) આપેલ છે કે,$2^{\text{nd}}$ પદ $a_2 = 13$ અને $5^{\text{th}}$ પદ $a_5 = 25$ છે.
$AP$ ના $n^{\text{th}}$ પદના સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + d = 13$ .....$(i)$
$a + 4d = 25$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 4d) - (a + d) = 25 - 13$
$3d = 12$
$d = 4$
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 4 = 13$
$a = 9$
હવે,$7^{\text{th}}$ પદ $a_7$ શોધતા:
$a_7 = a + (7 - 1)d$
$a_7 = 9 + 6(4)$
$a_7 = 9 + 24 = 33$
આમ,$7^{\text{th}}$ પદ $33$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ $AP$ નું $n$ મું પદ $210$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 21$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 42 - 21 = 21$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $210 = 21 + (n - 1)21$.
$210 = 21 + 21n - 21$.
$210 = 21n$.
$n = 210 / 21 = 10$.
તેથી,$AP$ નું $10$ મું પદ $210$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
હવે,આપણે $a_{18} - a_{13}$ શોધવાનું છે.
$a_{18} = a + (18 - 1)d = a + 17d$
$a_{13} = a + (13 - 1)d = a + 12d$
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$a_{18} - a_{13} = (a + 17d) - (a + 12d)$
$a_{18} - a_{13} = 17d - 12d = 5d$
$d = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{18} - a_{13} = 5 \times 5 = 25$.

(D) આપેલ છે કે,$a_{18}-a_{14}=32$.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + (18-1)d - [a + (14-1)d] = 32$
$a + 17d - a - 13d = 32$
$4d = 32$
$d = 32 / 4 = 8$
આમ,$AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d = 8$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a_1 = -1$ છે અને બીજા $AP$ નું પ્રથમ પદ $a_2 = -8$ છે.
ધારો કે બંને $AP$ માટે સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $AP$ નું $4$ થું પદ $T_4 = a_1 + (4 - 1)d = -1 + 3d$ થશે.
બીજા $AP$ નું $4$ થું પદ $T'_4 = a_2 + (4 - 1)d = -8 + 3d$ થશે.
તેમના $4$ થા પદ વચ્ચેનો તફાવત $(a_1 + 3d) - (a_2 + 3d) = a_1 - a_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(-1) - (-8) = -1 + 8 = 7$ મળે.
આમ,તેમના $4$ થા પદ વચ્ચેનો તફાવત $7$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AP$ ના $7$ માં પદના $7$ ગણા તેના $11$ માં પદના $11$ ગણા બરાબર છે.
$7 a_{7} = 11 a_{11}$
$AP$ ના $n$ માં પદના સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7[a + (7 - 1)d] = 11[a + (11 - 1)d]$
$7(a + 6d) = 11(a + 10d)$
$7a + 42d = 11a + 110d$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$11a - 7a + 110d - 42d = 0$
$4a + 68d = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$a + 17d = 0$
આપણે $18$ મું પદ $(a_{18})$ શોધવાનું છે:
$a_{18} = a + (18 - 1)d = a + 17d$
કારણ કે $a + 17d = 0$,તેથી $a_{18} = 0$.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના અંતથી $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર:
$a_n = l - (n - 1)d$
જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે,$n$ એ અંતથી પદનો ક્રમ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ $AP: -11, -8, -5, \dots, 49$ માં,અંતિમ પદ $l = 49$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$ છે.
આપણે અંતથી $4$ થું પદ શોધવાનું છે,તેથી $n = 4$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a_4 = 49 - (4 - 1) \times 3$
$a_4 = 49 - (3 \times 3)$
$a_4 = 49 - 9 = 40$.
આમ,અંતથી $4$ થું પદ $40$ છે.

(D) પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા સાથે સંકળાયેલ પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ છે.
એક કિસ્સા મુજબ,જ્યારે તેઓ વિદ્યાર્થી હતા ત્યારે તેમણે પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$ નો સરવાળો સંખ્યાઓની જોડી બનાવીને ઝડપથી કર્યો હતો: $(1 + 100) + (2 + 99) + \dots + (50 + 51) = 101 \times 50 = 5050$.

(A) આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $a = -5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આપણે પ્રથમ $n = 6$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $n = 6$,$a = -5$,અને $d = 2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{6} = \frac{6}{2} [2(-5) + (6 - 1)(2)]$
$S_{6} = 3 [-10 + 5(2)]$
$S_{6} = 3 [-10 + 10]$
$S_{6} = 3(0) = 0$.
આમ,પ્રથમ $6$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે.

(B) આપેલ $AP$ એ $10, 6, 2, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 10$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6 - 10 = -4$ છે.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 16$ માટે:
$S_{16} = \frac{16}{2}[2(10) + (16 - 1)(-4)]$
$S_{16} = 8[20 + 15(-4)]$
$S_{16} = 8[20 - 60]$
$S_{16} = 8(-40) = -320$.

(C) $AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + a_{n})$ છે.
અહીં $a = 1$,$a_{n} = 20$ અને $S_{n} = 399$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$399 = \frac{n}{2}(1 + 20)$
$399 = \frac{n}{2}(21)$
$399 = 10.5n$
$n = \frac{399}{10.5}$
$n = 38$.
આમ,$n$ ની કિંમત $38$ છે.

(D) $3$ ના પ્રથમ પાંચ ગુણકો $3, 6, 9, 12$ અને $15$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_5 = \frac{5}{2} [2(3) + (5 - 1)3]$
$S_5 = \frac{5}{2} [6 + 4(3)]$
$S_5 = \frac{5}{2} [6 + 12]$
$S_5 = \frac{5}{2} [18]$
$S_5 = 5 \times 9 = 45$.

(B) $AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = a_{n} - a_{n-1}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આપેલ $AP: 10, 5, 0, -5, \ldots$ માટે:
$a_{2} - a_{1} = 5 - 10 = -5$
$a_{3} - a_{2} = 0 - 5 = -5$
$a_{4} - a_{3} = -5 - 0 = -5$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $d = -5$ સાથે $AP$ બનાવે છે.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ હેઠળ રકમ $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = P(1 + r/100)^n$ છે,જ્યાં $P = 1000$,$r = 10$,અને $n$ એ વર્ષોની સંખ્યા છે.
પ્રથમ વર્ષના અંતે રકમ: $A_1 = 1000(1 + 10/100)^1 = 1000(1.1) = 1100$.
બીજા વર્ષના અંતે રકમ: $A_2 = 1000(1 + 10/100)^2 = 1000(1.21) = 1210$.
ત્રીજા વર્ષના અંતે રકમ: $A_3 = 1000(1 + 10/100)^3 = 1000(1.331) = 1331$.
રકમની શ્રેણી $1100, 1210, 1331, \ldots$ છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત શોધીએ:
$A_2 - A_1 = 1210 - 1100 = 110$.
$A_3 - A_2 = 1331 - 1210 = 121$.
અહીં $A_2 - A_1 \neq A_3 - A_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.

(A) $(i)$ અહીં,$t_{1} = -1, t_{2} = -1, t_{3} = -1$ અને $t_{4} = -1$ છે.
$t_{2} - t_{1} = -1 - (-1) = 0$
$t_{3} - t_{2} = -1 - (-1) = 0$
$t_{4} - t_{3} = -1 - (-1) = 0$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 0$ સમાન હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવે છે.
$(ii)$ અહીં,$t_{1} = 0, t_{2} = 2, t_{3} = 0$ અને $t_{4} = 2$ છે.
$t_{2} - t_{1} = 2 - 0 = 2$
$t_{3} - t_{2} = 0 - 2 = -2$
અહીં $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iii)$ અહીં,$t_{1} = 1, t_{2} = 1, t_{3} = 2$ અને $t_{4} = 2$ છે.
$t_{2} - t_{1} = 1 - 1 = 0$
$t_{3} - t_{2} = 2 - 1 = 1$
અહીં $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.

(I, IV) $(i)$ અહીં,$t_1 = 11, t_2 = 22, t_3 = 33$ છે.
$t_2 - t_1 = 22 - 11 = 11$.
$t_3 - t_2 = 33 - 22 = 11$.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 11$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
$(ii)$ અહીં,$t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{3}, t_3 = \frac{1}{4}$ છે.
$t_2 - t_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
$t_3 - t_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$.
અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iii)$ શ્રેણી $2, 4, 8, 16, \ldots$ છે.
$t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$.
$t_3 - t_2 = 8 - 4 = 4$.
અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iv)$ શ્રેણી $\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots$ છે.
$t_2 - t_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_3 - t_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_4 - t_3 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{3}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.

(B) અસત્ય.
અહીં,$a_{1} = -1, a_{2} = -\frac{3}{2}, a_{3} = -2$ અને $a_{4} = \frac{5}{2}$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = -\frac{3}{2} - (-1) = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$a_{3} - a_{2} = -2 - (-\frac{3}{2}) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$a_{4} - a_{3} = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
કોઈપણ શ્રેણી $AP$ હોવા માટે,તેના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
જોકે $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = -\frac{1}{2}$ છે,પરંતુ $a_{4} - a_{3} = \frac{9}{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત સમગ્ર શ્રેણીમાં સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.

(A) હા,આ કિંમત સીધી રીતે શોધવી શક્ય છે.
$AP$ નું $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$ અને $a_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$ થાય.
બંને પદોની બાદબાકી કરતા: $a_{30} - a_{20} = (a + 29d) - (a + 19d) = 10d$.
આપેલ $AP$ પરથી,સામાન્ય તફાવત $d = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4$ મળે છે.
$d$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા: $a_{30} - a_{20} = 10(-4) = -40$.

(N/A) ધારો કે બંને $APs$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a_1 = 2$ અને બીજી $AP$ નું પ્રથમ પદ $b_1 = 7$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $AP$ માટે,$n$ મું પદ $a_n = 2 + (n-1)d$ છે.
બીજી $AP$ માટે,$n$ મું પદ $b_n = 7 + (n-1)d$ છે.
તેમના $n$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત $b_n - a_n = [7 + (n-1)d] - [2 + (n-1)d] = 7 - 2 = 5$ થાય છે.
તફાવત $n$ પર આધારિત ન હોવાથી,કોઈપણ બે અનુરૂપ પદો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા $5$ રહે છે.
આમ,$10$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત $5$ છે અને $21$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત પણ $5$ છે.

(N/A) ધારો કે $0$ એ આપેલ $AP$ નું $n$ મું પદ છે,એટલે કે $a_n = 0$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 31$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 28 - 31 = -3$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર:
$a_n = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા:
$0 = 31 + (n - 1)(-3)$
પદોને ગોઠવતા:
$3(n - 1) = 31$
$n - 1 = \frac{31}{3}$
$n = \frac{31}{3} + 1 = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$
અહીં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ (જે પદનો ક્રમ દર્શાવે છે),અને $11 \frac{1}{3}$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $0$ એ આપેલ $AP$ નું પદ નથી.

(B) ના,આ વિધાન ખોટું છે. દરેક $km$ પછીનું કુલ ભાડું ($Rs.$ માં) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$ $km$ માટે: $15$
$2$ $km$ માટે: $15 + 8 = 23$
$3$ $km$ માટે: $15 + 2 \times 8 = 31$
$4$ $km$ માટે: $15 + 3 \times 8 = 39$
આમ,કુલ ભાડાની શ્રેણી $15, 23, 31, 39, \ldots$ છે.
ધારો કે $t_1 = 15, t_2 = 23, t_3 = 31, t_4 = 39$.
હવે,સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરતા:
$t_2 - t_1 = 23 - 15 = 8$
$t_3 - t_2 = 31 - 23 = 8$
$t_4 - t_3 = 39 - 31 = 8$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવાથી (સામાન્ય તફાવત $d = 8$),આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.

(A) $(i)$ વિદ્યાર્થી પાસેથી દર મહિને લેવામાં આવતી ફી $400, 400, 400, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 400 - 400 = 0$ અચળ છે.
$(ii)$ ધોરણ $I$ થી $XII$ માટે લેવામાં આવતી ફી $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ એટલે કે $250, 300, 350, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 300 - 250 = 50$ અચળ છે.
$(iii)$ એક વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ છે. દર વર્ષના અંતે ખાતામાં રહેલી રકમ $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ એટલે કે $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 1100 - 1000 = 100$ અચળ છે.
$(iv)$ ધારો કે બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા $x$ છે. તેઓ દર સેકન્ડે બમણા થાય છે,તેથી શ્રેણી $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ છે. અહીં,$t_2 - t_1 = x$ અને $t_3 - t_2 = 2x$ છે. તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ $AP$ બનાવતી નથી.

(N/A) $(i)$ હા,અહીં $a_{n}=2n-3$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=2(1)-3=-1$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=2(2)-3=1$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=2(3)-3=3$.
$n=4$ મૂકતા,$a_{4}=2(4)-3=5$.
સંખ્યાઓની યાદી $-1, 1, 3, 5, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=1-(-1)=2$,$a_{3}-a_{2}=3-1=2$,અને $a_{4}-a_{3}=5-3=2$.
તફાવત $d=2$ સમાન હોવાથી,$2n-3$ એ $AP$ નું $n$ મું પદ છે.
$(ii)$ ના,અહીં $a_{n}=3n^{2}+5$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=3(1)^{2}+5=8$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=3(2)^{2}+5=17$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=3(3)^{2}+5=32$.
સંખ્યાઓની યાદી $8, 17, 32, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=17-8=9$ અને $a_{3}-a_{2}=32-17=15$.
$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$ હોવાથી,તે $AP$ બનાવતું નથી.
$(iii)$ ના,અહીં $a_{n}=1+n+n^{2}$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=1+1+(1)^{2}=3$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=1+2+(2)^{2}=7$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=1+3+(3)^{2}=13$.
સંખ્યાઓની યાદી $3, 7, 13, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=7-3=4$ અને $a_{3}-a_{2}=13-7=6$.
$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$ હોવાથી,તે $AP$ બનાવતું નથી.

(D) જો ત્રણ પદો $a, b, c$ એ $AP$ માં હોય,તો $b - a = c - b$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2b = a + c$.
આપેલ પદો $n-2, 4n-1, 5n+2$ છે.
શરત $2(4n-1) = (n-2) + (5n+2)$ લાગુ પાડતા.
$8n - 2 = 6n$.
$8n - 6n = 2$.
$2n = 2$.
તેથી,$n = 1$.

(A) આપેલ $AP: -11, -7, -3, \ldots, 49$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -11$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -7 - (-11) = 4$ છે.
છેલ્લું પદ $a_n = 49$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49 = -11 + (n - 1) \times 4$
$60 = (n - 1) \times 4$
$n - 1 = 15 \implies n = 16$.
અહીં $n = 16$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,બે મધ્યમ પદ મળશે: $(\frac{n}{2})$ મું પદ અને $(\frac{n}{2} + 1)$ મું પદ.
આથી,$8$ મું પદ અને $9$ મું પદ મધ્યમ પદ છે.
$a_8 = a + 7d = -11 + 7(4) = -11 + 28 = 17$.
$a_9 = a + 8d = -11 + 8(4) = -11 + 32 = 21$.
આમ,મધ્યમ પદો $17$ અને $21$ છે.

(A) ધારો કે $AP$ ના ત્રણ પદો $a-d, a, a+d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ પદોનો સરવાળો $33$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
વળી,પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર બીજા પદ કરતાં $29$ વધારે છે:
$(a-d)(a+d) = a + 29$
$a^2 - d^2 = a + 29$
$a = 11$ મુકતા:
$11^2 - d^2 = 11 + 29$
$121 - d^2 = 40$
$d^2 = 121 - 40 = 81$
$d = \pm 9$
કિસ્સો $1$: જો $d = 9$ હોય,તો પદો $11-9, 11, 11+9$ એટલે કે $2, 11, 20$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $d = -9$ હોય,તો પદો $11-(-9), 11, 11+(-9)$ એટલે કે $20, 11, 2$ થાય.
આમ,$AP$ એ $2, 11, 20, \dots$ અથવા $20, 11, 2, \dots$ છે.

(A-B) $A_{1}: 2, -2, -6, -10, \ldots$
અહીં,સામાન્ય તફાવત $d = a_{2} - a_{1} = -2 - 2 = -4$. તેથી,$(A_{1}) \rightarrow (B_{4})$.
$A_{2}: a = -18, n = 10, a_{n} = 0$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = -18 + (10 - 1)d \Rightarrow 18 = 9d \Rightarrow d = 2$. તેથી,$(A_{2}) \rightarrow (B_{5})$.
$A_{3}: a = 0, a_{10} = 6$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a_{10} = a + 9d \Rightarrow 6 = 0 + 9d \Rightarrow d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. તેથી,$(A_{3}) \rightarrow (B_{1})$.
$A_{4}: a_{2} = 13, a_{4} = 3$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + d = 13$ $(i)$
$a + 3d = 3$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13 \Rightarrow 2d = -10 \Rightarrow d = -5$. તેથી,$(A_{4}) \rightarrow (B_{2})$.
અંતિમ જોડાણ: $(A_{1}) \rightarrow (B_{4}), (A_{2}) \rightarrow (B_{5}), (A_{3}) \rightarrow (B_{1}), (A_{4}) \rightarrow (B_{2})$.

(N/A) અહીં,$a_{1}=0, a_{2}=\frac{1}{4}, a_{3}=\frac{1}{2}$ અને $a_{4}=\frac{3}{4}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ ની ગણતરી કરો:
$a_{2}-a_{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$a_{4}-a_{3} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = \frac{1}{4})$ હોવાથી,આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદો નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = a_{4} + d = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$a_{6} = a_{5} + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(A) આપેલ શ્રેણી: $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots$
અહીં,$a_{1}=5, a_{2}=\frac{14}{3}, a_{3}=\frac{13}{3}$ અને $a_{4}=4$ છે.
સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરીએ:
$a_{2}-a_{1} = \frac{14}{3} - 5 = \frac{14-15}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{13}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{4}-a_{3} = 4 - \frac{13}{3} = \frac{12-13}{3} = -\frac{1}{3}$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવાથી $(d = -\frac{1}{3})$,આપેલી શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_{5} = a_{4} + d = 4 + (-\frac{1}{3}) = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}$
$a_{6} = a_{5} + d = \frac{11}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} = 3$
આમ,પછીના ત્રણ પદો $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3$ છે.

(N/A) અહીં,$a_{1}=\sqrt{3}, a_{2}=2 \sqrt{3}$ અને $a_{3}=3 \sqrt{3}$ છે.
સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરો:
$a_{2}-a_{1}=2 \sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$a_{3}-a_{2}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$
કારણ કે $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{3}$,જે સામાન્ય તફાવત $(d)$ છે,તેથી આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{4}=a_{3}+d=3 \sqrt{3}+\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$
$a_{5}=a_{4}+d=4 \sqrt{3}+\sqrt{3}=5 \sqrt{3}$
$a_{6}=a_{5}+d=5 \sqrt{3}+\sqrt{3}=6 \sqrt{3}$

(N/A) આપેલ શ્રેણી: $a_1 = a+b, a_2 = a+1+b, a_3 = a+1+b+1$.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = (a+1+b) - (a+b) = 1$.
$d_2 = a_3 - a_2 = (a+1+b+1) - (a+1+b) = 1$.
અહીં $d_1 = d_2 = 1$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે,તેથી આ શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_4 = a_3 + d = (a+1+b+1) + 1 = a+b+3 = (a+2)+(b+1)$.
$a_5 = a_4 + d = (a+b+3) + 1 = a+b+4 = (a+2)+(b+2)$.
$a_6 = a_5 + d = (a+b+4) + 1 = a+b+5 = (a+3)+(b+2)$.

(A) આપેલ શ્રેણી: $a_1 = a, a_2 = 2a+1, a_3 = 3a+2, a_4 = 4a+3$.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = (2a+1) - a = a+1$
$d_2 = a_3 - a_2 = (3a+2) - (2a+1) = a+1$
$d_3 = a_4 - a_3 = (4a+3) - (3a+2) = a+1$
અહીં $d_1 = d_2 = d_3 = a+1$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે. તેથી,આ શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_5 = a_4 + d = (4a+3) + (a+1) = 5a+4$
$a_6 = a_5 + d = (5a+4) + (a+1) = 6a+5$
$a_7 = a_6 + d = (6a+5) + (a+1) = 7a+6$

આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -\frac{1}{6}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = \frac{1}{2}$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = \frac{1}{2} + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,જરૂરી ત્રણ પદો $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ છે.

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = -5$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -3$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = -5$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = -5 + (-3) = -8$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = -5 + 2(-3) = -5 - 6 = -11$.
આમ,$AP$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $-5, -8, -11$ છે.

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_{1}) = a = \sqrt{2}$ છે.
બીજું પદ $(T_{2}) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
ત્રીજું પદ $(T_{3}) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,પ્રથમ ત્રણ પદો $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = \sqrt{2}$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2+1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 2}{\sqrt{2}} = \frac{2+2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
આમ,પ્રથમ ત્રણ પદ $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $a, 7, b, 23, c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $d$ સમાન રહેશે.
$d = 7 - a = b - 7 = 23 - b = c - 23$.
$b - 7 = 23 - b$ લેતા,$2b = 30$ મળે,તેથી $b = 15$.
$7 - a = b - 7$ માં $b = 15$ મૂકતા:
$7 - a = 15 - 7 = 8$,જેથી $a = 7 - 8 = -1$.
$c - 23 = 23 - b$ માં $b = 15$ મૂકતા:
$c - 23 = 23 - 15 = 8$,જેથી $c = 8 + 23 = 31$.
આમ,$a = -1, b = 15, c = 31$.

(N/A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે,$a_{5} = 19$ અને $a_{13} - a_{8} = 20$.
સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
પાંચમા પદ માટે: $a + 4d = 19$ ........$(i)$
તેરમા અને આઠમા પદના તફાવત માટે: $(a + 12d) - (a + 7d) = 20$
$5d = 20$
$d = 4$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = 4$ મૂકતા:
$a + 4(4) = 19$
$a + 16 = 19$
$a = 3$
$AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
આમ,માંગેલ $AP$ એ $3, 7, 11, 15, \dots$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$,સામાન્ય તફાવત $d$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $26$ મું પદ $0$ છે:
$a + 25d = 0$ .... $(i)$
આપેલ છે કે $11$ મું પદ $3$ છે:
$a + 10d = 3$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(a + 25d) - (a + 10d) = 0 - 3$
$15d = -3$
$d = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$
$d = -\frac{1}{5}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 25(-\frac{1}{5}) = 0$
$a - 5 = 0$
$a = 5$
આપેલ છે કે છેલ્લું પદ $l = -\frac{1}{5}$ છે:
$l = a + (n-1)d$
$-\frac{1}{5} = 5 + (n-1)(-\frac{1}{5})$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા:
$-1 = 25 - (n-1)$
$-1 = 25 - n + 1$
$-1 = 26 - n$
$n = 27$
આમ,સામાન્ય તફાવત $-\frac{1}{5}$ છે અને પદોની સંખ્યા $27$ છે.

(D) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$a_5 + a_7 = 52$ અને $a_{10} = 46$.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 4d) + (a + 6d) = 52$
$2a + 10d = 52$
$a + 5d = 26$ ..... $(i)$
વળી,$a_{10} = 46$:
$a + 9d = 46$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 46 - 26$
$4d = 20$
$d = 5$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = 5$ મૂકતા:
$a + 5(5) = 26$
$a + 25 = 26$
$a = 1$
$AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $1, 1+5, 1+10, 1+15, \ldots$
આમ,$AP$ એ $1, 6, 11, 16, \ldots$ છે.

(A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $a = 12$.
પ્રશ્ન મુજબ,$7$ મું પદ $(T_7)$ એ $11$ માં પદ $(T_{11})$ કરતા $24$ ઓછું છે.
તેથી,$T_7 = T_{11} - 24$.
$AP$ ના $n$ માં પદના સૂત્ર $T_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + 6d = (a + 10d) - 24$.
બંને બાજુથી $a$ બાદ કરતા,આપણને $6d = 10d - 24$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$4d = 24$,જેનો અર્થ છે કે $d = 6$.
હવે,આપણે $20$ મું પદ $(T_{20})$ શોધવાનું છે:
$T_{20} = a + (20-1)d = a + 19d$.
$a = 12$ અને $d = 6$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T_{20} = 12 + 19(6) = 12 + 114 = 126$.
આમ,$AP$ નું $20$ મું પદ $126$ છે.

(N/A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $9$ મું પદ શૂન્ય છે,તેથી $T_9 = 0$.
$a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0$
$a = -8d$ ....$(i)$
હવે,$19$ મું પદ $(T_{19})$ શોધીએ:
$T_{19} = a + (19 - 1)d$
$T_{19} = a + 18d$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = -8d$ મૂકતા:
$T_{19} = -8d + 18d = 10d$ ....$(ii)$
હવે,$29$ મું પદ $(T_{29})$ શોધીએ:
$T_{29} = a + (29 - 1)d$
$T_{29} = a + 28d$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = -8d$ મૂકતા:
$T_{29} = -8d + 28d = 20d$ ....$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$T_{29} = 20d = 2 \times (10d) = 2 \times T_{19}$.
આમ,$29$ મું પદ તેના $19$ માં પદ કરતાં બમણું છે.